切线问题综合【11类题型】（解析版）-2025年高考数学题型重难点专项突破

热点专题3-2切线问题综合

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年甲卷第6题，5分

2024年新高考I卷第13题，5分(1)求在某处的切线

(2)设切点求过某点的切

2023年甲卷第8题，5分考察导数的几何意义，切线的相

线以及公切线

关计算求值求参

2022年I卷第15题，5分(3)利用切线的条数求参

数范围

2021年甲卷第13题，5分

2021年I卷第7题，5分

模块一3热点题型解读(目录)

【题型1】求在曲线上一点的切线

【题型2】求过某点的切线

【题型3】已知切线斜率求参数

【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题

【题型6】切线斜率取值范围问题

【题型7】公切线问题

【题型8】由切线条数求参数范围

【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题

【题型10］与切线有关的参数范围或最值问题

【题型11］牛顿迭代法

模块二I核心题型•举一反三

【题型1】求在曲线上一点的切线

基础知识1

%=/(/)

函数》=/(%)在点A(x()，/(%))处的切线方程为y-/(x())=f\x0)(x-x0),抓住关键＜

4=/'(%)

1.（2024年高考全国甲卷数学（文））曲线〃司=力+3》-1在（0,-1）处的切线与坐标轴围成的面积

为（）

A.-B.正C.-D.卫

6222

【答案】A

【解析】/"（%）=6x5+3,所以/'（0）=3,故切线方程为y=3（%-0）-1=3%-1,

1111

故切线的横截距为一，纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为一xlx—二—

2.（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数=龙,则曲线>=在（0#处的切线

与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

112

A.-B.-QD.

63I3

【答案】A

(e*+2cosx)(l+x2)-(e"+2sinx^-2x

【解析】/'（%）

2

1+

(e°+2cos0)(1+0)-(e°+2sin0)x0

则（（。）=一=3,

（1+。『

即该切线方程为y—l=3x,即y=3x+1,

令x=0,则y=l,令y=。，贝=

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积s=《xix-!=!

236

【巩固练习1】已知曲线/（x）=xlnx在点处的切线为/,则/在V轴上的截距为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】由/'（x）=xlnx得/''（x）=lnx+l,所以直线/的斜率左=/''⑴=1,

又/（1）=0,所以直线/的方程为y=x-i,令x=o,得y=-l,即/在y轴上的截距为-1.

【巩固练习2】（23-24高三•福建宁德・期末）已知函数〃x）在点x=-1处的切线方程为x+y-1=0,

则-（T）+/（T）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由切线的几何意义得r（-i）,将x=—1代入切线方程得了（—1）,从而得解.

【详解】由切线方程*+y-l=。，得广（T）=%=-1,

将"xn—l代入切线方程x+y-l=O,得y=2,所以/（—1）=2,

«r（-i）+/（-i）=-i+2=i.

【题型2】求过某点的切线

基础知识

【方法技巧】

设切点为尸（毛，%）,则斜率上二/'（%）,过切点的切线方程为：y一%=

又因为切线方程过点,所以=/'（%）（。一%）然后解出/的值.

3.（2024.全国.模拟预测）过坐标原点作曲线〃x）=e"（x2-2x+2）的切线，则切线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】A

【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.

【详解】设切点为（天,叫片-2%+2））,

由〃尤）=e“（九2_2*+2）可得广（力二熹》,

则过坐标原点的切线的斜率上="。—22+2）=X；］。，

%

故片一片+2（飞—1）=0,即（%—+2）=。，

解得%=1,故过坐标原点的切线共有1条.

