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文档简介
热点专题3-2切线问题综合
近5年考情(2020-2024)
考题统计考点分析考点要求
2024年甲卷第6题,5分
2024年新高考I卷第13题,5分(1)求在某处的切线
(2)设切点求过某点的切
2023年甲卷第8题,5分考察导数的几何意义,切线的相
线以及公切线
关计算求值求参
2022年I卷第15题,5分(3)利用切线的条数求参
数范围
2021年甲卷第13题,5分
2021年I卷第7题,5分
模块一3热点题型解读(目录)
【题型1】求在曲线上一点的切线
【题型2】求过某点的切线
【题型3】已知切线斜率求参数
【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值
【题型5】奇偶函数的切线斜率问题
【题型6】切线斜率取值范围问题
【题型7】公切线问题
【题型8】由切线条数求参数范围
【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题
【题型10]与切线有关的参数范围或最值问题
【题型11]牛顿迭代法
模块二I核心题型•举一反三
【题型1】求在曲线上一点的切线
基础知识1
%=/(/)
函数》=/(%)在点A(x(),/(%))处的切线方程为y-/(x())=f\x0)(x-x0),抓住关键<
4=/'(%)
1.(2024年高考全国甲卷数学(文))曲线〃司=力+3》-1在(0,-1)处的切线与坐标轴围成的面积
为()
A.-B.正C.-D.卫
6222
【答案】A
【解析】/"(%)=6x5+3,所以/'(0)=3,故切线方程为y=3(%-0)-1=3%-1,
1111
故切线的横截距为一,纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为一xlx—二—
2.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数=龙,则曲线>=在(0#处的切线
与两坐标轴围成的三角形的面积为()
112
A.-B.-QD.
63I3
【答案】A
(e*+2cosx)(l+x2)-(e"+2sinx^-2x
【解析】/'(%)
2
1+
(e°+2cos0)(1+0)-(e°+2sin0)x0
则((。)=一=3,
(1+。『
即该切线方程为y—l=3x,即y=3x+1,
令x=0,则y=l,令y=。,贝=
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积s=《xix-!=!
236
【巩固练习1】已知曲线/(x)=xlnx在点处的切线为/,则/在V轴上的截距为()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】B
【解析】由/'(x)=xlnx得/''(x)=lnx+l,所以直线/的斜率左=/''⑴=1,
又/(1)=0,所以直线/的方程为y=x-i,令x=o,得y=-l,即/在y轴上的截距为-1.
【巩固练习2】(23-24高三•福建宁德・期末)已知函数〃x)在点x=-1处的切线方程为x+y-1=0,
则-(T)+/(T)=()
A.-1B.0C.1D.2
【答案】C
【分析】由切线的几何意义得r(-i),将x=—1代入切线方程得了(—1),从而得解.
【详解】由切线方程*+y-l=。,得广(T)=%=-1,
将"xn—l代入切线方程x+y-l=O,得y=2,所以/(—1)=2,
«r(-i)+/(-i)=-i+2=i.
【题型2】求过某点的切线
基础知识
【方法技巧】
设切点为尸(毛,%),则斜率上二/'(%),过切点的切线方程为:y一%=
又因为切线方程过点,所以=/'(%)(。一%)然后解出/的值.
3.(2024.全国.模拟预测)过坐标原点作曲线〃x)=e"(x2-2x+2)的切线,则切线共有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
【答案】A
【分析】利用导数求出斜率,结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.
【详解】设切点为(天,叫片-2%+2)),
由〃尤)=e“(九2_2*+2)可得广(力二熹》,
则过坐标原点的切线的斜率上="。—22+2)=X;]。,
%
故片一片+2(飞—1)=0,即(%—+2)=。,
解得%=1,故过坐标原点的切线共有1条.
4.(2022年新高考全国I卷T15)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程
为,.
