人教B版高中数学必修二同步讲义：指数函数的性质与图象（学生版+解析）

第02讲指数函数的性质与图象

BI学习目标

课程标准学习目标

1.通过理解指数函数的概念和意义，了解指数函数的实

1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函际背景，掌握指数函数的性质与图象，发展数学抽象的核

数的定义域、值域的求法；心素养.

2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指2.通过指数函数的实际应用，初步学会运用指数函数来

数函数的图象说明指数函数的性质；解决问题,提升数学建模的核心素养.

3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指3.通过例题熟练掌握指数函数的图象、性质.进一步深入

数函数的单调性比较幕的大小。理解指数函数的单调性及其应用，提升逻辑推理、数学

运算及数学抽象的核心素养.

思维导图

指数函数的概念

指数函数的性质与图像

指数鬲的比较大小

指数不等式

1指数函数的概念及应用

指数型函数的定义域

指数型函数的值域

指数型函数的单调性

指数函数的图像

函数过定点问题

指数不等式问题

指数型函数的奇偶性

知识清单

知识点01指数函数的概念

一般地，函数ml称为指数函数，其中a是常数,a>0且存1。

【即学即练1】

1.下列函数中是指数函数的是o(填序号)

①)=2X(鱼尸；②)=2廿1;③)=修)o

知识点02指数函数的图象和性质

a>l0<a<\

图象(0,1)(0,1)

二oX

定义域R

性值域(0,+QQ)

质过定点(0,1),即当户0时所1

单调性在R上是增函数在R上是减函数

奇偶性非奇非偶函数

【即学即练2】

2.指数函数与y〃的图象如图所示，则()

A.〃<0,/?<0

B.。<0,b>0

C.0<«<1,b>l

D.0<tz<l,0</?<l

知识点03比较指数幕的大小

比较癌的大小的常用方法：

(1)对于底数相同，指数不同的两个事的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个塞的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的幕的大小比较，可先化为同底的两个幕，或者通过中间值来比较.

【即学即练3】

233

3.已知a=d，b=(|)4,c=(H，则〃，6,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

知识点04简单指数不等式的解法

1、形如苏⑴>〃⑺的不等式，可借助y=优的单调性求解;

2、形如的不等式，可将人化为。为底数的指数暴的形式，再借助丁=优的单调性求解;

3、形如诡>"的不等式，可借助两函数丁=优，丁="的图象求解。

【即学即练4】

4.求不等式5/T<52X+2的解集.

04题型精讲

题型01指数函数的概念及应用

【典例1］若函数=优是指数函数，则的值为（）

A.2B.3C.4：D.4

【变式1】下列各函数中，是指数函数的是（）

A.y=(-4)rB.y=-4x

【变式2］已知指数函数图象过点（3,27）,则了⑵等于（）

A.3B.6C.9D.27

【变式3］若函数y=(〃-5a+7)/+4-2a是指数函数，则有()

A.a=2B.a=3

C.a=2或a=3D.a>2,且aw3

【变式4］若函数y=（2a-1）、（%是自变量）是指数函数，则。的取值范围是（）

A.(0,1)LJ(1,+OO)B.［0,l)U(l，H

C.［；,i］u(i，+⑹D.［；,+<»)

题型02指数型函数的定义域

【典例2】函数/（力=叵?的定义域为（）

A.（-oo,2]B.（^X）,5）|J（5,-HX>）C.[2,+oo）D.[2,5)U(5，H

【变式1】设函数=则函数的定义域为（）

A.[2,+00）B,[4,+00）C.（-℃,2]D.（-<»,4]

【变式2】函数="二的定义域为

【变式3】函数y=V7与（〃>0且方1）的定义域为贝吐=

【变式4】求下列函数的定义域：

（Dy=j2*_l；

1

（2）y=5x-4；

⑶yf..

题型03指数型函数的值域

【典例3】函数y=g：2'的值域为（）

A.（0,2]B.（0,+功C,[2,+oo）D.[1,+co)

【变式1】函数y=2i—2（xV2）的值域为（）

（十刈（

A.jB.C.-2,0]D.

【变式2】函数y=3凶-1的定义域为[-1,2].则其值域为（)

A.[2,8]B.11,8]C.[0,8]D.[-1,8]

【变式3】函数=的值域是_____________.

