平面向量小题全面梳理与分类（讲义）-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题08平面向量小题全面梳理与精细分类

目录

n，组it口且闲.田雉己14吉a

()3久口［4

04.小青

题型一：平面向量基本定理及其应用13

题型二：平面向量共线的充要条件及其应用16

题型三：平面向量的数量积20

题型四：平面向量的模与夹角23

题型五：等和线问题26

题型六：极化恒等式31

题型七：矩形大法36

题型八：平面向量范围与最值问题40

题型九：等差线'等商线问题45

题型十：奔驰定理与向量四心50

题型十一：阿波罗尼斯圆问题56

题型十二：平行四边形大法61

重难点突破：向量对角线定理66

差情;奏汨•日标旦祐

平面向量的数量积、模和夹角是高考中的重点和热点内容，它们通常以选择题或填空题的形式被考察。

这类题目经常以平面图形作为背景，来测试学生对数量积、夹角以及向量垂直条件的理解和应用。此外,

这些内容还容易与平面几何'三角函数、解析几何以及不等式等其他数学知识相结合，作为解题的工具或

手段。近年来，高考中主要围绕平面向量的坐标运算'模的最大或最小值问题，以及向量的夹角等问题进

行考察。这些问题与三角函数'解析几何等知识点紧密相关，难度适中。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2025年高考中，平面向

平面向量基本定理及

理解定理，掌握应用2022年I卷第3题，5分量的数量积预计将继续成

其应用

为重点考察内容，可能会单

独出现，也可能与平面图形

2024年II卷第3题，5分

2023年北京卷第3题，4分等其他知识点相结合。考察

平面向量的数量积、理解概念，应用解决

2023年甲卷第4题，5分内容将涵盖平面向量数量

模、夹角实际问题

2023年I卷第3题，5分积的定义、性质及其应用，

年卷第题，分

2023II135特别是利用数量积来计算

向量的夹角'模以及判断向

2024年天津卷第14题，5分

量的垂直关系等问题。这些

2023年天津卷第14题，5分

掌握范围求解，最值题目的难度可能会涵盖基

平面向量范围与最值2022年北京卷第10题，4分

方法，提升解题能力础题、中档题乃至难题，并

2022年浙江卷第17题，4分

2022年天津卷第14题，5分且以选择题或填空题的形

式呈现。

〃用识导图•思维引航\\

㈤3

.n过偏—・—拈工弓

1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，

总的思路有：

（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相

应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程

进行求解.

2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：

①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图

形的特征直接进行判断；

②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

0

心真题砒标•精御皿\\

1.(2024年北京高考数学真题)设%,石是向量，则",+双5)=0"是“£=/或，=/，的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为卜+3卜(”q=12_庐=0,可得/=片，即同=忖，

可知(a+石).("5)=0等价于同叩,

若LZ=—3,可得同=/,即伍+4,-5)=0,可知必要性成立；

若心+孙,一5)=0,即同=瓦无法得出IB或£=R,

例如商=(i,o),B=(o,i),满足同=|5|,但Z*方且可知充分性不成立；

综上所述，“卜+5卜.-5)=0”是“Z关行且2片一行”的必要不充分条件.

故选：B.

2.(2024年天津高考数学真题)已知正方形ABCD的边长为1,瓦=2反，若耳：=痴+〃品,其中九〃为

实数，则2+〃=;设下是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则步.方力的最小值为.

45

【答案】-~-

Jlo

1_.1,uuruunuuriutruun

【解析】解法一：因为即=贝i]BE=BC+CE=§3A+8C,

i4

可得2=g"=l,所以几+〃=£;

由题意可知：I阮1=1丽1=1,丽•而=0,

因为尸为线段BE上的动点，^BF=kBE=^kBA+kBC,ke\O,l],

则而而+丽=诟+/丽希+A册，

则就=方+/=_瑟+3/=；(；左_1]丽+[；左_11肥,

又因为G为""中点

可得而•方存=左一

jg1-k-1\BA+\-k-l\BC

32

2

1161-^

=-l-k-11+左|-k-1

2325

又因为Ze[O,l],可知：当人=1时，市?•万存取到最小值-上；

18

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则A（-1,0）,2（0,0）,C（0,1）,£＞（-1,1）,E\J1