【答案】y=-xy=--x
ee
【分析】分x>0和x<0两种情况,当尤>0时设切点为,求出函数的导函数,即可求出切
线的斜率,从而表示出切线方程,再根据切线过坐标原点求出劣,即可求出切线方程,当尤<0时同
理可得;
【详解】[方法一]:化为分段函数,分段求
分工>0和XV。两种情况,当%>0时设切点为(/o,lnXo),求出函数做导函数,即可求出切线的斜率,
从而表示出切线方程,再根据切线过坐标原点求出与,即可求出切线方程,当xvO时同理可得;
解:因为》二出同,
当x>0时y=lnx,设切点为(Xo,ln%o),由V=g,所以,'1=殉=J,所以切线方程为
y-\nx0=(x-x0)9
又切线过坐标原点,所以一In%=—(一九°),解得/=e,所以切线方程为y-l=-(x-e),即y=-x;
xoee
当%<0时y=ln(-x),设切点为(冷山(一百)),由、'=一,所以所以切线方程为
)一缶(一玉)」(1一再),
%
又切线过坐标原点,所以一In(-%)二’(一玉),解得玉二—e,所以切线方程为y-l=」~(x+e),即
X]-e
y=x;故答案为:y=—x;y=x
eee
[方法二]:根据函数的对称性,数形结合
当x>0时y=ln*,设切点为(Minx。),由:/=’,所以,所以切线方程为
x玉)
j-lnx0=—(x-x0),
又切线过坐标原点,所以Tn%=」(一兀0),解得%=e,所以切线方程为y-l=-(x-e),y=-x;
xoee
因为y=lnW是偶函数,图象为:
【巩固练习1】已知直线、="-2是曲线y=lnx的切线,则切点坐标为()
A.B.(e,l)C.(J“D.(0,1)
【答案】A
【分析】设切点坐标为(f,lnr),利用导数的几何意义求出切线方程,对比系数即可求出切点坐标.
【详解】设切点坐标为因为(lnx)'=L,所以在点(/,In。处切线的斜率为!,
xt
所以曲线y=lnx在点«』型)处的切线方程为j-lnf=-(x-Z),
[1
1-=e1
即y-ln/=-x-l,所以*,解得/二一,
'-2=lnz-le
所以切点为
【巩固练习2](2024・山西吕梁•二模)若曲线〃x)=lnx在点〃亿,几)处的切线过原点0(0,0),则
=•
【答案】e
【分析】求导,根据点斜式求解直线方程,即可代入0(0,0)求解.
【详解】因为/(x)=lnx,所以/'(X)=L
所以〃力在点兀)处的切线方程为y-lnx=—(x-x).
0xo0
又切线过原点0(0,0),则-1叫=-1,所以Xo=e.
【巩固练习3】(2019•江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=hu上,且该曲线在点A处
的切线经过点(-e,-l)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是—.
【答案】(e,1).
【分析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点4(5,%),则为=lnx。.又y'=1,
,1
当了=%时,y=—,
玉)
1/、
点A在曲线y=lnx上的切线为,一%二—(x-x)
%0
,x、
即yTn/=-----1,
不
代入点(一3-1),得一ITn/=1,
即
考查函数"(x)=xlnx,当xe(O,l)时,”(x)<0,当xe(l,+oo)时,//(%)>0,
且H'(x)=ln尤+1,当x>l时,”'(x)>0,H(x)单调递增,
注意到//(e)=e,故尤(jin%=e存在唯一的实数根/=e,此时%=1,
故点A的坐标为A(e,l).
【巩固练习4】(23-24高三・广东•期中)过点尸(1,1)作曲线y=F的两条切线(,[设(,%的夹角为0,
贝Ijtan6=()
57911
A.-B.—C.—D.—
13131313
【答案】C
【分析】求出两条切线的斜率,由两直线的夹角公式求得夹角的正切值.
【详解】两条切线L的倾斜角分别为4,02,
根据题意,y=3f,
若点尸是切点时,切线斜率为勺=3,
若点。(七,%)是切点(点尸,Q不重合),则y'=3片,
尸_11
由3%;=—~,解得%=—(尤o=1舍去),
%-12
所以直线尸Q斜率为左2=3x[—=:,
3.3
tanO-tan09
贝i]tan6=「an(4-g)|=x2____4
1+tanOtan03
x2l+3x-13
4
【题型3】已知切线斜率求参数
基础知识
已知切线或切点求参数问题,核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:①切点处
的导数是切线的斜率;②切点在曲线上;③切点在切线上.
5.(2024.湖北武汉.模拟预测)已知曲线〃尤)=lnx+,在点处的切线的倾斜角为与,则。的
值为.
