人教B版高中数学选择性必修二同步讲义：二项式定理与杨辉三角（学生版+解析）

第02讲二项式定理与杨辉三角

01学习目标

课程标准学习目标

1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想

出二项式定理，并用计数原理加以证明；

1.能用多项式运算法则和计数原理证明二

项式定理，会用二项式定理解决与二项展开2.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、

式有关的简单问题证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的

2.杨辉三角的性质.能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学

思想的应用能力；

3.会应用二项式定理求解二项展开式.

02思维导图

1.二项展开式的应用

2.求特定项

3.求特定项的系数

4.求展开式的有理项

5.二项式乘积问题

二项式定理6三.项式问题

7.已知特定项求参数

二项式系数的性质8.二项系数的最值问题

9.系数的最值问题

二项展开式的应用问题二项式定理与杨辉三角题型

10.展开式系数和问题

杨辉三角的性质11.整除与余数问题

12.近似计算问题

13.二项式定理与数列的交汇问题

14.二项式定理与比较大小问题

15.证明组合恒等式

16杨.辉三角

17.新定义问题

03知识清单

知识点01二项式定理

1.二项式定理

一般地，对于任意正整数小都有

（a+b）"=C°aH+C\an-'b+C^an-2b2+---+C^屋'-bk+--■+€；：b".（*）

公式（*）叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做（a+6）”的二项展开式，其中各项的系数｛0,1,2,

…,〃｝）叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用T.+i表示，即通项为展开式的第k+1项：Tk+l

=C^a"-kbk.

（2）二项展开式的规律

①二项展开式一共有（力+1）项.

②5+1）项按a的降幕b的升幕排列.

③每一项中a和b的幕指数之和为n.

【即学即练1】

1.（23-24高二下•北京通州•期中）二项式（尤+2）3的展开式为（）

A.x，+6%2+6x+8B.彳3+6x~+12x+8

C.x*+12JV2+6x+8D.+12x2+12JV+8

2.（x+2）"的展开式共有11项，则”等于（）

A.9B.10C.11D.8

知识点02二项式系数的性质

对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（即c：=crm）

当左〈十时，二项式系数逐渐增大；当左〉亍时，二项式系数逐渐减

增减性

小，因此二项式系数在中间取得最大值

当”是偶数时，展开式的中间一项3+1的二项式系数C,最大；当W是奇数

最大值

时，展开式的中间两项与"+1的二项式系数c/，C干相等且最大

C+C+C"…+CX211

各二项式

系数的和c°+c^+c：+-=c：,+a+a+-=2f-1

【即学即练2］（24-25高二上•全国•随堂练习）的展开式中二项式系数最大的项是（）

A.第3项B.第6项C.第6,7项D.第5,7项

知识点03二项展开式的应用问题

1.求二项展开式的特定项的解题策略

求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；

求有理项时，指数为整数等)，解出项数左+1,代回通项公式即可.

2.两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略

(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，

但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.

(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.

3.二项式系数的和与各项系数的和问题

(1)赋值法

"赋值法"普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+6)",(cu2+bx+cy^GbeR)的式子求其展

开式的各项系数之和，常用赋值法.

(2)系数之和问题的解题策略

若/(公=的+0工+的一+…+%x",则兀r)展开式中各项系数之和为穴1),奇数项之和为

而+的+,+-=/⑴,偶数项系数之和为©+%+%+•••=/⑴JT).

(3)展开式的逆用

根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定

理求解.

4.二项式系数最大项问题

当n为偶数时，展开式中第y+1项的二项式系数最大，最大值为C：;当n为奇数时，展开式中第号

和第宁n4-项3的二项式系数开式中第最大，最大值为C—/或C—/.

【即学即练3】(23-24高二上•北京昌平・期末)若(l+x)5=4+生彳3+%*4+45^5,贝(]

+4+%+/+。4+。5=（）

A.8B.16C.32D.64

知识点04杨辉三角的性质

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1,2,3,4,…，第三层(含1,3)是三角形数列1,3,6,10,15,….

⑵对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即CKrl

(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即cr^+a—i.

(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即d+cHcH-cHcHcH-.

(5)第n行所有数的和为2",即C2+CHCH-+C2".

(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的

那个数.

