切线问题综合【11类题型】(解析版)-2025年高考数学题型重难点专项突破_第1页
切线问题综合【11类题型】(解析版)-2025年高考数学题型重难点专项突破_第2页
切线问题综合【11类题型】(解析版)-2025年高考数学题型重难点专项突破_第3页
切线问题综合【11类题型】(解析版)-2025年高考数学题型重难点专项突破_第4页
切线问题综合【11类题型】(解析版)-2025年高考数学题型重难点专项突破_第5页
已阅读5页,还剩33页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

热点专题3-2切线问题综合

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年甲卷第6题,5分

2024年新高考I卷第13题,5分(1)求在某处的切线

(2)设切点求过某点的切

2023年甲卷第8题,5分考察导数的几何意义,切线的相

线以及公切线

关计算求值求参

2022年I卷第15题,5分(3)利用切线的条数求参

数范围

2021年甲卷第13题,5分

2021年I卷第7题,5分

模块一3热点题型解读(目录)

【题型1】求在曲线上一点的切线

【题型2】求过某点的切线

【题型3】已知切线斜率求参数

【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题

【题型6】切线斜率取值范围问题

【题型7】公切线问题

【题型8】由切线条数求参数范围

【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题

【题型10]与切线有关的参数范围或最值问题

【题型11]牛顿迭代法

模块二I核心题型•举一反三

【题型1】求在曲线上一点的切线

基础知识1

%=/(/)

函数》=/(%)在点A(x(),/(%))处的切线方程为y-/(x())=f\x0)(x-x0),抓住关键<

4=/'(%)

1.(2024年高考全国甲卷数学(文))曲线〃司=力+3》-1在(0,-1)处的切线与坐标轴围成的面积

为()

A.-B.正C.-D.卫

6222

【答案】A

【解析】/"(%)=6x5+3,所以/'(0)=3,故切线方程为y=3(%-0)-1=3%-1,

1111

故切线的横截距为一,纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为一xlx—二—

2.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数=龙,则曲线>=在(0#处的切线

与两坐标轴围成的三角形的面积为()

112

A.-B.-QD.

63I3

【答案】A

(e*+2cosx)(l+x2)-(e"+2sinx^-2x

【解析】/'(%)

2

1+

(e°+2cos0)(1+0)-(e°+2sin0)x0

则((。)=一=3,

(1+。『

即该切线方程为y—l=3x,即y=3x+1,

令x=0,则y=l,令y=。,贝=

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积s=《xix-!=!

236

【巩固练习1】已知曲线/(x)=xlnx在点处的切线为/,则/在V轴上的截距为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】由/'(x)=xlnx得/''(x)=lnx+l,所以直线/的斜率左=/''⑴=1,

又/(1)=0,所以直线/的方程为y=x-i,令x=o,得y=-l,即/在y轴上的截距为-1.

【巩固练习2】(23-24高三•福建宁德・期末)已知函数〃x)在点x=-1处的切线方程为x+y-1=0,

则-(T)+/(T)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由切线的几何意义得r(-i),将x=—1代入切线方程得了(—1),从而得解.

【详解】由切线方程*+y-l=。,得广(T)=%=-1,

将"xn—l代入切线方程x+y-l=O,得y=2,所以/(—1)=2,

«r(-i)+/(-i)=-i+2=i.

【题型2】求过某点的切线

基础知识

【方法技巧】

设切点为尸(毛,%),则斜率上二/'(%),过切点的切线方程为:y一%=

又因为切线方程过点,所以=/'(%)(。一%)然后解出/的值.

3.(2024.全国.模拟预测)过坐标原点作曲线〃x)=e"(x2-2x+2)的切线,则切线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】A

【分析】利用导数求出斜率,结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.

【详解】设切点为(天,叫片-2%+2)),

由〃尤)=e“(九2_2*+2)可得广(力二熹》,

则过坐标原点的切线的斜率上="。—22+2)=X;]。,

%

故片一片+2(飞—1)=0,即(%—+2)=。,

解得%=1,故过坐标原点的切线共有1条.

