人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形（7类题型突破）

第十二章全等三角形（题型突破）

题型一全等图形识别

例题:（2023春•全国•七年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）

【巩固训I练】

1.（2023春・广东深圳•七年级北大附中深圳南山分校校考期中）下列四个选项中，不是全等

图形的是（）

A3

仁口口

2.（2023•江苏•八年级假期作业）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是

3.（2023春•七年级课时练习）如图，四边形A3CDZ四边形若NA=U0。，ZC=

题型二全等三角形的概念和性质

例题：（2023春•江苏盐城•七年级校考期中）下列说法中，正确的有（）

①形状相同的两个图形是全等形②面积相等的两个图形是全等形③全等三角形的周长相等,

面积相等④若△ABC丝ADEF,则ZA=ZD,AB=EF

A.1个32个C.3个D4个

【巩固训练】

1.（2023•全国•八年级假期作业）已知△ABC丝ADEF,且-4与，。是对应角，23和—E是

对应角，则下列说法中正确的是（）

A.AC与。尸是对应边B.AC与DE是对应边

C.AC与所是对应边D.不能确定AC的对应边

2.（2023秋•八年级课时练习）如图，AABC^AADE,且AEBD,ZADB=25°,则/5AC的

度数为.

3.（2023•江苏•八年级假期作业）如图，AABC三AADE,且NGW=10。，ZB=ZD=25。，/E4B=120。,

求/DFB和ZDGB的度数.

题型三添一个条件使两三角形全等

例题：（2023春•山西临汾•七年级统考期末）如图，3,F,E,。四点共线，BE=DF,ZA=".若

要使AA//之△CDE,则需要添加的条件是（只需添加一个你认为合适的条件即可）.

【巩固训练】

1.（2023春・广东•七年级统考期末）如图，已知ZAT）C=/3DC,要判定△ACD丝ABCD,则需

要补充的一个条件为（只需补充一个）.

2.（2023春•广东茂名•七年级统考期末）如图，点。，E分别在线段AB,AC上，BE,CD相交

于点。，AB=AC,要使ABE玛ACD,需添加一个条件是（只需填一个即可）.

3.（2023秋•八年级课时练习）如图，已知ZA="=9O。，要使用“HL”证明△ABC四△/»,

应添加条件：;要使用“AAS”证明△ABC四△DCB,应添加条件：

题型四三角形全等的判定方法

例题：（2023•云南玉溪•统考三模）如图，点BE,C,尸在一条直线上,

AB=DF,AC=DE,BE=CF,求证：△AB8ADFC.

【巩固训练】

1.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，已知4=4=90。，点8C分别在AE,AF上,

AB=AC,BD=CD.

（1）求证：；

⑵求证：DE=DF.

2.（2023春•全国•七年级期末）如图，在中，。是8C延长线上一点，满足8=胡，过

点C作CE〃AB,且CEuBC,连接DE并延长，分别交AC,A3于点RG.

⑴求证：ABC=.DCE；

(2)若曲=12,AB=2CE,求BC的长度.

3.（2023•浙江温州温州市第八中学校考三模）如图，在ABC和ECD中，ZABC=ZEDC=90°,

点3为CE中点，BC=CD.

⑵若CD=2,求AC的长.

4.（2023秋•八年级课时练习）如图，已知点C是线段上一点，NDCE=/A=/B,CD=CE.

⑴求证：AAC”ABEC；

(2)求证：AB=AD+BE.

5.（2023春•七年级单元测试）如图，已知仞、3C相交于点。，AB=CD,村，8。于点陷

DN工BC于点、N,BN=CM.

⑴求证：△ABMdDCN；

⑵试猜想与的大小关系，并说明理由.

题型五角平分线的性质与判定定理

例题：（2022秋•河南开封•八年级校考阶段练习）如图，RtA4BC中，ZC=90°,的平分

线即交AC于点。，若CD=3cm,则点。到AB的距离是cm.

【巩固训练】

1.（2023春・贵州•七年级统考期末）如图，已知ABCD,射线AE平分/R4C,过点E作可，AC

于点作瓦」AB于点忆并延长正交8于点G,连接CE.若ZAEC=90。，£H=1则FG的

长为.

2.（2023秋•全国•八年级专题练习）如图，已知垂足为E,DhAC垂足为F,BD=CD,

BE=CF.

