平行线的性质与判定（知识串讲考点提升过关检测）-2025年人教版七年级数学寒假自学提升讲义

第02讲平行线的性质与判定

-•模块导航A素养目标*

模块一思维导图串知识1.理解与掌握平行线的性质与判定定理;

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.利用平行线的性质与判定定理求解.

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

6模块一思维导图串知识-

定义同一平面内不相交的两条直线

平行线

同位角相等

力两直线手＞内错角相等

同旁内角互补

平行线之间的距离处处相等

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“〃”表示.如图，直线AB与

CD平行，记作;AB〃CD,读作：AB平行于CD.

AB

C«-------------------------------D

【补充说明】

1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此''在同一平

面内”是平行线存在的前提条件.

2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在

的直线平行.

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

平行公理的前提条件：经过直线外一点.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.

【拓展】

1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行.

2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a_Lb,b±c,则@〃仁

平行线的判定

平行线的性质:

些是不成立的.

【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性

质.

平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距

离.

性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等;

2）平行线间的距离处处相等.

6模块三核心考点举一■反三------------------------------

考点一：平面内两直线的位置关系

1.（24-25七年级上•全国•课后作业）在同一平面内有三条不同的直线a,b,c,若ale,61c,则。与b的位

置关系为（）

A.相交但不垂直B.垂直C.平行D.无法确定

【答案】C

【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键.根据在同一平面内，垂直于同一条

直线的两条直线平行，即可得出结果.

【详解】•••在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.

a\\b,

故选：C.

2.（23-24七年级下•山东淄博•期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线i12,13,…小，若

13114,14\\15,依此类推，则。与小的位置关系是.（填"平行"或"垂直"）

【答案】平行

【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用"在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行"是解决此类

问题的关键.如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直.再根据“在同一平面内，

垂直于同一条直线的两直线平行"，可知k与Z12的位置关系是平行.

【详解】解：0/i112,-11%:■!■〃，…

团12,%，6，’6，8…，

团。-L，12，

叫112,

回11，12，

故答案为团平行.

3.（23-24七年级下•黑龙江绥化•阶段练习）设a,6,/为平面内三条不同直线.①若a||b,Ila,贝心与b

的位置关系是—；②若/la,11b,则。与6的位置关系是；③若a||6,I\\a,则/与b的位置关

系是•

【答案】垂直平行平行

【分析】本题考查平行线的判定.利用平行线的性质，可求解①；在同一平面内，如果两条直线同时垂直

于同一条直线，那么这两条直线平行可求解②；由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解③.

【详解】解：①如图，a,

0Z1=90°,

团a||b,

国42=zl=90°,

0Z1b,

即与匕的位置关系是垂直；

②若1J.a,21b,则。与6的位置关系是平行；

③若a||b,I||a,贝门与6的位置关系是平行.

故答案为：垂直；平行；平行.

4.（22-23七年级下•全国•课后作业）在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面

的横线上.

（1）若a与b没有公共点，则a与b:

（2）若a与b有且只有一个公共点，贝Ua与b

（3）若a与b有两个公共点，贝Ua与6.

【答案】互相平行相交重合

考点二：用直尺、三角尺画平行线

5.（23-24七年级下•四川成都・期末）下列各图中的直线a,6,用推三角尺的方法验证，其中a||b的有（填

序号）.

丝

③

【答案】①②③

【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角

板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定.

【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角

板，可判定三个图形中allb的有①②③，

故答案为：①②③.

6.（23-24七年级下•河北邢台•阶段练习）已知直线2以及直线沙卜一点P,如图1,图2、图3的作图结果可

以说明的基本事实是；其依据是

图1图2图3

【答案】经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行同位角相等，两直线平行

【分析】本题考查的是画平行线，平行线的判定，根据画平行线的方法可得答案.

