人教版八年级上册数学期末复习：几何证明 练习题（含答案解析）

人教版八年级上册数学期末复习：几何证明专题练习题

选择题（共3小题）

1.（2023秋•鹿寨县期中）如图，AD.BE是△ABC的角平分线，EF±AD,EG±AB,EH±BC,垂足分

别为尸，G,H.下列说法：①EB平分NGEH；®AG=DH；③当AZ）_LBC时，CE=2EF；④尸是A。

的中点；⑤S^BEC=S四边形BGEH.其中正确的个数是（）

2.（2021秋•柳州期末）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a,

连接8。和CE相交于点P,交AC于点M,交AO于点M下列结论：①BD=CE；②NBPE=180°-

2a；③AP平分NBPE；④若a=60°,则PE=AP+PD其中一定正确的结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022秋•柳江区期中）如图，△ABC中，点£>,E分别在/ABC和NACB的平分线上，连接BD,DE,

EC,若/。+/E=295°,则/A等于（）

A.65°B.60°C.55°D.50°

填空题（共4小题）

4.（2023秋•柳州期末）如图，在等边△ABC中，CO_LA8于。，£是线段CZ）上一点，尸是边AC上一

点，且满足BE=EF,G是A尸的中点，连接EG,则下列四个结论：®AD=BD；②/BEF=150°；③

NAFE=/CBE；@£G=AEC；⑤当/A8E=15°时，EG=FG,其中正确的有.（填序

2

号）

5.（2023秋•鹿寨县期中）在△ABC中，已知8C=6,BC边上的高/i=4,△ABC两个内角的角平分线相

交于点O,过。作于点D,则OD的最大值是.

6.（2021秋•柳州期末）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,以BC为边在BC的右侧作等

边△BCD,点E为8。的中点，点P为CE上一动点，连结AP,BP.当AP+8P的值最小时，ZCBP

的度数为.

7.（2021秋•柳州期末）如图，在△ABC中，AB=AC,NB=40°,点D在线段BC上运动（。不与8、

C重合），连接A。，作NAOE=40°,交线段AC于E,在点。的运动过程中，△AOE的形状也在

改变，当△AOE是等腰三角形时，/8D4的度数是.

三.解答题(共7小题)

8.(2023秋•鹿寨县期末)在△ABC中，ZB=60°,。是BC上一点，S.AD=AC.

(1)如图1,延长BC至E,使CE=BD,连接AE.求证：AB^AE；

(2)如图2,在A8边上取一点尸，使。尸=。8,求证：AF=BC；

(3)如图3,在(2)的条件下，P为延长线上一点，连接B4,PF,若胆=尸凡猜想PC与8。

P

9.(2023秋•融水县校级期中)如图，已知△A8C中，AB=AC=10cm,BC=8cm,点。为AB的中点.如

果点P在线段BC上以3c//s的速度由点8向C点运动，同时，点。在线段C4上由点C向A点运动.

(1)若点。的运动速度与点尸的运动速度相等，经过1秒后，△2尸。与△CQP是否全等，请说明理

由.

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使与4

CQP全等？

A

D/\

Q

BPC

10.（2023秋•鹿寨县期中）综合实践

在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰

三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过研讨给出定

义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模

型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1,△

ABC与△AOE都是等腰三角形，其中则△A3。g△ACE（SAS）.

［初步把握］如图2,△ABC与AADE都是等腰三角形，AB^AC,AD^AE,且则有

［深入研究］如图3,已知△A8C,以AB、AC为边分别向外作等边△A8D和等边△&（?£1,并连接BE,

CD,求证：BE=CD.

［拓展延伸］如图4,在两个等腰直角三角形△A8C和△AOE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=

90°,连接BZ）,CE,交于点P,请判断3。和CE的关系，并说明理由.

11.(2022•城中区校级开学)如图，已知2(-1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点，点。为第

二象限一动点，E在8。的延长线上，CD交AB于F,且N8OC=/8AC.