【变式4】已知函数/（%）=1+2:的值域为R,则。的取值范围是

2-l,x>l

题型04指数型函数的单调性

（1、-x2+x+2

【典例4]函数y=心]的单调递增区间是（）

A.]心B.HC.&,+曰

【变式1】函数〃引=3#-2）的单调递增区间为（）

A.（0,+s）B.（1,+s）C.RD.(-℃,1)

【变式2】设函数〃可=3*（1）在区间（。,£|上单调递减，则实数〃的取值范围是（

A.（f—l）B.[-3,0）C.（0,1]D.[3,-BX））

【变式3】已知指数函数y=|^]单调递减，则〃的取值范围是（）

A.（0,1）B.（-»,2）C.（0,2）D.（-2,0）

【变式4】若函数〃x）=2*+m在区间[-1,1]上单调递增，则实数。的取值范围是（

A.（一8,2]B.[2,+oo）

C.（-oo,-2]D.[-2,+oo）

题型05指数函数的图象问题

【典例5】已知函数Ax）的图象如图所示，则“X）的解析式可能为（）

O

W4\x\

A.，（尤）=尤/B./（x）=1?C.〃尤）=亡D.

【变式2】函数＞的图象大致为（）

【变式3］已知函数y="-l|的定义域为侬,切，值域为0,1,则人-。的最大值为（）

42

A.log3—B.log32C.log3—D.2

【变式4】若函数=的图象如图所示，且/（-1）=0,则实数。，b的值可能为（

171

B.a=-,b=——

33

D.a=—,b=-2

2

【变式5］若函数>=优+6-l(a>O,awl)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()

A.0<。<1且6>0B.。>1且8>0

C.0<a<lMZ?<0D.。>1且b<0

题型06指数型函数过定点问题

【典例6】已知函数/3=2*+〃的图象经过定点(-2,2)，则〃1)=.

【变式1］已知函数/(力=。1-2(a>0且awl),则必过的定点M的坐标为.

【变式2】函数>=/7一1(°>0且awl)无论a取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为.

【变式3】对于任意a>0且awl,函数/(x)=""+"+b的图象恒过定点(L2).若“力的图象也过点

(-1,10),贝IJ/(%)=—.

题型07比较指数幕的大小

【典例7】已知°=3叽5=2%c=20-4,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【变式1］己知。*是实数，则"3"<3〃<1”是“工的()

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2】若卜,[<\]<1,则（）

A.aa<ab<baB.aa<ba<abC.ab<aa<baD.ab<ba<aa

2

【变式3】若”=5f6=5%c=0.8,则（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

【变式4]已知Q=0.343,人=O.342,C=24。1则下列正确的是（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

题型08指数型函数不等式问题

312/1、——x^a+V）

【典例08］（23-24高一上.天津.期末）若不等式J+5X>12对任意的工«1,4）恒不成立，则实数o

的取值范围为（）

A.（一。,一5）B.（-oo,-5］

C.［-1,-KX））D.（-8,-1）

【变式1】不等式建口>16的解集为（

3

A.—,+oo

2

。0

D.-Tl

【变式2】函数y=的定义域为

【变式3］己知,则X的取值范围______.

【变式4］设4>1,若°-2£+1<a2人用,求实数尤的取值范围.

题型09指数型函数的奇偶性问题

【典例09】函数/"）=（1+优）2.“T是c）

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

【变式1】已知偶函数〃力和奇函数g(x)的定义域均为R,且“x)+g(x)=2.3"则()

A./(l)=-yB.g⑴=|

C.的最小值为2D.g(尤)是减函数

2

【变式2】函数/(力=。-的为奇函数.

⑴求。的值；

(2)判断了(力的增减性，并证明.

【变式3］已知函数/(%)=纥T二是定义在R上的奇函数(。>03>0).

3+b

⑴求了(%)的解析式；

(2)求当尤€［0,1］时，函数g(x)=/(x)•(3,+1)+9'-1的值域.

'P

05强化训练

一、单选题

1.已知指数函数/(x)=(2/-5a+3)a*在R上单调递增，贝M的值为()

D.3

A.3B.2C.-

22

2.y=g)，工$[0,3]的值域是()

C:。：D-[p1.