4.（2022年新高考全国I卷T15）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程

为,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>0和x<0两种情况，当尤>0时设切点为,求出函数的导函数，即可求出切

线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出劣,即可求出切线方程，当尤<0时同

理可得；

【详解】［方法一］:化为分段函数，分段求

分工>0和XV。两种情况，当％>0时设切点为（/o，lnXo）,求出函数做导函数，即可求出切线的斜率，

从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出与,即可求出切线方程，当xvO时同理可得；

解：因为》二出同，

当x>0时y=lnx,设切点为（Xo，ln%o）,由V=g,所以，'1=殉=J,所以切线方程为

y-\nx0=­（x-x0）9

又切线过坐标原点，所以一In%=—（一九°）,解得/=e,所以切线方程为y-l=-（x-e）,即y=-x；

xoee

当％<0时y=ln（-x）,设切点为（冷山（一百））,由、'=一，所以所以切线方程为

）一缶（一玉）」（1一再），

%

又切线过坐标原点，所以一In（-%）二’（一玉），解得玉二—e,所以切线方程为y-l=」~（x+e）,即

X]-e

y=­x；故答案为：y=—x；y=­x

eee

[方法二]:根据函数的对称性，数形结合

当x>0时y=ln*,设切点为（Minx。），由：/=’,所以,所以切线方程为

x玉）

j-lnx0=—（x-x0）,

又切线过坐标原点，所以Tn%=」（一兀0）,解得％=e,所以切线方程为y-l=-（x-e）,y=-x；

xoee

因为y=lnW是偶函数，图象为：

【巩固练习1】已知直线、="-2是曲线y=lnx的切线，则切点坐标为（）

A.B.（e,l）C.（J“D.（0,1）

【答案】A

【分析】设切点坐标为（f,lnr）,利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标.

【详解】设切点坐标为因为（lnx）'=L,所以在点（/,In。处切线的斜率为！，

xt

所以曲线y=lnx在点«』型）处的切线方程为j-lnf=-（x-Z）,

[1

1-=e1

即y-ln/=-x-l,所以*,解得/二一，

'-2=lnz-le

所以切点为

【巩固练习2](2024・山西吕梁•二模)若曲线〃x)=lnx在点〃亿,几)处的切线过原点0(0,0),则

=•

【答案】e

【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入0(0,0)求解.

【详解】因为/(x)=lnx,所以/'(X)=L

所以〃力在点兀)处的切线方程为y-lnx=—(x-x).

0xo0

又切线过原点0(0,0),则-1叫=-1,所以Xo=e.

【巩固练习3】(2019•江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=hu上，且该曲线在点A处

的切线经过点(-e,-l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是—.

【答案】(e,1).

【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

【详解】设点4(5,%),则为=lnx。.又y'=1，

,1

当了=%时，y=—，

玉)

1/、

点A在曲线y=lnx上的切线为,一%二—(x-x)

%0

,x、

即yTn/=-----1,

不

代入点(一3-1),得一ITn/=1,

即

考查函数"(x)=xlnx,当xe(O,l)时，”(x)<0,当xe(l,+oo)时，//(%)>0,

且H'(x)=ln尤+1,当x>l时，”'(x)>0,H(x)单调递增，

注意到//(e)=e,故尤(jin%=e存在唯一的实数根/=e,此时%=1,

故点A的坐标为A(e,l).

【巩固练习4】(23-24高三・广东•期中)过点尸(1,1)作曲线y=F的两条切线(，[设(，％的夹角为0,

贝Ijtan6=()

57911

A.-B.—C.—D.—

13131313

【答案】C

【分析】求出两条切线的斜率，由两直线的夹角公式求得夹角的正切值.

【详解】两条切线L的倾斜角分别为4,02,

根据题意，y=3f,

若点尸是切点时，切线斜率为勺=3,

若点。（七,%）是切点（点尸,Q不重合），则y'=3片，

尸_11

由3%；=—~,解得％=—（尤o=1舍去）,

%-12

所以直线尸Q斜率为左2=3x［—=：,

3.3

tanO-tan09

贝i]tan6=「an(4-g)|=x2____4

1+tanOtan03

x2l+3x-13

4

【题型3】已知切线斜率求参数

基础知识

已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处

的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上.

5.（2024.湖北武汉.模拟预测）已知曲线〃尤）=lnx+,在点处的切线的倾斜角为与，则。的

值为.