(1)求证：ZABD=ZACD；

(2)求证：D4平分NCDE；

(3)若在D点运动的过程中，始终有DC^DA+DB,在此过程中，ZBAC的度数是否变化？如果变

化，请说明理由；如果不变，请求出NBAC的度数？

12.(2022•鹿寨县校级开学)如图1,在平面直角坐标系中，A(a,0),C(b,2),且满足

(a+2)2+Vb-2=0,过C作C8_Lx轴于8.

(1)求a,6的值；

(2)在y轴上是否存在点P,使得△ABC和△OCP的面积相等，若存在，求出点尸坐标，若不存在,

试说明理由；

(3)若过8作80〃AC交y轴于。，且AE,OE分别平分NC4B,ZODB,如图2,图3.

①求：/C48+/ODB的度数；

图1图2图3

13.（2022秋•柳江区期中）已知△ABC和△AQE都是等腰直角三角形，点。是直线8c上的一动点（点

。不与8、C重合）,连接CE.

（1）在图1中，当点。在边2C上时，求证：BC=CE+CD；

（2）在图2中，当点。在边3c的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请猜想8C、

CE、CO之间存在的数量关系，并说明理由，

图1图2

14.(2021秋•柳州期末)已知等边△ABC的边长为4c〃z,点尸，。分别是直线A3,8C上的动点.

(1)如图1,当点P从顶点A沿A8向B点运动，点。同时从顶点B沿8c向C点运动，它们的速度

都为Icm/s,到达终点时停止运动.设它们的运动时间为f秒，连接AQ,PQ.

①当f=2时，求/AQ尸的度数.

②当t为何值时△尸2。是直角三角形？

(2)如图2,当点P在BA的延长线上，。在BC上，若PQ=PC,请判断AP,C。和AC之间的数量

关系，并说明理由.

图1图2

参考答案与试题解析

选择题（共3小题）

1.（2023秋•鹿寨县期中）如图，AD.BE是△ABC的角平分线，EF±AD,EG±AB,EH±BC,垂足分

别为尸，G,H.下列说法：①EB平分NGEH；®AG=DH；③当AZ）_LBC时，CE=2EF；④尸是A。

的中点；⑤S^BEC=S四边形BGEH.其中正确的个数是（）

【分析】根据角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质逐项判断即可.

【解答】解：是△A8C的角平分线，EG±AB,EHLBC,

：.EG=EH,/BGE=NBHE=9Q°,

；BE=BE,

：.NGEB=/HEB,

即EB平分/GEH,

故①符合题意；

如图，

当NABC>90°时，点。，H可以重合，此时AGWDH,也不能判断尸是的中点,

故②④不符合题意；

如图，延长所交于点/,

A

•：EF±AD,AO是△ABC的角平分线，

：・/IAF=/EAF,ZAFI=ZAFE=90°,

9

：AF=AFf

J.AFI^AFE(A5A),

：.FI=FE,IE=2EF,AI=AEf

同理可证△A3。之AACD,

：.AB=AC,

：.AB-AI=AC-AE,

：.BI=CE,

'：AD.LBC,

:.EF〃BC,

:・NFEB=NCBE,

•：BE是AABC的角平分线，

；・/IBE=NCBE,

：.ZIBE=ZIEBf

：.BI=IE=CE,

：.CE=2EF,

故③符合题意；

若NA8C=90°,ZC=40°,

〈BE是△ABC的角平分线，GE=EH,

•■•ZABE=yZABC=45°卉N。

:.BG丰CH,SABGE#S^CHE，

SABGE+S4BHE#S4CHE+S4BHE,

S/\BEC#S四边形BGEH,

故⑤不符合题意，

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线

是本题的关键.

2.（2021秋•柳州期末）如图，在等腰△ABC与等腰△&£>£中，AB=AC,AD=AE,NBAC=ZDAE=a,

连接和CE相交于点P,交AC于点交AD于点N.下列结论：①BD=CE；②/BPE=180°-

2a；③AP平分NBPE；④若a=60°,则PE=AP+PD其中一定正确的结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由“SAS”可证△BAOgZkCAE,可得BD=CE；由全等三角形的性质可得乙48。=/ACE,

由外角的性质和三角形内角和定理可得N8PE=/ACB+/A8C=180°-a；由全等三角形的性质可得

SABAD=SACAE,由三角形面积公式可得由角平分线的性质可得AP平分NBPE；由全等三角

形的性质可得/BZM=/CE4,由“SAS”可证可得AO=AP,可证△APO是等边三

角形，可得AP=PO,可得PE=AP+PD,即可求解.