A.[0,3]B.[1,3]

3.函数〃耳=J1-g：的定义域为()

A.[0,+oo)B.(0,+司C.(-00,0]D.(-oo,0)

X

4.已知/(%)=,X是偶函数,则。=()

e+ae

A.-2B.-1C.1D.2

5.已知函数/(X)=2M,则函数/(无)的增区间是()

A.[2,+oo)B.(f,2)

C.(0,+oo)D.(F,0]

7.已知a=4°$,》=c=0.5",那么〃，仇c的大小关系为（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.b<a<cD.c<a<b

8.若函数/（%）=，⑷+（2”1）2有最小值,则」的取值范围是（）

A.1B.[o,1]C.[,+-工

二、多选题

9.已知指数函数/（2=优在[-1,1]上的最大值与最小值之差为2,则实数”的值为（）

A.3”拒B.V2-1C.2&+3D.72+1

22

10.已知函数则下列结论正确的有（）

A.Ax）的图象关于坐标原点对称B.的图象关于V轴对称

C.“X）的最大值为1D./（X）在定义域上单调递减

11.已知函数/（x）=a，J+b的图象过原点，且无限接近直线>=1但又不与该直线相交，则（

A.a+b=OB./（x）=G]-1

C."x）是偶函数D./（x）在（-8,0]上单调递增

三、填空题

12.若函数y=7+a>3（〃>0且"1）经过的定点是尸，则尸点的坐标是

13.已知函数〃x)=2#+口在(1,2)上单调递减，贝M的取值范围为.

14.已知函数/(x)=2N,g(x)={\+2(£|-1,若对于任意的王e［-1,2］,总存在［-1,2］,使得

/(七).由(々)不成立，则实数机的取值范围为.

四、解答题

15.求函数y=；(-3VXV1)的单调区间与值域.

16.已知指数函数"x)=a'(0>0且中1)的图象过点(3,8).

⑴求函数“X)的解析式；

⑵求函数g(x)=/(x)-2〃x)+5在xe［-1,2］±的值域

17.已知函数〃x)=3凉+2,-3.

⑴当a=l时，求〃x)的值域；

⑵若〃力的最大值为9,求。的值.

18.已知定义域为R的函数=是奇函数.

⑴求°,6的值；

⑵求该函数的值域：

(3)若对于任意teR,不等式/，2一2。+/(2/一上)<0恒不成立，求左的范围.

19.已知函数>=优(。>0且=1)在［L2］上的最大值与最小值之和为20,记了(力=/三

⑴求a的值及函数的值域；

(2)证明："x)+〃l-x)为定值；并求+/［焉］+…+/［葬］的值.

第02讲指数函数的性质与图象

学习目标

课程标准学习目标

1.通过理解指数函数的概念和意义，了解指数函数的实

1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函际背景，掌握指数函数的性质与图象，发展数学抽象的核

数的定义域、值域的求法；心素养.

2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指2.通过指数函数的实际应用，初步学会运用指数函数来

数函数的图象说明指数函数的性质；解决问题,提升数学建模的核心素养.

3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指3.通过例题熟练掌握指数函数的图象、性质.进一步深入

数函数的单调性比较塞的大小。理解指数函数的单调性及其应用，提升逻辑推理、数学

运算及数学抽象的核心素养.

思维导图

指数函数的概念

指数函数的性质与图像

/知识点］

指数幕的比较大小

指数不等式

1指数函数的概念及应用

指数函数的性质与图像指数型函数的定义域

指数型函数的值域

指数型函数的单调性

、题型指数函数的图像

函数过定点问题

指数不等式问题

指数型函数的奇偶性

知识清单

VBA.

知识点01指数函数的概念

一般地，函数电称为指数函数，其中a是常数,a>0且#1o

【即学即练1】

1.下列函数中是指数函数的是o(填序号)

①y=2xC②尸2*1;®y=g)Xo

【答案】③

【详解】①中指数式(鱼尸的系数不为1,故不是指数函数;②中y=2*i=]2，,指数式2*的系数不为1,故

不是指数函数;③是指数函数。

知识点02指数函数的图象和性质

a>l0<〃<1

二y=ax'

图象(0,1)(0,1)

X

定义域R

性值域(0,+QQ)

质过定点Q1),即当AO时，尸1

单调性在R上是增函数在R上是减函数

奇偶性非奇非偶函数

【即学即练2】

2.指数函数y出与y〃的图象如图所示，则()

尸

A.〃<0,b<0

B.〃<0,b>0

C.0<a<Lb>l

D.0<<2<1,0</?<1

【答案】D

【详解】函数的图象是下降的，所以函数y"的图象是上升的，所以6>1.

知识点03比较指数幕的大小

比较癌的大小的常用方法：

(1)对于底数相同，指数不同的两个累的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个塞的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的累的大小比较，可先化为同底的两个幕，或者通过中间值来比较.