【详解】解：直线2以及直线矽卜一点P,如图1,图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是经过已知直

线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；其依据是同位角相等，两直线平行；

故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；同位角相等，两直线平行；

7.（23-24七年级上•江苏连云港•期末）如图，已知直线a和直线外一点P,我们可以用直尺和三角尺，过点P

画己知直线a的平行线b.下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三

角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线b；④用三角尺的一边紧贴住直线a；正确的操作顺序是:.（填

序号）

【答案】④②①③

【分析】本题考查的是画平行线，根据"用直尺和三角板过直线外一点P画已知直线b的平行线a的操作步骤"

即可作答；

【详解】解：正确的步骤是：

④用三角尺的一边贴住直线a；

②用直尺紧靠三角尺的另一边；

①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P;

③沿三角尺的边作出直线b；

故答案为：④②①③；

考点三：平行公理推论的应用

8.（23-24七年级下•北京朝阳•阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当Nl=N2时，PMWAB-,

/3=44时，PNWAB,就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是

【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知

直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键.

【详解】解：fflzl=42,

0PM||AB,

EIZ.3=Z4,

SPNWAB,

回过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，

回点N,P,M在同一条直线上，

故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

9.（23-24七年级下•广东深圳•期末）如图1,杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利

用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤坨、提绳等组成.如图2,是杆秤的示意图，

AB||CD,AB||E0,经测量发现=106。，贝”2的度数是度.

图1图2

【答案】74

【分析】本题考查邻补角的定义，平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.先

根据邻补角的定义求出NOCD,再根据平行公理的推论得出E。||CD,最后平行线的性质得到N2=AOCD,

即可求解.

【详解】解：EIZ1=106°,

0ZOCZ）=180°-N1=74°

EL4B||CD,AB||EO,

SEO||CD

EIZ2="CD=74°

故答案为:74.

10.（23-24七年级下•陕西西安・期末）如图，已知直线卬心，将一块直角三角板48C按如图所示方式放置,

若N2=56°,则=.

【答案】34。/34度

【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差等相关知识，作B0I%，则42=AABD=56。,

则3。||组上，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】如图，作BDIIG，则n2=4ABD=56°,

团4CBD=Z1,

回N4BC=90°,

+乙CBD=90°,

SZ.ABD+41=90°,

0Z1=34°,

故答案为：34。.

11.（23-24七年级下•河南商丘•期中）如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光

的灯管4B恰好与桌面MN平行时，4DEF=130°,乙BCD=120°,则aDE的度数为.

A\\BC

'N

【答案】1007100S.

【分析】本题考查平行线的判定和性质.解题的关键是过拐点构造平行线.过点。作DHWAC,过点E作EG||

MN,根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可.

【详解】解：过点D作D”IIAC,过点E作EG||MN,贝ijDH||AC||MN||EG,

S/.ACD+乙CDH=180°,Z.GEF+乙EFN=180°,Z.GEF=Z.MFM,Z.HDE=乙DEG,

SEF1MN,/.DEF=130°,乙BCD=120°,

0ZCDH=60°,4GEF=4EFM=90°,4DEG=乙DEF-乙GEF=40°,

BDH||EG,

^HDE=4DEG=40°,

=/.CDH+Z.HDE=100°,

故答案为：100。.

考点四：根据已知条件判定两直线能否平行

12.（2024七年级上•全国•专题练习）学习情境•推理论证如图所示，下列推理中正确的有（）

①•••zl=Z3,AB||CD-,

②；Z2=N4,AD||BC；

③；NABC+乙BCD=180°,AD||CD；

④；zl+z2+ZB=180°,BC||AD.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键.根据平行线的判定可进行求

解.

【详解】解：①配1=43,

西DIIBC,故错误；

②回/2=44,

0XBIICD,故错误；

③ELG4BC+乙BCD=180°,

IICD,故错误；

（4）0Z1+42+NB=180°,

AD||BC,故正确.

故选：A.

13.（2024七年级上•全国•专题练习）如图所示，下列条件不能判定直线411%的是（）

C.N2+N3=180°D.Z3=Z5

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题的关键.根据两直线平行同旁内角

互补，同位角、内错角相等逐项判断即可.

【详解】解：A、41和乙3不是同位角，也不是内错角，所以41=43不能判断"坨，故A选项符合题意；

B、N1和N4是内错角，根据内错角相等，两直线平行，所以Nl=44能判断匕11%，故B选项不符合题意；

C、N2和N3是同旁内角，所以N2+43=180。能判断卜||%，故C选项不符合题意；

D、N3和45是同位角，所以43=45能判断%II%，故D选项不符合题意；

故选：A.