⑴求证：AD平分工BAC；

⑵丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE,请你帮他写出证明过程.

3.(2023秋・浙江•八年级专题练习)已知：如图，在瓦ABC中，ZC=90,。是AC上一点,

DEJ.AB于E,且OE=OC.

⑴求证：平分NABC；

⑵若ZA=36,求的度数.

4.(2023春•广西北海•八年级统考期中)如图，在&ABC中，/ABC的平分线与/ACB的外角

平分线交于点尸，于点。，创于点

(1)若尸”=8cm,求点尸到直线2C的距离;

(2)求证：点P在/H4C的平分线上.

题型六几何动点中求使三角形全等的值

例题：（2023春•新疆乌鲁木齐•八年级乌市八中校考开学考试）如图，在，ABC中，ZACB=90。，

AC=3,3C=4,点C在直线/上.点P从点A出发，在三角形边上沿3的路径向终点

B运动；点。从B点出发，在三角形边上沿A的路径向终点A运动.点尸和。分别以1单

位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止

运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.在某时刻，

分别过尸和。作于点E,。尸平于点尸，则点P的运动时间等于____秒时，PEC与

CTQ全等.

【巩固训练】

1.（2023秋•八年级单元测试）如图，已知线段AB=20m,至于点A,MA=6m,射线

于3,P点从3点向A运动，每秒走1瓶，。点从3点向。运动，每秒走3加，P,Q同时从3

出发，则出发秒后，在线段M4上有一点C,使C4P与一网。全等.

2.（2023春•上海虹口•七年级上外附中校考期末）如图，AB=8,BC=10,8为射线，NB=NC,

点尸从点3出发沿BC向点C运动，速度为1个单位/秒，点。从点C出发沿射线8运动，

速度为x个单位/秒；若在某时刻，一的能与CPQ全等，则苫=.

3.（2023春•陕西西安•七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图1,在长方形A3CD中,

AB=CD=6cm,3C=10c机，点P从点3出发，以25加的速度沿5c向点C运动，设点P

的运动时间为fs,且区5

nAD

CDPC=_cm（用含/的代数式表示）

（2）如图2,当点P从点3开始运动时，点。从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点。

运动，是否存在这样的v值，使得以4B、尸为顶点的三角形与以P、。、C为顶点的三角

形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由.

题型七三角形全等判定与性质综合问题

例题：（2020秋.广东东莞.八年级校考阶段练习）如图，在ABC中,

ZC=90°,ACAD=ABAD,DELAB^-E,点/在边AC上，连接。尸.

⑴求证：DC=DE.

⑵若AC=8,A3=10,且ABC的面积等于24,求DE的长.

⑶若CF=BE,直接写出线段AB，A尸，砂的数量关系：

【巩固训I练】

1.（2023春•辽宁丹东•七年级校联考期末）如图，在ABC中，。为上一点，E为AC中点,

连接DE并延长至点F,使得EF=ED,连CT.

⑴求证：CF//AB；

⑵连接8E,若ZABE=25。，BE平分/ABC,C4平分/BCD求NA的度数.

2.（2022秋.河南开封.八年级校考阶段练习）如图，斯是经过/ABC顶点5的一条直线,

AB=BC,E、。分别是直线防上两点，且ZAEB=/BDC=ct.

【问题情景】如图1,若ZABC=90。，a=90°,则AE、DE、。。之间的数量关系是;

【问题解决】如图2,若八⑵。，那么当ZABC=。时，【问题情景】中的结论仍然成立，

并说明理由；

⑵若直线用经过/ABC的外部.

【拓展提升】如图3,ZABC=a,请写出关于AE、DE、OC三条线段数量关系的合理猜想，并

简述理由.

第十二章全等三角形（题型突破）

答案全解全析

题型一全等图形识别

例题：（2023春•全国•七年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（)

【分析】根据全等图形的概念判断即可.

【详解】解：4两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；

3、两个图形能够完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；

C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；

。、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形是全等图形”是解

题的关键.

【巩固训练】

1.（2023春・广东深圳•七年级北大附中深圳南山分校校考期中）下列四个选项中，不是全等

图形的是（）

【答案】C

【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形逐项判断即可.

