人教B版高中数学必修二同步讲义：平面向量线性运算的应用（学生版+解析）

第05讲平面向量线性运算的应用

01学习目标

课程标准学习目标

1.会用向量法计算或证明平面几何中的相1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学

关问题.建模核心素养.

2.会用向量法解决某些简单的物理学中的2.通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素

问题.养.

02思维导图

向・在平面几何中的应用利用平面向信判断几何图形形状

＜利用平面向・证明平行关系

L利用平面向或求线段的长

,利用平面向量求面积比

向■在物理中的应用；利用平面向量解决力的问题

利用平面向量解决运动的问题

03知识清单

知识点01向量在平面几何中的应用

(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a%(aWO)OZdaOxi”X2yi[a(xi，

乃)，b(X2,J2)].

(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：同｛?巧.

(3)要证A,B,C三点共线，只要证明存在一实数2W0,使通灰，或若。为平面上任一点，则只需要

证明存在实数九〃(其中入+〃1),使宓而十〃dk

(4)用向量运算解决平面几何问题的“三步法”

第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向

量问题.

第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系.

第三步：把运算结果“翻译”成几何关系.

—.1—.

【即学即练1】在四边形ABCD中，若=则四边形45口）为（）

A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形

知识点02向量在物理中的应用

（1）力向量

力向量包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.

（2）速度向量

一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.

（3）将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算.

【即学即练2】

已知三个力力（一2,-1）,力（一3,2）,力（4,—3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上

一个力力，则力（）

A.(11,—2)B.(1,-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

04题型精讲

题型01利用平面向量判断几何图形形状

【典例1】（24-25高一下•全国•课后作业）已知在四边形A3GD中，AB=a+2,bBC=-4a-b>CD=-5a-3b>

则四边形ABCD为（）

A.梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形

【变式1］在ZM8C中丽H阮H油+阮|，则/48C是

A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【变式2】若|西=|画且丽=也，则四边形A3CD的形状为（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【变式3】在四边形A3CD中，对角线AC与交于点。，^3OA+OC=3OD+OB,则四边形ABCD一

定是（）

A.矩形B.梯形C.平行四边形D.菱形

题型02利用平面向量证明平行关系

【典例2】在“1BC中，点、M,N分别在线段AB,AC上，AM=2MB,4V=2NC.求证：MNIIBC.

【变式1】如图，在四边形ABC。中，点、E,F,G,H分别为BD,AB,AC和的中点.求证：四边形EFGH

为平行四边形.

D

【变式2】如图，已知A28E,C尸是AABC的三条高，且交于点O,DGLBE于点G,于点H,

求证：HGHEF.

题型03利用平面向量求线段的长

【典例3】如图，在MBC中，点E为边,上一点，点E为线段4c延长线上一点，且而=而，连接取

交BC于点。，求证：ED=DF.

【变式1】在梯形A3co中，BC>AD,AD//BC,点、E,尸分别是20，AC的中点，求证：EF=BC~AD

2

【变式2】用向量的方法证明如图，在YABCD中，点E,尸分别是A。和。C边的中点，BE,BE分别交

AC于点R,T.你能发现AR,RT,TC之间的关系吗？

题型04利用平面向量求面积比

【典例2】已知点P是VA3C所在平面内一点，若Q前丽，则△P3C与VA3C的面积比为（）

43

【变式1］（23-24高一下•四川南充•阶段练习）已知点。是VA3c内部一点，并且满足西+2赤+历=0,

△AOC的面积为匹，的七的面积为S,,则卷=.

d2

【变式2】若点M是△A3C所在平面内的一点，且满足3而0—荏一0,贝！）及45”与^Ai5c的面积之比

为（）

A.102B.11213C.1回4D.2回5

题型05利用平面向量解决力的问题

【典例3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是耳，E，

且耳，E与水平夹角均为45。，|耳REl=10N,则物体的重力大小为N.

【变式1］（24-25高一上•全国•课后作业）如图，两个力耳和E同时作用在一个物体上，其中耳的大小为

40N,方向向东，石的大小为3ON,方向向北，求它们的合力.

