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文档简介
平面图形的初步认识知识归纳与题型突破
(15类题型)
01思维导图
直线相关概念
射线相关概念
直线、射线、线段相关概念
线段相关概念
直线、射线、线段的区别与联系
角的相关概念
角
角的比较
平面图形的初步认识
对顶角、邻补角
相交线
垂线及性质、点到直线的距离
平行线的判定
平行线的判定与性质平行^的性质
两条平行线间的距离
02知识速记
一、直线、射线、线段相关概念
(一)直线相关概念
1.概念:直线是最简单、最基本的几何图形之一,是一个不作定义的原始概念,直线常用“一根拉得紧的
细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述.
2.表示方法:(1)可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示,如图1所示,可表示为直线/2(或直
线瓦1).(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图2所示,可以表示为直线/.
AB1
图1图2
3.基本性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简单说成:两点确定一条直线.
直线的特征:(1)直线没有长短,向两方无限延伸.(2)直线没有粗细.(3)两点确定一条直线.(4)两
条直线相交有唯一一个交点.
(二)射线相关概念
1.概念:直线上一点和它一侧的部分叫射线,这个点叫射线的端点.
如图所示,直线/上点。和它一旁的部分是一条射线,点。是端点.
2.特征:是直的,有一个端点,不可以度量,不可以比较长短,无限长.
3.表示方法:(1)可以用两个大写英文字母表示,其中一个是射线的端点,另一个是射线上除端点外的任
意一点,端点写在前面,如图8所示,可记为射线Q4.(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图8所示,
射线04可记为射线I.
注:(1)端点相同,而延伸方向不同,表示不同的射线.如图中射线。4射线。3是不同的射线.
-BOA-OABC-
⑵端点相同且延伸方向也相同的射线,表示同一条射线.如图中射线。4、射线08、射线OC都表示同一
条射线.
(三)线段相关概念
1.概念:直线上两点和它们之间的部分叫做线段.
2.表示方法:(1)线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示,如图所示,记作:线段或线段
BA.(2)线段也可用一个小写.英文字母来表示,如图5所示,记作:线段a.
AB
图5
3.“作一条线段等于已知线段”的两种方法:
法一:用圆规作一条线段等于已知线段.例如:下图所示,用圆规在射线NC上截取
法二:用刻度尺作一条线段等于已知线段.例:可以先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段.
4.基本性质:两点的所有连线中,线段最短.简记为:两点之间,线段最短.
如图所示,在8两点所连的线中,线段N8的长度是最短的.
注:(1)线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短.
(2)连接两点.间的线段的长度,叫做这两点的距离.
(3)线段的比较:①度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较长短.②叠合法:利用直尺和圆规把
线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点
的远近来比较长短.
5.线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如图所示,点C是线段42的中点,
则NC=C8=工A5,或=Z4C=2BCACB
2
若点C是线段N3的中点,则点C一定在线段上.
(四)直线、射线、线段的区别与联系
1.直线、射线、线段之间的联系
(1)射线和线段都是直线上的一部分,即整体与部分的关系.在直线上任取一点,则可将直线分成两条射
线;在直线上取两点,则可将直线分为一条线段和四条射线.
(2)将射线反向延伸就可得到直线;将线段一方延伸就得到射线;将线段向两方延伸就得到直线.
2.三者的区别如下表
梆
类别、直线射线
图形AB1AB1AB1
①两个大写字母隰示①次示两站点的两
①两个大写字母;㈱点的字号在前);
表示方法个大写字母;②一个
②一个小写字母②一个小写字母
小写字母
端点个数无1个2个
延伸性向两方无限延伸向一方无限延伸不可延伸
性病两点确定一条直段两点之间,坎段最短
度-不可以不可以可以
作国叙述过4、6作直线,48以4为旅点作射段48连接48
注:(1)联系与区别可表示如下:
-
射战段直线
一
线
方线段长短的比较,(直线的性
向
一向两方
-延伸线段的中点质公理)
延伸
反向延伸
(2)在表示直线、射线与线段时,勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样.