14.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，有以下四个条件：①NB+NBCD=180。；②Nl=N2；③N3=N4；

④NB=45.其中能判定力BIICD的序号是（）

A.①②B.②③C.①②③D.①③④

【答案】D

【分析】此题考查了平行线的判定.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线.根

据平行线的判定定理求解，即可求得答案.

【详解】解：①回48+/-BCD=180°,

SABWCD（同旁内角互补两直线平行）；

（2）0Z1=42,

^ADWBC（内错角相等两直线平行）；

（3）0Z3=Z4,

^ABWCD（内错角相等两直线平行）；

④回/B=z5,

0XBIICD（同位角相等两直线平行）；

回能得到力BIICD的条件是①③④.

故选：D.

考点五：添加一个条件使两直线平行

15.（23-24七年级下•湖北荆门・期中）如图,8,D分别在4F,CE上，添加条件,即可判定力。IIBC.（写

出一个即可）

【答案】Z.BAD=ACBF（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了平行线的判定.根据平行线的判定定理，即可求解.

【详解】解:添力口NB4D=NCBF,理由：

^\/.BAD=/.CBF,

^AD||BC（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：^BAD="BF（答案不唯一）

16.（24-25八年级上•陕西汉中•阶段练习）如图，已知NE8F,点4c分别在射线BE,BF上，点、D为4EBF内

一点，连接AD,CD,不添加辅助线，请添加一个条件使得2DIIBF,则可添加为.（写出一个即可）

【答案】^EAD=ZB（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理.平行线判定方法

有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.据此可得结论.

【详解】解:添加NEAD=NB利用同位角相等，两直线平行判定40||BF；

添加ND=NDCF利用内错角相等，两直线平行判定4。IIBF；

添加+NB=180。利用同旁内角互补，两直线平行判定4。IIBF.

故答案为：LEAD=NB（答案不唯一卜

17.（23-24七年级下•北京•期中）如图，点E在DC的延长线上，请添加一个恰当的条件,使

【答案】43=44（答案不唯一）

【分析】本题考查了平行线的判定.熟练掌握平行线的判定是解题的关键.

根据平行线的判定求解作答即可.

【详解】解：由题意知，0z3=z4,

EL4B||CD,

故答案为：Z3=Z4（答案不唯一）.

18.（23-24七年级下•云南昭通•期末）如图，要使"直线kllG"，需要添加的条件是（只填

【答案】zl=Z3（或N4=45或N2+N4=180°）

【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法.由平行线的判定，即可得到答案.

【详解】解：要使直线匕|“2,则需要添加的条件可以为N1=N3,也可以为N4=N5,也可以为N2+44=

180°,

故答案为：zl=43（或N4=45或N2+Z4=180°）.

考点六：证明两直线平行

19.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，若乙4=114°,Z.C=135°,=66°,Z2=45°,试说明4。IICF.

C

【答案】见解析

【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由乙4+41=180。可得力。||BE,又由N2+

ZC=180。可得CFIIBE,则4。||CF.

【详解】解：=114。，ZC=135°,Zl=66。，Z.2=45°,

.•・乙4+=114°+66°=180°,

AD||BE,

+42=135°+45°=180°,

团C71BE,

・•・AD||CF.

20.（23-24七年级下•辽宁铁岭•期中）如图，已知CDIBC,Zl=Z2,BE与CF平行吗？

【答案】BE||CF,理由见解析

【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到=NBCF是解题的关键.由CD1BC

得至=90。，继而4=即可求证.

【详解】解：BE||CF,理由如下,

证明，^AB1BC,CD1BC,

^ABC=乙BCD=90°,

团=Z2,

^\Z-EBC=Z-BCF,

^BE||CF.

21.（24-25七年级上•山东淄博•阶段练习）如图，AB||CD,AB=CD,点E、F在BC上，且=CE.4E与

DF平行吗？请说明理由.

【答案】AE||DF,理由见解析

【分析】本题考查的知识点是平行线的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等

三角形的判定方法.

