人教B版高中数学必修二同步讲义：平面向量的概念（学生版+解析）

第01讲平面向量的概念

01学习目标

课程标准学习目标

1.通过对生活中力、速度、位移等的分析，了解平面

向量的实际背景；

掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向

2.理解向量的意义及几何表示；

量的几何表示；对共线向量的理解及掌握.

3.掌握相等向量与共线向量的意义.

02思维导图

向■的概念

平面向■的基本概念

平面向量的表示

平行向■与相等向■

平面向■的简单应用

03知识清单

知识点01向量的概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2.数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量.

【解读】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平

移.

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素.

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.

【即学即练1】有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.

其中，不是向量的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

知识点02向量的表示法

1.有向线段

具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

2.向量的表示方法

（1）字母表示法：如a,b,c,••等.

（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段A5（注意始点一定要写在终点的前面）.如果用一

条有向线段A5表示向量，通常我们就说向量A5.

【注意】（1）用字母表示向量便于向量运算；

（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就

是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即

同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

【即学即练2】已知向量。如图所示，下列说法不正确的是（）

a

MN

A.也可以用加'表示B.方向是由M指向N

C.起点是MD.终点、是M

知识点03向量的有关概念

1.向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）.

【解读】（1）向量。的模|a|20.

（2）向量不能比较大小，但|a|是实数，可以比较大小.

2.零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.

3.单位向量：长度等于1个单位的向量.

【解读】定义中的零向量和单位向量都是用限制大小，没直确定发包一一我们规定零向量的方向是隹意的;

单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同，在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，

则它们的终点构成一个半径为1的圆.

4.相等向量：长度相等且方向相同的向量.

【解读】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等.

【即学即练3】（2024•高二课时练习）下列关于向量的命题中，真命题的个数是（）

①任一向量与它的相反向量不相等；

②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

③若a/b,则卜卜卜|;

④两个向量相等，则它们的起点与终点相同.

A.0B.1C.2D.3

知识点04向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）.规定：0与任一向量共线.

【解读】（1）零向量的方向是任意的，注意。与0的含义与书写区别.

（2）理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而

平行向量是可以重合的.

（3）共线.向量就是平行向量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义•实际上，共线向量（平行

向量）有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这

样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.

（4）向量相聋具有传递性,即而，be,则ac.而向量的平行丕具有传递性,若a%〃c,未必有a//c.

因为零向量平行于任意向量.

【即学即练4】

在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向

量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命

题是.

04题型精讲

题型01平面向量的基本概念

【典例1］（23-24高一下•北京•期中）以下命题中正确的个数是（）

①两个相等向量的模相等；

②若a和8都是单位向量，贝!Ja=6；

③相等的两个向量一定是共线向量；

④零向量是唯一没有方向的向量；

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1］（23-24高一下•福建莆田•阶段练习）下列结论中，正确的是（）

A.零向量的大小为0,没有方向

B.网=网

C.起点相同的单位向量，终点必相同

D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

【变式2】（24-25高二上・甘肃临夏•阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量a与万平行，则。与6的方

向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线

段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【变式3】（23-24高一下•吉林•期末）下列说法正确的是（）

A.平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上;

B.若卜卜忖，则a与6的长度相等且方向相同或相反；

C.若卜卜忖，且3与万的方向相同，贝Ua=b

D.若aHb,贝〜与。方向相同或相反

【变式4］（23-24高一下•北京•期中）己知AB,C,D是平面内四个不同的点，贝广AB//DC"是"四边形ABCD

为平行四边形"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

题型02平面向量的表示

【典例2］（25-26高一上•全国•随堂练习）如图，在圆。中，向量08，OC，4。是（）

A.有相同起点的向量B.相反向量

C.模相等的向量D.相等向量

【变式1］（23-24高一下•江西九江•阶段练习）如图，8是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终

点，则最多可以写出_____个共线非零向量.

ABC

【变式2】如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南—方向行走了—km.

【变式3】一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达8点，然后改变方向向西偏北70。方向行驶了

200km到达C点，又改变方向，向东行驶了100km到达D点。

⑴作出向量丽，灰，而；

（2）求汽车从A点到D点的位移大小|前|。

题型03平行向量与相等向量

【典例3］（24-25高一下•全国•课后作业）如图，在菱形ABCD中，/区4。=120。，则以下说法正确的是（）

B

A.与AB相等的向量只有1个（不含AB）

B.与AB的模相等的向量有9个（不含AB）

C.8。的模恰为DA的模的6倍

D.C8与。4不相等

【变式1】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；

③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a#b，则卜卜忖.其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2］（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）关于向量〃也。，下列命题中正确的是（）

A.若|a|=|A|,则Q=B.若。〃匕，则Q〃C

C.若〃=人，则口.若|〃|〉|/?|,则4〉匕

【变式3】如图，点。是正六边形A8CDE尸的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量

中，与向量。4相等的向量有个.