二、角
(-)角的相关概念
1)角的定义:角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点,这两条射线叫做
角的边,构成角的两个基本条件:一是角的顶点,二是角的边.
c
0BA
图1图4-3-7图4-3-8图4-3-9
角的另一种定义:角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.
如图4-3-7所示,NA4c可以看成是以工为端点的射线,从48的位置绕点/旋转到NC的位置而成的图形.
如图4T-8所示,射线。4绕点。旋转,当终止位置。C和起始位置04成一直线时,所成的角叫做平角;
如图4-3-9所示,射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.
2)角的分类:小于平角的角可按大小分成三类:当一个角等于平角的一半时,这个角叫直角;大于零度角
小于直角的角叫锐角(0°〈锐角<90°);大于直角而小于平角的角叫钝角(90°〈钝角〈180°).
1周角=2平角=4直角=360°,1平角=2直角=180°,1直角=90°.
3)角的表示方法:角用几何符号表示,角的表示方法可归纳为以下三种:
⑴用三个大写英文字母表示,如图4-3-3所示,记作N/03或N2O4,其中,。是角的顶点,写在中间;
/和8分别是角的两边上的一点,写在两边,可以交换位置.
(2)用一个大写英文字母表示,如图4-3-3所示,可记作N。.用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点
的角只有一个,否则不能用这种方法表示,如图4-3-4所示,N/OC就不能记作因为此时以。为顶
点的角不止一个,容易混淆.
图4-3-3图4-3-4图4-3-5
⑶用数字或小写希腊字母来表示,用这种方法表示角时,要在靠近顶点处加上弧线,注上阿拉伯数字或小
写希腊字母。、8、7等.如图4-3-4所示,记作N/,N20C记作N2;如图4-3-5所示,AAOB
记作NBOC记作/a.
4)度量角的方法:度量角的工具是量角器,用量角器量角时要注意:(1)对中(顶点对中心);(2)重合(一
边与刻度尺上的零度线重合)(3)读数(读出另一边所在线的刻度数).
5)角的换算:在量角器上看到,把一个平角180等分,每一份就是1°的角.1°的-L为1分,记作
60
'T",即/°=60'.1'的-L为1秒,记作“1〃”,即1〃=60〃.
60
(-)角的比较
1)角的比较方法
(1)度量法:如图4-4-4所示,用量角器量得Nl=40°,N2=30°,所以Nl>/2.
⑵叠合法:比较//8C与的大小,先让顶点8、E重合,再让边8/和边重合,使另一边EF
和2c落在24(DE)的同侧.如果斯和2C也重合(如图4-4-5⑴所示),那/。斯等于N/5C.记作/DE尸
=N48C;如果所落在/N8C的外部(如图4-4-5⑵所示),那么/DE尸大于N/8C,记作乙D£F>/4SC;
如果EF落在NABC的内部(如图4-4-5⑶所示),那么ZDEF小于//2C,记作ZDEF<ZABC.
提示:叠合法可归纳为“先重合,再比较”.
2)角的和、差
由图4-4-7(1)、(2),已知/I,Z2,图4-4-7(3)中,ZABC=Z1+Z2i图4-4-7(4)中,ZGEF=ZDEG-
Z1.
3)角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
如图4-4-9所示,射线OC是NBOA的平分线,则N20C=NCCU=工ZBOA,/BOA=2/BOC=2/COA.
2
4)方向的表示
①方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于90。的水平角。
注意表示方向时要先写北或南,再写偏东或偏西,最后写多少度.如图4-4-2所示,是表示北偏东30°的一
条射线.特别地,射线OC表示北偏西45。或写成西北方向.
北
图4-4-2视线
②仰角和俯角:如图:在用上标上仰角和俯角
三、相交线
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系,它们的概念及性质如下表:
图形顶点边的关系大小关系
Z1的两边与对顶角相等,即N1二
对顶角有公共顶点
Z2的两边互为反向延长线Z2
Z1与N2
/3与/4有一条边公共,另邻补角互补即
邻补角有公共顶点
一边互为反向延长线.Z3+Z4=180°
N3与N4
特别说明:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点,角的两边互为
反向延长线.