【变式2］（24-25高一上•全国•课后作业）如图，用两根绳子把质量为10kg的物体W吊在水平横杆上,

ZACW=150°,4CW=12O。.求物体平衡时，A和3处所受力的大小.（绳子的质量忽略不计，g=10m/s2）

【变式3］若向量的=（1,1）,西=（-3,-2）分别表示两个力耳,瓦，则|耳+耳卜（）

A.而B.275C.百D.715

题型06利用平面向量解决运动的问题

【典例4】一条河两岸平行，河的宽度为240点米，一个人从岸边游向对岸.己知他在静水中游泳时，速度

大小为每分钟12A米，水流速度大小为每分钟12米.

①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟米；

②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要分钟.

【变式11一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度E的大小为同=10km/h,水流速度W的大小

为E|=3km/h,那么当航程最短时船实际航行的速度大小为km/h.

【变式2】一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度匕的大小为

M=10m/s,水流速度匕的大小为|匕|=2m/s.设船行驶方向与水流方向的夹角为6,若船的航程最短，

则（）

八万八7i712"2九「

A.e=—B.e=—c.—<o<——D.——<e<——

322334

【变式3］）如果一架飞机向西飞行400km,再向东飞行500km,记飞机飞行的路程为s,位移为那么

5-问=（）

A.800kmB.700kmC.600kmD.500km

05强化训练

1.已知两个力月，工的夹角为90。，它们的合力大小为10N,合力与月的夹角为80。，那么月的大小为（）

A.5A/3NB.5NC.IOND.5及N

2.一只鹰正以与水平方向成30。角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影

子的速度是70m/s,则鹰的飞行速度为（）

.50n506,„100A/36100

A.—m/sB.--------m/sC.---------m/sD.m/s

3333

3.（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（）

A.船垂直到达对岸所用时间最少

B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少

C.沿任意直线航行到达对岸的时间都一样

D.船垂直到达对岸时航行的距离最短

___.3―-1―-

4..若点加是4ABC所在平面内一点，且满足：AM48+:4。训以4即1与小ABC的面积之比为________.

44

5.如图所示，分别在平行四边形ABCD的对角线30的延长线和反向延长线上取点F和点E，使DF=BE.

试用向量方法证明：四边形AEb是平行四边形.

6.如图,在中,点£为边,上「点，点f为线段AC延长线上一点,且1r耘,连接所交耻于

点、D,求证：ED=DF.

7.如图，在细绳/上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45。，细绳上挂着一个重物，使细绳

的另一端与水平面平行，求物重G的大小.

8飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从8地向东飞行100亚km到达C地，再从C地向南偏东

80。飞行50匹km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移.

A

第05讲平面向量线性运算的应用

01学习目标

课程标准学习目标

1.会用向量法计算或证明平面几何中的相1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学

关问题.建模核心素养.

2.会用向量法解决某些简单的物理学中的2.通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素

问题.养.

02思维导图

向・在平面几何中的应用利用平面向量判断几何图形形状

<利用平面向・证明平行关系

L利用平面向或求线段的长

,利用平面向■求面积比

;利用平面向量解决力的问题

向■在物理中的应用

、利用平面向或解决运动的问速

03知识清单

知识点01向量在平面几何中的应用

(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a%(aW0)㈡从aOxiy>2%[。(尤1，

yi),b(xi,>2)].

(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：巧.

(3)要证A,B,C三点共线，只要证明存在一实数2W0,使逐函乙或若。为平面上任一点，则只需要

证明存在实数3〃(其中力+〃1),使交应+〃协.

(4)用向量运算解决平面几何问题的“三步法”

第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向

量问题.

第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系.

第三步：把运算结果“翻译”成几何关系.

【即学即练1】在四边形ABCD中，若的=一3°,则四边形至。＞为()

A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形

【答案】C

【分析】

根据向量共线即可判断.

—.1—.

【详解】四边形ABC。中，若=

则AB〃CD,S.AB=^CD,

所以四边形ABCD是梯形.

知识点02向量在物理中的应用

(1)力向量

力向量包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.

(2)速度向量

一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.

(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算.

【即学即练2】

已知三个力力(-2,-1),力(一3,2),力(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上

一个力力，则力()

A.(-1,-2)B.(1,-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

【答案】A

【解析】由物理知识知力+应+力+力0,故人一5+方+力)(1,2).

04题型精讲

k—

题型01利用平面向量判断几何图形形状

【典例1】(24-25高一下•全国•课后作业)已知在四边形A3CD中，AB=a+2b，BC=^a-b，CD^-5a-3b，

则四边形ABCD为()

A.梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形

【答案】A

【分析】利用向量的运算得到那=2昵，即可得到答案.