题型04平面向量的简单应用

【典例4］（24-25高一上•上海•课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若AB〃BC，则A、B、

C的位置关系是；若进一步有我=浅，则A、B、C的位置关系是；

（2）如图，在四边形A3CD中，若AB=OC,则四边形ABCD是.

C

【变式1】（23-24高一下•陕西咸阳•期中）已知四边形ABCD中，AB=DC，并且卜目,则四边形ABCD

是（）

A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.长方形

【变式2】已知四边形ABC。，下列说法正确的是（）

A.若AB=OC，则四边形A3CD为平行四边形

B.若|AC|=|BD|,则四边形A3GD为矩形

C.若AD〃BC，且lACRBOI，则四边形A3CD为矩形

D.若|AB|=|CO|,且AD〃2C，则四边形ABCD为梯形

【变式3】已知点E,F,G,"分别是平面四边形A3cD的边AB,BC,CD,DA的中点，求证：EF=HG.

强化训练

一、单选题

1.（24-25高二上•黑龙江佳木斯•阶段练习）下列量中是向量的为（）

A.体积B.距离

C.拉力D.质量

2.（23-24高一下•陕西宝鸡,期中）下列说法正确的是（）

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行

C.模为1的向量都是相等向量

D.向量的模可以比较大小

3.（23-24高一下•天津河北•期中）下列说法中，正确的是（）

A.若忖=1,则q=±lB.若°=），则

C.若卜卜W且a〃6，贝Ua=bD.若a〃0，则忖=。

4.（23-24高一下•全国•随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（）

A.若向量a，b都是单位向量，则a=b

B.若向量入6都是单位向量，贝lj|a|=|b|=l

C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量

D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共线

5.（23-24高一下•江西南昌•期中）下列说法正确的是（）

A.若a=。，则-与6共线B.若♦与万是平行向量，贝卜=6

C.若|a|=|切，则.=》D.共线向量方向必相同

6.（23-24高一下•陕西宝鸡•阶段练习）下列说法错误的是（）.

A.零向量没有方向

B.两个相等的向量若起点相同，则终点必相同

C.只有零向量的模等于0

D.向量AB与54的长度相等

7.（23-24高一下•黑龙江大庆,阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若卜卜卜|，贝!Ja=bB.若忖>忖,则

C.若a=i>，则a〃bD.若〃〃则〃〃c

8.（22-23高一下•江苏连云港•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.|cr>|=|r>c|B.4、02是单位向量，则同=|

c.两个相同的向量的模相等D.单位向量均相等

二、多选题

9.（23-24高一下•广东佛山•期中）下列命题是真命题的是（）

,___.、一,ULUlUUU

A.在正万形ABC。中，AB=BC

B.0的模长为0

C.若la|=1,则向量。是单位向量

D.若向量“与向量。是共线向量，则向量a与向量b的方向相同

10.（23-24高一下•陕西渭南•期末）已知0,6为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（）

A.a与6相等B.如果a与6平行，那么a与6相等

C.a与。共线D.如果°与方平行，那么a=b或a=

11.（23-24高一下•广西来宾・期末）关于非零向量a,b,下列命题中，正确的是（）

A.若同=W,则a=〃B.若。=一6，则a//6

C.若A//6，bl1c，则d//eD.若同>卜|,贝l]q>6

三、填空题

12.下列各量中，向量有：.（填写序号）

①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩

加速度.

13.（23-24高一下•江苏宿迁・开学考试）在下列判断中，真命题的是.

①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都

是同方向；⑤任意向量与零向量都共线.

14.如图所示，每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量，在这6个向量中：

（1）有两个向量的模相等，这两个向量是,它们的模都等于.

（2）存在着共线向量，这些共线的向量是,它们的模的和等于.

H

四、解答题

15..如图，D,E,歹分别是正三角形A8C各边的中点.

(1)写出图中所示与向量唬长度相等的向量；

(2)写出图中所示与向量FD相等的向量;

(3)分别写出图中所示向量与向量。E,尸。共线的向量.

16.(24-25高一上•上海•课后作业)已知线段A3被“(加.2)等分，等分点、为M、,M2,M3,Mn_x.

从这(〃+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点.

⑴当〃=4时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？

(2)求互不相等的非零向量总数，用〃表示.