⑵如果Na与/£是对顶角,那么一定有反之如果Na=N£,那么N。与/£不一定是对顶
角.
⑶如果/。与/£互为邻补角,则一定有/。+/£=180°;反之如果N。+/£=180°,则Na与/£不
一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点,有一条公共边,另一边互为反向延长线.
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、点到直线的距离
(1)垂线的定义:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另
一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.如图1所示,符号语言记作:ABLCD,垂足为Q
图1
特别说明:
要判断两条直线是否垂直,只需看它们相交所成的四个角中,是否有一个角是直角,两条线段垂直,是指
这两条线段所在的直线垂直.
(2)垂线的性质:
垂线性质1:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).
垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:垂线段最短.
(3)点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,如图2:尸点P到直线N2的距离
是垂线段P。的长.
图2
特别说明:垂线段尸。是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
四、平行线的判定与性质
1.平行线的判定
判定方法1:同位角相等,两直线平行.
判定方法2:内错角相等,两直线平行.
判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.
特别说明:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有:
(1)平行线的定义:在同一平面内,如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行.
(2)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行(平行线的传递性).
(3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.
(4)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
2.平行线的性质
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,内错角相等;
性质3:两直线平行,同旁内角互补.
特别说明:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的性质还有:
(1)若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点.
(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直.
3.两条平行线间的距离
如图3,直线EFLAB于E,EFLCD于F,则称线段斯的长度为两平行线AB与CD间的距
离.
特别说明:
(1)两条平行线之间的距离处处相等.
(2)初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同
点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一
点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
(3)如何理解“垂线段”与“距离”的关系:垂线段是一个图形,距离是线段的长度,是一个量,它们
之间不能等同.
03题型归纳
题型一直线、射线、线段的联系与区别
例题:下列各图中直线的表示方法正确的是()
ABAbabAb
A.直线NBB.直线9C.直线而D.直线6/
巩固训练
I.下列说法错误的是()
A.直线A4与直线是同一条直线B.线段与线段A4是同一条线段
C.射线创与射线42是同一条射线D.射线42与线段42都是直线42的一部分
2.如图,点/,B,C在直线/上,下列说法中正确的有()
①只有一条直线;②能用字母表示的射线共有3条;③一共有三条线段;④延长直线/B;⑤延长线段42
和延长线段氏4的含义是相同的;⑥点3在线段/C上.
——•---------_---------1
ABC
4.2个8.3个C.4个D5个
3.(2324上•聊城•阶段练习)如图,A,2在直线/上,下列说法正确的是()
AB
——1---------1---------------I
A.射线和射线仍是同一条射线
B.图中以点/为端点的射线有两条
C.直线48和直线胡不是同一条直线
D.延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的
题型二画直线、射线、线段
例题:已知/,B,C,。四点.
A
D
••
BC
(1)画线段48,射线/。,直线/C;
(2)连接3D,龙)与直线/C交于点£;
(3)连接BC,并延长BC与射线WD交于点?
巩固训练
1.(2324上•聊城•阶段练习)如图,在平面内有/、B、C三点,
A
B・C
(i)利用尺规,按下面的要求作图.要求:不写画法,保留作图痕迹,不必写结论;
①作射线8/;
②作线段3C;
③连接/C,并在线段/C上作一条线段AD,使4D=4B,连接他.
(2)数数看,此时图中线段共有条.
2.如图,平面上有四个点4B,C,D,根据下列语句画图:
3・
・B
D•
C
(1)画线段NC、AD交于£点;
⑵作射线BC;
(3)取一点P,使点尸既在直线上又在直线上;
(4)在线段8C延长线上作线段CM=BC.
3.如图,平面内四点/、B、C、。,根据下列语句画图:
A
,.B
D*C
(1)画直线48;
(2)画射线C8;
(3)画线段;
(4)延长线段DC与直线AB相交于点E.
题型三两点确定一条直线、两点之间线段最短
例题:生活中有下列现象如图所示.对于这个现象,请你用数学知识解释.
木板上弹墨线
巩固训练
1.在安装如图所示的挂衣钩时,小明先在墙上标记两个固定孔,就可以预先确定好挂衣钧合适的位置,这样
做的依据是:.