【解答】解：,.•/BACuNZMEna,

：.ZBAD=ZCAE,且AB=AC,AD=AE,

:.△BAD刍ACAE（SAS）

：.BD=CE,故①符合题意；

"：/\BAD^/\CAE,

：./ABD=ZACE,

'：ZBAC^a,

：.ZABC+ZACB=180°-a,

/BPE=NPBC+/PCB=NPBC+/ACB+/ACP=ZPBC+ZACB+ZABP,

；./BPE=NACB+/ABC=180°-a,故②不符合题意；

如图，过点A作AHLBZ）,AF1CE,

>E

BM,

・.,△A4O也△CAE,

:・SXBAD=SACAE，

:.XBDXAH=ACEXAF,且BO=CE,

22

：.AH=AF,S.AH1BD,AF±CE,

；.AP平分NBPE,故③符合题意；

如图，在线段PE上截取。£=尸。，连接A0,

；△BADgLCAE,

：.ZBDA=ZCEA,MOE=PD,AE=AD,

：.AAOE^AAPD(SAS)

C.AP^AO,

VZBP£=180°-a=120°,且AP平分NBPE,

?.ZAPO=60°,且AP=AO,

：.AAPO是等边三角形，

C.AP^PO,

•；PE=PO+OE,

：.PE^AP+PD,故④符合题意.

故选：C.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形

的判定和性质以及角之间的关系，证明△54。g△CAE是解本题的关键.

3.(2022秋•柳江区期中)如图，△ABC中，点。，E分别在/ABC和NACB的平分线上，连接B£),DE,

EC,若/O+/E=295°,则乙4等于()

【分析】根据四边形的内角和可得/BCE+/CBO=65°,再根据角平分线的定义可得/ACB+/48C=

130°,再根据三角形内角和定理可得的度数.

【解答】解：'：ZD+ZE=295°,ZD+ZE+ZBCE+ZCBD=360°,

；.NBCE+/CBD=65°,

,/点、D,E分别在/ABC和/ACB的平分线上，

AZBCE=1ZACB,ZCBD=1ZABC,

22

AZACB+ZABC=65°X2=130°,

AZA=180°-130°=50°,

故选：D.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，四边形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题

的关键.

二.填空题（共4小题）

4.（2023秋•柳州期末）如图，在等边△ABC中，CZ）_LA3于。，E是线段上一点，尸是边AC上一

点，且满足BE=ERG是A尸的中点，连接EG,则下列四个结论：®AD=BD；②/BEF=150°；③

NAFE=/CBE；@£G=AEC；⑤当/AB£=15°时，EG=FG,其中正确的有①③④⑤.（填

2

序号）

【分析】根据等腰三角形的“三线合一”可以得到即①正确；

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到再根据三角形的一个内角等于

与它不相邻的两个内角的和可以得到/C£F=/AFE-30°和/CE8=90°+ZBAE,再根据

NCE8+NCE/即可求得，即②错误；

根据SSS可以得到△CBEgZkCAE,由全等三角形的对应边相等可得NC8E=/朋后，再根据/AEE=

/以E即可求得，即③正确；

根据等腰三角形的“三线合一”可以得到EGLAF,再根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的

一半即可为求得，即④正确；

根据已知条件乙42£=15°可以得到/物E=45°,再根据NCGE=90°可以得到/GEF-/47茁=

45°,由等角对等边即可求得，即⑤正确.

