人教B版高中数学选择性必修二同步讲义：排列、组合与二项式定理章末测试（学生版+解析）

第三章排列、组合与二项式定理章末测试

（考试时间：120分钟试卷满分：170分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（23-24高二下•广东肇庆•阶段练习）区（）

3!

A.24B.80C.48D.72

2.（23-24高二下•广东中山•期末）用数字0,1,2,3,4,5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数

为（）

A.76B.38C.36D.30

621%++%

3.（23-24高二下•湖南益阳・期末）已知(1+2x)(2-x)=%++a2x++a1x,那么的值

%+/+%+ai

为（）

170170121121

A.B.----C.D.

183183122122

4.（23-24高二下•福建南平・期末）将分别标有数字L2,3,4,5的五个小球放入A,B,。三个盒子，每

个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不

同方法有（）

A.72种B.42种C.114种D.36种

5.（23-24高二下,山东荷泽•期末）若4x6"+5”-aSeN）能被25整除，则正整数。的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

若卜+/［卜-的展开式中常数项是20,则加=（）

6.（23-24高二下•山西吕梁•期末）

A.-2B.-3C.2D.3

7.（23-24高二下,江苏镇江•期末）2024年第二届贵州〃村超〃总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的

6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调

研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（）

A.900B.800C.470D.170

8.（23-24高二下•江苏泰州,期末）已知（1-x）”的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系

数的最小值为（）

A.-126B.-84C.-56D.-35

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（24-25高二上•福建龙岩•期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，

现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（）

A.7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840

B.7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720

C.7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480

D.7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法

10.（24-25高二上•四川眉山•期中）已知〃耳=（2.一3）”（,7€旷）展开式的二项式系数和为512,

2

/（x）=a0+<71（x-l）+tz2（x-l）+...+an（x-l）",下列选项正确的是（）

A.q+2+•,•+=1B.q+2%+3g+,••+nan=18

C./（6）被8整除的余数为1D.同+同+...+同=39

11.（23-24高二下•江苏扬州•期中）〃杨辉三角〃是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱

好者的探究欲望.如图，由〃杨辉三角〃，下列叙述正确的是（）

杨辉三角

第

0一

厅1

第

1一

11

第

2fT一

厅121

第

3一

1331

第4f=T

14641

第5

fT.

厅15101051

第6

(1615201561

第7

fT一

第8172135352171

fT18285670562881

A

.C；+C；+C；++C；=120

B.第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等

〃+1

C.记第"行的第i个数为为，则

«=1

D.第20行中第8个数与第9个数之比为8:13

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（23-24高二下•河北石家庄•期末）（2+x）（x-2y）5的展开式中尤3y2的系数为.（用数字作答）

13.（23-24高二下•重庆・期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为

黄色）对图中四个区域A,反CE进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且

只有一组相邻区域同色的染色方法有种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的

染色方法有种.

14.（23-24高二下•上海宝山・期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组（为,马,£,龙4，毛）构成的:

每一个元素玉等于0、1、-1中之一，其中1=1,2,3,4,5.那么集合A中满足条件“14»,区3”的元素

Z=1

个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（23-24高二下•北京丰台,期末）2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生

2》、《热辣滚烫》、《熊出没.逆转时空》4部优秀的影片.现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观

看.

⑴如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？

（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不

同的选择方法？

⑶如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？

16.（15分）（23-24高二下•新疆克孜勒苏•期末）已知［亍一x］（其中a>0,〃eN*）的展开式中前3项的

二项式系数之和等于16.

⑴求"的值；

（2）若展开式中炉的系数为一40,求实数。的值.

17.（15分）（23-24高二下•河北邢台•期末）达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部，占地面积4700

平方米，共收集6大类23个月季品种4.3万株，是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一体的

花卉展园.某天，甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、白

佳人、金凤凰这6种月季花，且甲第一个观赏的不是北京红.

⑴求甲不同的观赏方案数；

⑵若甲上午和下午均观赏3种月季花，且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午，一个在下午，求甲不同

的观赏方案数.

18.（17分）（23-24高二下•河南信阳,期末）已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记

满足条件的所有不同的排列种数为«.

⑴求〃的值；

n

（2）设（1一3%）“=%+%%+++anx,

①求。1+%++”"的值；

②求奇次项的系数和.