【答案】73+1

JT

［分析］对原函数进行求导,X=1代入得出切线斜率.曲线〃尤）在X=1处的切线倾斜角为1可得出斜

率.构造关于。的方程，解方程即可.

丫212比

【详解】曲线〃x）=lnx+上的导数/'（%）=；+亍，

曲线/（X）在％=1处的切线的倾斜角为y,

2L0

/r（l）=l+—=V3,.*.—=V3-1,/.^=73+1

6.（2024・贵州六盘水•三模）已知曲线y=f—311K的一条切线方程为y=f+帆，则实数加二（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

3

【分析】根据切线的斜率的几何意义可知y1=题=2%—=-i9求出切点，代入切线即可求出用.

【详解】设切点为（%,%）

因为切线丁=一%+加，

3

所以飞=2%----=-1,

%

3

解得%=1,%=-5（舍去）

代入曲线y二/一31nx得％=1,

所以切点为（1,1）

代入切线方程可得1=-1+根，解得切=2.

7.（2024.全国.高考真题）若曲线y=e*+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=m（x+l）+。的切线，则

a_.

【答案】In2

【分析】先求出曲线y=e”+x在（0,1）的切线方程，再设曲线y=ln（%+l）+a的切点为

（x0,ln（x0+l）+6z）,求出利用公切线斜率相等求出与,表示出切线方程，结合两切线方程相同

即可求解.

【详解】由y=e"+元得y'=e*+i,yix=0=e°+1=2,

故曲线y=e"+x在（0,1）处的切线方程为y=2x+i；

由y=ln（x+l）+a得y=」一，

x+1

设切线与曲线y=ln（x+l）+a相切的切点为（Xo/n（xo+l）+a）,

由两曲线有公切线得V,=」彳=2,解得毛二一工，则切点为（一+,

%o+l2122）

切线方程为y=2卜+J+4+ln；=2x+l+q—ln2,

根据两切线重合，所以a-In2=0,解得a=In2.

【巩固练习1】（23-24高三•山西晋城•期末）过原点。作曲线/（%）=砂-©的切线，其斜率为2,则

实数〃二（）

A.eB.2C.e+2D.e—2

【答案】D

【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点（0,0）求解.

【详解】设切点（毛,%）,则/'（x）=e"—Q,

故切点处的切线方程为y=（e与一a）（x—%o）+e与一稣，故e小一a=2,

将（0,0）代入得0=—2x0+e*-町），故0=-2/+〃+2-du。，解得a=—2或%=1,

若a=—2,则。知+2=2,此时无解，故a=—2不符合题意，

若与=1,则e-a=2,故1=9一2,此时满足题意

【巩固练习2】（2024•四川•模拟预测）已知加>0,">0,直线y='x+/w+l与曲线y=llU-"+3相

e

切，则加+〃=.

【答案】2

【解析】设切点坐标为(/。,%),对函数y=hu-〃+3求导得y二工,

X

711

则切线斜率％二—=一，得%=e,

/e

所以为=In6—〃+3=4—〃，且为=--e+m+l=2+m,

e

则4—zz=2+/n,即根+〃=2.

【巩固练习3](23-24高三.安徽合肥.期末)若函数/(力=工与g(x)=ei-b在兀=1处有相同的

切线，贝1)。+/?=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

eA-aII

【分析】对〃x),g(x)求导，根据题意得到《“一，再解方程组即可得到答案.

e-b=0

【详解】因为〃x)=处，g(x)=e~a-b,则/(耳=匕学，g'(x)=e",

X%

可得/(1)=0,g(l)=e'—氏/⑴=1,g")=e'

因为/(元)，g(x)在尤=1处有相同的切线，即切点为(1,0),切线斜率左=1,

e1-fl=1(a=l

所以＜,解得所以a+/?=2.

e〜-b=0[b=l

【巩固练习4](2024•河北沧州・模拟预测)已知直线/：＞=丘是曲线〃耳=b和g(尤)=lnx+a的公

切线，则实数a=.

