期末能力提升卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

期末能力提升卷20242025学年数学九年级上册人教版

一.选择题（共8小题）

（2023秋•四平期末）

1.下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（）

A.尔-2x+3=0B.尤2+9=0

C.—-=3D.+2y+6-0

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义求解即可，熟练掌握其概念是解

决此题的关键.

【详解】A、该方程的未知数的二次项系数是当a=0时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题

忌；

B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意；

C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；

D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；

故选：B.

（2023秋•南通期末）

2.抛物线丁=必—4x+3的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（-2,-1）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解.

【详解】解：y=f—4%+3=（X—2）2—1,

•••顶点坐标为（2,-1）,

故选:B.

（2023秋•兖州区期末）

3.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗

产代表作名录.以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（）

A.B.。詈D.

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键.

根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转180。后与自身重合，由此得到答案.

【详解】解：根据题意得：

A选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C选项是中心对称图形，故本选项符合题意；

D选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：C.

（2023秋•宿迁期末）

4.已知的半径为3,点尸是直线/上的一点，OP=3,则直线/与的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.相切或相交

【答案】D

【解析】

【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d〈r,则直线与圆相交；若d=r,则直线于圆相切；

若d>r,则直线与圆相离.

【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3.

此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能.

故选：D.

【点睛】考查判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离.特别注意：这里的3不一定是圆心

到直线的距离.

（2022秋•宛城区校级期末）

5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回

并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）

【答案】A

【解析】

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所

求情况数与总情况数之比.列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况

数，即可确定出所求的概率.

详解】解：列表如下:

红绿

红（红，红）（绿，红）

绿（红，绿）（绿，绿）

所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，

所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为:，

4

故选：A.

（2023秋•延长县校级期末）

6.若关于X的一元二次方程（加—1）尤2—如+1=0有两个相等的实数根，则机的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据题意可得出A=b2—4改=0,

代入即可求出川的值.

【详解】解：,••关于x的一元二次方程（加—1）*—如+1=。有两个相等的实数根，

A=b2—4-ac=（―m）-—4x（m—1）=（机—2『=0,且加―1彳0,

解得：m=2,

故选：D.

（2023秋•交口县期末）

7.如图，是0。的切线，点8是切点，延长CO交。。于点A,连接OD=2,NC=30。,则

2B的长为（）

BC

A.272B.372C,273D.3A/3

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识.连接08、DB，由

AO是。。的直径，得？ABD90?,AD=2OD=4,由切线的性质得NOBC=90。，而

ZC=30°,则NBOC=60°,得到△500是等边三角形，则5D=OD=2,所以

AB=>JAD2-BD2=26，于是得到问题的答案•

【详解】解：连接08、DB，则OB=OD=2,

BC

•.•AD是。。的直径，

：.ZABD=90°,AD=2OD=4,

与相切于点B,

BC±OB,

:.NOBC=90。,

ZC=30°,

.-.ZBOC=60°,

.•.ABOD是等边三角形，

:.BD=OD=2,

AB=AD--BD-=A/42-22=273.

故选：C.

（2023秋•荣昌区校级期末）

8.如图，二次函数丁=翻2+阮的图象经过点—g,0,对称轴为直线x=l,下列结论：①

abc<0；②a—2Z?+4c=0；®2a+b>0；@a+b<m^atn+（其中mwl）；@Z?-c>0；正确的

结论有（）

A.1个B.3个C.2个D.4个

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据二次函数的图象与系数的关系可判断①错误；由点［―

b

可判断②正确；由对称轴为直线》=——=1可判断③错误；由X=1时，函数取得最小值，可判断④正确；

2a

由②③可求得b和c的值可判断⑤错误；据此即可求出答案.