【详解】A.经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；

B.经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；

C.两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，故该选项符合题意；

D.经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意.

故选c.

【点睛】本题考是全等图形的定义.掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题关键.

2.(2023•江苏•八年级假期作业)请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

【答案】(1)(4)(5)(6).

【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即

可.

【详解】解：(1)(5)是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，(4)是将其中一

个图形翻折后得到另一个图形的，(6)是将其中一个图形旋转180。再平移得到的，(2)(3)

形状相同，但大小不等.

故答案是：(1)(4)(5)(6).

【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义.

3.(2023春•七年级课时练习)如图，四边形A3CD若四边形若NA=U0。，ZC=

60°,ZD'=1Q5°,则N3=__________.

【答案】85°

【分析】根据全等图形的性质，ZD=ND,再根据四边形的内角和为360。得到/反

【详解】解：根据题意得："==105。，

广…ZB=360o-ZA-ZC-Z£>=360o-110o-60o-105o=85°

所以，

故答案为：85。

【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键.

题型二全等三角形的概念和性质

例题：(2023春•江苏盐城•七年级校考期中)下列说法中，正确的有()

①形状相同的两个图形是全等形②面积相等的两个图形是全等形③全等三角形的周长相等,

面积相等④若△ABC丝ADEF,则ZA=ZD,AB=EF

A.1个3.2个C.3个D4个

【答案】A

【分析】根据全等的定义和性质判断即可.

【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；

②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；

③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；

④若△ABC丝贝l）NA=ND,AB=DE,故④错误；

故正确的有1个.

故选：A

【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义.

【巩固训练】

1.（2023•全国•八年级假期作业）已知且/A与/。是对应角，和2E是

对应角，则下列说法中正确的是（）

A.AC与O尸是对应边B.AC与OE是对应边

C.AC与斯是对应边D.不能确定AC的对应边

【答案】A

【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案.

【详解】解：ZA与/。是对应角，和/E是对应角，

NC和NF是对应角，

「.AC与£）尸是对应边，

故选A.

【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键.

2.（2023秋•八年级课时练习）如图，AABC^AADE,且AEBD,ZADB=25°,则/5AC的

度数为.

【答案】25。/25度

【分析】先根据平行线的性质得到/加=皿=25。，再由全等三角形的性质即可得到

^BAC=ZDAE=25°.

【详解】解：BD,加8=25。，

NDAE=ZADB=25°,

△ABC②AADE,

：.NBAC=/DAE=25°,

故答案为：25。.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟知全等三角形对应角相等是

解题的关键.

3.(2023•江苏•八年级假期作业)如图，^45。三^^0E，且/04£>=10。，ZB=ZD=25°,ZEAB=120°,

求//加8和ZDGB的度数.

【答案】NDFB=90。,ZDGB=65。

【分析】由AABCMAADE,nJMZDAE=ABAC=1(ZEAB-ZCAD),根据三角形外角性质可得

ZDFB=ZFAB+ZB,ZFAB=ZFAC+Z.CAB,即可求得ND尸B的度数；根据三角形内角和定理可

^ZDGB=ZDFB-ZD,即可得ZDGB的度数.

【详解】解：AABC=AADE,

ZDAE=ABAC=1(ZEAB-ACAD)=1(120°-10°)=55°.

ZDFB=ZFAB+ZB=ZFAC+ZCAB+ZB=1O°+55°+25°=9CP

ZDGB=ZDFB-ZD=90°-25°=65°.

综上所述：ZDFB=90°,ZDGB=65°.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质对应角相等，三角形内角和，角度的转化是解决问题

的关键.

题型三添一个条件使两三角形全等

例题：(2023春•山西临汾•七年级统考期末)如图，3,F,E,。四点共线，BE=DF,ZA=NC.若

要使AAB尸丝△CZJE,则需要添加的条件是(只需添加一个你认为合适的条件即可).

【答案】ZB=ZD（答案不唯一）

【分析】由题意知，添加的条件为ZB=ZD,可证△钻/也8仪会）.

【详解】解：由题意知，添加的条件为ZB=ZD,

*/BE=DF,

：.BE-EF=DF-EF,^BF=DE,

,:ZB=ZD,ZA=ZC,BF=DE,

：.AABF^ACDE（AAS）,

故答案为：ZB=ZD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定.解题的关键在于确定判定三角形全等的条件.