【即学即练4】杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表

示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”.现在简称为“杨辉三角下面是

(a+6)"(〃eN*),当"=1,2,3,4,5时展开式的二项式系数表示形式.

(Q+bp11

(a+b)2121

(a+bp1331

(a+b)414A41

(a+b)515〃1051

借助上面的表示形式，判断4与〃的值分别是()

A.5,9B.5,10

C.6,9D.6,10

题型精讲

题型01二项展开式的应用

【典例1］(22-23高二下•江苏宿迁•期中)设〃eN+，化简C：+C；6+C：6+C：6+L+C：6"=().

A.6"B.6"-1C.1nD.T-1

【变式1］若N=16+32(X-1)+24(X-1)2+8(X-1)3+(X-1?，则汩()

A.(%-I)4B.(x+炉C.(x-3)4D.(x+3)4

【变式2】24-25高二•上海•课堂例题)计算3℃；+3《+9€：；+--+3匕：的值是.

【变式3】(24-25高二下•全国•课后作业)若(l+@"=a+6g(a，b为有理数)，贝U.

【变式4］化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2.x+l)3-10(2.x+1)2+5(2x+1)-1.

题型02求二项展开式的特定项

【典例2](2024•浙江・三模)]工]的展开式的常数项为(

)

2xJ

333

A.——B.一C.一D.4

242

【变式1】(23-24高二下•浙江•期中)在的展开式中，第四项为()

X

A.240B.-240C.160x3D.-160A：3

【变式2】（2014•山东青岛•一模），一展开式的常数项为.

【变式3］1/-/J的展开式中常数项是.（用数字作答）

题型03求二项展开式的特定项系数

【典例3】（2024.北京.模拟预测）在（刀-2«）5的展开式中，—项的系数为（）

A.-20B.20C.-40D.40

【变式1】在（：一«）”的展开式中，/的系数等于（）

A.-45B.-10C.10D.45

【变式2］（23-24高二下.海南.期末）仁一«）6的展开式中，％4的系数为（）

A.-B.-C.-D.-

42416

【变式3】（2023•天津・高考真题）在（2丁-gj的展开式中，/项的系数为.

题型04求展开式的有理项

【典例4】（2024.河南.模拟预测）已知—袤（其中a>0）的展开式中的第7项为7,则展开式中的有

理项共有（）

A.6项B.5项C.4项D.3项

【变式1】写出石/一上］展开式中的一个有理项为.

【变式2】在的展开式中，有理项有..项•

【变式3】2024•高三•江西•开学考试）已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开

式中的一个有理项.

题型05二项式乘积问题

【典例5］（23-24高二下广东深圳•阶段练习）在（3彳-1）（尤+1）6的展开式中，Y的系数为（）

A.20B.25C.30D.35

【变式1X2022•全国•统考高考真题）［l-£|（x+y）8的展开式中W的系数为（用数字作答）.

【变式2】（2024•西藏•模拟预测）在©-£）0+丫）6的展开式中，的系数为（）

A.-4B.4C.-8D.8

【变式3】（2024高三•全国•专题练习）已知（a久+1）（2%-1）7的展开式中炉的系数为448,则该展开式中一

的系数为（）

A.580B.-98C.106D.-112

题型06三项式问题

【典例6】（2024,辽宁丹东•一模）（x+士-以的展开式中常数项为（）

X

A.24B.25C.48D.49

【变式1】卜列各式中，不是（42+2a-6）4的展开式中的项是（）

A.8/B.6a4b2C.-32&bD.-24a3/?2

【变式2］（2024.全国.模拟预测）在（％+1-卷丫的展开式中常数项为（）

A.721B.-61C.181D.-59

【变式3】（2024•河北沧州•二模）在（％-2y+3z）6的展开式中,孙?%?项的系数为（）

A.6480B.2160C.60D.-2160

题型07已知特定项求参数

【典例7］（23-24高三下•湖南娄底•阶段练习）已知a>0,若［/+：］的展开式中，常数项等于240,则“=

（）

A.3B.2C.6D.4

【变式1】（2023•四川泸州・二模）已知｛｛一标］的展开式中存在常数项，则〃的可能取值为（）

A.4B.5C.6D.8

【变式2】（22-23高二下•广东揭阳•期中）在［x3+g］（〃eN*）的展开式中存在常数项，写出一个满足条件

的〃的值是.