4.(2022年新高考全国I卷T15)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程

为,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>0和x<0两种情况,当尤>0时设切点为,求出函数的导函数,即可求出切

线的斜率,从而表示出切线方程,再根据切线过坐标原点求出劣,即可求出切线方程,当尤<0时同

理可得;

【详解】[方法一]:化为分段函数,分段求

分工>0和XV。两种情况,当%>0时设切点为(/o,lnXo),求出函数做导函数,即可求出切线的斜率,

从而表示出切线方程,再根据切线过坐标原点求出与,即可求出切线方程,当xvO时同理可得;

解:因为》二出同,

当x>0时y=lnx,设切点为(Xo,ln%o),由V=g,所以,'1=殉=J,所以切线方程为

y-\nx0=­(x-x0)9

又切线过坐标原点,所以一In%=—(一九°),解得/=e,所以切线方程为y-l=-(x-e),即y=-x;

xoee

当%<0时y=ln(-x),设切点为(冷山(一百)),由、'=一,所以所以切线方程为

)一缶(一玉)」(1一再),

%

又切线过坐标原点,所以一In(-%)二’(一玉),解得玉二—e,所以切线方程为y-l=」~(x+e),即

X]-e

y=­x;故答案为:y=—x;y=­x

eee

[方法二]:根据函数的对称性,数形结合

当x>0时y=ln*,设切点为(Minx。),由:/=’,所以,所以切线方程为

x玉)

j-lnx0=—(x-x0),

又切线过坐标原点,所以Tn%=」(一兀0),解得%=e,所以切线方程为y-l=-(x-e),y=-x;

xoee

因为y=lnW是偶函数,图象为:

【巩固练习1】已知直线、="-2是曲线y=lnx的切线,则切点坐标为()

A.B.(e,l)C.(J“D.(0,1)

【答案】A

【分析】设切点坐标为(f,lnr),利用导数的几何意义求出切线方程,对比系数即可求出切点坐标.

【详解】设切点坐标为因为(lnx)'=L,所以在点(/,In。处切线的斜率为!,

xt

所以曲线y=lnx在点«』型)处的切线方程为j-lnf=-(x-Z),

[1

1-=e1

即y-ln/=-x-l,所以*,解得/二一,

'-2=lnz-le

所以切点为

【巩固练习2](2024・山西吕梁•二模)若曲线〃x)=lnx在点〃亿,几)处的切线过原点0(0,0),则

=•

【答案】e

【分析】求导,根据点斜式求解直线方程,即可代入0(0,0)求解.

【详解】因为/(x)=lnx,所以/'(X)=L

所以〃力在点兀)处的切线方程为y-lnx=—(x-x).

0xo0

又切线过原点0(0,0),则-1叫=-1,所以Xo=e.

【巩固练习3】(2019•江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=hu上,且该曲线在点A处

的切线经过点(-e,-l)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是—.

【答案】(e,1).

【分析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

【详解】设点4(5,%),则为=lnx。.又y'=1,

,1

当了=%时,y=—,

玉)

1/、

点A在曲线y=lnx上的切线为,一%二—(x-x)

%0

,x、

即yTn/=-----1,

代入点(一3-1),得一ITn/=1,

考查函数"(x)=xlnx,当xe(O,l)时,”(x)<0,当xe(l,+oo)时,//(%)>0,

且H'(x)=ln尤+1,当x>l时,”'(x)>0,H(x)单调递增,

注意到//(e)=e,故尤(jin%=e存在唯一的实数根/=e,此时%=1,

故点A的坐标为A(e,l).

【巩固练习4】(23-24高三・广东•期中)过点尸(1,1)作曲线y=F的两条切线(,[设(,%的夹角为0,

贝Ijtan6=()

57911

A.-B.—C.—D.—

13131313

【答案】C

【分析】求出两条切线的斜率,由两直线的夹角公式求得夹角的正切值.

【详解】两条切线L的倾斜角分别为4,02,

根据题意,y=3f,

若点尸是切点时,切线斜率为勺=3,

若点。(七,%)是切点(点尸,Q不重合),则y'=3片,

尸_11

由3%;=—~,解得%=—(尤o=1舍去),

%-12

所以直线尸Q斜率为左2=3x[—=:,

3.3

tanO-tan09

贝i]tan6=「an(4-g)|=x2____4

1+tanOtan03

x2l+3x-13

4

【题型3】已知切线斜率求参数

基础知识

已知切线或切点求参数问题,核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:①切点处

的导数是切线的斜率;②切点在曲线上;③切点在切线上.