【详解】解:①二次函数的图象开口向上，a>0,函数的对称轴在y轴右侧,则仍<0,而c<0,故"c>0,

故①错误，不符合题意；

②将点代入函数表达式得：a—2〃+4c=0,故②正确，符合题意；

b

③函数的对称轴为直线工=——=1,即人=—2a,故2a+Z?=0,故③错误，不符合题意；

2a

④当x=l时，函数取得最小值，又mfL则a+b+c<m{am+6）+c,即a+b<〃z（M+。），故④

错误，不符合题意；

⑤由②③得：a-2b+4c=0,b=-2a,则c=——，故6-。=-邛<0,故⑤错误，不符合题意；

44

综上，②正确.

故选：A.

二.填空题（共8小题）

（2023秋•沈河区校级期末）

9.关于龙的一元二次方程V+3x+左=0有一个根为九=2,则左的值为

【答案】-10

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键.由题意得，代入

尤=2到方程求出上的值即可.

【详解】解：代入x=2到方程得，2?+3x2+左=0，

解得：左=—10.

故答案为：-10.

（2023秋•东西湖区期末）

10.在平面直角坐标系中，点（4,-5）关于原点的对称点的坐标是.

【答案】（T5）

【解析】

【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是

互为相反数是解题的关键.根据关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解.

【详解】解：点（4,-5）关于原点对称点的坐标是（T,5）.

故答案为：（-4,5）

（2023秋•大观区校级期末）

11.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm,下雨前水面宽为100cm,一场大雨过后，水面宽

为240cm,则水位上升cm.

【答案】70或170

【解析】

【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的

图形进行求解即可，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想解答是解题的关键.

【详解】解：如图，作半径于C,连接08,

由垂径定理得，BC=-AB=-xl00=50cm,

22

•.•直径为260cm,

。8=OB'=130cm,

在Rt4OBC中，OC=y/OB2-BC2=71302-502=120cm>

当水位上升到圆心以下AB'时，水面宽为240cm,则B'C=工AB'=^x240=120cm,

22

在RUOB'C中，OC=ylOB,2-B'C2=V1302-1202=50cm，

此时水面上升的高度为120-50=70cm；

当水位上升到圆心以上A"B"时，水面上升的高度为120+50=170cm；

综上可得，水面上升的高度为70或170cm,

（2023秋•洛阳期末）

12.如图，顺次连接等边三角形三边中点得到四个全等等边三角形.任意给其中两个涂色，涂色部分正好是

【解析】

【分析】本题考查了几何概率；根据概率公式即可求得结果.

【详解】解：任意两个涂色，总涂色结果有6种，其中涂色部分正好是菱形的结果有3种，则

31

涂色部分正好是菱形的概率是:=-；

62

故答案为：■

（2023秋•绥中县期末）

13.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间f（单位：$）的函数解析式是5=60/—1.5»,飞

机着陆后滑行米才能停下来.

【答案】600

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意得出飞机滑行的距离即为S的最大值，将函数解析式配

方成顶点式求出S的最大值即可得.

3

【详解】解：•••s=60t—1.5〃=—5”一20）9一+600,

...当”20时，s取得最大值600,即飞机着陆后滑行600米才能停下来，

故答案为：600.

（2023秋•甘井子区校级期末）

14.如图，已知。。的半径为2,AC与0。相切，连接AO并延长，交。。于点8,过点C作

CD±AB,交于点。，连接BD,若NA=30°,则弦BD的长为.

【答案】26

【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质，连接。C,由于C4是。。的切线，从而

可求出NAOC=60。，由垂径定理可得即=£C,再由直角三角形的性质即可求出BD的长度.

【详解】解：连接OC,设CD与4B交于点E,如图.