【解答】解：如图：连接AE,

：△ABC是等边三角形，

：.AC=BC,ZBAC=ZACB=60°,

'：CD±AB,

：.CD是等边△ABC的底边AB上的高,

：.AD=BD=AB,

故①正确;

ZACD=ZBC£)=A.ZACB=AX60°=30°,

22

"：CDLAB,AD=BD,

：.CD是线段AB的垂直平分线,

：.AE=BE

NABE=ZBAE,

,:BE=EF,

:.AE=EF,

：.ZFAE=ZAFE,

•//AEE是的外角，

/AFE=ZACD+ZCEF,

VZAC£>=30°,

ZCEF=ZAFE-ZACD=ZFAE-30°,

"JCDLAB,

：.ZBDC=90°,

ZCEB是ADBE的外角，

AZCEB=ZBDC+ZABE=90°+ZBAEf

9：ZBAC=6Q°,

・•・ZBEF=ZCEB+ZCEF

=90°+NBAE+NFAE-30°

=90°+ZBAC-30°

=90+60°-30°=120°,

故②错误；

在△CHE■和△CAE中，

BC=AC

,BE=AE，

CE=CE

.'.△CBE^ACAE(SSS),

；./CBE=NFAE,

=/AFE=NFAE,

：./AFE=/CBE,

故③正确；

9：AE=EF,G是Ab的中点

・•・EG是等腰尸的底边A尸上的中线，

VEGXAF,

：.ZCGE=90°,

ZAC£>=30°

：.EG=^EC,

2

故④正确；

VZABE=15°,NABE=/BAE,

：.ZBAE=15°,

9：ZBAC=60°,

'：ZFAE=ZBAC-ZBAE=60°-15°=45°,

/FAE=/AFE,

AZAFE=45°,

VZCGE=90°,

9：ZGEF=ZAFE=45°，

：.EG=FG,

故⑤正确;

其中正确的有①③④⑤.

故答案为：①③④⑤.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键.

5.（2023秋•鹿寨县期中）在△ABC中，已知8C=6,边上的高力=4,△ABC两个内角的角平分线相

交于点O,过。作于点。，则。。的最大值是旦.

一2一

【分析】过点。作OOL3C于。，OELAC^-E,OFLABF,根据角平分线的性质得到OD=OE=

。尸，根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：过点O作0D_L8C于D,OELAC于E,OFLAB于F,

:点。是△ABC两个内角的角平分线的交点，OOLBC,OE±AC,OF±AB,

：.OD=OE=OF,

：.AAB-OF+l-AC'OE+l-BC-OD=1.AB-AH,即OD+l.AC'OD+1.BC-OO=1X6义4,

22222222

OD=_24_,

AB+AC+6

VAB+AC^10,

的最大值是国，

2

故答案为：旦.

【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

6.（2021秋•柳州期末）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC^BC,以BC为边在BC的右侧作等

边△BCD,点E为8。的中点，点P为CE上一动点，连结AP,BP.当4P+8P的值最小时，ZCBP

的度数为15°.

B

【分析】连接AD交CE于Q,连接BQ,由等边三角形的轴对称性知CE是BD的垂直平分线，得BP

=DP,则当点尸与。重合时，AP+8P的值最小，即可解决问题.

【解答】解：连接交CE于Q,连接8。

：△BCD是等边三角形，点E是8。的中点，

是8。的垂直平分线，

:.BP=DP,

当点尸与。重合时，AP+BP的值最小，

'：AC=BC,BC=CD,

C.AC^CD,

VZACD=ZACB+ZBCD=90°+60°=150°,

：.ZCDA^15°,

由等边三角形的轴对称性可知：ZCBQ=ZCDQ=15°,

:.NCBP=15°,

故答案为：15°.

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确

AP+BP的最小值为AD长是解题的关键.