【答案】73+1
JT
[分析]对原函数进行求导,X=1代入得出切线斜率.曲线〃尤)在X=1处的切线倾斜角为1可得出斜
率.构造关于。的方程,解方程即可.
丫212比
【详解】曲线〃x)=lnx+上的导数/'(%)=;+亍,
曲线/(X)在%=1处的切线的倾斜角为y,
2L0
/r(l)=l+—=V3,.*.—=V3-1,/.^=73+1
6.(2024・贵州六盘水•三模)已知曲线y=f—311K的一条切线方程为y=f+帆,则实数加二()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】D
3
【分析】根据切线的斜率的几何意义可知y1=题=2%—=-i9求出切点,代入切线即可求出用.
【详解】设切点为(%,%)
因为切线丁=一%+加,
3
所以飞=2%----=-1,
%
3
解得%=1,%=-5(舍去)
代入曲线y二/一31nx得%=1,
所以切点为(1,1)
代入切线方程可得1=-1+根,解得切=2.
7.(2024.全国.高考真题)若曲线y=e*+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=m(x+l)+。的切线,则
a_.
【答案】In2
【分析】先求出曲线y=e”+x在(0,1)的切线方程,再设曲线y=ln(%+l)+a的切点为
(x0,ln(x0+l)+6z),求出利用公切线斜率相等求出与,表示出切线方程,结合两切线方程相同
即可求解.
【详解】由y=e"+元得y'=e*+i,yix=0=e°+1=2,
故曲线y=e"+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+i;
由y=ln(x+l)+a得y=」一,
x+1
设切线与曲线y=ln(x+l)+a相切的切点为(Xo/n(xo+l)+a),
由两曲线有公切线得V,=」彳=2,解得毛二一工,则切点为(一+,
%o+l2122)
切线方程为y=2卜+J+4+ln;=2x+l+q—ln2,
根据两切线重合,所以a-In2=0,解得a=In2.
【巩固练习1】(23-24高三•山西晋城•期末)过原点。作曲线/(%)=砂-©的切线,其斜率为2,则
实数〃二()
A.eB.2C.e+2D.e—2
【答案】D
【分析】设出切点,求导,得切点处的切线方程,即可代入原点(0,0)求解.
【详解】设切点(毛,%),则/'(x)=e"—Q,
故切点处的切线方程为y=(e与一a)(x—%o)+e与一稣,故e小一a=2,
将(0,0)代入得0=—2x0+e*-町),故0=-2/+〃+2-du。,解得a=—2或%=1,
若a=—2,则。知+2=2,此时无解,故a=—2不符合题意,
若与=1,则e-a=2,故1=9一2,此时满足题意
【巩固练习2】(2024•四川•模拟预测)已知加>0,">0,直线y='x+/w+l与曲线y=llU-"+3相
e
切,则加+〃=.
【答案】2
【解析】设切点坐标为(/。,%),对函数y=hu-〃+3求导得y二工,
X
711
则切线斜率%二—=一,得%=e,
/e
所以为=In6—〃+3=4—〃,且为=--e+m+l=2+m,
e
则4—zz=2+/n,即根+〃=2.
【巩固练习3](23-24高三.安徽合肥.期末)若函数/(力=工与g(x)=ei-b在兀=1处有相同的
切线,贝1)。+/?=()
A.-1B.0C.1D.2
【答案】D
eA-aII
【分析】对〃x),g(x)求导,根据题意得到《“一,再解方程组即可得到答案.
e-b=0
【详解】因为〃x)=处,g(x)=e~a-b,则/(耳=匕学,g'(x)=e",
X%
可得/(1)=0,g(l)=e'—氏/⑴=1,g")=e'
因为/(元),g(x)在尤=1处有相同的切线,即切点为(1,0),切线斜率左=1,
e1-fl=1(a=l
所以<,解得所以a+/?=2.
e〜-b=0[b=l
【巩固练习4](2024•河北沧州・模拟预测)已知直线/:>=丘是曲线〃耳=b和g(尤)=lnx+a的公
切线,则实数a=.
【答案】3
【分析】先设在y=/(x)上的切点,然后求出切点和切线,然后再设在y=g(x)上的切点,即可求
出a的值.