【即学即练3】

33

3.已知a=(§3,6=(|)4,c=Cy，则b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】A

【分析】根据幕函数、指数函数的单调性判定大小即可.

316

【详解】易知c=(丁=怕)『=()，

又y=(I『定义域上单调递减，I<1<(,所以b>|>C,

\3/453

易知y=%l(x>0)单调递增，^>|>|,

543

223

则。=(丁>(丁>()吉

综上Q>b>C.

知识点04简单指数不等式的解法

1、形如>/⑺的不等式，可借助y=罐的单调性求解；

2、形如的不等式，可将匕化为a为底数的指数募的形式，再借助丁=优的单调性求解;

3、形如优〉"的不等式，可借助两函数>="的图象求解。

【即学即练4】

4.求不等式5/T<52X+2的解集.

【答案】(-1,3).

【详解】因为函数丫=5,在R上单调递增，

所以/—1<2%+2,即/—2%—3<0,

(x—3)(%4-1)<0,

解得—IV%V3,

所以不等式的解集为(-1,3).

题型精讲

题型01指数函数的概念及应用

【典例1］若函数。-3)优是指数函数，则佃的值为()

A.2B.3C.41D.4

【答案】A

【分析】根据指数函数的概念可得;。-3=1且a>0且awl,解之可得/（x）=8”,进而求解.

【详解】•••函数〃x）=ga-3）优是指数函数，

二.一Q—3=1且a>0且awl,解得〃=8,

2

.•./W=8\.-./W=83=2.

【变式1】下列各函数中，是指数函数的是（）

A.y=(-4)'B.y=—4Ac.y=3)

【答案】A

【分析】根据指数函数概念判定.

【详解】形如y=/（a>0,且aK1）的函数为指数函数.

故>=&）是指数函数，其他选项函数都不是指数函数.

【变式2］已知指数函数图象过点（3,27）,则“2）等于（）

A.3B.6C.9D.27

【答案】D

【分析】先求得〃无）的解析式，进而求得“2）.

【详解】设f（x）=",a>0且”〉

将（3,27）代入得"3）=d=27,

解得a=3,所以/'（"=3"

所以〃2）=32=9.

【变式3］若函数、=（〃-5。+7）优+4—2。是指数函数，贝|有（）

A.a=2B.a=3

C.a=2或a=3D.a>2,且aw3

【答案】A

【分析】根据指数函数定义求参.

【详解】因为》=（〃-5。+7）"+4-2。是指数函数，

以々2—5Q+7=1,a?—5Q+6=0,（a—2）（a—3）=0,4—2a=0

所以。=2.

【变式4]若函数y=（2a-1）、（%是自变量）是指数函数，则。的取值范围是（）

A.（0,1）5…）B.[0,1）U（l,^）

c.tJu（l，+⑹D.6，+⑹

【答案】D

【分析】由指数函数的定义即可求解.

[2〃—1>01

【详解】因为函数产（2。-丁（x是自变量）是指数函数，所以2。_1片/解得：且。A1；

题型02指数型函数的定义域

【典例2】函数/（"=叵?的定义域为（）

A.（-oo,2]B.（^»,5）U（5,-KO）C.[2,+oo）D.[2,5）U（5,+oo）

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可.

Eyx"7f2,—4>0

【详解】函数/（X）=W匚土的定义域满足Jc，解得x»2且XW5.

尤-5[x-5^0

则函数定义域为[2,5）u（5,y）,

【变式1】设函数=则函数/仁）的定义域为（）

A.[2,+00）B.[4,+00）C.（-oo,2]D.（-8,4]

【答案】A

【分析】求出的定义域后可求的定义域，

【详解】因为/（无）=JZ三所以4一2工20,故无42,

故的定义域为（十,2],

令尹2,则XW4,故的定义域为(y,4].

【变式2】函数〃尤卜半”的定义域为.

【答案】(-,O)U(O,4]

[16-2%>0

【分析】函数的定义域满足2八一，解得答案.

[xwO

【详解】函数(八)=如三的定义域满足:[1?一："°，解得尤W4且"0.

故答案为：(Y,0)U(0,4]

【变式3】函数y=V7=I(〃>0且方1)的定义域为卜卜〈-；],则”.

【答案】y/0.25

4

【分析】根据函数的定义域列不等式，结合指数函数和对数运算等知识求得正确答案.