【巩固训练】

1.（2023春・广东•七年级统考期末）如图，已知ZADC=/BDC,要判定△ACD丝ABCD,则需

要补充的一个条件为（只需补充一个）.

【答案】ZA=ZB（答案不唯一）

【分析】添加条件为乙1=々，CD=CD,根据AAS即可推出两三角形全等.

【详解】解：添加条件为〃=ZB,

ZA=NB

理由是：：在，A8和△3CD中，＜ZADC=NBDC,

CD=CD

：.AACD四△3CZ）（AAS）,

故答案为：ZA=ZB（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,

ASA,AAS,SSS.

2.（2023春•广东茂名•七年级统考期末）如图，点D,E分别在线段AB,AC上，BE,CD相交

于点。，AB^AC,要使ABE^ACD,需添加一个条件是（只需填一个即可）.

A

D,E

O\\

B7。

【答案】AE=AD(答案不唯一)

【分析】根据三角形全等的判定定理求解即可.

【详解】VAB=AC,ZA=ZA

.,•当添加的条件为AE=AD时，

/.AABE^AACD(SAS).

故答案为：AE=AD(答案不唯一).

【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方

法.判定三角形全等的方法有：SSS,SAS,AAS,ASA,HL(直角三角形).

3.(2023秋•八年级课时练习)如图，已知ZA="=9O。，要使用“HL”证明△ABC四△DCB,

应添加条件：;要使用“AAS”证明△ABC四△OCB,应添加条件：

【答案】AB=DC(或AC=£>3)ZACB=NDBC(,或ZABC=NDCB)

【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使△ABC2DCB,已知

ZA=ZD=9O°,BC=BC,添加的条件是直角边相等即可；要使用“AAS”，需要添加角相等即

可.

【详解】解：已知ZA=〃=9O。，BC=BC,

要使用“HL”，添加的条件是直角边相等，

故答案为：AB=DC(或AC=D3)；

要使用“AAS”，需要添加角相等，添加的条件为：

ZACB=NDBC(或ZABC=NDCB).

故答案为：ZACB=ZDBC(或ZABC=/OCB).

【点睛】本题考查了全等三角形的判定.本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选

用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；

若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角,

则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

题型四三角形全等的判定方法

例题：（2023•云南玉溪•统考三模）如图，点BE,C,尸在一条直线上,

AB=DF,AC=DE,BE=CF,求证：△AB8ADFC.

【答案】见解析

【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等.

【详解】证明：,••3E=CF,

ABE+CE=CF+CE,BPBC=EF,

在ABC和△DFE中

AB=DF

<AC=DE

BC=FE

：.AABC/△。尸E（SSS）.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键.

【巩固训练】

1.（2023春・全国•七年级专题练习）如图，已知NE="=90。，点EC分别在AE,AF上,

⑵求证：DE=DF.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】(1)直接根据SSS证明即可.

(2)根据(1)得/E4D=4FAD,然后证明AE*AFQ即可.

【详解】(1)解：证明：在△ABD和ACD中，

AB=AC

AD=AD

BD=CD

：./\ABD^Z\ACD{SSS).

(2)解：由(1)知△丽四△ACD(SSS),

ZEAD=/FAD,

在△AED和八47*中，

'Z£=ZF

<ZEAD=ZFAD

AD=AD

/.AAED空^AFD(AAS),

，DE=DF.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键.

2.(2023春•全国•七年级期末)如图，在ABC中，。是BC延长线上一点，满足CD=/M,过

点C作CE〃AB,且连接DE并延长，分别交AC,A3于点RG.

⑴求证：ABC—DCE；

⑵若瓦>=12,AB=2CE,求BC的长度.

【答案】(1)见解析

(2)4

【分析】(1)根据SAS证明MC咨DCE即可;

(2)根据全等三角形的性质解答即可.

【详解】(1),：CE//AB,

：.ZB=/ECD,

在ABC与ADCE中,

AB=CD

<ZB=ZECD,

BC=CE

：.ABC^DCE(SAS)；

(2).ABCgDCE,

：.AB=CD,BC=CE,

'：AB=2CE,

CD=2BC,

"：BD=12,

：.BD=CD+BC=3BC=12

：.BC=4.