【答案】3

【分析】先设在y=/(x)上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在y=g(x)上的切点，即可求

出a的值.

【详解】设直线/与曲线y=/(x)相切于点(%,%),

由尸(x)=e㈤，得左=r(x0)=e",因为/与曲线〃力=*|相切，

所以1%"1+：°'消去为，得e'°+X=e而M,解得％=1.

设/与曲线y=g(龙)相切于点(芯,兀)，由g'(x)=L得％=e2=,，即e2%=l,

Xx\

因为(3,兀)是/与曲线g(尤)=lnx+a的公共点，

(2

y.=ex,1

所以＜消去力,得e%9i=ln玉+〃，即l=ln=+Q,解得々=3.

%=1nxi+〃，e

【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

基础知识

利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.

8.（23-24高三•安徽•阶段练习）已知尸是函数/（同ne,+x2图象上的任意一点，则点尸到直线

无一»—9=。的距离的最/J、值是（）

A.3亚B.5C.6D.5夜

【答案】D

【分析】结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可.

【详解】设直线/与直线x-y-9=。平行，且与函数/（幼=/+/的图象相切,

设切点为Q（r,e'+产），因为（（x）=e'+2尤是单调递增函数，

直线不一》-9=。的斜率为1,所以/"（r）=e'+2/=l,解得r=o,

即切点为0（0』），

所以点尸到直线x—y—9=0的距离的最小值是点Q到直线%-丁一9=0的距离，

即为J—1=50.

J2

9.（23-24高三・广东惠州•阶段练习）已知点P在函数/（x）=e2，+x+9的图象上，则尸到直线

/:3x-y-10=0的距离的最小值为.

【答案】2而

【分析】求导，设尸的坐标，根据平行关系得到切线斜率，进而得到P（O,IO）,利用点到直线距离公

式求出答案.

【详解】由/（x）=e2，+x+9,可得尸（x）=2e2*+l,

又点尸在曲线y=/（x）上，设？（叼几），

则过点尸和/：3%-y-10=。平行的切线的斜率为3,

令广（X。）=2e2^+1=3,X。=0,则〃o）=10,

P（o,io），点P（0,10）与直线I的最小距离为d=

【巩固练习1】（23-24高三•河南南阳•阶段练习）点尸是曲线/（x）=«上一个动点，则点P到直线

x-y+2=0的距离的最小值是（）

A.迪B.1C.迪D.3

8444

【答案】A

【分析】根据题意分析可知（D=1,则点尸到直线x-y+2=o的距离的最小值即为点。到直

线x-y+2=0的距离，运算求解即可.

【详解】因为/1）=«的定义域为[0,+8）,且广（工）=!，

令/''（X）==1,解得X」，

2\x4

则m，可得点

（11、-1-J-+2r-

且点到直线'一'+2=°的距离/427V2,

所以点尸到直线x-y+2=0的距离的最小值是述.

8

【巩固练习2】（23-24高三・河北石家庄•阶段练习）曲线y=In（3x-2）上的点到直线3x-y+7=O的

最短距离是（）

A.45B.710C.375D.1

【答案】B

【分析】令/'（x）=3求得X=l,由导数的几何意义知y=in（3x-2）在点（1,0）的切线斜率为3,然后

利用点到线距离公式求出最小距离.

【详解】直线3x-y+7=。的斜率为3,

所以令/（X）=3得，X=l,

JX-Z

将％=1代入y=ln（3x—2）可得y=O,则y=ln（3x-2）在点（1,0）的切线斜率为3,

所以切点（1,0）到直线3x-y+7=。的距离为：d—『+（二;喘=胸

【巩固练习3]（23-24高三.河南•阶段练习）最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选

出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的

最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距

离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点尸是曲线y=31nx-5f上任意一点，则尸到直线

4x-2y+5=0的距离的最小值为.

【答案】^5

17

【分析】将函数y二31n元-'元求导，然后令导数为0,即可求得点尸的坐标，再由点到直线的距离

公式代入计算，即可得到结果.