先根据平行线的性质推得N4BE=4DCF,再推得BE=CF即可根据"边角边"证明△ABEDCF,根据全

等三角形性质可得41EB=NDFC,结合点E、尸在上，推得乙4EF=即可证明2E||。工

【详解】解：AE||DF,理由如下：

VABIICD,

Z-ABE=乙DCF,

•・•BF=CE,

...BF-EF=CE-EF,

即BE=CF,

•・・在和△DCF中,

'AB=CD

Z-ABE=乙DCF,

、BE=CF

ABE=△DCF(SAS),

•••Z.AEB=Z-DFC,

又点E、尸在BC上，

•••180°-Z.AEB=180°-Z.DFC,

即乙4EF=乙DFE,

AE||DF.

22.(22-23七年级下•山东济南•期末)如图所示，已知NE=N1,Z3=Z2,试说明：AB||EC.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.利用NE=N1,41=42,

N3=N2,等量代换得出NE=N3,即可判定.

【详解】证明：E1NE=N1,41=42,

回=Z.2,

国43=42,

团匕E=43,

0XBIIEC(内错角相等，两直线平行).

考点七：补全两直线的证明过程

23.(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中)如图，在三角形A8C中，点E在BC上，CD148于D,EG1AB于

G,AFDC=ABEG.求证：ADFC+Z.FCB=180°.请将下列证明过程补充完整：

证明：BCD1AB,EG1AB,

回/BGE=90°,zBDC=90°()

EINBGE=/-BDC=90°

EIGE||DC()

EINBEG=乙BCD()

0ZFDC=乙BEG

0ZFDC=

0PFII()

m^DFC+ZFCB=180°

【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；4BCD；BC；内错角相等，两

直线平行

【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义得NBGE=NBDC=90。，推出GEIIDC,根据平行

线的性质得NBEG=NBCD,继而得至bFDC="CD,DFWBC,再根据平行线的性质即可得证.掌握平行

线的判定和性质是解题的关键.

【详解】证明：ECDLAB,EGLAB,

EINBGE=9O。，ZBDC=9O°,（垂直的定义）

=4BDC=90°,

SGEWDC,（同位角相等，两直线平行）

EIZBEG=N8CD,（两直线平行，同位角相等）

国LFDC=乙BEG,

团匕FDC=乙BCD,

SDFIIBC,（内错角相等，两直线平行）

0ZDFC+乙FCB=180°.

故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；乙BCD；BC；内错角相等,

两直线平行.

24.（21-22七年级下•广东清远•期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：

如图，=Zl,Z3+/.ABC=180°,BE平分N4BC,试说明：DF\\AB.

解：因为BE平分乙4BC,

所以（）

又因为NE=41（已知）,

所以NE=/2（等量代换）.

所以（）,

所以NA+/4BC=180。（）.

又因为N3+AABC=180°（已知），

所以（）,

所以DFII4B（）

【答案】41=42,角平分线的定义;AEIIBC；内错角相等,两直线平行;两直线平行，同旁内角互补;43=乙4；

同角的补角相等；同位角相等，两直线平行

【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解

答即可.

【详解】解：因为BE平分乙4BC,

所以如=回2（角平分线的定义），

又因为NE=N1（已知），

所以NE=N2（等量代换）.

所以力EIIBC（内错角相等，两直线平行），

所以N4+NHBC=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

又因为43+^ABC=180°（已知）,

所以乙3=乙4（同角的补角相等），

所以DFII48（同位角相等，两直线平行），

故答案为：41=42,角平分线的定义；AEWBC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补;

N3=NA；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行.

25.（22-23七年级下•广东清远•期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：

如图，已知直线a,b,c,d,e,且=N2,Z3+Z4=180°,试说明：a||c.

解：因为=N2,

所以II（）

又因为N3+N4=180°,

所以II（）

所以a||c（）

【答案】a,b；内错角相等，两直线平行；b,c；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线

平行，那么这两条直线也互相平行

【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理.根据平行线的性质得出allb,b\\c,即可推出答案.

【详解】解：fflzl=Z2,

Hallfe（内错角相等，两直线平行），

0Z3+Z4=180°,

鼬11c（同旁内角互补，两直线平行），

Mile（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），

故答案为：a力；内错角相等，两直线平行；b,c-,同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直

线平行，那么这两条直线也互相平行.