【详解】设直线/与曲线y=/(x)相切于点(%,%),
由尸(x)=e㈤,得左=r(x0)=e",因为/与曲线〃力=*|相切,
所以1%"1+:°'消去为,得e'°+X=e而M,解得%=1.
设/与曲线y=g(龙)相切于点(芯,兀),由g'(x)=L得%=e2=,,即e2%=l,
Xx\
因为(3,兀)是/与曲线g(尤)=lnx+a的公共点,
(2
y.=ex,1
所以<消去力,得e%9i=ln玉+〃,即l=ln=+Q,解得々=3.
%=1nxi+〃,e
【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值
基础知识
利用导数的几何意义求最值问题,利用数形结合的思想方法解决,常用方法平移切线法.
8.(23-24高三•安徽•阶段练习)已知尸是函数/(同ne,+x2图象上的任意一点,则点尸到直线
无一»—9=。的距离的最/J、值是()
A.3亚B.5C.6D.5夜
【答案】D
【分析】结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可.
【详解】设直线/与直线x-y-9=。平行,且与函数/(幼=/+/的图象相切,
设切点为Q(r,e'+产),因为((x)=e'+2尤是单调递增函数,
直线不一》-9=。的斜率为1,所以/"(r)=e'+2/=l,解得r=o,
即切点为0(0』),
所以点尸到直线x—y—9=0的距离的最小值是点Q到直线%-丁一9=0的距离,
即为J—1=50.
J2
9.(23-24高三・广东惠州•阶段练习)已知点P在函数/(x)=e2,+x+9的图象上,则尸到直线
/:3x-y-10=0的距离的最小值为.
【答案】2而
【分析】求导,设尸的坐标,根据平行关系得到切线斜率,进而得到P(O,IO),利用点到直线距离公
式求出答案.
【详解】由/(x)=e2,+x+9,可得尸(x)=2e2*+l,
又点尸在曲线y=/(x)上,设?(叼几),
则过点尸和/:3%-y-10=。平行的切线的斜率为3,
令广(X。)=2e2^+1=3,X。=0,则〃o)=10,
P(o,io),点P(0,10)与直线I的最小距离为d=
【巩固练习1】(23-24高三•河南南阳•阶段练习)点尸是曲线/(x)=«上一个动点,则点P到直线
x-y+2=0的距离的最小值是()
A.迪B.1C.迪D.3
8444
【答案】A
【分析】根据题意分析可知(D=1,则点尸到直线x-y+2=o的距离的最小值即为点。到直
线x-y+2=0的距离,运算求解即可.
【详解】因为/1)=«的定义域为[0,+8),且广(工)=!,
令/''(X)==1,解得X」,
2\x4
则m,可得点
(11、-1-J-+2r-
且点到直线'一'+2=°的距离/427V2,
所以点尸到直线x-y+2=0的距离的最小值是述.
8
【巩固练习2】(23-24高三・河北石家庄•阶段练习)曲线y=In(3x-2)上的点到直线3x-y+7=O的
最短距离是()
A.45B.710C.375D.1
【答案】B
【分析】令/'(x)=3求得X=l,由导数的几何意义知y=in(3x-2)在点(1,0)的切线斜率为3,然后
利用点到线距离公式求出最小距离.
【详解】直线3x-y+7=。的斜率为3,
所以令/(X)=3得,X=l,
JX-Z
将%=1代入y=ln(3x—2)可得y=O,则y=ln(3x-2)在点(1,0)的切线斜率为3,
所以切点(1,0)到直线3x-y+7=。的距离为:d—『+(二;喘=胸
【巩固练习3](23-24高三.河南•阶段练习)最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中,选
出最合理的,达到事先规定的最优目标的方案,这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的
最优化问题,我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距
离的最值问题,请你利用所学知识来解答:若点尸是曲线y=31nx-5f上任意一点,则尸到直线
4x-2y+5=0的距离的最小值为.
【答案】^5
17
【分析】将函数y二31n元-'元求导,然后令导数为0,即可求得点尸的坐标,再由点到直线的距离
公式代入计算,即可得到结果.