13

【详解】对函数y=31nx——12,元〉（）求导可得y二一一元，

2x

其中直线缶-2y+5=0的斜率为2,

3

则令---1=2,即Y+2x—3=0,解得％=1或x=—3（舍）,

X

当x=i时，y=—g,

则曲线上一点P[1,-g]到直线4x-2y+5=。的距离最小，

4xl-2x|-1|+5

由点到直线的距离公式可得最小值为I2）_r-

【巩固练习4】（2024•山西朔州•模拟预测）已知A,8分别为曲线y=2e'+x和直线y=3x-3上的点，

则的最小值为.

【答案】巫/!如

22

【分析】利用数形结合思想可知切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到

直线的距离公式求出最小值即可.

【详解】

由题意的最小值为曲线上点A到直线y=3%-3距离的最小值，

而点A就是曲线与直线y=3x+帆相切的切点，因为曲线上其它点到直线丁=3%-3的距离都大于

向I,

对y=2e"+x求导有y'=2e'+l,由用=3可得x=0,即A（0,2）,

故1阴.二1=巫

的+（-1）2

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题

基础知识

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.

10.已知/(%)为奇函数，且当XV。时，/(x)=p，其中e为自然对数的底数，则曲线/(%)在

点处的切线方程为.

【答案】2ex-y-e=0

【解析】由题设，当x>0时，=—=故x>0时，f(x)=xel,

所以/⑺=(x+l)e'J'(l)=2e,而〃l)=e,

故切线方程为j-e=2e(x-l),即2ex-y-e=0.

故答案为：2e%-y-e=0

11.(2024・福建福州•模拟预测)已知函数〃x)是偶函数，当x>0时，/(x)=V+2x,则曲线y=/(x)

在x=-1处的切线方程为()

A.y=—5x—2B.y=-5x-8C.y=5x+2D.y=5x+8

【答案】A

【分析】利用偶函数的性质求出当尤<0时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行

求解即可.

【详解】当龙>0时，/(%)=/+2了，函数/(x)是偶函数，

当x<0时，_x>0,/(x)=/(-x)=-%3-2x,

当x<0时，/'(x)=_3x?—2,

.-./,(-1)=-3-2=-5,即曲线y=/(x)在x=—l处切线的斜率为-5.

而〃-1)=3,所以曲线y=/(x)在1=一1处的切线方程为：y一3=-5(%+1).

所求即为y=-5x—2.

12.(2024.湖北•一模)已知函数为偶函数，其图像在点(1J⑴)处的切线方程为*-2y+l=0,

记〃x)的导函数为数(x),则八-1)=()

A.--B.-C.一2D.2

22

【答案】A

【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到r(i),再利用奇函数的的性质求r(-i).

【详解】因为〃龙)为偶函数，所以y(x)=/(—x),两边求导，可得［〃力］=［〃_司］=

八元)=n/(x)=-f\-x).

又在(I"⑴)处的切线方程为：x-2y+l=0,

所以r(i)=；.

所以/'(-l)=一/'(1)=_；.

【巩固练习1】已知/(x)是奇函数，当x<0时，/(%)=—,则函数的图象在x=l处的切线

■X十乙

方程为()

A.2x—y+l=OB.x-2y-i-l=0

C,2x—y—l=OD.x+2y—l=0

【答案】c

【分析】

先求出当x>0时的解析式，然后利用导数求出x=l处的切线斜率，以及切点坐标，从而求出切线方

程.

【详解】当x>0时，-x<0,：.f[-x)=———,/(X)是奇函数,

—X+2

(尤-2)-x2

()一一(()

:.-f(x)=———,/X=X>0),/'X=-—2)2=(1-2广

-x+2x—Z

k=f'(])=2,一一匚=1,切点为(1,1),一切线方程为y—l=2(x—1).

1—2

二切线方程为2x—y—1=0.