7.（2021秋•柳州期末）如图，在△ABC中，AB=AC,/B=40°,点。在线段上运动（。不与8、

C重合），连接A。，作/AOE=40°,OE交线段AC于E,在点。的运动过程中，△&£）£的形状也在

改变，当△AOE是等腰三角形时，N3D4的度数是110°或80°♦

【分析】分为三种情况：①当AO=AE时，ZADE=ZAED=40°,根据NAEO>NC,得出此时不符

合；②当DA=DE时，求出NZME=NZ)EA=70°,求出NB4C,根据三角形的内角和定理求出/

54。，根据三角形的内角和定理求出/BD4即可；③当EA=E。时，求出/D4C,求出NBA。，根据

三角形的内角和定理求出艮

【解答】解：••.AB=AC,

；./B=NC=40°,

①当AO=AE时，ZADE=ZAED=40a,

•；ZAED>ZC,

此时不符合；

②当ZM=Z)E时，即=(180°-40°)=70°,

2

VZBAC=180°-40°-40°=100°,

：.ZBAD=100°-70°=30°；

.•.ZBDA=180°-30°-40°=110°；

③当£4=即时，ZADE^ZDAE=40°,

：.ZBAD=l000-40°=60°,

.•.ZBDA=180°-60°-40°=80°；

...当△&£>£是等腰三角形时，NBD4的度数是110°或80°，

故答案为：110°或80°.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到

的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题.

三.解答题(共7小题)

8.(2023秋•鹿寨县期末)在△ABC中，ZB=60°,D是BC上一点、,5.AD=AC.

(1)如图1,延长BC至E,使CE=B。，连接AE.求证：AB^AE；

(2)如图2,在A8边上取一点尸，使DF=DB,求证：AF=BC；

(3)如图3,在(2)的条件下，P为8C延长线上一点，连接E4,PF,若曲=PF,猜想PC与8。

E

的数量关系并证明.图3

【分析】（1）证明也△AEC（SAS）,由全等三角形的性质得出A8=AE；

（2）延长2C到E,使CE=BD,由（1）知，AB=AE,证得△ABE是等边三角形，同理，ADBF是

等边三角形，则可得出结论;

（3）在CP上取点E,使CE=BD,连接AE,证明△4尸£之△尸即（A4S）,得出尸£=。尸，则可得出

结论.

【解答】（1）证明：

ZADC=ZACD,

.•.180°-ZAZ)C=180°-ZACD,

即/ADB=ZACE,

在△ABO和△AEC中，

rAD=AC

-ZADB=ZACE-

BD=CE

:.AABD丝AAEC(SAS),

：.AB^AE；

(2)延长BC到E,使CE=BD,由(1)知，AB=AE,

AZ£AB=180°-ZE-ZB=60",

.♦.△ABE是等边三角形，

同理，△D5尸是等边三角形，

：.AB=BE.BF=BD=CE,

：.AB-BF=BE-CE,

即AF=BC；

(3)猜想：PC=2BD,

理由如下：在C尸上取点区使CE=BD,连接AE,

图2

由(1)可知：AB=AEf

：.ZAEB=ZB=60°,

ZAEP=180°-ZAEB=120°,

■:DF=DB,/DFB=/B=6U°,

ZPDF=ZDFB+ZB=120°,

ZAEP=/PDF,

又,.・B4=PR

：.APAF=APFA,

VZAPE=180°-ZB-ZPAF=120°-APAF,

ZPFD=180°-ZDFB-ZPM=120°-ZPM,

ZAPE=ZPFDf

在△APE和△PfZ)中，

<ZAPE=ZPFD

,NAEP=NPDF，

PA=PF

AAPE^APFD(A4S),

；・PE=DF,

又,：DF=DB,

：.PE=DB,

又,：PC=PE+CE,

:.PC=2BD.

【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的

判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题.

9.(2023秋•融水县校级期中)如图，已知△ABC中，AB^AC^lOcm,BC=8on,点。为AB的中点.如

果点P在线段BC上以3c«i/s的速度由点2向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动.

(1)若点。的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BP。与△CQP是否全等，请说明理

由.

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使与4

C。尸全等？

【分析】(1)经过1秒后，PB=3cm,PC=5cm,CQ=3cm,由已知可得8£>=PC,BP=CQ,ZABC

=ZACB,即据SAS可证得△BPOgZkCQP.

(2)可设点。的运动速度为无(xW3)cm/s,经过rsZXBPD与△CQP全等，则可知PB=3st,PC=

(8-3f)cm,CQ^xtcm,据(1)同理可得当BZ)=PC,BP=CQ或BD=CQ,BP=PC时两三角形全

等，求尤的解即可.