【变式3】（23-24高三下•陕西•阶段练习）在卜的展开式中，V的系数为84,则〃=.

b

【变式4】（23-24高三上•上海普陀•期末）3-的常数项为第3项，求〃=

题型08二项式系数的最值问题

【典例8］已知二项式（1-办）”的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64,

则正数a的值为.

【变式1】若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的x项为.

【变式2】已知二项式（2尤-1）”的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则〃=.

【变式3］的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为.

题型09系数的最值问题

【典例9】（2024•江西南昌•三模）若12尤2-£|

的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中

系数最大的是（）

A.第二项B.第三项C.第四项D.第五项

【变式1】（2024•全国•模拟预测）的展开式中系数最大的项为)

56x3-56x570/

A.70B.580C.—1或D.

yy4

【变式2】二项式（1-》）4用（"€'"21）的展开式中，系数最大项的是（）

A.第2〃+1项B.第2"+1项和第2〃+2项

C.第2〃项D.第2〃+2项

【变式3］已知［x3+f［6g>0）的展开式中唯有第5项的系数最大，则。的取值范围是（）

45

C.

3?3

题型10展开式系数和问题

【典例10］（多选）（23-24高三下•山东•开学考试）已知（工-2丁）的展开式中，各项的二项式系数之和为

128,贝！］（）

A.n=7B.只有第4项的二项式系数最大

C.各项系数之和为1D.犬5的系数为5800

2202

【变式1】（多选）（23-24高二下•福建南平•阶段练习）设铲2=%+q（x+l）+%（x+l）2+-+%H2（x+l）2,

则下列选项正确的是（）

A.〃］=—2022B.%—q+%—+。2022=22°22

/\2022

c1

-4+%+,一+/022=1D-y+|r+|r+---+|i5it-=^-j

【变式2】若、-;］的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项系数之和为.

【变式3】已知（2x—3）9=%+Q［（尤-1）+?（尤一1）2+…+。8（%—1）8+。9（%一1）9，则

+2i］+3a2+…+9/+10%=（）

A.9B.10

C.19D.29

【变式4】若（1+2九）（1-2光）7=%+%尤+/龙2+…+。8尤8，则4+4+。2+,,,+%的值为（）

A.-2B.-3C.253D.126

【变式5】已知对任意实数x,（2x-1）8=4+%（元+1）+%（%+1）2+…+4（x+l）8,则下列结论不成立的是（）

A.%+%+•••+%=1

8

D3+1

D.%+%+〃4+〃6+〃8=-------

C.<20+—+—|-H--F*=256

022228

D.%+2%+3/+,••+86=16

题型11整除与余数问题

【典例11】（2024•湖北荆州•三模）己知（3工-1）.=40+卬；+4/2+1+出必工2必，则4+出+L+/。24被3

除的余数为（）

A.3B.2C.1D.0

【变式1］（2024•贵州黔南•二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12

种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的（1叶+1）年后是（）

A.虎年B.马年C.龙年D.羊年

【变式2］（2024•福建三明•三模）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一

般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数（3750）8转换为十进制数的算法为

3x83+7x8?+5xU+0x8°=2024.若将八进制数工^3转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（）

6个7

A.3B.4C.5D.6

【变式3］（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研

究，对于两个整数a,6,若它们除以正整数巾所得的余数相同，则称a和b对模相同余，记为a三b（modm）.若

217

a=Cj7x6+C?7x6+-+x6,aHh（mod8）,则b的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【变式4］（2024.黑龙江齐齐哈尔.一模）若最％+鬣％2+…+c""能被7整除，则x,n的一组值可能为（）

A.%=4,n=6B.%=4,九=8

C.%=5,n=7D.%=6,n=9

题型12近似计算问题

【典例12］（2024•湖南.二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%,某人存入大额存款a0元，

按照复利计算10年后得到的本利和为的°,下列各数中与.最接近的是（）

aO

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

【变式1】（2024.安徽合肥.三模）某银行大额存款的年利率为3%,小张于2024年初存入大额存款10万元，

按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（）（单位：万元，结果保留一位小数）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【变式2］（2024•高三•河北•开学考试）已知二项式（尤+0.01）"的二项式系数的和为1024,则〃=.