2.如图,学生要去博物馆参观,从学校N处到博物馆3处的路线共有(1)(2)(3)三条.假设行走的速度
不变,为了节约时间,尽快从/处赶到2处,你认为应该走第条路线(只填编号),理由
是.
3.如图:“小草青青,足下留情”,为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象,请你用数学知识解释出这一不文
明现象的原因是:,
题型四线段中点的有关计算
例题:如图,线段ZB=10cm,C是线段48上一点,5C=6cm,M是45的中点,N是/C的中点
I।।।I
ANCMB
(1)图中共有一条线段
(2)求线段的长
巩固训练
1.如图,已知线段48上有两点C,D,且/。:。:£>8=23:4,点E,尸分别为/C,的中点,
EF=48cm.求48的长.
EF
IIII1I
ACDB
2.已知8,。在线段/。上.
I111
ABCD
(1)如图,共有条线段;
(2)如图,AB=CD.
①比较线段的大小:ACBD(填或“<”);
②若BD=4AB,SC=12cm,则4D的长为cm;
(3)若/8:CD=1:2,且E为8c的中点,求NE与3。的数量关系.(温馨提醒:重新画图).
3.(2324上•全国•课堂例题)⑴如图①,已知点C在线段上,线段/。=6加,为=4011,川川分别是
/C,2C的中点,求线段"N的长;
I____________I____________I________I________II1111
AMCNBAMBNC
①②
(2)如图①,已知点C在线段上,线段/5=10cm,分别是/C,8c的中点,求线段的长;
(3)如图①,已知点C在线段上,线段N8=“cm,/,N分别是NC,2C的中点,求线段"N的长;
(4)如图②,已知点C在线段48的延长线上,线段48=acm,M,N分别是/C,8c的中点,则线段的
长为.
题型五角的概念及表示方法
例题:下列说法中,正确的是()
A.一个周角就是一条射线B.平角是一条直线
C.角的两边越长,角就越大D./403也可以表示为
巩固训练
1.(2324上•全国•课时练习)如图,下列说法中不正确的是()
A.N1与//05是同一个角B./40C也可以用/。表示
C.2。=NBOCD.图中有三个角
2.如图所示,回答下列问题:
(1)写出能用一个字母表示的角:
(2)写出以点8为顶点的角;
(3)图中共有个小于平角的角.
3.根据给出的图回答下列问题:
(1)/1表示成这样的表示方法是否正确?如果不正确,应该怎样改正?
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示?
(3)以A为顶点的角有几个?请表示出来.
(4)//。。与//CD是同一个角吗?请说明理由.
(5)图中共有几个小于平角的角?
题型六角的单位与角度制
例题:计算:
(1)49.9°=°,;
(2)25°42'=°;
(3)18°46'55"+27。17'24"=.
巩固训练
1.(1)[周角=平角=_____________直角;
(2)1°=—'=":
(3)1.25°=5400"=_°.
2.计算:
(1)180。-46。42,=;
(2)28°36'+72°24'=;
(3)50。2443=;
(4)49°28'52〃+4=.
题型七求一个角的余角、补角
例题:若/&=47。20',则Na的余角等于,的补角等于.
巩固训练
1.如果乙4=25。,那么/Z的余角等于;//的补角为.
2.若Na=62。,则/。的余角为一。,Na的补角为一0.
3.一个角的余角比它的补角的;多12。,求这个角的余角.
题型八三角板中角度计算问题
例题:将一副直角三角尺如图放置,若ZBOC=160。,则4OD等于.
I.如图,直角三角板CQD的直角顶点。在直线上,线段OC,是三角板的两条直角边,射线OE是
Z4O。的平分线.
ED
-B
(1)当NCOE=30。时,求/BO。的度数;
(2)当/COE=a时,ZBOD=(用含a的式子表示).
2.如图所示,以直线上的一点。为端点,在直线48的上方作射线。尸,使乙8。尸=70。.将一块直角三
角尺的直角顶点放在点。处,且直角三角尺(NMON=90。)在直线48的上方.设NBOM=n。
(0<〃<90).