【解答】解：(1)结论：△8PO与△CQP全等.

理由：经过1秒后，PB—3cm,PC—5cm,CQ—3cm,

「△ABC中，AB=AC,

：.ZABC^ZACB,

.•.在△BP。和△CQP中，

'BD=PC

-ZABC=ZACB-

BP=CQ

:.ABPD”4CQP(SAS).

(2)设点。的运动速度为xGW3)cro/s,经过fs/XBPO与△CQP全等；则可知PB=3%7w,PC=(8

-3?)cm,CQ=xtcm,

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC,BP=CQ时，②当BD=CQ,BP

=PC时，两三角形全等；

①当B£)=PC且BP=CQ时，8-3/=5且％=尤3解得x=3,舍去此情况；

②BD=CQ,时，5=尤/且3f=8-33解得：尤=至；

〜4

故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为Ecm/s时，能够使△3尸。与4

4

CQP全等.

【点评】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判

定方法是解题的关键.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据

三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.

10.(2023秋•鹿寨县期中)综合实践

在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰

三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过研讨给出定

义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模

型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1,△

ABC与△AOE都是等腰三角形，其中NA4c则△A3。丝ZVICE(.SAS).

［初步把握］如图2,AABC与△&£)£都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且则有

△ABD乌XACE.

［深入研究］如图3,已知△A8C,以A3、AC为边分别向外作等边△A8D和等边△&(?£1,并连接BE,

CD,求证：BE=CD.

［拓展延伸］如图4,在两个等腰直角三角形△A8C和△AOE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=

90°,连接BZ),CE,交于点P,请判断8。和CE的关系，并说明理由.

【分析】［初步把握］易证再证△BAOgZkCAE(SAS)即可；

［深入研究］易证ND4c=N3AE,再证△ABE之几位)。(SAS),即可得出结论；

［拓展延伸］易证/CAE=/54D,再证△A3。gZkACE(SAS),得BD=CE,ZABD=ZACE,再由三

角形的外角性质证出/BPC=NBAC=90°,则BOJ_CE即可.

【解答】［初步把握］解：：/A4C=ND4E,

/BAC+/DAC=ZDAE+ZDAC,

即/BA£)=/CAE,

在△ABO和△ACE中，

，AB=AC

，ZBAD=ZCAE-

AD=AE

AABD^AACE(SAS),

故答案为：AABD,AACE；

［深入研究］证明：：△AB。WAAC£都是等边三角形，

：.AB=AD,AE^AC,ZBAD=ZCAE^60°,

ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即/D4c=/BAE,

在△ABE和△ADC中,

'AB=AD

-ZBAE=ZDAC>

AE=AC

?.AABE^AADC(SAS),

：.BE=CD；

［拓展延伸］解：BD=CE,BDLCE,理由如下：

VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,

即/CAE=/BA。，

在△ABO和△ACE中，

rAB=AC

<NBAD=NCAE，

AD=AE

AAABD^AACE(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,

•?ZBPC+ZABD=ZBAC+ZACE,

：.ZBPC^ZBAC^90°,

：.BD±CE.

【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的

性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题

的关键，属于中考常考题型.

11.(2022•城中区校级开学)如图，已知3(-1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点，点。为第

二象限一动点，E在BO的延长线上，CD交AB于F,S.ZBDC=ZBAC.

(1)求证：ZABD=ZACD；

(2)求证：DA平分/CDE；

(3)若在D点运动的过程中，始终有DC^DA+DB,在此过程中，ZBAC的度数是否变化？如果变

化，请说明理由；如果不变，请求出NBAC的度数？

【分析】(1)根据/■BDCu/BAC,/DFB=NAFC,^■^^ZABD+ZBDC+ZDFB^ZBAC+ZACD+

ZAFC=180°,即可得出结论.

(2)过点4作&/_10于点作于点N.运用“A4S”证明△ACM名△ABN得AM=AN.根

据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；

(3)运用截长法在C。上截取CP=BD,连接AP.证明△ACP会A3。得尸为等边三角形，从而求

ZBAC的度数.