13
【详解】对函数y=31nx——12,元〉()求导可得y二一一元,
2x
其中直线缶-2y+5=0的斜率为2,
3
则令---1=2,即Y+2x—3=0,解得%=1或x=—3(舍),
X
当x=i时,y=—g,
则曲线上一点P[1,-g]到直线4x-2y+5=。的距离最小,
4xl-2x|-1|+5
由点到直线的距离公式可得最小值为I2)_r-
【巩固练习4】(2024•山西朔州•模拟预测)已知A,8分别为曲线y=2e'+x和直线y=3x-3上的点,
则的最小值为.
【答案】巫/!如
22
【分析】利用数形结合思想可知切点到直线的距离是最小值,从而利用导数来求出切点,再用点到
直线的距离公式求出最小值即可.
【详解】
由题意的最小值为曲线上点A到直线y=3%-3距离的最小值,
而点A就是曲线与直线y=3x+帆相切的切点,因为曲线上其它点到直线丁=3%-3的距离都大于
向I,
对y=2e"+x求导有y'=2e'+l,由用=3可得x=0,即A(0,2),
故1阴.二1=巫
的+(-1)2
【题型5】奇偶函数的切线斜率问题
基础知识
奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.
10.已知/(%)为奇函数,且当XV。时,/(x)=p,其中e为自然对数的底数,则曲线/(%)在
点处的切线方程为.
【答案】2ex-y-e=0
【解析】由题设,当x>0时,=—=故x>0时,f(x)=xel,
所以/⑺=(x+l)e'J'(l)=2e,而〃l)=e,
故切线方程为j-e=2e(x-l),即2ex-y-e=0.
故答案为:2e%-y-e=0
11.(2024・福建福州•模拟预测)已知函数〃x)是偶函数,当x>0时,/(x)=V+2x,则曲线y=/(x)
在x=-1处的切线方程为()
A.y=—5x—2B.y=-5x-8C.y=5x+2D.y=5x+8
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质求出当尤<0时函数的解析式,然后求导,利用导数的几何意义进行
求解即可.
【详解】当龙>0时,/(%)=/+2了,函数/(x)是偶函数,
当x<0时,_x>0,/(x)=/(-x)=-%3-2x,
当x<0时,/'(x)=_3x?—2,
.-./,(-1)=-3-2=-5,即曲线y=/(x)在x=—l处切线的斜率为-5.
而〃-1)=3,所以曲线y=/(x)在1=一1处的切线方程为:y一3=-5(%+1).
所求即为y=-5x—2.
12.(2024.湖北•一模)已知函数为偶函数,其图像在点(1J⑴)处的切线方程为*-2y+l=0,
记〃x)的导函数为数(x),则八-1)=()
A.--B.-C.一2D.2
22
【答案】A
【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数,再根据条件得到r(i),再利用奇函数的的性质求r(-i).
【详解】因为〃龙)为偶函数,所以y(x)=/(—x),两边求导,可得[〃力]=[〃_司]=
八元)=n/(x)=-f\-x).
又在(I"⑴)处的切线方程为:x-2y+l=0,
所以r(i)=;.
所以/'(-l)=一/'(1)=_;.
【巩固练习1】已知/(x)是奇函数,当x<0时,/(%)=—,则函数的图象在x=l处的切线
■X十乙
方程为()
A.2x—y+l=OB.x-2y-i-l=0
C,2x—y—l=OD.x+2y—l=0
【答案】c
【分析】
先求出当x>0时的解析式,然后利用导数求出x=l处的切线斜率,以及切点坐标,从而求出切线方
程.
【详解】当x>0时,-x<0,:.f[-x)=———,/(X)是奇函数,
—X+2
(尤-2)-x2
()一一(()
:.-f(x)=———,/X=X>0),/'X=-—2)2=(1-2广
-x+2x—Z
k=f'(])=2,一一匚=1,切点为(1,1),一切线方程为y—l=2(x—1).
1—2
二切线方程为2x—y—1=0.
【巩固练习2】(23-24高三•河南洛阳・期末)已知函数g(x)为奇函数,其图象在点(“,g(“))处的切线
方程为2x-y+l=0,记g(尤)的导函数为g'(x),则g'(-a)=()
11
A.2B.-2C.-D.——
22
【答案】A
【分析】由奇函数的导数为偶函数可知g'(x)为偶函数,结合导数的几何意义即可求解.