5.(2024.湖北武汉.模拟预测)已知曲线〃尤)=lnx+,在点处的切线的倾斜角为与,则。的

值为.

【答案】73+1

JT

[分析]对原函数进行求导,X=1代入得出切线斜率.曲线〃尤)在X=1处的切线倾斜角为1可得出斜

率.构造关于。的方程,解方程即可.

丫212比

【详解】曲线〃x)=lnx+上的导数/'(%)=;+亍,

曲线/(X)在%=1处的切线的倾斜角为y,

2L0

/r(l)=l+—=V3,.*.—=V3-1,/.^=73+1

6.(2024・贵州六盘水•三模)已知曲线y=f—311K的一条切线方程为y=f+帆,则实数加二()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

3

【分析】根据切线的斜率的几何意义可知y1=题=2%—=-i9求出切点,代入切线即可求出用.

【详解】设切点为(%,%)

因为切线丁=一%+加,

3

所以飞=2%----=-1,

%

3

解得%=1,%=-5(舍去)

代入曲线y二/一31nx得%=1,

所以切点为(1,1)

代入切线方程可得1=-1+根,解得切=2.

7.(2024.全国.高考真题)若曲线y=e*+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=m(x+l)+。的切线,则

a_.

【答案】In2

【分析】先求出曲线y=e”+x在(0,1)的切线方程,再设曲线y=ln(%+l)+a的切点为

(x0,ln(x0+l)+6z),求出利用公切线斜率相等求出与,表示出切线方程,结合两切线方程相同

即可求解.

【详解】由y=e"+元得y'=e*+i,yix=0=e°+1=2,

故曲线y=e"+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+i;

由y=ln(x+l)+a得y=」一,

x+1

设切线与曲线y=ln(x+l)+a相切的切点为(Xo/n(xo+l)+a),

由两曲线有公切线得V,=」彳=2,解得毛二一工,则切点为(一+,

%o+l2122)

切线方程为y=2卜+J+4+ln;=2x+l+q—ln2,

根据两切线重合,所以a-In2=0,解得a=In2.

【巩固练习1】(23-24高三•山西晋城•期末)过原点。作曲线/(%)=砂-©的切线,其斜率为2,则

实数〃二()

A.eB.2C.e+2D.e—2

【答案】D

【分析】设出切点,求导,得切点处的切线方程,即可代入原点(0,0)求解.

【详解】设切点(毛,%),则/'(x)=e"—Q,

故切点处的切线方程为y=(e与一a)(x—%o)+e与一稣,故e小一a=2,

将(0,0)代入得0=—2x0+e*-町),故0=-2/+〃+2-du。,解得a=—2或%=1,

若a=—2,则。知+2=2,此时无解,故a=—2不符合题意,

若与=1,则e-a=2,故1=9一2,此时满足题意

【巩固练习2】(2024•四川•模拟预测)已知加>0,">0,直线y='x+/w+l与曲线y=llU-"+3相

e

切,则加+〃=.

【答案】2

【解析】设切点坐标为(/。,%),对函数y=hu-〃+3求导得y二工,

X

711

则切线斜率%二—=一,得%=e,

/e

所以为=In6—〃+3=4—〃,且为=--e+m+l=2+m,

e

则4—zz=2+/n,即根+〃=2.

【巩固练习3](23-24高三.安徽合肥.期末)若函数/(力=工与g(x)=ei-b在兀=1处有相同的

切线,贝1)。+/?=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

eA-aII

【分析】对〃x),g(x)求导,根据题意得到《“一,再解方程组即可得到答案.

e-b=0

【详解】因为〃x)=处,g(x)=e~a-b,则/(耳=匕学,g'(x)=e",

X%

可得/(1)=0,g(l)=e'—氏/⑴=1,g")=e'

因为/(元),g(x)在尤=1处有相同的切线,即切点为(1,0),切线斜率左=1,

e1-fl=1(a=l

所以<,解得所以a+/?=2.

e〜-b=0[b=l

【巩固练习4](2024•河北沧州・模拟预测)已知直线/:>=丘是曲线〃耳=b和g(尤)=lnx+a的公

切线,则实数a=.