可得丽=(-1,0),0=(0,1),丽=

,1

—Z=—4

因为==贝小3所以；1+〃=1；

、〃二1

因为点尸在线段BE1:y=—3x,xw——,0上，设厂（Q,—3〃）,ae——,0

1、r,.I"-13|

且G为AF中点，则

可得否=(a+l,_3a),DS=[*,-ga_l)

则标.诙="^-+(_3a)[_]_1]=5,+|)_2，

且ae-1,0,所以当“=一：时，衣.力不取到最小值为二：

_3」318

45

故答案为：—；•

318

3.(2024年新课标全国II卷数学真题)已知向量痴满足同=申+2@=2,且仅-22)4,则忖=()

A.1B.变C.3D.1

222

【答案】B

【解析】因为伍-2Z)_LB,所以,_2勾啰=0,即片=2之5

又因为忖=1诉+2@=2,

所以1+4a.B+4b=1+6片=4，

从而恸=孝.

故选：B.

4.(2023年北京高考数学真题)已知向量%5满足2+5=(2,3)为-5=(-2,1),则|小时=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量2B满足。+B=(2,3),万-5=(-2,1),

所以_|B|2=(£+B).(£-5)=2x(-2)+3xl=-l.

故选：B

5.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)正方形ABCD的边长是2,£是45的中点，则反•防=(

A.75B.3C.245D.5

【答案】B

(__.iuuniiuuni|uunuum

【解析】方法一：以｛丽亚｝为基底向量，可知,@=,。卜2,452。=。，

uunuuruuniuunuumuunuiruumiuunuum

则EC=E3+3C=—A3+AO,石O=EA+Ar)=——AB+AD,

22

uunuun(iuunuumA(iuuauumAiuua2uum2

所以lAB+AO]AB+AZ)=-+AD=—1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

UUUULIU

则E(L0),C(2,2),£)(0,2),可得EC=(1,2),即=(-1,2),

UUUUUU1

所以石C・ED=—1+4=3;

方法三：由题意可得：ED-EC-A/5,CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-43

在△CDE1中,由余弦定理可得cosNOEC二

2DECE2x百x百5

uunuun|UUtti||UUtti|3

所以£。.£。二|困陷的/£)石0=石＞6乂，=3.

故选：B.

6.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量a=(3,1),5=(2,2),贝!|cos(a+b,a-b\=

「A/5

AB.叵V_X.-----------D

-17175-f

【答案】B

【解析】因为Z=(3,1),3=(2,2),所以4+石=(5,3),4-石=(1,-1),

则,=,52+3?=\/§4,l^z—/?|=V1+1—V2,([+/?).(〃_/?)=5xl+3x(—l)=2,

a+b^-(a-b2717

所以cos(〃+及=

B+丽川.V34xV2-17,

故选：B.

7.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量方石忑满足同=忖=1,同=应，S.a+b+c=O,则

cos(a-c,b-c)=()

A.-1

BcD

5--I-1-?

【答案】D

【解析】因为G+方+1=0,所以三+。

即42+石2+2万,9=^,即1+1+25)=2,所以无方=0.

如图，设瓦=。,砺=反^口

c

由题知,OA=OB-1,OC=^2,JJAB是等腰直角三角形,

AB边上的高O£>=走,AO=交，

22

所以0)=0?+0£>=血+走=谍,

22

tanZACZ)=—=-,cosZACD=-1=

CD3丽'

cos(a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-l

故选:D.

8.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）己知。。的半径为1,直线出与。。相切于点A,直线PB与。。

交于8,C两点，。为BC的中点，若归0|=应，则丽.丽的最大值为（）

A1+V2口I+2V2

22

C.1+72D.2+V2

【答案】A

【解析】如图所示，|。4|=1,|。尸|=0,则由题意可知:=

由勾股定理可得|PA|=^OP2-OA2=1

B

TT

当点AM立于直线尸。异侧时或网为直径时，设

则：pA.pb=\PA\-\PD\cos\a+^

兀

=1x6coscrcoscr+—

夜.\

=^2cosacosa------sma

2

=cos2。—sinacosa

1+cos2a1.八

-----------------sin2a

22

sin12a一£

22

八7171TCn

0<a<一,贝!J----<2a-----<—

4444

IT

当点"位于直线P。同侧时，设

71

则：西.丽=PA•尸。COS~~a

=1x0COS6ZCOS

（垃0.