26.（24-25七年级上•全国•课后作业）如图，已知点E,尸分别在4B,CD上，BC交4尸于点G,交DE于点=

z2,z.A=Z-D.

（1）4F与ED平行吗？请说明理由.

⑵试说明NB=ZC.

解：（1）AF||ED.理由如下：

因为N1=N2,（已知），zl=^CHD（）,

所以z_2=z（）,

所以II（）,

（2）因为4F||ED（已知），

所以"FC=z（）.

又因为NA=ND,（已知）

所以NA=N（）.

所以II（）,

所以NB=Z.C（）.

【答案】（1）4FIIED.理由见解析

（2）见解析

【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定.

（1）首先根据对顶角相等得到41=然后等量代换根据同位角相等两直线平行证明即可;

（2）首先得到N4FC=AD,推出乙4=AAFC,然后证明出AB||CD,即可得到NB=ZC.

【详解】（1）解：（1）AF||ED.理由如下：

因为N1=N2（已知），Z1=^CHD（对顶角相等），

所以N2=乙CHD（等量代换），

所以力FIIED（同位角相等，两直线平行）；

（2）因为4万||ED（已知），

所以乙4FC=AD（两直线平行，同位角相等）.

又因为乙4=乙D（已知），

所以乙4=乙4FC（等量代换），

所以4B||C。（内错角相等，两直线平行），

所以NB=ZC（两直线平行，内错角相等）.

考点八：利用平行线的性质求解

27.（24-25七年级上•重庆沙坪坝•阶段练习）如图，ABWCD,乙4=105。，ZC=120°,贝此1=

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，先过点E作EFII48,分别得42=75。，43=60。，再

根据邻补角互补列式计算，即可作答.

【详解】解：过点E作EFII4B,如图所示：

团42+乙4=180°,

0ZX=105°,

0Z2=75°,

^ABWCD,

0CDIIEF,

0Z3+ZC=180°,

0zC=120°,

0Z3=60°,

0Z1=180°-Z2-Z3=45°,

故答案为:45°.

28.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE,使DE||BC.如果

乙ABC=31°,AADE=.

【分析】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等.直接根据平行线的性质进行解答即可.

【详解】解：DE||BC,/.ABC=31°,

.­./.ABC=/.ADE=31°,

故答案为：31。

29.（2024•江苏常州•一模）如图，直线a||b,点A在直线a上，点C在直线6上，AB1BC,若N1=44。,

贝此2=°,

【答案】46

【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

过点B作射线再根据a|[6,得出N1=NABD,Z2=ACBD,再根据4B1BC即可求解.

【详解】解:过点8作射线BQ||a,如图所示，

SBD||a,

0Z1=4ABD,

0a||b,

0BD||b,

E1Z.2=乙CBD,

EL4B1BC,

0ZXBC=^.ABD+乙CBD=+Z_2=90°,

团乙1=44°,

团42=9O°-Z1=46°.

故答案为：46.

30.（22-23九年级下•吉林长春咱主招生）如图，直线allb,将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若

【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质得484c=NC,又MAC=41+^DAC=24°+90°=

114°,即可得N2=114°.

回a||b,

^BAC=Z.2,

^BAC=Z1+^.DAC=24°+90°=114°

团乙2=114°.

故答案为：114.

考点九：利用平行线的性质解决实际生活问题

31.（23-24七年级下•山西朔州•期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和CD,如果管道4B

与纵向联通管道的夹角乙4=100°,那么管道CD与纵向联通管道的夹角4c的度数等于.

A^=Q=[]=^

L^LMJ=U=U=U^

cD

【答案】80780&

【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可.

【详解】解：13||CD,

团乙4+ZC=180°,

团乙。=180°一4/=80°；

故答案为：80°.

32.（23-24七年级下•云南曲靖•期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气

时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，Z2=58°,则N1

的度数为______________.

【答案】1227122度

【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出乙3=58。，再由两直线平行同旁内角

互补即可得出答案.

【详解】解：如图：

回水中的两条光线平行，22=58。,

0Z2=43=58°,

回水面和杯底互相平行,

fflzl+Z3=180°,

0Z1=122°,

故答案为：122。.