•.•C4是。。切线，

:.ZACO=90°,

•/ZA=30°,

:.ZAOC=60°,

•/DC±AB,ZB过圆心O,

:,ED=EC,ZOCD=3Q0,

：.OE=-OC=1,

2

EC=DE=y/0C2-OE-=J3，

5E=l+2=3,

BD=^DE2+BE2=2A/3,

故答案为：2网-

（2023秋•连云港期末）

15.如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形Q钻CDE边长是6,则它的外接圆圆心尸的坐标是

【答案】（3,36）

【解析】

【分析】如图所示，连接P。，PA,过点P作PGLOA于点G,由正六边形。钻CDE推出△（?，么为等边

三角形，进而求出OG、PG的长度即可求得P点坐标.

【详解】解：如图所示，连接尸。，PA,过点P作PGLOA于点G,则NOGP=90。，

,/多边形OLBCDE为正六边形，

NOA4=60°,

,:PO=PA,

.,•△0P4为等边三角形，

XVPGX0A,

；.PG平分N0P4,

/.ZOPG=30°,

X***OA=6,

OG=-OP=-OA=-x6=3,

222

由勾股定理得：PG=ylOP2-OG2=762-32=373,

...P的坐标是（3,3百卜

故答案为：（3,36）

【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角

关系是本题的关键.

（2023秋•大观区校级期末）

16.将抛物线y=-V向右平移后，所得新抛物线的顶点是3,新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），

连接。4、AB,如果VAOB是等边三角形，则08的长为.

【答案】26

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征；根据

题意得到关于机的方程是解题的关键.由题意设A点坐标为（帆,-帆2）,根据等边三角形的性质解出，"的值

即可得到答案.

【详解】解：•.•点A在抛物线y=-V上，

设A点坐标为,

过4作ACLx轴于C,如图,

VAOB是等边三角形，

BC-OC=m,AC-sf3OC-y/3m-m2，

；.加=百或机=0(舍)，

OB=2OC=2G，

故答案为：■

三.解答题(共8小题)

(2023秋•琼海校级期末)

17.解方程

⑴X2-2X-2=0

(2)-^―+^—=0

m+2m-4

【答案】(1)%=—1+百；X,=-1-73；

(2)m=l

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，熟练选择正确的解法是解题的关键.

(1)利用配方法求方程的根.

(2)化成整式方程，计算，注意验根.

【小问1详解】

解：X2-2X-2=0>

移项得尤2-2%=2，

配方得尤2—2X+1=2+1，即(X+1)2=3,

开方得x+1=±^/3，

解得为=—1+A/3；/=—1—y/3；

【小问2详解】

解：，7+，；=0，

m+2m—4

去分母，得

m—4+m+2=0,

解得m=1.

经检验，m=1是原方程的根.

（2023秋•双阳区期末）

18.杭州第19届亚运会吉祥物“江南忆”，具体指A.琮琮、B.宸宸、C.莲莲.如图是三张吉祥物的不透

明卡片（卡片除内容外，其余均相同）.将这三张卡片背面朝上洗匀放好，小李同学从这三张卡片中随机抽

取一张后，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用树状图法或列表法，求两次抽到卡片恰好是琮琮和宸

宸的概率.

【分析】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概

率=所求情况数与总情况数之比.画树状图，共有6种等可能的结果，两次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸的结

果有2种，再由概率公式求解即可.

【详解】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中两次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸有2种结果,

所以两次抽取的卡片上恰好是琮琮和宸宸的概率为2=’.

（2023秋•定州市期末）

19.如图，AB是。。的直径，AC与。。交于点C,/BAC的平分线交。。于点。，DE±AC,垂足为E.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若直径42=10,弦AC=6,求。E的长.

【答案】(1)见解析；(2)4.

【解析】

【详解】试题分析：(1)连结0。，平分NBAC,ZOAD^ZCAD,,：OA^OD,

：.ZOAD^ZODA,：.ZODA^ZCAD,得出0O〃AC,得到/。。£=90。，从而得证.

⑵在RsAF。中，利用勾股定理：A尸+。〃=4。2,得出的长，四边形。。£尸是矩形,从而得到

DE的长.