=A/2COS6Z—cosaH-----sina

22

7

=cos2a+sm.acosa

1+cos2a1.小

--------------1sin2a

22

WY，

22

八九L\71入713TT

0<a<一,则一——<——

4444

.•.当2a+g=g时，丽.所有最大值匕变.

422

综上可得，丽.丽的最大值为匕巫.

2

故选：A.

9.（2023年天津高考数学真题）在VA5C中，BC=1,NA=60。，通=；荏，函=，记泡=2/=B,

用a5表示荏=；若乔=；就,则荏的最大值为.

…生、1-113

【答案】—G+—r—

4224

AE+ED=AD

【解析】空1：因为E为CD的中点，则而+配=6,可得一一一，

AE+EC=AC

两式相加，可得至U2荏=3方+3至，

即2演=1£+石，贝1|展=1£+工行；

242

—1―■AF+FC=AC

空2：因为贝l|2EB+FC=0，可得＜

AF+FB=AB

即3赤=2公+万，即荏=/+《.

于是荏.乔=伍+加你+到=白21+5£石+2片）.

，己AB=x,AC=y,

贝”通・福=,（2/+5£出+2片）=《（2/+5型0560°+2力=白2/+警+2、2

22222

在VABC中，根据余弦定理：BC=x+y-2xycos600=x+y-xy=l,

----1

于是AE-AF=—

由炉+,2一孙二］和基本不等式，x2+y2-xy=1>2xy-xy=xy,

故孙wi,当且仅当工=》=1取得等号,

13

则x=y=l时，通.乖有最大值

24

1一1一13

故答案为：—a+—b；—.

4224

10.（2023年新课标全国n卷数学真题）已知向量a,5满足|万-5|=6，1+司=|2万一图,则忖=

【答案】6

【解析】法一：因为卜+5卜忸司,即伍+耳=侬一耳,

贝UL+Zo-b+Z/-4a-4a-b+b''整理-得7-2日不=0，

又因为追，即（"q=3,

贝成一2荽+抹=九3,所以|*5

11.rirrrrrrrr

法二：设。=三—b，贝!jH=j3,“+b=c+2。,2Q-Z?=2c+Z?,

由题意可得：?+助）=（2c+Z?）,则：+4；.%+432=4；+4：力+济

整理得：氏=*即M=R=6.

故答案为：6

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：平面向量基本定理及其应用

【典例1-1］如图，在VABC中，AN^^AC,P是3N的中点，若而=机南+〃正，则优+〃=()

【解析】因为丽所以的=丽一荏=,正一通，

22

—.1-.1—.1—»

因为夕是5N的中点，所以5尸=75N=：AC—7A3,

242

所以Q=丽=荏+工/一工通=工通+工/，

4224

______113

乂AP=〃?AB+〃AC，所以机=彳，n=:，即：〃+〃=；.

244

故选：D.

【典例1-2】(2024.河南商丘.三模)如图，在VA2C中，点、D,E分别在边AB,BC上，且均为靠近B的四

等分点，C。与AE交于点/，若丽=工荏+、/，则3x+y=()

【答案】A

【解析】连接。E,

A

由题意可知，鲁所以的”则需BD1

~BA4

DFDE1—►1—►—.—►—.—►3—►

所以——=——=—,所以50=--AB,DC=AC-AD=AC一一AB,

FCAC444

uumiuuuiuum3uun

贝!]£>/=—OC=—AC——AB,

5520

uunuunuuniuuniuum3uunou®1uun

故BF=BD+DF=一一AB+-AC——AB=一一AB+-AC.

452055

______21

5LBF=xAB+yAC,所以尤=一二，》=《，贝l]3x+y=-l.

故选：A

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘

运算.

2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）

运用法则找关系；（4）化简结果.