19.（17分）（23-24高二下•黑龙江齐齐哈尔•期末）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉

（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每

个三角形数组顶端的数等于底边两数之和.现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为4,第2行的第2个数

字为的，…，第，行的第2个数字为%.

1……第0行……1

Ii……第1行……11

TT……第2行……121

i九+4i……第3行……1vyv1

i■击击击I……第4行……144

图1图2

（1）求4+4+。3++。6的值；

1

⑵将杨辉三角中的每一个数c;都换成5+1Q就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质

c；；+1=C；+C3（reN,1VrV〃），也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性

质，并证明你的结论.

第三章排列、组合与二项式定理章末测试

（考试时间：120分钟试卷满分：170分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（23-24高二下•广东肇庆•阶段练习）（）

3!

A.24B.80C.48D.72

【答案】A

【分析】根据组合数以及排列数的计算即可求解.

【详解】&^=4S=4C；=24,

3!3!

2.（23-24高二下•广东中山•期末）用数字0,1,2,3,4,5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数

为（）

A.76B.38C.36D.30

【答案】C

【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数，按个位是0和不是0进行分类；个位不是0时要注意选中的数

有0和不是0情况求解.

【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0,2,4,有3种选择，

而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0,有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论：

①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，

与百位数一样，只有一种选择，

与个位数一样，也只有一种选择；

②当个位数为2时，

如果百位数为2,则十位数有6种选择，

如果百位数不为2,则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择：

当个位数为4时，

如果百位数为4,则十位数有6种选择，

如果百位数不为4,则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择

综上所述，5x1+5x1+1x6+4x2+1x6+4x2=38.

J

3.(23-24高二下,湖南益阳,期末)已知(1+2苫)(2-尤)6=%+4述+“2—+•+a7x,那么°的值

为()

170170―121121

A.---B.----C.---D.----

183183122122

【答案】C

L1^=1可^^。()+“1+%+〃3+“4+05+。6+%，X——1?—。3+〃4—。5+〃6—%，艮

求出佝+%+&+/，4+/+%+%，再利用展开式的通项求出。6，即可求出佝+%+。4，从而得解.

621

【详解】因为(1+2x)(2-x)=a。+axx+a2x++a^x,

x=1W|*%+q+%+Q3+。4+%+4+%=3,

X——1CLQ—q+a?—%+&_a5+4_%=_36——729,

3-7293-(-729)

所以Q0+〃2+〃4+4==-363,%+4+%+%=——-----=366，

22

66

又(1+2x)(2-x)=(2-%)6+2x(2-x),

6rr

其中(2-"展开式的通项为Q=2-C6(-x)=26T(_］丫c"，(04/46且reN),

所以4=2y+2x2«x(—I)，=-23,

所^以6ZQ+%+/=—363—4=—363+23——340,

%+%+dd—340170

所以%+「%+二%+：为=三36二6=—1-8・3

4.（23-24高二下•福建南平•期末）将分别标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入A,B,C三个盒子，每

个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不

同方法有（）

A.72种B.42种C.114种D.36种

【答案】D

【分析】可先将小球分组去掉1和2在一组的分法，再将三组小球放入三个盒子中即可.

【详解】5个不同的小球，先分成3组，可分为1,1,3,或者是1,2,2,

将每一种分法放到3个盒子中，共有A；种不同方法,

(r2r2)

根据分步乘法计数原理得：(C；-C；)+安-c；xA：=114种.

_IA2)_

5.(23-24高二下•山东荷泽・期末)若4x6〃+5〃—a(〃£N)能被25整除，则正整数〃的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】利用二项式定理展开，并对“讨论即可得到答案

【详解】H^4x6,1+5n-«(«eN)^^25

所以当”=1时，4x6+5-a=29-a,此时a=29-25A(keZ),a>0,

当％=1时，。=4；

当〃22时，

4x(5+l)"+5/i-a=4x(5"+C>5,>-1+.+C；；-2x52+C/x5+l)+5w-a

=4x(5"+C；x5”—+-+C72x52)+4x(C^'x5+l)+5H-a

=4x25(5"-2+C；x5n-3++C；「2)+25〃+4—a

2

=25(4x5"-2+4CJ,x5”-3++4C^+n)+4-a,

因此只需4-。能够被25整除即可，可知最小正整数。的值为4,

综上所述，正整数。的最小值为4,

6.(23-24高二下•山西吕梁・期末)若［

x+的展开式中常数项是2。，则机=()

A.-2B.-3C.2D.3

【答案】A

【分析】由］X+号f+nL_lY,写出♦-工［展开式的通项，从而得到展开式中常数

/x\xJvx)

项，即可得解.