【答案】3

【分析】先设在y=/(x)上的切点,然后求出切点和切线,然后再设在y=g(x)上的切点,即可求

出a的值.

【详解】设直线/与曲线y=/(x)相切于点(%,%),

由尸(x)=e㈤,得左=r(x0)=e",因为/与曲线〃力=*|相切,

所以1%"1+:°'消去为,得e'°+X=e而M,解得%=1.

设/与曲线y=g(龙)相切于点(芯,兀),由g'(x)=L得%=e2=,,即e2%=l,

Xx\

因为(3,兀)是/与曲线g(尤)=lnx+a的公共点,

(2

y.=ex,1

所以<消去力,得e%9i=ln玉+〃,即l=ln=+Q,解得々=3.

%=1nxi+〃,e

【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

基础知识

利用导数的几何意义求最值问题,利用数形结合的思想方法解决,常用方法平移切线法.

8.(23-24高三•安徽•阶段练习)已知尸是函数/(同ne,+x2图象上的任意一点,则点尸到直线

无一»—9=。的距离的最/J、值是()

A.3亚B.5C.6D.5夜

【答案】D

【分析】结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可.

【详解】设直线/与直线x-y-9=。平行,且与函数/(幼=/+/的图象相切,

设切点为Q(r,e'+产),因为((x)=e'+2尤是单调递增函数,

直线不一》-9=。的斜率为1,所以/"(r)=e'+2/=l,解得r=o,

即切点为0(0』),

所以点尸到直线x—y—9=0的距离的最小值是点Q到直线%-丁一9=0的距离,

即为J—1=50.

J2

9.(23-24高三・广东惠州•阶段练习)已知点P在函数/(x)=e2,+x+9的图象上,则尸到直线

/:3x-y-10=0的距离的最小值为.

【答案】2而

【分析】求导,设尸的坐标,根据平行关系得到切线斜率,进而得到P(O,IO),利用点到直线距离公

式求出答案.

【详解】由/(x)=e2,+x+9,可得尸(x)=2e2*+l,

又点尸在曲线y=/(x)上,设?(叼几),

则过点尸和/:3%-y-10=。平行的切线的斜率为3,

令广(X。)=2e2^+1=3,X。=0,则〃o)=10,

P(o,io),点P(0,10)与直线I的最小距离为d=

【巩固练习1】(23-24高三•河南南阳•阶段练习)点尸是曲线/(x)=«上一个动点,则点P到直线

x-y+2=0的距离的最小值是()

A.迪B.1C.迪D.3

8444

【答案】A

【分析】根据题意分析可知(D=1,则点尸到直线x-y+2=o的距离的最小值即为点。到直

线x-y+2=0的距离,运算求解即可.

【详解】因为/1)=«的定义域为[0,+8),且广(工)=!,

令/''(X)==1,解得X」,

2\x4

则m,可得点

(11、-1-J-+2r-

且点到直线'一'+2=°的距离/427V2,

所以点尸到直线x-y+2=0的距离的最小值是述.

8

【巩固练习2】(23-24高三・河北石家庄•阶段练习)曲线y=In(3x-2)上的点到直线3x-y+7=O的

最短距离是()

A.45B.710C.375D.1

【答案】B

【分析】令/'(x)=3求得X=l,由导数的几何意义知y=in(3x-2)在点(1,0)的切线斜率为3,然后

利用点到线距离公式求出最小距离.

【详解】直线3x-y+7=。的斜率为3,

所以令/(X)=3得,X=l,

JX-Z

将%=1代入y=ln(3x—2)可得y=O,则y=ln(3x-2)在点(1,0)的切线斜率为3,

所以切点(1,0)到直线3x-y+7=。的距离为:d—『+(二;喘=胸

【巩固练习3](23-24高三.河南•阶段练习)最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中,选

出最合理的,达到事先规定的最优目标的方案,这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的

最优化问题,我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距

离的最值问题,请你利用所学知识来解答:若点尸是曲线y=31nx-5f上任意一点,则尸到直线

4x-2y+5=0的距离的最小值为.

【答案】^5

17

【分析】将函数y二31n元-'元求导,然后令导数为0,即可求得点尸的坐标,再由点到直线的距离

公式代入计算,即可得到结果.