【变式1-1］（2024・广东•模拟预测汨知等边VA3C的边长为1,点AE分别为AB,BC的中点，若而=3丽，

则通=（）

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2426

1__,___.1uun3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】A

【解析】在VABC中，取｛衣,才耳｝为基底，

A

因为点D,£分别为的中点，DF=3EFf

—•1—«1—.

所以跖=—DE=—AC,

24

所以衣二衣+舒=：（而+衣）+；*而+

故选：A.

【变式1・21（2024.新疆.模拟预测）在平行四边形A5C。中，MN分别在边CD,AD上，DM=MC9AN=2ND,

AM,BN相交于点尸，则Q=()

1—>1—►1—►1—►

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

4224

1—►2—»3—►1—»

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

3343

【答案】A

AM=AD+DM=AD+-DC=AD+-AB,

22

设Q=4说,

—.—.1—.3-■1--

贝1|AP=2AD+万=万XA7V+52,

31

又反RN三点共线，所以:彳+；彳=1,

22

解得2=；，

—.1—.1—.

所以AP=一AZ)+—A5,

24

故选：A

命题预测T

8.如图，在平行四边形ABC。中，点E满足=点产为CD的中点，则方斤+正=()

2、J,c

3.1-3►1>3-5>1.5-

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

23242424

【答案】B

【角军析】因为屁=§配，所以方后=友+屈=砺一^

因为点尸为。。的中点，所以/=布+而=砺+!/，

2

--►3—«1—>

所以OE+A尸=—A3+—AO.

24

故选：B.

题型二：平面向量共线的充要条件及其应用

【典例2-1】在VABC中，M、N分别在边AB、AC上，且荏=2说，AC=4AN，。在边BC上(不包

_,,_.12

含端点).若A£)=xAM+yAN,则一+1的最小值是()

xy

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】因为。在边BC上(不包含端点)，不妨设彷=2就，其中0<4<1,

即莅-丽=2国-砌，

所以，AD=(1-A)AB+2AC=2(1-2)AM+42J42V,

又因为而=苫说+>初，贝卜=2-2；1,y=4A,其中x、y均为正数，

且有2x+y=4,

>—

一4

4x_y

y1

fx=]

当且仅当<2x+y=4时,即当c时，等号成立,

[y=2

x>0,y>0

12

故则一+一的最小值是2.

xy

故选：A.

【典例2-2】已知£石是平面内两个不共线的向量，AB^a+Ab,AC^^a+b,A,M^R,则A,B,C三点共线

的充要条件是（）

21

A.2-〃=1B.2+〃=2C.A/z=1D.—=1

【答案】C

【解析】由A,B,C三点共线的充要条件是AB=mAC且加eR,

即a+Ab=m^a+b^=mjua+mb,由2石是两个不共线向量，

所以]:"」，故办=1.

yA=m

故选：C.

1、平面向量共线定理：已知况=4砺+//诙，若4+4=1,则A氏。三点共线；反之亦然.

2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量4=（石,%）,5=（4,%），则,/区的充要条件

是%%-々乂=。；（2）若文//火五。0），则商="•

【变式2・1]如图，已知点G是VABC的重心，过点G作直线分别与A5,AC两边交于M,N两点，设

UUULaimuumuuu

AM=xAB-AN=yAC<则x+9y的最小值为（）

【答案】C

A

【解析】

如图，延长AG交BC于点£),因点G是VABC的重心，

uum2u1®21uunuumiuuuiuum

贝l]47=§4。=寸](43+4。)=§42+§4。，①

因M,G,N三点共线，贝IJ方>0,]tAG=tAM+(l-t)AN,

uuuaimuumuuu_______.____

因AM二xAJS，AN=yAC>代入得，AG=txAB+(l-t)yACf②

1

比=-]]]

3

由①，②联立，可得，<,,消去f即得，-(-+-)=1,

“13xy

(Dy=§

x

贝l,jx+9门y=（zx+9cy）、qI（/一+—1）、=二1（八1c。+—+9上y,）210?+1丁,25/9=牙16，

3xy3yx333

当且仅当x=3y时等号成立，

4416

即x==\时，x+9y取得最小值，为g.

故选：C.