【详解】因为丽=万+2石，BC=-4a-b，CD=-5a-3b>

所以通=福+交+①=,+2石）+（-4/一5）+（—5日-35）=-8万一25.

UUUUCIU

所以AD=2BC.

所以AD〃3C且|前卜国，

所以四边形ABCD为梯形..

【变式1］在2MBe中，网=匹卜|通+明岫ABC是

A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】根据向量的线性运算化简判定即可.

【详解】AB+BC=AC,^\\AB\=\BC|=|AC故zMBC是等边三角形.

【点睛】本题主要考查了利用向量判定三角形形状的方法，属于基础题型.

【变式2】若|码=|码且丽=也，则四边形ABCD的形状为（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【答案】D

【分析】根据条件中的向量关系反映出来大小关系和方向关系来判断.

【详解】丽=也可知，四边形A3CD为平行四边形，

又因为I9|=|而I,

所以四边形A3CD为菱形.

【变式3】在四边形A3CD中，对角线AC与3。交于点。，^3OA+OC=3OD+OB,则四边形A3CD一

定是（）

A.矩形B.梯形C.平行四边形D.菱形

【答案】C

【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得3次=屈，可得四

边形为梯形.

【详解】由3丽+反=3砺+砺，得3（次-历）=砺-交，

所以3次=丽,

可得AD〃BC且ADw3C.

所以四边形ABC。一定是梯形.

题型02利用平面向量证明平行关系

【典例2】在AASC中，点以，N分别在线段A8,AC上，AM=2MB,㈤V=2NC.求证：MN/IBC.

【答案】证明见解析

【解析】证明：设丽=£,AC=b，贝1」配=/一通=石一£.

又AM=2MB,AN=2NC.

所以司？=-屈=-£,AN=-AC=-b.

3333

在AAW中，MN=AN-AM=^[b-aj,

----2—■

所以MN=§BC,即丽与前共线，故MNHBC.

【变式1】如图，在四边形ABC。中，点、E,F,G,H分别为B£),AB,AC和C。的中点.求证：四边形EFGH

为平行四边形.

B

【答案】证明见解析

【解析】因为点E,F,G,X分别为AB,AC和C。的中点,

所以定=g瓦5,而二亚所以既=丽，

又因为FE与G”不共线，所以FE〃GH,且FE=GH,

所以四边形EFGH为平行四边形.

【变式2】如图，已知是44BC的三条高，且交于点O,DGL3E于点G,DHLCF于点H,

求证：HGHEF.

A

【解析】证明：由题意，DG1BE'AELBE'GD//AE.

设函=2砺（几片0）,则通=几面.

同理通=4丽.

^^FE=AE-AF=A（DG-DH）=AIiG.

：.FE//HG,：.HG//EF.

题型03利用平面向量求线段的长

【典例3】如图，在皿C中，点E为边钻上一点，点尸为线段AC延长线上一点，且1r前，连接防

交3c于点，求证：ED=DF.

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图，以点3为原点，2C所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设BC=1

设----=-----=A,C(l,0),A(^a,b),D(d,O),

ABAC

则E(2a,孙,AC=(1-a-b),

所以CF=AAC=(2,(1—a),—A,b),所以F(2,(l—a)+\,—Ab).

所以而=3-/la,—2b),OF=(2(1-a)+-2/J).

因为E,D,尸共线，所以前〃力F,

所以—4b(d—Aa)——Ab[A(l—a)+1—6?],化简得2d=A+1.

因为ED—DF=(d——Ah')—(A—Act+1-^7,—Ah')

=(2<5?-2-l,0)=(0,0)=6,

所以瓦5=丽，所以ED=D7L

【变式1】在梯形ABCD中，BC>AD,ADIIBC,点、E,尸分别是瓦〉AC的中点，求证：EF=BC~AD

【答案】证明见解析

【解析】因为点E，尸分别是30，AC的中点，

—.1—.—.1—.

所以E2=—OB,CF=-CA.

22

所以丽=丽+配+0?=工丽+而+工夙.

22

S^BC+C4+AD+DB=0,

所以DB+CA=DA+CB,

~.1.__.__.~RC-AD

所以EF=t（CB+ZM）+BC=---.