【详解】因为g(x)在点3g(。))处的切线方程为2x=y+l=。,.♦.gM)=2.
又g(x)=-g(-x)两边求导得:g'(x)=g'(-x),即g'(x)为偶函数,
,g'(-a)=g'(a)=2
【巩固练习3】(2024•山东济宁•三模)已知函数/(X)为偶函数,当x<0时,/(x)=ln(-x)+x2,则
曲线、=/(%)在点(1/(D)处的切线方程是()
A.3x—y—2=0B.3%+y—2=0C.3x+y+2=0D.3x—y+2=0
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质求出x>0的解析式,再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数/'CO为偶函数,当x<0时,/(%)=ln(-%)+x2,
则当x>0时,/(x)=/(-%)=Inx+f,求导得/'(x)=」+2x,则广(D=3,而“1)=1,
X
所以曲线y=/(x)在点(1"(D)处的切线方程是、-1=3(%-1),即3%-、-2=0.
【巩固练习4】(2024•海南海口•二模)已知函数的定义域为R,/(x+1)是偶函数,当时,
f(x)=ln(l-2x),则曲线y=〃x)在点(2,〃2))处的切线斜率为()
22
A.—B.—C.2D.—2
55
【答案】C
3
【分析】根据函数对称性求出了>]时的/(X)解析式,利用导数的几何意义求解.
【详解】因为/(X+1)是偶函数,所以函数“X)的图象关于X=1对称,则/'(2-x)于'(尤),
,31
当x>一时L,2—x<一,
22
.\/(2-x)=ln[l-2(2-x)]=ln(2x-3),
2
.-./(%)=ln(2x-3),则/(x)=^--,
2x-3
.-.f'(2)=2,即曲线y=/(x)在点(2J(2))处切线的斜率为2.
【巩固练习5](23-24高三.广东深圳•期中)已知函数〃x)=e'ln尤与偶函数g(x)在交点处
的切线相同,则函数g(x)在x=-1处的切线方程为()
A.ex—y+e=OB.ex+y—e=0
C.ex-y-e=0D.ex+y+e=O
【答案】D
【分析】求得尸(x)=e1nx+:,得到/'⑴=6且/(1)=0,根据题意,得到/(x)与g(x)相切于(1,0),
且g")=r(l)=e,再由g(x)为偶函数,求得g(-l)=0,且g'(—l)=—e,进而求得切线方程.
【详解】由函数〃x)=exinx,可得尸(x)=e1nx+《,所以尸6=e且/⑴=0,
因为函数“X)与偶函数g(x)在交点(Lg(l))处的切线相同,
所以函数/(x)与g(x)相切于(1,0),且g")=/")=e,
又因为g(x)为偶函数,所以g(-l)=g⑴=。,且=-g[l)=-e,
所以函数g(x)在x=-l处的切线方程为y-0=-eO+l),即ex+y+e=O.
【题型6】切线斜率取值范围问题
基础知识
利用导数的几何意义,求出导函数的值域,从而求出切线斜率的取值范围问题.
一般地,直线的斜率与倾斜角的关系是:直线都有倾斜角,但不一定都有斜率
2
13.点P在曲线y=x3-x+g上移动,设点P处切线的倾斜角为a,则角a的范围是()
A.[0,^]B.0当C.严㈤D.[0,*严㈤
224424
【答案】D
2,
【解析】由y=/(%)=V一元+],则/⑴=3/—12—1,则tana2-1,
又ae[0㈤,所以.三[0弓)0咛㈤
14.(2021•河南洛阳•二模)已知点p在曲线尸%3r上移动,设点尸处切线的倾斜角为a,则角a
的取值范围是.
【答案】0号口子臼
【分析】求出导函数的值域后可得切线的斜率的范围,根据斜率与倾斜角的关系可求a的取值范围.