【变式2-2】如图所示，VABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若丽=尤丽+丫就,

21

则一+一的最小值（）

尤y

【答案】D

【解析】因为点。是线段2C的中点，贝U阮=2丽,

贝ljBE=xBA+yBC=xBA+2yBD,

因为AE,Q三点共线，所以x+2y=l（x>0,y>0）,

21

WJ-+-=(x+2y)=4

%y

曳二11

当且仅当!%y时，即％=x，y=：时，等号成立,

c124

x+2y=l

2I

所以一+一的最小值为8.

%y

故选：D

命题预测

I.已知。是VABC所在平面内一点，若次+而+灰="湎7=乂砺,箱=、正，痂=彳西x,y均为正数,

则孙的最小值为（）

A1

【答案】B

【解析】因为市+砺+诙=6，所以点。是VABC的重心,

所以13=|xg回+硝=；回+硝.

因为海=*荏,前=＞林，所以衣=,说,衣=,而，

xy

I―.I—.

综上，AO-—AM+——AN

3x3y

因为耐"两，所以M,O,N三点共线，则（+/1，即4，3・

因为尤，y均为正数，所以，+，碑口，则

xyyxyyxy2

4II32

所以孙丁（当且仅当二亍二，即x=y=§时取等号）,

,「4

所以孙的取小值为—.

故选：B

题型三：平面向量的数量积

【典例3-1】如图，在平行四边形ABC。中，。,后分别为AC,BC的中点，F为AE上一点，且E4=FB,

AO=2AB=4,贝I」而.历=

【答案】1

如图，连接02,在平行四边形中，0,E分别为AC,8c的中点,

则及0,0三点共线，且。为8。的中点，所以砺=丽.

过点尸作FG1AB于点G,设44B=6,

由E4=EB,AD=2AB=4,

得AG=；AB=1,贝口”|=国=，.

2।।cos。cos。

由0,E分别为ACBC的中点,

则的=g丽，|屁|=|福|=2,所以NAE3=0,

所以Q.团=而.前=3F•（屈+的）

=AFBE+AF-W=AFBE--AFAB

2

=---2•cos。------2-COS0=1.

cos。2cos。

故答案为：1.

【典例3-2】已知向量Z，1满足*2闸平斗2,且同=1,则£石=

【答案】y/0.25

4

/-4万Z+452=4

【解析】由—2行|=|2万—5|=2得＜

4a2-4a-b+b2=4

两式相减得-3同2+3问=0=忖=忖=1,

__1

所以1—4小B+4=4，则小。=:.

4

故答案为：

1、向量的数量积：设两个非零向量的夹角为。，则同•出|.cos6叫做M与万的数量积，记作展人

2、数量积的几何意义：数量积落5等于五的长度I阖与B在五的方向上的投影|引cos。的乘积.

3、设向量2=（%,yj,5=（工2，%），贝U展石=石兀2+%%，由此得到：

⑴若五=（x,y）,则|商『=%2+y2或⑷=J尤2+,2・

⑵设4（为乂）,5（工2，%），则4B两点间的距离AB=|通|=-Xi,+（%-MP

⑶设两个非零向量商而且a=（x，yj,b=（x2,y2）^则少_1石=芯%2+乂%=。

（4）若万方都是非零向量，。是。与5的夹角，则3。=丹=产；”，

■116—+$

【变式3-1］如图，在VABC中，4AC=,而=2两，尸为CD上一点，且满足点=根工+3丽，若国=2,

网=3,则Q.函的值为.

【答案】1

__,2__.

【解析】由赤=2万可得而=§通，

又C,P,。三点共线，

1n

则有AP=mAC+（1—rri）AD=mAC+，:AB,

由于4P=〃2AC+/A8（7"eR）,所以下二=已，即相=1,

__2___________________,

^CD=CA+AD=-AC+^AB,

MZBAC=|,|AC|=2,同=3,

__,1__1____.__2____►

^AP-CD=(-AC+-AB)-(-AC+-AB)

22

=^1AC+-AB--ACAB

433

=—Ix4/+—1x9c—Ix2cx3cx—I=1

4332

故答案为：1.

【变式3-2］如图，在平面四边形ABCD中，。为BD的中点，且0A=3,OC=5.^ABAD=-7，则

BCDC=

【答案】9

【解析】如图，在VABC中，。为BC的中点，下面证明结论：AB-AC=\A^-^CB^.