因为BC>AD,AD!IBC,且而与死同向,

反IT砌BC-AD

所以I房1=即EF=

222

【变式2】用向量的方法证明如图，在YASCD中，点E,尸分别是A。和。C边的中点，BE,8尸分别交

AC于点R,T.你能发现AR,RT,TC之间的关系吗？

【答案】AR=RT=TC,理由见解析

【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以前=莅+湿，

设衣二彳/，

因为E是AD的中点，所以而=2通，

i^A^=2AC=A（AZ）+AB）=A（2A£+AB）=22AE+AAB,

又因为反艮E三点共线，

可设丽=m丽,即须一荏="2（衣一荏），

即AR=mAE+（1—??7）AB,

fm=221__,1__.

故，，，相加可得3X=1,解得2=不^AR=-AC,

\l-m-A33

同理可证方=；无，

故可知A,T为AC的三等分点，故4?=RT=TC.

题型04利用平面向量求面积比

__k3__»9__►

【典例2】已知点P是VA3c所在平面内一点，^AP=-BC--BAf则△P5C与VA5C的面积比为（）

1123

A.-B.—C.—D.一

3234

【答案】A

【分析】假设VA5c是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，求得尸点坐标，由此求得△PBC与VA3c的

面积比.

【详解】假设VA2C是等腰直角三角形，且A是直角，AB=AC=2,

建立如图所示平面直角坐标系，设P（%y）,

则3（0,2）,C（2,0）,肥=（2,-2）,丽=（0,-2）,

___3___2__.

依题意而号而丽,

4?3

即依力=夕2，-2）-皇0,-2）

2，-6

S△ABRC=-X2X2=2,

S&PBC~S4PAe+S4ABC—S/AB

「1-32

=-x2x—i—x2x2—x2x-=—1-2———

26222623

2

所以△P8C与VABC的面积比为3=1_.

?"3

【变式1］（23-24高一下,四川南充•阶段练习）已知点。是VABC内部一点，并且满足西+2砺+无=6，

△AOC的面积为匹，血七的面积为邑，则今=.

【答案】2

【分析】利用区+2漏+^确定点。的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解.

【详解】因为砺+2赤+^

所以市+反=-2砺=2的，

所以前=：（两+讨），取AC的中点O,则说=；（西+元）,.•.防=心方，

所以。为8。的中点，如图所示，则△AOC的面积为R,ABOC的面积为$2，

所以今=2.

故答案为：2

【变式2】若点〃是AABC所在平面内的一点，且满足3戒一通一衣。，贝IjAABM与AABC的面积之比

为（）

A.102B.103C.104D.205

【答案】C

【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之

比可得.

【详解】如图，。为2C边的中点，

—.1—.—.

贝I]AO=/(AB+AC)

因为3而一衣一衣。

所以3破=通+加=2而，

___.2—.

所以4W=jAD

21

所以

'z1S△AAbJ5VlM=3—SRAAtSDM=3—SAADgC

题型05利用平面向量解决力的问题

【典例3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，己知两条绳上的拉力分别是耳，E，

且耳，耳与水平夹角均为45。，|耳1=1凰|=10N,则物体的重力大小为.N.

【分析】根据向量的加法运算结合力的合成即可求解.

【详解】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力IGHR+EI，

因为耳,居与水平夹角均为45°,I耳R&=1ON,

由向量加法的平行四边形法则可知4+E1的方向是竖直向上的，且

|耳+耳|=2|耳|sin45°=2xl0x2=10忘,所以物体的重力大小为10&N.

故答案为：100.

【变式1］（24-25高一上,全国•课后作业）如图，两个力耳和耳同时作用在一个物体上，其中耳的大小为

40N,方向向东，月的大小为30N,方向向北，求它们的合力.

3

方向为东偏北正切值为I的角.

【分析】根据力的合成法则可求答案.

【详解】因为耳的大小为40N,方向向东，月的大小为30N,方向向北,

所以它们合力的大小为7302+402=5ON，

八303

tan〃=——=一,

404

3

所以合力的大小为5ON,方向为东偏北正切值为萨角.

【变式2](24-25高一上•全国•课后作业)如图，用两根绳子把质量为10kg的物体W吊在水平横杆AB上,

ZACW=150°,NBCW=120。.求物体平衡时，A和8处所受力的大小.(绳子的质量忽略不计，g=10m/s2)

【答案】A和8处所受力的大小分别为50百N,50N.

【分析】根据力的分解及平行四边形法则可求答案.