【详解】卜

=«T-X\X)

(X-的展开式的通项公式为加=(W'JZcQiyv,

j5的展开式的常数项为-C；=-10；

令5-2r=—1,解得r=3,则

令5-2厂=1,解得厂=2,贝心(X」］’的展开式的常数项为mCl=10m,

X1X)

因为［-£|的展开式中常数项是20,所以1010=20,解得加=3.

7.（23-24高二下•江苏镇江•期末）2024年第二届贵州"村超"总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的

6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调

研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（）

A.900B.800C.470D.170

【答案】D

【分析】按1,2,3或2,2,2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可.

【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生，

所以可以分成1,2,3或2,2,2两类，

当6人分成1,2,3三组，有C；C；C；A；=360种分法,

当6人分成2,2,2三组,有=90种分法,

所以不同的安排方法种数为360+90=450种,

8.（23-24高二下,江苏泰州•期末）已知（1-x）”的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系

数的最小值为（）

A.—126B.—84C.—56D.—35

【答案】D

【分析】由（1-x）”的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，得到〃=8,从而求出展开式中系数的最小

值.

【详解】因为（l-x）"的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以〃=8,

所以展开式的通项公式为=C；1»（-尤）'=C；（T）b"要使展开式中系数的最小值，贝卜为奇数，取值为1,

3,5,7,所以当/=3或5时,系数最小，则展开式中系数的最小值为C；（-1）3=C；（-1）5=-56,

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（24-25高二上•福建龙岩・期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，

现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（）

A.7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840

B.7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720

C.7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480

D.7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法

【答案】AD

【分析】A先从7个位置中选3个排小明等3人，随后排列剩下4人，可得排法总数；

B将小明，小红两人捆绑为1人，随后与剩下5人一起排列，可得排法总数；

C先排剩下5人，随后将小明小红排进5人的空隙中，可得排法总数；

D先将7人按2+2+3形式分为3组，再给每组安排训练，可得安排总数.

【详解】A选项，先从7个位置中选3个排小明等3人，有=35种方法，

随后排列剩下4人，有A：=4!=24种方法，则共有35x24=840种方法，故A正确；

B选项，将小明，小红两人捆绑为1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列，

有A：=6!=720种方法，则共有720x2=1440种方法，故B错误；

C选项，先排剩下5人，有A：=5!=120种方法，再将小明小红排进5人产生的6个空隙中，

有A；=6x5=3。种方法，则共有30x120=3600种方法，故C错误；

D选项，由题分组情况为2人的2组，3人的一组，贝有生7x6x5x4=105种方法,

28

随后安排训练，有A；=3!=6种方法，则共有105x6=630种方法，故D正确.

D

10.（24-25高二上•四川眉山•期中）已知/（x）=（2x-3）〃N*）展开式的二项式系数和为512,

2n

/（x）=tz0+«1（X-1）+«2（X-1）+...+an[x-l）,下列选项正确的是（）

A.q+%+,••+=1B.%+22+3/+•••+〃。九—18

C./⑹被8整除的余数为1D.闻+同+.•.+⑷=39

【答案】CCD

【分析】先用题目条件得到〃=9,然后取特殊值即可验证A,对表达式求导即可验证B,换元并使用二项

式定理即可验证C,考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D.

【详解】由已知有2〃=C：+C：++C：=512,故〃=9,/（x）=（2x—3），

所以（2工-3）=%+“]（%—+—1）+,+%（元—1）.

对于A,取％=1得-1=4°,取％=2得1=。（）+4++%，

所以4+%+..•+%=1—（—1）=2,A错误；

对于B,对（2x-3）9=%+4（1_1）+〃2（%_1）2+-+。9（1_1）9求导得

18（2%—3）=G+2%（4―1）+3%（%—1）++9〃9（x—1）,

取第=2得18=q+22+3/+...+9。9,B正确；

对于C,/（6）=99=（8+l）9=C^88+C8-87+...+C^81+C^8°,

.

c正确

数1,

为余

项即

后一

.

+%

—生+

4+4

=―

+同

+

+同

）有

.,9

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0,1,

左（左=

•（—I）'

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一批又

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