试题解析：(1)连结OD

：AD平分NBAC,

：.ZOAD=ZCAD,

•：OA=OD,

：.ZOAD^ZODA,

：.ZODA=ZCAD,

：.OD//AC,

:DE_LAC,

即乙4即=90°,

：.ZODE=90°,

即DE±OD.

是。。的切线.

(2)解：OFLAC,垂足为

:.AF=-AC=3,

2

在R3AF0中，A尸+。尸=4。2,AO=-AB=5,

2

.,.32+0/^=52,

OF=4,

•?NAED=ZODE=/OFE=90°,

...四边形。DEB是矩形，

：.DE=OF=4.

(2023秋•北京期末)

20.在平面直角坐标系尤0y中，点M(T㈤，阳3,〃)在抛物线丁=以2+法+。(。〉0)上，设抛物线的对称

轴为％=/.

(1)若m=n,求才的值；

(2)若c<m<n,求/的取值范围.

【答案】(1)r=l

(2)

2

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的性质

-1+3

(1)依据题意，若m=〃，从而对称轴是直线x=--=l=t,进而可以得解；

2

(2)把M(—1,加)，N(3,〃)代入解析式+根据。<加<〃得出♦的取值范围.

【小问1详解】

解：由题意，若机=",

对称轴是直线X=土^=l=r.

2

即f=l；

【小问2详解】

解：I,抛物线丁=以2+法+。的对称轴为1=%,

b

:.x=-——t,

2a

:.b=^2at,

/.y=ax2-2atx+c,

•・•M(-l,m),N(3,ri)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上,

a+2at+c=

9a-6at+c=〃②

①一②得，m—n=-Sa-\-Sat,

m<n,

:.m-n<G,

—8Q+Satv0,

a>0,

由①得，m—c—a+2at,

*：c<m,

:.m—c>Q,

a+2at>0,

a>0,

1

二.t〉—,

2

t的取值范围为---<~t<1.

2

（2023秋•迎江区校级期末）

21.如图，DABCD的三个顶点3,C,。都在上，边AD与相交于点E,边AB与。。相切.

（1）求证：ZABE=NBCE；

（2）若CD=4,CE=5,求AE的长.

【答案】（1）见解析（2）AE=g

【解析】

【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、圆的内角四边形、相似三角形的判定与性质等知识点，

灵活运用相关性质和定理是解题的关键.

(1)如图:连接B0并延长交OO于点F,连接EF，则ZBEF=90°；再结合切线的性质可得ZF=ZABE；

由圆周角定理可得4=NBCE,最后运用等量代换即可解答；

(2)由平行四边形的性质可得AB=CD=4,ZA=ZDCB；由圆的内接四边形的性质可得

ZAEB=ZDCB,进而得到BE=A3=4；由平行线的性质可得ZAEB=ZEBC,可证^ABEs/CB,

最后根据相似三角形的性质列比例式计算即可.

【小问1详解】

证明：如图:连接50并延长交。。于点尸，连接斯，则N3EF=90°,

：.ZF+ZEBF=9Q°■,

：AB与。。相切于点B,

BF±AB,

：.AEBF+ZABE=90°,

ZF=ZABE,

又中，AF=ZBCE,

：.ZABE=ZBCE.

【小问2详解】

解：：四边形ABC。为平行四边形,

：.AB=CD=4,ZA=ZDCB,

又：四边形CDEB内接于，

:.ZAEB=ZDCB,

•••ZA=ZAEB，

BE=AB=4；

,：AD//BC,

：.ZAEB=ZEBC,

由（1）得：ZABE=/BCE,

△ABEs^ECB,

,AB里，即二娃

,解得：^E=—.

'~CEBE54

（2023秋•奇台县校级期末）

22.为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批每袋

进价25元的农产品，售价为每袋40元，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高,

在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋.

（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；

（2）该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降

价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？

【答案】（1）三、四这两个月的月平均增长率为25%

（2）当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元

【解析】

【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键.