【解答】证明：(1)VZBDC=ZBAC,/DFB=/AFC,

又,:ZABD+ZBDC+ZDFB=ZBAC+ZACD+ZAFC=180°,

/ABD=NACD；

(2)过点于点作AALL8E于点N.

则/AA/C=/AA®=90°.

VOB=OC,OA1BC,

：.AB=AC,

,：ZABD^ZACD,

:AACM%AABN(44S)

：.AM=AN.

；.DA平分/CDE.(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；

(3)/A4c的度数不变化.

在CD上截取连接AP.

'：CD=AD+BD,

：.AD^PD.

,：AB^AC,ZABD^ZACD,BD=CP,

：.AABD^AACP.

：.AD=AP；ZBAD=ZCAP.

：.AD=AP=PD,即△AOP是等边三角形，

：.ZDAP=60°.

：./BAC=NBAP+/CAP=ZBAP+ZBAD^60°.

【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方

法，综合性较强.

12.(2022•鹿寨县校级开学)如图1,在平面直角坐标系中，4(a,0),C(b,2),且满足

(a+2)2+Vb<=0,过C作C8_Lx轴于B.

(1)求a,6的值；

(2)在y轴上是否存在点P,使得△ABC和△OCP的面积相等，若存在，求出点尸坐标，若不存在，

试说明理由；

(3)若过8作交y轴于。，且AE,DE分别平分/CAB,ZODB,如图2,图3.

①求：NCA2+/0DB的度数；

②求：ZAED的度

(2)如图2,利用三角形面积公式求得△ABC的面积与△OPC的面积，列等式解答即可；

(3)①作EM//AC,如图3,贝I]AC//EM//BD,根据平行线的性质得/CAE=/AEM,/BDE=N

DEM,则/AE£)=NCAE+/BDE,而/04石=NBDE=L/ODB,所以CZCAB+

22

/ODB),而由AC〃B。得到/C48=/O8O,于是/CA8+/OO8=/。8。+/。。8=90°,

②进而得出/AED=45°.

【解答】解：(1)1/(a+2)2+Vb^=O,

a+2=0,b-2=0,

。=-2,Z?=2；

(2)存在，理由如下：

•."=-2,b=2,

：.A(-2,0)C(2,2),

.*.SAABC=—AB*AC=Ax4X2=4,

22

设P(0,r),

.,.SAOPC=AoPX2=Ax|r|X2=|d=4,

22

.\t=4或/=-4,

：.P(0,4)或尸(0,-4)；

(3)①作EM//AC,如图3,

图3

\'AC//BD,

：.AC//EM//BD,

：.ZCAE=ZAEM,NBDE=ZDEM,

：.ZAED=ZCAE+ZBDE,

\'AE,DE分别平分NCAB,ZODB,

：.ZCAE=1ZCAB,ZBDE=1ZODB,

22

AZA£D=ACZCAB+ZODB）,

2

'：AC//BD,

：.ZCAB=ZOBD,

：.ZCAB+ZODB=ZOBD+ZODB=90°；

②NAED=_1X9O°=45°.

2

【点评】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，非负数的性质，利用待定系数法求一次函数

的解析式，角平分线的定义.也考查了平行线的性质和三角形面积公式.

13.（2022秋•柳江区期中）已知△ABC和都是等腰直角三角形，点。是直线8c上的一动点（点

。不与8、C重合）,连接CE.

（1）在图1中，当点。在边8C上时，求证：BC=CE+CD；

（2）在图2中，当点D在边8C的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请猜想8C、

CE、C。之间存在的数量关系，并说明理由，

E

BDC

图1

【分析】（1）根据等腰直角三角形的概念得到AB=AC,AD=AE,证明/瓦1。=/EAC,利用SAS定

理证明0△ACE,根据全等三角形的性质得到3D=CE,进而证明结论;

（2）证明△A3。丝△ACE,根据全等三角形的性质得到进而证明结论.

【解答】（1）证明：:△ABC和△AOE是等腰直角三角形,

：.AB=AC,