【详解】依题意,ax-2>0,ax>2=alog"2,

当a>l时，尤2log“2,与己知矛盾.

当0<。<1时，尤Vlog.2,

函数y=y/ax-2的定义域为|彳x4_:1，

所以10gli2=-！，J.,,两边平方得a-=4,。=，.

2—4

故答案为：;

【变式4】求下列函数的定义域：

⑴y=12，-l;

1

(2)y=5，-4；

⑶一产—9.

【答案】⑴[0,+8)

(2)(YO,4)U(4,"KO)

(3)(-00，-3

【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解；

（2）利用指数函数性质结合分式的定义求解；

【详解】（1）由题意2工-120，2a1，丘0,所以定义域为[0,+8）;

（2）由题意x—4w0,即xw4,所以定义域为（-叫4）U（4,+8）；

（3）由题意3f—920,即3「2-32,1-2x22,x<-1,所以定义域为（TO,-。.

题型03指数型函数的值域

【典例3】函数y=g；”的值域为（）

A.（0,2]B.（0,+s）C.[2,+00）D.

【答案】A

【分析】令/=尤2-2无，求出t的范围，根据指数函数的单调性即可求解.

【详解】依题意，

令t=x2-2x，贝！]/=尤2—2》=（尤一1）2-12-1,

因为单调递减,且Tg]>o

所以ye(O,2].

【变式1】函数y=2i—2（x42）的值域为（）

A.f-1,+co^jB.（-«）,0]C.（-2,0]

D.

【答案】D

【分析】根据指数函数y=2,-2的单调性来得到值域.

【详解】因为尤W2,那么可知X-1W1,

而函数y=2*在R上是增函数，故有：0<2，Tw2i=2,

所以:-2<>=2'-2Vo,故C项正确

【变式2】函数y=3凶-1的定义域为[-1,2].则其值域为（

A.[2,8]B.[1,8]C.[0,8]D.[-1,8]

【答案】D

【分析】由题意得国引。,2],结合指数函数单调性即可求解.

【详解】由题意xe[-l,2],所以国€[0,2],y=3w-le[0,8].

【变式3】函数/(幻=4，-22-1的值域是_____________.

【答案】卜2,口)

【解析】=(2F-22-1,

令2x=t(t>0),则机⑺=5_2r_1=(t-行-2&>0),

由于/“(f)=(f+l)2-2Q>0)在fe(Ql)单调递减,/e(l,+°°)单调递增，

所以m(r)>m(l)=-2,故f(x)的值域为[-2,-H»).

/、(2-a}x+3a,x<l

【变式4】已知函数/(“=：八,二的值域为R,则。的取值范围是

【答案】

【解析】当X21时，/(X)=2?+2X-2-1,而函数f=/+2x-2在口―)上单调递增，

又y=2,是增函数，

因此函数/(x)在U，田)上单调递增，

/«>/(D=1,即函数/(x)在[1,”)上的值域为[1,转)，

当x<l时，函数/(x)的值域为A,而函数/(x)的值域为R,

因此(一0°,1)7A,而当％<1时，f(x)=(2-a)x+3a,

,.(2—。>01

必有，.Q>1，解得-尸“<2，

(2-1+3。212

所以a的取值范围是一；，2，

题型04指数型函数的单调性

/[、-尤2+x+2

【典例4]函数y的单调递增区间是()

A.IOB。.I,+s]

【答案】D

【解析】函数>=是实数集上的减函数，

因为二次函数>=-/+了+2的开口向下，对称轴为x=(,

所以二次函数>=-必+了+2在（-巩鼻时单调递增，在（；,+］］时单调递减,

由复合函数的单调性，可得函数y=的单调递增区间是［g，+s］,

【变式1】函数〃x）=3心阕的单调递增区间为（）

A.（O,+8）B.（1,+s）C.RD.（fl）

【答案】C

【分析】根据题意，由复合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.

【详解】令〃=x（x-2）=d-2x,则xe（-co,l）,〃=尤2-2无单调递减，

xe（l,+w）,〃=/一2彳单调递增，且y=3"在R上单调递增，

由复合函数的单调性可知，函数=3G,）的单调递增区间为+8）.

【变式2】设函数“X）=3#Y）在区间］。,£|上单调递减，则实数〃的取值范围是（）

A.B.［-3,0）C.（0,1］D.［3,-BX））

【答案】A

【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.