(1)当〃=32时,求/尸ON的大小;
(2)若0<〃<70时,求的值.
题型九角平分线的有关计算
例题:已知。为直线上一点,/COE是直角,。尸平分/NOE.
(1)如图①,若NCOF=34°,则ABOE=;若NCOF=m°,则NBOE=;ZBOE与ZCOF
的数量关系为;
(2)当射线0E绕点O逆时针旋转到图②的位置时,(1)中NBOE与ZCOF的数量关系是否仍然成立?请说
明理由.
巩固训练
1.如图所示,/Z08是平角,OM,ON分别是的平分线.
(1)当NMCW=140。时,求NCOD的度数;
⑵当NCOD=廿时,求AMON的度数.
2.(1)如图1所示,已知乙408=120。,OC平分/AOB,OD、OE分别平分N/0C、ZCOB,求NDOE
的度数;
(2)如图2,在(1)中把“OC平分//08”改为“OC是内任意一条射线”,其他任何条件都不变,
试求NOOE的度数;
(3)如图3,在(1)中把“OC平分改为“OC是外的一条射线且点C与点8在直线/。的
同侧,,,其他任何条件都不变,请你直接写出NOOE的度数
题型十与余角、补角、角平分线有关角的计算问题
例题:(2324上•全国•课时练习)如图,OD平分乙BOC0E平分44OC,4BOC=70。,4OC=50。.
(1)求出//OB及其补角的度数;
(2)请求出和//。£的度数,并判断ZDOE与是否互补,并说明理由.
巩固训练
1.(2324上•呼和浩特•阶段练习)如图,O为直线42上一点,过点。作射线。C,使/8OC=120°.将一
直角三角尺的直角顶点放在。处.
图①图②
(1)当三角尺一边在Z80C的内部(图①),且恰好平分/30C,此时直线QV是否平分/ZOC?请说明
理由;
(2)当三角尺一边QV在/40C的内部(图②),求ZJOM-NCQV的值.
2.如图,过点。在内部作射线OC.0E,。尸分别平分/49C和/50C,//0C与互补,
Z.AOC=a.
(1)如图1,若a=70。,贝!)/405=°,ZAOF=°,NEOF=°;
(2)如图2,若。。平分//08.试探索:―/COZ)是否为定值,若是,请求出这个定值;若不是,
ZDOE
题型十一同位角、内错角、同旁内角的辨别
例题:(2023下•黑龙江绥化•七年级校考期中)如图,/3的同旁内角是,N4的内错角是,Z7
的同位角是.
D
7
AB
E
【变式训练】
I.如图所示,4与N2是角,是直线和直线被直线所截而形成的,Z1与
Z3是角,是直线和直线被直线所截而形成的.
(1)41和42c是直线/2、CE被直线所截得的角;
(2)Z2和是直线CE、AB被直线所截得的角;
(3)N3和42c是直线、被直线所截得的角;
(4)48c和4CD是直线、被直线所截得的角;
(5)42C和ZBCE是直线、被直线所截得的角.
题型十二添加一条件使两条直线平行
例题:如图,点E在NC的延长线上,若要使则需添加条件(写出一种即可)
【变式训练】
1.如图,填写一个能使CD的条件:
F
D
B
2.如图,要使BE〃DF,需补充一个条件,你认为这个条件应该是(填一个条件即可).
题型十三根据平行线的性质与判定求角度
例题:(2023下•浙江温州•七年级校考期末)如图,已知尸,E分别是射线ZB,CD上的点.连接/C,AE
平分Z8/C,E尸平分/AED,Z2=Z3.
(1)试说明/2〃CD;
⑵若447花-/2=30。,求N4跳的度数.
【变式训练】
1.(2023上•河北邢台•八年级校考阶段练习)如图,/尸_LAP于点尸.Nl+N2=90。
B
⑴求证:AD//PE-,
(2)若/C平分ND4尸,交尸E于点C,且乙4cp=54。,求N2的度数.
2.(2023上•浙江金华•八年级校考开学考试)如图,在三角形中,E是/C上一点,EF//BC,交AB
于点尸,
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