因为。为BC的中点，

所以荏+*=2而，所以|荏『+|/『+2通=4|而『①

5LAB-AC=CB,所以|通『+|正『-2福•衣=1国『②

①-②得4福.衣=4|1512T而|2,所以前./=|而卜J屈「

因为在平面四边形ABCD中，。为BD的中点，且0A=3,OC=5.

DF)2

所以福•砺=04--------=-7,解得BD=8,

4

则阮友=OC?一处-=9.

4

故答案为：9

命题预测

1.已知VA3C是边长为4的等边三角形，点。，E分别是边AB,BC的中点，连接OE并延长到点尸.使

得DE=2EF,贝lj赤.能=

【答案】2

【解析】如图：

以｛_BC,痴｝为基底，则_BC.2A=4x4xcos6（）o=8，|BC|=|BA|=16.

所以瓦=：阿_网，DF=|DE=|（BC-K4）,

所以衣=莅+而=4丽+：网-丽）=_:丽+：觉.

所以而•品=（_工丽碇］•而=_*丽.而+』而2

=_5X8+3X16=2

［44）4444

故答案为：2

题型四：平面向量的模与夹角

【典例4-1］（2024•黑龙江佳木斯•模拟预测）已知向量苕，B满足讶=（3,4）,洒.=6,B-田=7,则归卜—.

【答案】6

【解析】由1=（3,4）可得同=斤不=5,

B一方卜yja2+P-2a-b=7=也5+/-2义6=7,解得网=6,

故答案为：6

【典例4-2】（2024•全国•模拟预测）如图，在VA08中，ZAOB=120°,OB=2OA=2^,P在以。为圆心,

半径为1的圆上运动，则当西.而取最大值时，cosNAP3=.

，B

【答案]幽士M

3838

【解析】

如图所示，以。为坐标原点，以A。方向为无轴，垂直。4方向为y轴，建立平面直角坐标系,

因为NAO5=120。,OB=2OA=2y/3,所以4卜后0),网后,3).

设P(%,y),圆O方程为/+>2=晨

则丽=.百_阳川,丽=(抬一尤,3-y),

所以西.丽=卜石_x)(若_x)_y(3_y)=f+y2_3y_3=_3y_2.

因为-当y=T时，(尸4尸2)=1,

\/max

此时尸(0,-1),且西=卜后1),丽=(6,4),

所以国=2,陛卜晒，则cos/”八苛林=壶=^・

故答案为：叵

(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为[0/].

(2)求非零向量口B的夹角一般利用公式cos0=二!=,<々+注—先求出夹角的余弦值,然后求

⑷闻后西还

夹角.也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象.

【变式4-1](2024•高三•重庆・期末)已知非零向量圆5满足：且R+=|无，则宗=.

【答案】

［解析】•・•。出='卜+5H万一.=4万|2+时.

•：<a+b,a-b>=—»,，cosa+b.a-b=COS—71，

(a+b^'(d-b五|2—W

p解得府=3同2,

商F+5F

故答案为：无.

3

【变式4-2］已知平面内两个向量2=（2太1）,5=",£|,若日与B的夹角为钝角，则实数A的取值范围

是.

【答案】（r,—l）U（—1,0）

【解析】由题意，a-b=2k+^<0,:.k<0.

2k1八

—二—<0

当苕，方反向时，有1左，解得左=—1,

所以上的取值范围是（e,-l）u（-l,o）.

故答案为：（e,T）U（—1,0）

［命题预测］

1•平面向量0满足2同=W,Q_LZ?,若a+Z?+c=0，则cos（口3=.

【答案】一旦-之后

55

【解析】因为所以万Z=o,

由题设有仁一（万+5）,故

同=&同，故一£

而

故答案为:

题型五：等和线问题

【典例5-1】已知在VABC中，点尸满足3Q_^=正，动点/在ABPC的三边及内部运动，设

AM=xAC+yAB,则6x+3y的取值范围为.（用区间表示）

【答案】［3,6］

因为3通-丽=/，所以3丽而-丽）=无-所，

整理得西+