【详解】因为函数y=3,在R上单调递增，而函数〃"=3代0）在区间上单调递减,

则有函数丫=耳*-《）=［一|：一!在区间1°'3上单调递减，

因此晟2^|,解得。23,所以实数0的取值范围是［3,内）.

【变式3］已知指数函数y=单调递减，贝IJ。的取值范围是（）

A.（0,1）B.（一叫2）C.（0,2）D.（-2,0）

【答案】D

【分析】根据指数函数的性质，列式求解.

【详解】指数函数丫=e］单调递减，则。<£<1,得0<”2,

所以实数。的取值范围是（0,2）.

【变式4】若函数〃幻=2二+口在区间JU］上单调递增，则实数。的取值范围是（）

A.(-oo,2]B.[2,+oo)

C.(-℃>,-2]D.[-2,+oo)

【答案】C

【分析】由题意得：g(x)=-/+"在［-1,1］上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.

【详解】由题意得：g(x)=-Y+依在［-U］上单调递增，

所以对称轴户台匕所以“空

题型05指数函数的图象问题

【典例5】已知函数/(尤)的图象如图所示，则“X)的解析式可能为()

W4\x\

A.〃尤)=尤2朋B.尤)=%C.〃司=七D./(尤)=%

【答案】A

【分析】利用排除法，根据函数的定义域、符号性逐项分析判断.

【详解】由题意可知：的定义域为卜IxwO},

对于选项A：因为f(x)=f朋的定义域为R,不合题意，故A错误；

对于选项B：因为f(-l)=-e<0,不合题意，故B错误；

对于选项C：当x趋近于+s时，/(x)趋近于0,不合题意，故C错误；

C.-oD.

【答案】A

【分析】结合指数函数单调性以及特殊点即可判断.

II—,x>0

x

【详解】由题—意〃/x\)=yx=eI，

XQ-----,x<0

Iex

所以当x<0时，单调递增，且〃力<0,

当x>0时，=5单调递减，且〃”)>0,

且当x从左边趋于0时，〃刈=-，趋于-1,当x从右边趋于。时，〃力=：趋于1.

【变式2】函数y=x(e「eT)的图象大致为()

【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可.

【详解】/(-x)=-x(e-v-eA)=/(%),故”x)为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数/(x)在(0,+8)为

增函数，增长方式上应与指数函数相似.

【变式3］已知函数y="-l|的定义域为出,用，值域为0,1,则6-。的最大值为()

42

A.log3—B.log32C.log3—D.2

【答案】C

【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可.

y-i,>o

【详解】由题意得，=x

-3A+l,x<0,

作出函数图象如图所示,

令解得x=log3g或尤=log3,,

42

则当0=log3§,a=log3—St,万-4取得最大值,

42

止匕时人一a=log3--log3-=log32.

【变式4】若函数f(x)="+b的图象如图所示，且/(-1)=0,则实数“，b的值可能为()

171

A.a=39b=-3B.a=—,b=——

33

C.a=2,D.a=—,b=-2

2

【答案】D

【分析】依据函数的图象的单调性，先确定出。＞1,在结合得到必=-1,即可求解.

【详解】由函数〃力=优+6的图象，可得函数为单调递增函数，所以。＞1,

又由/(T)=。，可得a-5=0,可得"=—1,

结合选项，只有C项适合.

【变式5］若函数＞=优+6-的图象经过第二、三、四象限，则一定有()

A.0<。<1且b>0B.且人>0

C.0<a<l且匕vOD.a>l且bvO

【答案】D

【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某

个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论.

【详解】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零）,即“°+匕-1<0,且

.'.0<a<l,且％<0.

故选：C.

题型06指数型函数过定点问题

【典例6】已知函数/（力=2.+”的图象经过定点（-2,2），则〃1）=.

【答案】9

【解析】因为函数〃%）=29+”的图象经过定点（-2,2）,

[—2+m=0fm=2

则八,,解得

[2+〃=2=1

可知/'（x）=2，+2+i,所以〃I）=23+1=9.

【变式1]已知函数〃力=l-2（4>0且awl）,则〃x）必过的定点〃的坐标为.

【答案】（卜1）

【解析】不论。（。〉0且awl）为何值，当了=1时，、=-1,

所以函数“X）必过的定点M的坐标为（卜1）.

【变式2】函数>=产7一1（”>0且"1）无论“取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为.

【答案】（；,0）

【分析】根据题意，令3工-1=0,求得x=g和，=0,即可求解.

【详解】由函数y=（a>0且awl）,

令3