试估算x=l时，（尤+0。1）"的值为.（精确到0.001）

【变式3】（2024•高三•山西朔州•开学考试）（1.05）6的计算结果精确到0.01的近似值是.

题型13二项式定理与数列的交汇问题

【变式13】（23-24高二•全国•课后作业）已知（2-代）nO22,neN）,展开式中尤的系数为/（n）,则言+

232019

77+……+—7___等于（）

/（3）/（4）门2020）寸

.2019—2019—1009—1009

A.-----B.-----C.-----D.-----

1105051010505

【变式1】（2024•江西九江•二模）第14届国际数学教育大会

（ICME-lnternationalCongreasofMathematicsEducation）在我国上海华东师范大学举行.如图是本次大会

的会标，会标中TCME-14"的下方展示的是八卦中的四卦一一3、7、4、4,这是中国古代八进制计数符号，

换算成现代十进制是3x8,+7x82+4x81+4x8°=2020,正是会议计划召开的年份，那么八进制工二换算

10个7

成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）

A.1B.3C.5D.7

【变式2】（2003•全国•高考真题）已知数列｛劭｝（〃为正整数）是首项为内，公比为q的等比数列.

不口：——%c；+/C；—；

⑵由（1）的结果归纳概括出关于正整数〃的一个结论，并加以证明.

题型14二项式定理与比较大小问题

已知“=e°」，b=^,=><9,贝I()

【典例14］（2023・湖南株洲•统考一模）c

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【变式1】下列说法中，不正确的是（)

I1127

B.1+—

I>TT

in竺1

D.

11TT

题型15证明组合恒等式

2n-l,11

【典例15］（2024高三•全国•专题练习）求证：1(-0(CL)--

【变式1］（2024高三・全国・专题练习）求证：1+4C：+7C：+…+（3〃+l）C：=（3〃+2>2i

题型16杨辉三角

【典例171（2024高二下•全国•专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》

一书中，画了一个由二项式（4+3"（77=1,2,3,…）展开式的系数构成的三角形数阵，称作"开方作法本源"，这

就是著名的“杨辉三角在"杨辉三角"中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数

值之和，每一行第左（左4"，4eN*）个数组成的数列称为第左斜列.该三角形数阵前5行如图所示，则该三角

形数阵前2022行第左斜列与第左+1斜列各项之和最大时，上的值为（）

第

1行

11

行

第2

121

行

第3

1331

行

第4

行

第14641

5

15101051

A.1009B.1010C.1011D.1012

【变式1】（24-25高二上•全国•课后作业）杨辉三角，又称帕斯卡三角,是二项式系数在三角形中的一种几

何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式

乘方展开的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,

3,3,1,1,4,6,4,1,记作数列｛an｝.若数列｛an｝的前w项和为臬，则S’,等于（）

:四六

五I-I-五.

、.

A.235B.512C.521D.1033

【变式2］（多选）定义有"行的"杨辉三角"为〃阶"杨辉三角",如图就是一个8阶〃杨辉三角〃.

第。行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

第7行172135352171

给出的下列命题中正确的是（）.

A.记第，（於N*）行中从左到右的第j（j£N*）个数为因，则数列｛%｝的通项公式为为=弓

B.第左行各个数的和是2%

C.枕阶，，杨辉三角〃中共有心D个数

2

D.w阶"杨辉三角"的所有数的和是2"-1

【变式3】（多选）（23-24高二下•江苏南通•期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张

表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在"杨辉三角”中，下列选项正确的是（）

0行1

1行11

2行121

3行33

4行464

-

A.第10行所有数字的和为1024

B.C；+C：+C；+…+C；o=119

C.第6行所有数字的平方和等于C：?