【详解】设A和8处所受力分别为耳，耳，C处所受两绳的拉力的合力为前，物体重力为雨,

物体所受的重力为100N,根据力的平衡，所以|耳+司=100N；

因为NACW=150。，所以NACO=30。，所以同=100cos30。=50指N；

因为N3CW=120°,所以N3CO=60°,所以|同=100cos60。=50N.

【变式3]若向量两=(1,1),两=(-3,-2)分别表示两个力耳，瓦，则|用+典=()

A.回B.245C.45D.V15

【答案】D

【分析】根据题意，求得月+月=0"+0痴=(-2,-1),结合向量模的运算公式，即可求解.

【详解】由题意，向量加=(1,1),西=(-3,-2)分别表示两个力耳月，

可得耳+用=•+两=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),

所以|耳+同="-2)2+(-1)2=君.

题型06利用平面向量解决运动的问题

【典例4】一条河两岸平行，河的宽度为240忘米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度

大小为每分钟12君米，水流速度大小为每分钟12米.

①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟米；

②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要分钟.

【答案】24；20.

【分析】（1）求出J（124）?+122即得解;

（2）求出他游到河对岸的速度即得解.

【详解】解：（1）如图所示，当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为J（12百尸+12?=24,

他实际前进速度的大小每分钟24米.

（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为J（12君了-凌=12&,所以他游到河对

岸的需要经坐=20分钟.

12V2

【变式11一艘船从河岸边出发向河对岸航行•己知船的速度元的大小为同=10km/h,水流速度的大小

为同=3km/h,那么当航程最短时船实际航行的速度大小为km/h.

【答案】回

【分析】

利用勾股定理求得正确答案.

【详解】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行，

所以船实际航行的速度大小为J寸-同2=791km/h.

故答案为：回

【变式2】一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度匕的大小为

闻=10m/s,水流速度V2的大小为卜|=2m/s.设船行驶方向与水流方向的夹角为。，若船的航程最短，

贝U（）

【答案】D

【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角

【详解】解：当航线垂直于河岸时，航程最短，

如图，在VABC中，AB=10,BC=2,所以sin/2AC=ge[o,g],

TT

所以/BACw,所以夕=5+N3AC£

【变式3]）如果一架飞机向西飞行400km,再向东飞行500km,记飞机飞行的路程为％位移为那么

$-优|=（）

A.800kmB.700kmC.600kmD.500km

【答案】A

【分析】根据路程、位移的概念分别求出$、口即可得解.

【详解】因为一架飞机向西飞行400km,再向东飞行500km,

贝U飞机飞行的路程s=400+500=900（km）,

位移为向东100km,所以问=100（km）,

所以s一同=900-100=800（km）.

强化训练

1.已知两个力月，F?的夹角为90。，它们的合力大小为10N,合力与月的夹角为80。，那么耳的大小为（）

A.573NB.5NC.10ND.572N

【答案】C

【解析】如图，OA=FX,OB=E，NAOC=60。，ZOAC=90°,|oc|=10.

在RtMMC中，有|函|=|因cos/AOC=5,

所以，月的大小为5N..

2.一只鹰正以与水平方向成30。角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影

子的速度是70m/s,则鹰的飞行速度为（）

.5005073,C1006100,

A.—m/sB.-------m/sD.----m/s

33''33

【答案】D

【解析】如图所示：

由题意知：同=川=50//s,

3.（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（）

A.船垂直到达对岸所用时间最少

B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少

C.沿任意直线航行到达对岸的时间都一样

D.船垂直到达对岸时航行的距离最短

【答案】CD

【解析】设船在静水中的速度为v,水流速度为W，船实际速度为％，

两岸间的垂直距离为s；

I--------S

对于ABC,船垂直到达对岸时，.="一；,则所用时间，=了；

当船速V的方向与河岸垂直时，所用时间/=,；

V

•••V2%，二当船速V的方向与河岸垂直时，用时最少，

且沿不同直线航行到达对岸的事件不相同，A错误，B正确，C错误；

对于D,船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，

此时距离最短，D正确.D.

___.3--1—.

4.若点用是4ABC所在平面内一点，且满足：AM--AB+-AC.KU42加与小ABC的面积之比为______.

44

【答案】1：4

【分析】由己知得出M,B,C三点共线，令函=诙,利用平面向量的加法法则可得2值，进