33.（23-24七年级下•山东潍坊•期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时

A.ABC=120°,若此时CD平行地面AE,则4BCD=度.

C£

AE

【答案】150

【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键.过点8作8F||

CD,可得乙48尸=90。，进而得到4FBC=120。-90。=30。，由/BCD+NFBC=180。即可得出答案.

【详解】解：过点B作BFIICD,如图，

D

团CD平行地面AE,

^BFWAE,

团4BLAE,

团匕ABF=90°

^ABC=120°,

••・乙FBC=120°-90°=30°,

•・•BFWCD,

田匕BCD+乙FBC=180°,

回4BUD=180°-30°=150°,

故答案为：150.

34.(23-24七年级下•广东清远•期中)为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物

质文化遗产〃抖空竹〃引入阳光特色大课间.如图1是某同学〃抖空竹〃时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2

的数学问题：已知48||CD,(EAB=79。,^ECD=108°.则4E的度数为.

图1图2

【答案】29729度

【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形的外角的性质；直接利用平行线的性质得出4瓦48=

乙EFC=79°,进而利用三角形的外角得出答案；

【详解】如图所示：延长OC交4E于点F,

•・•AB||CD,乙EAB=79°,

・•・Z.EAB=乙EFC=79°,

Z-ECD=乙E+Z,EFC,

Z.E=Z.ECD—(EFC,

•・•Z.ECD=108°,

・•・4£*=108。-79。=29。.

E

1F

B

故答案为：29°.

35.(23-24七年级下•全国•期中)如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照

明角度.图②是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头4B与支架CD平行时可达到最佳照明角度，

此时支架BC与水平线BE的夹角“BE=130°,两支架BC和CD的夹角NBC。=110°.

图①图②

⑴求此时支架CD与底座MN的夹角NCDM的度数；

⑵求此时灯头力B与水平线BE的夹角的度数.

【答案】⑴60°

(2)60°

【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键.

(1)过点C作CF〃8E,根据平行线的性质求解即可；

(2)根据平行线的性质及角的和差求解即可.

•••Z.CBE=130°,

•••4BCF=50°,

•••LBCD=110°,

.­.乙DCF=乙BCD-乙BCF=60°,

•••BE||MN,

CF||MN,

•••4CDM=4DCF=60°；

（2）-AB||CD,

•••/.ABC+乙BCD=180°,

•••乙BCD=110°,

.­./.ABC=70°,

乙CBE=130°,

.­./.ABE=乙CBE-乙ABC=60°.

考点十：利用平行线间的距离解决问题

36.（23-24七年级下•江苏扬州,期中）小孙和小悟同学在探究四边形4BCD内作一条直线将它分成面积相等

的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起.

图1图2

【问题思考】

（1）如图1,4。是AABC的中线，试判断：ShABD_________S*CD（请填"（"或

（2）如图2,ADWBC,试判断:SMBC__________SABCD（请填，'、"<"或

【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形48CD内作一条直线将它分成面积相等

的两部分给出一种思路：如图3,小孙同学的辅助线：①连接对角线2C,②作DEII4C交BC的延长线于E；

③取BE的中点M,则直线AM为所求直线.小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充

完整：

N4C||DE,

EISADAC=（由问题2的结论得）

回S四边形4BCD=SAABC+SADAC—S44BC+'

即S四边形4BC。=---------'

是BE的中点，

团SAMM=（由问题1的结论得）

EL4M平分△ABE的面积，即4M平分四边形4BCD的面积.

AD

B

图3

【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4,小悟同学的辅助线：①连接对角线4c和BD；②取BD的

中点。，③连接04、0C；④过点。作AC的平行线与四边形ABCD的边CD交点于P,则直线4P则为所求直线.

请你独立尝试完成小悟同学的说理过程.

D

图4

【答案】【问题思考】=,=;【深入思考】SAE"；SAEAC；S“BE；SMEM；【推广探究】证明见解析

【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积，

【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论；

（2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论；

【深入思考】根据问题思考的结论即可得证；

【推广探究】根据问题思考的结论即可得证；

理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键.