n+1

D.若第〃行第，个数记为6,则2（2''"）=3"

i=l

【变式4】（23-24高二下，广东佛山•阶段练习）下图所示的三角形数阵叫"莱布尼兹调和三角形”，它们是由

整数的倒数组成的，第“行有〃个数且两端的数均为工色22）,每个数是它下一行左右相邻两数之和，如

n

rrrrrl-则第口行第5个数（从左往右数）为——

题型17新定义问题

【典例17］（22-23高三上•江苏南京•期末）对于伯努利数有定义：线=1,线=£c㈤（〃22）.则

k=0

（）

A.B?=wB.B4=—C.B6=—D.B2n+3=0

【变式1X23-24高三上•上海杨浦•阶段练习）已知对任意正整数对（〃出，定义函数㈤如下：/。,力=1,

（z+1）/（z+1,；）=（；-;-）/O',J）-0，则下列正确的是（）

A.=lB.〃幻）=2（：7

C,土产〃1万）］=［（2』）D.自/"四/）］=2'+〃-2

i=l,/=1z=l

【变式2】（22-23高二下•湖北黄冈•期中）定义：两个正整数a,b,若它们除以正整数机所得的余数相等,

则称a,b对于模机同余，记作a三b(mod〃z),比如：35三25(modl0).已知：

2310

n=C？o-C；0W+Cr010-C^olO+.••+C；°1O,满足〃三p(mod7),则p可以是()

A.26B.31C.32D.37

【变式3】（23-24高二下•上海•期末）仿照二项式系数，可以定义"三项式系数"T：为（1+尤+/）”的展开式中

一的系数（0V左2〃），即（1+x+/）"=T>T*+EV+…+T廿铲.其中T：,T：,T：,T；"eZ.

⑴求T；,T；,T；的值：

⑵对于给定的〃eN*,计算以下两式的值：£片与>

%=0%=0

⑶对于aeN*,记中偶数的个数为凡，奇数的个数为是否存在〃使得%-222024?

若存在，请给出一个满足要求的〃并说明理由；若不存在，请给出证明.

05强化训练

一、单选题

1.（23-24高二下,江苏盐城•期中）已知（a+6）”的展开式共有9项，贝吐=)

A.6B.7C.8D.9

2.（2023・山西・模拟预测）1xf的展开式中常数项为（）

A.112B.580C.28D.16

3.（18-19高二•全国•课后作业）化简多项式（2X+1）5-5（2X+1）4+10（2X+1）3-10（2X+1）2+5（2X+1）-1的结

果是（）

A.（2尤+炉B.2X5C.（2元-I?D.32/

4.（23-24高二下•新疆克孜勒苏•期中）若（6+W）"展开式中只有第7项的二项式系数最大，则〃=（）

X

A.9B.10C.11D.12

5.（2023•广东江门•一模）已知多项式=4+4（犬+1）+〃2（%+1）2+…+%0（%+1）"），则％=（）

A.-980B.980C.-480D.480

6.（23-24高二下•江苏连云港•期中）C-+C短+C£+…+C就被3除的余数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.（23-24高二下•新疆克孜勒苏•期末）已知的二项展开式中二项式系数和为32,若

（%_=4+%（x+l）+〃2（x+l）2+,•，+a〃（x+l）〃，贝！J4于（）

A.80B.192C.-192D.-80

8.（23-24高二下•江苏扬州•期中）若，+一1的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大

的项为（）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

二、多选题

9.（23-24高二下•河南郑州•期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》

、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称

这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早700年左右，由此可见我国

古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（）

左右

积积

本积

商除

平方J二

第

行1

工

立

第

-1行

第2

乘

三I/—

四丁

乘

四

五464

乘

行

第5O

六

k六

第10

6,行6556

命

中

左

以

右20

实

藏

袤

廉

袤

而

者

乃

乘

第

乃

除

皆

积

商

隅

之

廉

数

方

算C

4亍

1a

图1图2

A.第2024行中，第1012个数最大

B.杨辉三角中第8行的各数之和为2580

C.记第"行的第，・个数为％,则±2%=3"

Z=1

D.在"杨辉三角"中，记每一行第七,eN*）个数组成的数列称为第％斜列，该三角形数阵前2024行中第

左斜列各项之和为C；025

10.（24-25高三上•重庆•阶段练习）若（2-3x）2024=%+%x+a/2+…+%024—24,则下列选项正确的有（）

A.«o=22024

B.|%|+|%|+同+…|4024〔=1

2024

%,”,&..”2024

C.I-22024

1■初初…落1

D.q+2%+3/+,,,+2023%023+2O24%024=6072

IL（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知二项式126-的展开式中各项系数之和是，，则下列说法正

确的是（）

A.展开式共有6项B,二项式系数最大的项是第4项

C.展开式的常数项为540