【巩固练习2】(23-24高三•河南洛阳・期末)已知函数g(x)为奇函数，其图象在点(“,g(“))处的切线

方程为2x-y+l=0,记g(尤)的导函数为g'(x),则g'(-a)=()

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】A

【分析】由奇函数的导数为偶函数可知g'(x)为偶函数，结合导数的几何意义即可求解.

【详解】因为g(x)在点3g(。))处的切线方程为2x=y+l=。，.♦.gM)=2.

又g(x)=-g(-x)两边求导得:g'(x)=g'(-x),即g'(x)为偶函数,

，g'(-a)=g'(a)=2

【巩固练习3】(2024•山东济宁•三模)已知函数/(X)为偶函数,当x<0时，/(x)=ln(-x)+x2,则

曲线、=/(%)在点(1/(D)处的切线方程是()

A.3x—y—2=0B.3%+y—2=0C.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【答案】A

【分析】利用偶函数的性质求出x>0的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.

【详解】函数/'CO为偶函数，当x<0时，/(%)=ln(-%)+x2,

则当x>0时，/(x)=/(-%)=Inx+f,求导得/'(x)=」+2x,则广(D=3,而“1)=1,

X

所以曲线y=/(x)在点(1"(D)处的切线方程是、-1=3(%-1),即3%-、-2=0.

【巩固练习4】(2024•海南海口•二模)已知函数的定义域为R,/(x+1)是偶函数，当时，

f(x)=ln(l-2x),则曲线y=〃x)在点(2,〃2))处的切线斜率为()

22

A.—B.—C.2D.—2

55

【答案】C

3

【分析】根据函数对称性求出了>]时的/(X)解析式，利用导数的几何意义求解.

【详解】因为/(X+1)是偶函数，所以函数“X)的图象关于X=1对称，则/'(2-x)于'(尤)，

,31

当x>一时L，2—x<一,

22

.\/(2-x)=ln[l-2(2-x)]=ln(2x-3),

2

.-./(%)=ln(2x-3),则/(x)=^--,

2x-3

.-.f'(2)=2,即曲线y=/(x)在点(2J(2))处切线的斜率为2.

【巩固练习5](23-24高三.广东深圳•期中)已知函数〃x)=e'ln尤与偶函数g(x)在交点处

的切线相同，则函数g(x)在x=-1处的切线方程为()

A.ex—y+e=OB.ex+y—e=0

C.ex-y-e=0D.ex+y+e=O

【答案】D

【分析】求得尸(x)=e1nx+：,得到/'⑴=6且/(1)=0,根据题意，得到/(x)与g(x)相切于(1,0),

且g")=r(l)=e,再由g(x)为偶函数,求得g(-l)=0,且g'(—l)=—e,进而求得切线方程.

【详解】由函数〃x)=exinx,可得尸(x)=e1nx+《，所以尸6=e且/⑴=0,

因为函数“X)与偶函数g(x)在交点(Lg(l))处的切线相同，

所以函数/(x)与g(x)相切于(1,0),且g")=/")=e,

又因为g(x)为偶函数，所以g(-l)=g⑴=。，且=-g[l)=-e,

所以函数g(x)在x=-l处的切线方程为y-0=-eO+l),即ex+y+e=O.

【题型6】切线斜率取值范围问题

基础知识

利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.

一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率

2

13.点P在曲线y=x3-x+g上移动，设点P处切线的倾斜角为a,则角a的范围是（）

A.[0,^]B.0当C.严㈤D.[0,*严㈤

224424

【答案】D

2,

【解析】由y=/（%）=V一元+],则/⑴=3/—12—1,则tana2-1,

又ae[0㈤，所以.三[0弓）0咛㈤

14.（2021•河南洛阳•二模）已知点p在曲线尸％3r上移动，设点尸处切线的倾斜角为a,则角a

的取值范围是.

【答案】0号口子臼

【分析】求出导函数的值域后可得切线的斜率的范围，根据斜率与倾斜角的关系可求a的取值范围.