【问题思考】解：（1）囿4。是AABC的中线，

0BD=CD,

0Aac。等底同IWJ,

回S-BD=S^ACD,

故答案为：=;

（2）SADWBC,

0AABC^^DBC同底同高，

团SAABC-S^BCD,

故答案为：=;

【深入思考】证明：SAC||DE,

国SADAC=S&EAC（由问题2的结论得）

团S四边形4BCD=SAABC+SADAC—SAABC+SAEAC,

即S四边形4BCD=S&谢，

团M是BE的中点，

团S—BM=SMEM(由问题1的结论得)

胤4M平分的面积，即4M平分四边形的面积；

【推广探究】证明：回点。是80的中点，

团S^DAO=S^BAO，S^DCO=S^BCO，

团。尸||AC,

回S^oac=S^pAC,

国S四边形/BCD=S^DAO+'△B40+S〉DCO+^LBCO'

=2(S/40+S^BCO)

=2s四边形04BC

=2(SABAC+S^oac)

=2(S2BAC+S^PAC)

=2s四边形P4BC，

回S/kQAP=S四边形ABCO-S四边形P4BC=2s四边形P/BC-$四边形p/8C=,四边形

团直线4P平分四边形4BCD的面积，

则直线/P即为所求直线.

37.(23-24八年级下•全国裸后作业)如图，在四边形ABC。中，AD||BC,对角线ZC,80交于点0,若△AOB

的面积为8,求△C。。的面积.

【答案】8

【分析】本题考查平行线间距离相等，三角形面积公式.根据题意过点3,C分别作4。的垂线，交直线于

点E,F,可得BE=FC,继而得到S—DB=SAADC，再减去公共部分二角形即—^LAOD=^LACD_S^AOD,

即可得到答案.

【详解】解：过点8,C分别作40的垂线，交直线40于点E,F,

团40IIBC,

团BE=FC,

i1

团SAADB=-AD-BE,SKACD=~AD-CF,

◎S“DB=^AADC)

回SAADB—SAAOD=S^ACD~^LAOD,

国SACO。=S&4OB=8,

38.(23-24八年级下•全国•课后作业)如图，直线m||n,A、B为直线〃上两点，C、尸为直线加上两点.

⑴如果A、B、C为三个定点，点尸在直线机上移动，那么无论点尸移动到何位置，总有△与AABC

的面积相等.理由是;

(2)如果点尸在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：.

【答案】(1)P4B,同底等高的两个三角形的面积相等

(2)APAC与APBC,△OACJjAPBO

【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握"平行线间的距离相等"和"同底

等高的三角形的面积相等〃是解题的关键.

(1)利用"平行线间的距离相等"和"同底等高的三角形的面积相等"即可解答；

(2)利用“平行线间的距离相等"和"同底等高的三角形的面积相等"即可解答.

【详解】(1)解：国直线,

回点P和点C到直线n的距离相等.

又回在AABP和AABC中，AB=AB,

BSAABP-ShABC(同底等高的两个三角形的面积相等).

故答案为：PAB,同底等高的两个三角形的面积相等.

(2)解：设直线m和n之间的距离为h

11

团S/k/pc=30,=50,•儿

回S3pc=S^CBP•

团S—pc-S^opc=S^CBP-S^opc，即S-oc=S^PB0.

故答案为：APAC与APBC,△04。与△P80.

考点十一：利用平行线的性质与判定求角度

39.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图，已知48||CD,^ABE=150°,^CDE=85°,求4BED的度数.

【答案】550

【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作EF||AB,贝妹8||EF||CD,由平行线的性质

可得N4BE4-/-BEF=180°,4DEF=Z.CDE,代入数据计算即可得解.

【详解】解：如答图，过点E作EFII4B,

EL4B||CD,

EL4B||EF||CD,

0ZXBE+4BEF=180°,乙DEF=4CDE.

^ABE=150°,Z.CDE=85°,

EINBEF=180°-UBE=30°,乙DEF=乙CDE=85°,

•••乙BED=乙DEF-乙BEF=55°.

40.（23-24七年级下•云南曲靖•阶段练习）如图，已知4BIICD,点E在直线4B、CD之间，连接CE.