（1）直接利用二月销量x（l+xy=四月的销量进而求出答案.

（2）首先设出未知数，再利用每袋的利润x销量二总利润列出方程，再解即可.

【小问1详解】

解：设三、四这两个月的月平均增长率为x.

由题意得：192（1+x）2=300,

194“

解得：石=—,%=---（不合题思，舍去），

44

答：三、四这两个月的月平均增长率为25%.

【小问2详解】

设当农产品每袋降价，"元时，该淘宝网店五月份获利3250元.

根据题意可得：（40—25-机）（300+5祖）=3250,

解得：叫=5,加2=-50（不合题意，舍去）.

答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元.

（2023秋•雁塔区校级期末）

23.某校在元旦活动时布置教室，如图1,教室两墙A3、CD之间悬挂一条近似抛物线y=x+3的

彩带，如图2,已知A5=CD,=6米.

Xm)A

图1图2

（1）如图2,两墙A3、C。的高度是米，抛物线的顶点坐标为；

（2）如图3,为了避免彩带太低影响人员走动且考虑美观，现把彩带从点M、N处用细线吊在天花板上,

形成抛物线片，F],工；点加到墙距离为2.5米，抛物线瓦的最低点距墙A3的距离为2米且离地

面2米，求点M到地面的距离.

3

【答案】（1）3,,1

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数的性质；

_11

（1）0（6,0）,对称轴为直线X=3,由抛物线对称轴公式得-一=3,可求得。=—,从而可求出抛物

2a6

线的解析式，即可求出顶点坐标，将尤=6代入即可求解；

（2）由已知条件得%=2.5,抛物线耳的顶点为（2,2）,可设抛物线耳的解析式为：

y=m（x-2f+2,由A（0,3）在抛物线上，即可求解；

理解实际意义，掌握解法，能将具体实际数量转化为自变量和应变量是解题的关键.

【小问1详解】

解：•••AB=CD,BD=6,

£＞（6,0）,对称轴为直线x=3,

.-.--=3,

2a

解得：a——,

6

12c

/.y=—x-x+3,

6

当％=6时，

2

y=lx6-6+3

-6

=3，

AB=CD=3（米），

当x=3时，

1

y=-x392-3+3

-6

_3

二,

2

..・顶点坐标为［3,1］,

故答案：3,|,|］；

【小问2详解】

解：•・,点M到墙距离为2.5米，

%河=2.5,

抛物线片的最低点距墙AB的距离为2米且离地面2米，

...抛物线五1的顶点为（2,2）,

可设抛物线片的解析式为：y=m（x-2^+2,

由（2）得：A（0,3）,

m（O-2了+2=3,

解得：m=-,

4

1

二抛物线我1的解析式为：y=-（x-2）92+2,

当X”=2.5时，

尸：（2・5-2）2+2

_33

一,

16

33

答：点M到地面的距离为一米.

16

（2023秋•呼兰区校级期末）

24.如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=犬+6x+c与x轴负半轴交于点8,与x轴

(2)如图2,点尸为第三象限抛物线上一点，连接PB,PO,若设VPO6的面积为S,点P的横坐标为

t,求S与，的函数关系式(不要求写出自变量/的取值范围);

(3)在(2)的条件下，如图3,过点P作PEL%轴于点E,点K为抛物线的顶点，连接BK交PE于点

F,点、D为AK上一点,BF=DK，连接DE，若NEBF—NDFK=45°,求点尸的坐标.

【答案】(1)y=x2-2x-3

/、123

(2)S-.....1+%H—

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⑶尸

【解析】

【分析】(I)先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数的解析式即可;

(2)先求出5(—1,0)，得出OB=1,过点尸作PCx轴于点L得出电=—r+2/+3,然后根据三角形

面积公式求出结果即可；

(3)根据二次函数的性质求出K。,4),过点K作KM于点M,交DF于■点、N,