【详解】*.*j=X3-%,yf=3x2-1>-1,/.tana>—1,0<a</r,

・••过P点的切线的倾斜角的取值范围是。£77'"），

故答案为：。可口~T,7r},

【巩固练习1】过函数/（x）=；e2'-x图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（）

【答案】B

【解析】由题意，函数〃x）=；e2'-x,可得r（x）=e2'—l,

因为e”>0,所以即切线的斜率左>-1,

设切线的倾斜角为。，则tang>—l

JI37r

又因为所以<一或一<0<7i,

24

即切线的倾斜角的范围为o,|j[

【巩固练习2】（22-23高三・江苏镇江•阶段练习）点尸在曲线、=无3一心无+工上移动，设点尸处切

34

线的倾斜角为a,则角a的范围是（）

【分析】求导，求出导函数的值域,再根据导数的几何意义即可得解.

［详解］y=3x2-^-e))

D,所以点P处切线的斜率的取值范围为-,十°0,即

>L>

tanas----,+oo,又二£［0,兀)，所以角a的范围是0,—.

.3)

【题型7】公切线问题

基础知识

公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有

关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解.

公切线问题主要有以下3类题型

(1)求2个函数的公切线

解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解

(2)2个函数存在公切线，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题

(3)已知两个函数之间公切线条数，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题

15.(浙江绍兴二模T15)与曲线y=e”和)=都相切的直线方程为___________

4

【答案】y=x+l

【详解】设直线与曲线y=屋相切于点(不巧，

因为y'二e",所以该直线的方程为y-e国二二(%一%),即y=eX1x+eX|(1-xJ,

设直线与曲线y=---相切于点X,----

4124J

Y丫2

因为y=-］，所以该直线的方程为y+5=-^-(x-x2)>即y=_：|_x+宁，

eX1=-三

2

所以、2,解得石=0,工2二一2,所以该直线的方程为y=x+l

e』(—J若'

16.(2024.广东茂名.一模)曲线•与曲线》=炉+2©有公切线，则实数。的取值范围是()

1

A.1-00,一5B.--,+ooJC.D.一,+8

2

【答案】B

【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数/(x)=e，j—2x,利用导数求得单调性和最值,

即可求得〃的取值范围.

【详解】两个函数求导分别为y=Ly=21+2〃，

x

设y=hiY,y=x1+2ax图象上的切点分别为(不』叫)，(0后+2j

%

则过这两点处的切线方程分别为y=l+1叫T,y=(2x2+2a)x-xlf

x\

则工=2%+2”，1叫-1=_尤；，所以24=小7-29，

x\

设/(x)=e4_2x,1(力=2卜产7_1),/")=0,

令g(x)=/'(x)=2(xe*7-1),所以g，(x)=2(2%2+l)e'2-1>0,

所以g(x)在R上单调递增，且了”)=0,

则在(―,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以2aN/(l)=-l,a>-1.

17.(2024•福建泉州•模拟预测)若曲线y=x2与y=*«H0)恰有两条公切线，则/的取值范围为()

A../JB.C.(-8,0)D|/,+<»JD.(-oo,0)u|—I

【答案】A

【分析】设曲线y=fe*切点为加,re"),y=公的切点为,求出切线方程，根据有两条公

切线转化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项.

【详解】设曲线y=fe*切点为"(加Je"),y=d的切点为，

则曲线y=fe”在点M("/e'")处的切线方程为y-tem=tem,即y=tem(x-/7i)+tem,

同理，y=f在点处的切线方程为y=2nx-n2,

根据y=渣与y=/有两条公切线,

tem—In(te"'।4m—4

则，，所以沿"一根沿"=—-,化简可得『=------具有两个交点,

=-〃212Je'"

A.P/J—4Ay—4

转化为♦=---有两个解，构造函数/(x)=--—则尸(x)=》,

当x<2,f'(x)>0,单调递增；当x>2,f'(x)<0,单调递减,

故/(%)在％=2时有极大值即为最大值，故/(2)=/，

当元f—00时，当元—+00时，0,

故。的取值范围为

【巩固练习1X23-24高三.江西吉安・期末)函数/a)=