13

【详解】对函数y=31nx——12,元〉()求导可得y二一一元,

2x

其中直线缶-2y+5=0的斜率为2,

3

则令---1=2,即Y+2x—3=0,解得%=1或x=—3(舍),

X

当x=i时,y=—g,

则曲线上一点P[1,-g]到直线4x-2y+5=。的距离最小,

4xl-2x|-1|+5

由点到直线的距离公式可得最小值为I2)_r-

【巩固练习4】(2024•山西朔州•模拟预测)已知A,8分别为曲线y=2e'+x和直线y=3x-3上的点,

则的最小值为.

【答案】巫/!如

22

【分析】利用数形结合思想可知切点到直线的距离是最小值,从而利用导数来求出切点,再用点到

直线的距离公式求出最小值即可.

【详解】

由题意的最小值为曲线上点A到直线y=3%-3距离的最小值,

而点A就是曲线与直线y=3x+帆相切的切点,因为曲线上其它点到直线丁=3%-3的距离都大于

向I,

对y=2e"+x求导有y'=2e'+l,由用=3可得x=0,即A(0,2),

故1阴.二1=巫

的+(-1)2

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题

基础知识

奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.

10.已知/(%)为奇函数,且当XV。时,/(x)=p,其中e为自然对数的底数,则曲线/(%)在

点处的切线方程为.

【答案】2ex-y-e=0

【解析】由题设,当x>0时,=—=故x>0时,f(x)=xel,

所以/⑺=(x+l)e'J'(l)=2e,而〃l)=e,

故切线方程为j-e=2e(x-l),即2ex-y-e=0.

故答案为:2e%-y-e=0

11.(2024・福建福州•模拟预测)已知函数〃x)是偶函数,当x>0时,/(x)=V+2x,则曲线y=/(x)

在x=-1处的切线方程为()

A.y=—5x—2B.y=-5x-8C.y=5x+2D.y=5x+8

【答案】A

【分析】利用偶函数的性质求出当尤<0时函数的解析式,然后求导,利用导数的几何意义进行

求解即可.

【详解】当龙>0时,/(%)=/+2了,函数/(x)是偶函数,

当x<0时,_x>0,/(x)=/(-x)=-%3-2x,

当x<0时,/'(x)=_3x?—2,

.-./,(-1)=-3-2=-5,即曲线y=/(x)在x=—l处切线的斜率为-5.

而〃-1)=3,所以曲线y=/(x)在1=一1处的切线方程为:y一3=-5(%+1).

所求即为y=-5x—2.

12.(2024.湖北•一模)已知函数为偶函数,其图像在点(1J⑴)处的切线方程为*-2y+l=0,

记〃x)的导函数为数(x),则八-1)=()

A.--B.-C.一2D.2

22

【答案】A

【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数,再根据条件得到r(i),再利用奇函数的的性质求r(-i).

【详解】因为〃龙)为偶函数,所以y(x)=/(—x),两边求导,可得[〃力]=[〃_司]=

八元)=n/(x)=-f\-x).

又在(I"⑴)处的切线方程为:x-2y+l=0,

所以r(i)=;.

所以/'(-l)=一/'(1)=_;.

【巩固练习1】已知/(x)是奇函数,当x<0时,/(%)=—,则函数的图象在x=l处的切线

■X十乙

方程为()

A.2x—y+l=OB.x-2y-i-l=0

C,2x—y—l=OD.x+2y—l=0

【答案】c

【分析】

先求出当x>0时的解析式,然后利用导数求出x=l处的切线斜率,以及切点坐标,从而求出切线方

程.

【详解】当x>0时,-x<0,:.f[-x)=———,/(X)是奇函数,

—X+2

(尤-2)-x2

()一一(()

:.-f(x)=———,/X=X>0),/'X=-—2)2=(1-2广

-x+2x—Z

k=f'(])=2,一一匚=1,切点为(1,1),一切线方程为y—l=2(x—1).

1—2

二切线方程为2x—y—1=0.

【巩固练习2】(23-24高三•河南洛阳・期末)已知函数g(x)为奇函数,其图象在点(“,g(“))处的切线

方程为2x-y+l=0,记g(尤)的导函数为g'(x),则g'(-a)=()

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】A

【分析】由奇函数的导数为偶函数可知g'(x)为偶函数,结合导数的几何意义即可求解.