【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质.

3.(2023•浙江温州・温州市第八中学校考三模)如图，在ABC和ECD中，ZABC=ZEDC=90°,

点3为CE中点，BC=CD.

(1)求证：△AB8AECD.

⑵若CD=2,求AC的长.

【答案】(1)见解析

(2)4,见解析

【分析】(1)根据ASA判定即可；

(2)根据△ABCAECD(ASA)和点3为CE中点即可求出.

【详解】(1)证明：,**ZABC=ZEDC=90°,BC=CD,ZC=ZC,

/.△ABC四△ECD(ASA)

(2)解：VCD=2,AABC^AECD(ASA),

BC=CD=2,AC=CE,

•・•点3为CE中点，

，BE=BC=CD=2,

：.CE=4,

AC=4；

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键.

4.（2023秋•八年级课时练习）如图，已知点C是线段A3上一点，NDCE=NA=NB,CD=CE.

⑴求证：AACD^ASEC；

(2)求证：AB=AD+BE.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】(1)由/OCE=/A得ND+NACD=NACD+N3CE,即=从而即可证得

△ACD空ABEC；

(2)由“CD之△BEC可得4£>=及7,AC=BE,即可得至IJAC+3C=AD+鹿，从而即可得证.

【详解】(1)证明：/DCE=NA,

..NO+NACD=ZACD+/BCE,

:.ND=NBCE,

在，ACD和BEC中,

ZA=ZB

<ZD=ZBCE,

CD=EC

AACD^ABEC(AAS)；

⑵解：△ACE^ABEC,

:.AD=BC,AC=BE,

AC+BC=AD+BE,

:.AB=AD+BE.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解

题的关键.

5.(2023春•七年级单元测试)如图，已知AD、3C相交于点。，AB=CD,W_L8C于点M,

DNLBC于点、N,BN=CM.

(1)求证：^ABM^XDCN；

(2)试猜想。4与的大小关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)OA=OD,理由见解析

【分析】(1)根据HL可证明之

(2)根据AAS证明△AMC^ZXDNO可得结论.

【详解】(1)证明：=

/.BN+MN=MN+CM,

即CN=BM,

VAMYBC,DN1BC,

：.ZAMB=ZDNC=90°,

在RtABM和RtADCN中，

AB=CD

BM=CN

：.RtAABM^RtAr>C7V(HL)；

(2)解：OA^OD,理由如下：

,•*AABMdDCN,

/.AM=DN,

ZAOM=ZDNO

在，AMO和ONO中，,2AM0=NDNO,

AM=DN

△AMgADNO(AAS),

：.OA=OD.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关

键.

题型五角平分线的性质与判定定理

例题：（2022秋.河南开封.八年级校考阶段练习）如图，RtaABC中，ZC=90°,/ABC的平分

线2D交AC于点。，若CD=3cm,则点。到AB的距离是cm.

【答案】3

【分析】过。作。于E.根据角平分线性质求解即可.

【详解】解：过。作DEIM于E.如图，

：8。是/ABC的平分线，ZC=90°,DE±AB,

：.DE=CD.

'：CD=3cm,

/.DE=3cm.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键.

【巩固训练】

1.（2023春・贵州•七年级统考期末）如图，已知"CD,射线AE平分/BAC,过点E作瓦口AC

于点H,作底，AB于点忆并延长所交8于点G,连接CE.若/钻C=90。，EH=1则FG的

长为___________..

AF

【分析】先根据平行线的性质可得ZBAC+ZAa)=180。，再根据角平分线的定义和“等角的余

角相等，可得ZACE=NECD,再由ABCD,GF±AB,可得G5J.CD,由角平分线的性质可得

EF=EH,EG=EH,即可求出FG的长.

【详解】AB//CD,

.-.ZBAC+ZACE>=180°,

即ZBAE+NC4E+ZACE+NECD=180。.

ZAEC=90°,

..ZCAE+ZACE=90°,

:.ZBAE+ZECD=90°.

丁AE平分ZB4C,

:.ZBAE=ZCAE,

:.ZACE=ZECD,

：.CE平分/ACD.

ABCD,GFLAB,

：.GF1CD.

EH1,AC9

EF=EH=1,EG=EH=1,

：.FG=EF+EG=2.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”.熟练掌握以上知

识，且证明CE平分/ACD是解题的关键.