图1图2图3

【感知】如图1,若NB4E=40°,乙ECD=50°,则Z71EC=_；

【探究】如图2,猜想NB4E,NECD和乙4EC之间的数量关系，并说明理由：

【应用】如图3,若2”平分NB4E,,若N4EC=80°,FH平分乙DFG,求

的度数.

【答案】感知：90°；探究：Z.BAE+/.ECD=^AEC,理由见解析；应用：40°

【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义：

感知：过点E作EFII48,由平行线的性质得出N82E=41,证出CO||EF,由平行线的性质得出42=乙DCE,

据此可得乙4EC=乙BAE+Z.DCE,再代值计算即可；

探究：仿照感知方法求解即可；

应用：由平移的性质得到NEC。=Z.GFD,再由角平分线的定义得到N84H=^BAE,乙DFH=|zDFG=

少DCE,根据探究的结论证明

证明N4HF=/.BAH+乙DFH=|{/.BAE4-乙DCE),再根据NAEC=/.BAE+乙DCE,可得结论.

【详解】解：感知：如图所示，过点E作EFIIAB,

SABAE=Z1,

EL4B||CD,EFWAB,

配。IIEF,

团42=Z.DCE,

^Z.AEC=zl+z2,

国乙AEC=Z-BAE+Z-DCE,

国匕BAE=40°,乙ECD=50°,

团匕AEC=90°,

故答案为：90。；

探究：4BAE+乙ECD=AAEC,理由如下:

如图所示，过点E作EFII48,

国乙BAE=Z1,

EL4B||CD,EFWAB,

BCD||EF,

回42=Z.DCE,

团N/EC=Z1+Z2,

BZ.BAE+乙ECD=Z.AEC^

应用：由平移的性质可得CE||FG,

S\/.ECD=Z.GFD,

EL4H平分NB4E,FH平分4DFG,

111

^BAH=-Z.BAE,乙DFH=-^DFG="CE,

222

1

国乙AHF=乙BAH+乙DFH=1^BAE+乙DCE),

团匕BAE+乙DCE=乙AEC=80°,

i

0ZXHF=±x80°=40°.

2

41.(23-24七年级下•全国•单元测试)【阅读理解】

如图①，已知点力是BC外一点，连接力B,AC,求NB4C+AB+NC的度数.

(1)请将下面推理过程补充完整;

解：如图①，过点4作EDIIBC,

贝此8=乙EAB,乙C=.

因为=180°,

所以NB+/.BAC+ZC=180°.

【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有"等角转化"的功能，将NB4C,乙B,NC"凑"在一起,

得出角之间的关系，使问题得以解决.

【方法运用】

(2)如图②，已知4811ED,试说明：Z.D+/.BCD-zB=180°.

【深化拓展】

(3)已知力B||CD,点C在点D的右侧，^ADC=60°,BE平分N4BC,DE平分NADC,BE,DE交于点E,

点E在4B与CD两条平行线之间.

①如图③，若点B在点力的左侧，^ABC=50°,求NBED的度数.

②如图④，若点B在点力的右侧，AABC=100°,直接写出NBED的度数.

【答案】［阅读理解］(1)^DAC,AEAB+ABAC+Z.DAC

［方法运用］(2)证明过程见详解

［深化拓展］(3)①4BED=55°；②4BED=160°

【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，角的和差计算方法，

［阅读理解］(1)根据平行线的性质可得NE4B=乙8,NZMC=NC,结合平角的性质即可求解；

［方法运用］(2)如图所示，过点C作CM||AB,可得2B||CM||DE,根据平行线的性质可得乙4BC=

Z.BCM,/.DCM+ZD=180°,由此即可求解；

［深化拓展］(3)①如图所示，过点E作ENII4B,可得48||EN||CD,根据平行线的性质可得乙=

乙BEN,乙CDE=LDEN,再根据角平分线的性质即可求解；

②如图所示，过点E作E”||48,同理可得，AB||EH||CD,根据平行线，角平分线的性质即可求解.

【详解】解：［阅读理解］(1)如图所示，过点/作E0II8C,贝吐B=ZC=^DAC,

^EAB+^BAC+Z.DAC=180°,

a+/-BAC+ZC=180°,

故答案为：z.DAC.Z.EAB+ABACZ.DAC；

［方法运用］(2)