【详解】因为g(x)在点3g(。))处的切线方程为2x=y+l=。,.♦.gM)=2.

又g(x)=-g(-x)两边求导得:g'(x)=g'(-x),即g'(x)为偶函数,

,g'(-a)=g'(a)=2

【巩固练习3】(2024•山东济宁•三模)已知函数/(X)为偶函数,当x<0时,/(x)=ln(-x)+x2,则

曲线、=/(%)在点(1/(D)处的切线方程是()

A.3x—y—2=0B.3%+y—2=0C.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【答案】A

【分析】利用偶函数的性质求出x>0的解析式,再利用导数的几何意义求出切线方程.

【详解】函数/'CO为偶函数,当x<0时,/(%)=ln(-%)+x2,

则当x>0时,/(x)=/(-%)=Inx+f,求导得/'(x)=」+2x,则广(D=3,而“1)=1,

X

所以曲线y=/(x)在点(1"(D)处的切线方程是、-1=3(%-1),即3%-、-2=0.

【巩固练习4】(2024•海南海口•二模)已知函数的定义域为R,/(x+1)是偶函数,当时,

f(x)=ln(l-2x),则曲线y=〃x)在点(2,〃2))处的切线斜率为()

22

A.—B.—C.2D.—2

55

【答案】C

3

【分析】根据函数对称性求出了>]时的/(X)解析式,利用导数的几何意义求解.

【详解】因为/(X+1)是偶函数,所以函数“X)的图象关于X=1对称,则/'(2-x)于'(尤),

,31

当x>一时L,2—x<一,

22

.\/(2-x)=ln[l-2(2-x)]=ln(2x-3),

2

.-./(%)=ln(2x-3),则/(x)=^--,

2x-3

.-.f'(2)=2,即曲线y=/(x)在点(2J(2))处切线的斜率为2.

【巩固练习5](23-24高三.广东深圳•期中)已知函数〃x)=e'ln尤与偶函数g(x)在交点处

的切线相同,则函数g(x)在x=-1处的切线方程为()

A.ex—y+e=OB.ex+y—e=0

C.ex-y-e=0D.ex+y+e=O

【答案】D

【分析】求得尸(x)=e1nx+:,得到/'⑴=6且/(1)=0,根据题意,得到/(x)与g(x)相切于(1,0),

且g")=r(l)=e,再由g(x)为偶函数,求得g(-l)=0,且g'(—l)=—e,进而求得切线方程.

【详解】由函数〃x)=exinx,可得尸(x)=e1nx+《,所以尸6=e且/⑴=0,

因为函数“X)与偶函数g(x)在交点(Lg(l))处的切线相同,

所以函数/(x)与g(x)相切于(1,0),且g")=/")=e,

又因为g(x)为偶函数,所以g(-l)=g⑴=。,且=-g[l)=-e,

所以函数g(x)在x=-l处的切线方程为y-0=-eO+l),即ex+y+e=O.

【题型6】切线斜率取值范围问题

基础知识

利用导数的几何意义,求出导函数的值域,从而求出切线斜率的取值范围问题.

一般地,直线的斜率与倾斜角的关系是:直线都有倾斜角,但不一定都有斜率

2

13.点P在曲线y=x3-x+g上移动,设点P处切线的倾斜角为a,则角a的范围是()

A.[0,^]B.0当C.严㈤D.[0,*严㈤

224424

【答案】D

2,

【解析】由y=/(%)=V一元+],则/⑴=3/—12—1,则tana2-1,

又ae[0㈤,所以.三[0弓)0咛㈤

14.(2021•河南洛阳•二模)已知点p在曲线尸%3r上移动,设点尸处切线的倾斜角为a,则角a

的取值范围是.

【答案】0号口子臼

【分析】求出导函数的值域后可得切线的斜率的范围,根据斜率与倾斜角的关系可求a的取值范围.