2.(2023秋・全国•八年级专题练习)如图，已知。石垂足为石，。尸垂足为尸，&)=CD,

BE=CF.

⑴求证：AD平分N3AC；

⑵丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE,请你帮他写出证明过程.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)首先用HL判断出RtBED^RtCFD,根据全等三角形的对应边相等得DE=DF,

进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得AD平分/R4C；

(2)首先用HL判断出RtAED^RtAFD,根据全等三角形的对应边相等得=,结合

BE=CF,根据线段的和差即可得出结论.

【详解】(1)证明：,・•/>£DF1AC,

:.ZE=ZDFC=90°,

在RtABED和Rt-CFD中，

BD=CD

BE=CF

:.RtBED^Rf一CFD(HL),

：.DE=DF,

-.DE±AB,DF1AC,

:.AEAD=ACAD,

.:4£(平分/胡。；

(2)解：Q?E?AFD90?,

在RtAEO和RtAFD中

[AD=AD

[DE^DF'

:.Rt.AED^RtAFD(HL),

:.AE=AF,

BE=CF,

\AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE-CF+AE+CF=2AE.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形

的判定和性质定理进行推理是解此题的关键.

3.（2023秋・浙江•八年级专题练习）已知：如图，在瓦ABC中，ZC=90,。是AC上一点,

DEJ.AB于E,且OE=OC.

⑴求证：平分NABC；

⑵若ZA=36,求的度数.

【答案】（1）见解析

（2）27°

【分析】（1）根据已知条件结合角平分线判定定理即可证明.

（2）根据直角三角形的两个锐角互余求得度数.

【详解】（1）证明：DCA.BC,DEJ.AB,DE=DC,

.•.点。在/ABC的平分线上，

.•.3。平分/ABC.

（2）解：ZC=90,ZA=36,

ZABC=54,

QJ5D平分/ABC,

:"DBC=ZABD=21.

【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质运用，和直角三角形性质的运用，熟练掌握

角平分线的判定定理是解答的关键.

4.（2023春•广西北海•八年级统考期中）如图，在aABC中，/ABC的平分线与/ACB的外角

平分线交于点尸，于点。，PHLBA于点、H.

H,

⑴若PH=8cm,求点P到直线BC的距离；

（2）求证：点尸在/MIC的平分线上.

【答案】（1）8。机

⑵见解析

【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；

（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上.

【详解】（1）解：作PQLBE于Q,如图，

又：平分/ABC,PHA,BA,

：.PQ=PH=8,

即点P到直线BC的距离为8cm；

（2）证明：平分/ACE,且PDLAC于点O,PQ1CE,

：.PD=PQ,

又PH=PQ,

：.PD=PH,

•••点尸在NH4C的平分线上.

【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的

关键.

题型六几何动点中求使三角形全等的值

例题：（2023春•新疆乌鲁木齐•八年级乌市八中校考开学考试）如图，在.AFC中，ZACB=90°,

AC=3,BC=4,点C在直线/上.点尸从点A出发，在三角形边上沿AfCf3的路径向终点

3运动；点。从3点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动.点尸和。分别以1单

位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止

运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.在某时刻，

分别过尸和。作尸于点E,。尸，/于点尸，则点P的运动时间等于秒时，PEC与

一CFQ全等.

('/

7

【答案】1或;或6

【分析】分四种情况，点尸在AC上，点Q在3C上；点p、Q都在AC上；点尸到BC上，点Q在

AC上；点。到A点，点尸在BC上.

【详解】解：PEC与一CFQ全等,

斜边尸C=斜边CQ,

分四种情况：

当点P在AC上，点。在2C上，如图：

/Q

£CFI

CP=CQ,

「.3—/=4—2t,

.\t=1,

当点尸、。都在AC上时，此时尸、。重合，如图：

c/

CP=CQ,

「.3—t=2t—4,

,7

「./=—.