【详解】*.*j=X3-%,yf=3x2-1>-1,/.tana>—1,0<a</r,
・••过P点的切线的倾斜角的取值范围是。£77'"),
故答案为:。可口~T,7r},
【巩固练习1】过函数/(x)=;e2'-x图像上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角范围为()
【答案】B
【解析】由题意,函数〃x)=;e2'-x,可得r(x)=e2'—l,
因为e”>0,所以即切线的斜率左>-1,
设切线的倾斜角为。,则tang>—l
JI37r
又因为所以<一或一<0<7i,
24
即切线的倾斜角的范围为o,|j[
【巩固练习2】(22-23高三・江苏镇江•阶段练习)点尸在曲线、=无3一心无+工上移动,设点尸处切
34
线的倾斜角为a,则角a的范围是()
【分析】求导,求出导函数的值域,再根据导数的几何意义即可得解.
[详解]y=3x2-^-e))
D,所以点P处切线的斜率的取值范围为-,十°0,即
>L>
tanas----,+oo,又二£[0,兀),所以角a的范围是0,—.
.3)
【题型7】公切线问题
基础知识
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等,并且切点不但在切线上而且在曲线上,罗列出有
关切点横坐标的方程组,通过解方程组进行求解.
公切线问题主要有以下3类题型
(1)求2个函数的公切线
解题方法:设2个切点坐标,利用切线斜率相同得到3个相等的式子,联立求解
(2)2个函数存在公切线,求参数范围
解题方法:设2个切点坐标,列出斜率方程,再转化为方程有解问题
(3)已知两个函数之间公切线条数,求参数范围
解题方法:设2个切点坐标,列出斜率方程,再转化为方程解的个数问题
15.(浙江绍兴二模T15)与曲线y=e”和)=都相切的直线方程为___________
4
【答案】y=x+l
【详解】设直线与曲线y=屋相切于点(不巧,
因为y'二e",所以该直线的方程为y-e国二二(%一%),即y=eX1x+eX|(1-xJ,
设直线与曲线y=---相切于点X,----
4124J
Y丫2
因为y=-],所以该直线的方程为y+5=-^-(x-x2)>即y=_:|_x+宁,
eX1=-三
2
所以、2,解得石=0,工2二一2,所以该直线的方程为y=x+l
e』(—J若'
16.(2024.广东茂名.一模)曲线•与曲线》=炉+2©有公切线,则实数。的取值范围是()
1
A.1-00,一5B.--,+ooJC.D.一,+8
2
【答案】B
【分析】分别求出两曲线的切线方程,再构造函数/(x)=e,j—2x,利用导数求得单调性和最值,
即可求得〃的取值范围.
【详解】两个函数求导分别为y=Ly=21+2〃,
x
设y=hiY,y=x1+2ax图象上的切点分别为(不』叫),(0后+2j
%
则过这两点处的切线方程分别为y=l+1叫T,y=(2x2+2a)x-xlf
x\
则工=2%+2”,1叫-1=_尤;,所以24=小7-29,
x\
设/(x)=e4_2x,1(力=2卜产7_1),/")=0,
令g(x)=/'(x)=2(xe*7-1),所以g,(x)=2(2%2+l)e'2-1>0,
所以g(x)在R上单调递增,且了”)=0,
则在(―,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,
所以2aN/(l)=-l,a>-1.
17.(2024•福建泉州•模拟预测)若曲线y=x2与y=*«H0)恰有两条公切线,则/的取值范围为()
A../JB.C.(-8,0)D|/,+<»JD.(-oo,0)u|—I
【答案】A
【分析】设曲线y=fe*切点为加,re"),y=公的切点为,求出切线方程,根据有两条公
切线转化为方程具有两个解,构造函数利用导数求解取值范围,判断选项.
【详解】设曲线y=fe*切点为"(加Je"),y=d的切点为,
则曲线y=fe”在点M("/e'")处的切线方程为y-tem=tem,即y=tem(x-/7i)+tem,
同理,y=f在点处的切线方程为y=2nx-n2,
根据y=渣与y=/有两条公切线,
tem—In(te"'।4m—4
则,,所以沿"一根沿"=—-,化简可得『=------具有两个交点,
=-〃212Je'"
A.P/J—4Ay—4
转化为♦=---有两个解,构造函数/(x)=--—则尸(x)=》,
当x<2,f'(x)>0,单调递增;当x>2,f'(x)<0,单调递减,
故/(%)在%=2时有极大值即为最大值,故/(2)=/,
当元f—00时,当元—+00时,0,
故。的取值范围为
【巩固练习1X23-24高三.江西吉安・期末)函数/a)=
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