【详解】*.*j=X3-%,yf=3x2-1>-1,/.tana>—1,0<a</r,

・••过P点的切线的倾斜角的取值范围是。£77'"),

故答案为:。可口~T,7r},

【巩固练习1】过函数/(x)=;e2'-x图像上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角范围为()

【答案】B

【解析】由题意,函数〃x)=;e2'-x,可得r(x)=e2'—l,

因为e”>0,所以即切线的斜率左>-1,

设切线的倾斜角为。,则tang>—l

JI37r

又因为所以<一或一<0<7i,

24

即切线的倾斜角的范围为o,|j[

【巩固练习2】(22-23高三・江苏镇江•阶段练习)点尸在曲线、=无3一心无+工上移动,设点尸处切

34

线的倾斜角为a,则角a的范围是()

【分析】求导,求出导函数的值域,再根据导数的几何意义即可得解.

[详解]y=3x2-^-e))

D,所以点P处切线的斜率的取值范围为-,十°0,即

>L>

tanas----,+oo,又二£[0,兀),所以角a的范围是0,—.

.3)

【题型7】公切线问题

基础知识

公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等,并且切点不但在切线上而且在曲线上,罗列出有

关切点横坐标的方程组,通过解方程组进行求解.

公切线问题主要有以下3类题型

(1)求2个函数的公切线

解题方法:设2个切点坐标,利用切线斜率相同得到3个相等的式子,联立求解

(2)2个函数存在公切线,求参数范围

解题方法:设2个切点坐标,列出斜率方程,再转化为方程有解问题

(3)已知两个函数之间公切线条数,求参数范围

解题方法:设2个切点坐标,列出斜率方程,再转化为方程解的个数问题

15.(浙江绍兴二模T15)与曲线y=e”和)=都相切的直线方程为___________

4

【答案】y=x+l

【详解】设直线与曲线y=屋相切于点(不巧,

因为y'二e",所以该直线的方程为y-e国二二(%一%),即y=eX1x+eX|(1-xJ,

设直线与曲线y=---相切于点X,----

4124J

Y丫2

因为y=-],所以该直线的方程为y+5=-^-(x-x2)>即y=_:|_x+宁,

eX1=-三

2

所以、2,解得石=0,工2二一2,所以该直线的方程为y=x+l

e』(—J若'

16.(2024.广东茂名.一模)曲线•与曲线》=炉+2©有公切线,则实数。的取值范围是()

1

A.1-00,一5B.--,+ooJC.D.一,+8

2

【答案】B

【分析】分别求出两曲线的切线方程,再构造函数/(x)=e,j—2x,利用导数求得单调性和最值,

即可求得〃的取值范围.

【详解】两个函数求导分别为y=Ly=21+2〃,

x

设y=hiY,y=x1+2ax图象上的切点分别为(不』叫),(0后+2j

%

则过这两点处的切线方程分别为y=l+1叫T,y=(2x2+2a)x-xlf

x\

则工=2%+2”,1叫-1=_尤;,所以24=小7-29,

x\

设/(x)=e4_2x,1(力=2卜产7_1),/")=0,

令g(x)=/'(x)=2(xe*7-1),所以g,(x)=2(2%2+l)e'2-1>0,

所以g(x)在R上单调递增,且了”)=0,

则在(―,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,

所以2aN/(l)=-l,a>-1.

17.(2024•福建泉州•模拟预测)若曲线y=x2与y=*«H0)恰有两条公切线,则/的取值范围为()

A../JB.C.(-8,0)D|/,+<»JD.(-oo,0)u|—I

【答案】A

【分析】设曲线y=fe*切点为加,re"),y=公的切点为,求出切线方程,根据有两条公

切线转化为方程具有两个解,构造函数利用导数求解取值范围,判断选项.

【详解】设曲线y=fe*切点为"(加Je"),y=d的切点为,

则曲线y=fe”在点M("/e'")处的切线方程为y-tem=tem,即y=tem(x-/7i)+tem,

同理,y=f在点处的切线方程为y=2nx-n2,

根据y=渣与y=/有两条公切线,

tem—In(te"'।4m—4

则,,所以沿"一根沿"=—-,化简可得『=------具有两个交点,

=-〃212Je'"

A.P/J—4Ay—4

转化为♦=---有两个解,构造函数/(x)=--—则尸(x)=》,

当x<2,f'(x)>0,单调递增;当x>2,f'(x)<0,单调递减,

故/(%)在%=2时有极大值即为最大值,故/(2)=/,

当元f—00时,当元—+00时,0,

故。的取值范围为

【巩固练习1X23-24高三.江西吉安・期末)函数/a)=

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论