3

当点P到上，点。在AC上时，如图:

CP=CQ,

t—3=21—4,

.」=1,不符合题意，

当点。到A点，点P在BC上时，如图:

CQ=CP,

3=t—39

.\t=69

7

综上所述：点尸的运动时间等于1或;或6秒时，PEC与、CFQ全等,

故答案为：1或7;或6.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解题的关键

【巩固训练】

1.（2023秋•八年级单元测试）如图，已知线段AB=20m,于点A,M4=6m,射线皿

于3,P点从3点向A运动，每秒走1冽，。点从3点向。运动，每秒走3如P,Q同时从3

出发，则出发秒后，在线段的4上有一点C,使C4P与.PBQ全等.

【答案】5

【分析】分两种情况考虑：当△APCgABQP时与当也ABP。时，根据全等三角形的性质

即可确定出时间.

【详解】解：当△APCgABQP时，AP=BQ,即20-x=3x,

解得：x=5；

当△APC会Z\8尸。时，AP=BP=；AB=10米，

此时所用时间x为10,AC=BQ=30>MA,不合题意，舍去；

综上，出发5秒后，在线段W上有一点C,使6P与一尸3。全等.

故答案为：5.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.

2.（2023春・上海虹口•七年级上外附中校考期末）如图，AB=8,BC=10,8为射线，NB=NC,

点尸从点3出发沿2C向点C运动，速度为1个单位/秒，点。从点C出发沿射线8运动，

速度为x个单位/秒；若在某时刻，一钻尸能与-"Q全等，则户.

【分析】设运动时间为f秒，由题意可知，BP=t,CQ=xt,分两种情况讨论：①当班必APC。

时；②当也时，利用全等三角形的性质，分别求出x的值，即可得到答案.

【详解】解：设运动时间为f秒，

由题意可知，BP-t,CQ=xt,

BC=10,

:.CP=BC-CP=W-t,

NB=NC

①当ZVIBP也APCQ时，AB=CP,BP=CQ,

8=107t—2

t=xt,解得:x=l

②当ZvlBP也△QCP时，AB=CQ,BP=CP,

8=xtt=5

,解得:

t=10-t%=1.6'

综上可知，X的值为1或L6,

故答案为：1或1.6.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质

是解题关键.

3.（2023春•陕西西安•七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图1,在长方形A3CD中,

AB=CD=6cm,BC=10c机，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿3c向点C运动，设点P

的运动时间为5且正5

（2）如图2,当点尸从点3开始运动时，点。从点C出发，以vcro/s的速度沿CD向点。

运动，是否存在这样的v值，使得以4B、尸为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角

形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（10-It）-,（2）当y=l或v=2.4时，ZkABP和△PCQ全等.

【分析】（1）根据题意求出然后根据计算即可；

（2）分AABP咨△QCP和AABP咨ZXPCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可.

【详解】解：（1）•••点尸的速度是2cmA,

:.ts后BP=2tcm,

：.PC=BC—BP=（10—2t）cm,

故答案为：（10-2/）；

（2）由题意得：CQ^vtcm,/B=/C=90°,

只存在△ABP名AQCP和^ABP名APCQ两种情况，

当△A3P之△PCQ时，

：.AB=PC,BP=CQ,

10-2/=6,2t=vt,

解得，t=2,v=2,

当△A3P咨时，

：.AB=QC,BP=CP,

.".2t=10-2t,vt=6,

解得，t=2.5,v=2.4,

•••综上所述，当v=l或v=2.4时，ZkABP和APCQ全等.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解.

题型七三角形全等判定与性质综合问题

例题：（2020秋.广东东莞.八年级校考阶段练习）如图，在ABC中,

ZC=90°,ZCAD=ABAD,DE±AB^-E,点尸在边AC上，连接。尸.

⑴求证：DC=DE.

（2）若AC=8,A5=10,且ABC的面积等于24,求DE的长.

⑶若3=班，直接写出线段A3,AREB的数量关系：1.

【答案】（1）见解析

Q

⑵山=§

（3）AB^AF+2EB

【分析】（1）根据角平分线的性质定理求解即可；

（2）根据三角形ACB的面积=4AC£）的面积+三角形的面积，即可求得DE的长度;

（3）根据线段之间的关系，即可得到AB=AF+2£B.

【详解】（1）证明：NC=90。，DEJ.AB,Z.CAD=ZBAD

：.DC=DE；

(2)解：SACB=SACD+sADB9

S=—ACxCD+—ABxDE.

gACR22

又・AC=8,AB=10,DE=DC,且ABC的面积等于24,

/.24=—