第01讲平面向量的概念

01学习目标

课程标准学习目标

4.通过对生活中力、速度、位移等的分析，了解平面

向量的实际背景；

掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向

5.理解向量的意义及几何表示；

量的几何表示；对共线向量的理解及掌握.

6.掌握相等向量与共线向量的意义.

02思维导图

L=

平面向量的基本概念

平面向■的表示

平行向■与相等向■

平面向■的简单应用

03知识清单

知识点01向量的概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2.数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量.

【解读】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平

移.

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素.

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.

【即学即练1】有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.

其中，不是向量的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】D

【解析】质量、路程、功只有大小，没有方向不是向量，而速度、力、加速度均是既有大小又有方向的物

理量.故选C.

知识点02向量的表示法

1.有向线段

具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

2.向量的表示方法

（1）字母表示法：如名"c,..等.

（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段A3（注意始点一定要写在终点的前面）.如果用一

条有向线段A5表示向量，通常我们就说向量A3.

【注意】（1）用字母表示向量便于向量运算；

（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就

是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即

同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

【即学即练2】已知向量。如图所示，下列说法不正确的是（）

a

MN

A.也可以用加'表示B.方向是由"指向N

C.起点是MD.终点是M

【答案】A

【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确.故选D.

知识点03向量的有关概念

1.向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）.

【解读】（1）向量。的模|a|20.

（2）向量不能比较大小，但|a|是实数，可以比较大小.

2.零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.

3.单位向量：长度等于1个单位的向量.

【解读】定义中的零向量和单位向量都是凡限制大小,没有确定方.向,-我们规定零向量的方向是任意的;

单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同，在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，

则它们的终点构成一个半径为1的圆.

4.相等向量：长度相等且方向相同的向量.

【解读】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等.

【即学即练3】（2024•高二课时练习）下列关于向量的命题中，真命题的个数是（）

①任一向量与它的相反向量不相等；

②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

③若awb,则卜卜W;

④两个向量相等，则它们的起点与终点相同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】利用零向量、相等向量与向量的模的定义逐一判断即可.

【详解】对于①，因为零向量与它的相反向量相等，所以①不是真命题；

对于②，根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，所以②是真命题；

对于③，当£时，满足awb，但忖=忖，所以③不是真命题；

对于④，只要模相等，方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，所以④不是真命题.

综上，只有②是真命题，即真命题的个数是1.

知识点04向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：0与任一向量共线.

【解读】(1)零向量的方向是任意的，注意。与0的含义与书写区别.

(2)理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而

平行向量是可以重合的.

(3)共线同量就是干行同量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义・实际上，共线向量(平行

向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这

样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.

(4)同量相等具有传递性,即be,则ac.而向量的平行不具有传递性,若a〃方，b//c,未必有a//c.

因为零向量平行于任意向量.

【即学即练4】

在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向

量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命

题是.

【答案】④⑥

【解析】由向量的相关概念可知④⑥正确.

04题型精讲

题型01平面向量的基本概念

【典例1］（23-24高一下•北京•期中）以下命题中正确的个数是（）

①两个相等向量的模相等；

②若。和。都是单位向量，则

③相等的两个向量一定是共线向量；

④零向量是唯一没有方向的向量；

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解.

【详解】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确；

对于②，若〃和b都是单位向量，当它们的方向不同时，则a=6不不成立，故②错误；

对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确；

对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误.

故正确的有①③，共两个.

【变式1】（23-24高一下,福建莆田•阶段练习）下列结论中，正确的是（）

A,零向量的大小为0,没有方向

B.网=网

C.起点相同的单位向量，终点必相同

D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

【答案】C

【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B,根据单位向量以及向量共线的性质即

可判断CD.

【详解】对A,既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；

对B,由于与54方向相反，长度相等，故B正确；

对C,起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误；

对D,若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误.

【变式2］（24-25高二上•甘肃临夏•阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量。与6平行，则。与万的方

向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线

段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得.

【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，

故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；

对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；

对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；

对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题.

【变式3】（23-24高一下•吉林•期末）下列说法正确的是（）

A.平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；

B.若卜卜忖，则a与6的长度相等且方向相同或相反；

C.若卜W|，且a与方的方向相同，则a=b

D.若a//6，贝！la与。方向相同或相反

【答案】D

【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D.

【详解】对于A,只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误:

对于B,由同=忖只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误；

对于C,因为同=忖，且a与。同向，由两向量相等的条件，可得“故C正确；

对于D,依据规定：0与任意向量平行，故当a=0时，a与6的方向不一定相同或相反，故D错误.

【变式4］（23-24高一下•北京•期中）已知A氏是平面内四个不同的点，则"AB//OC"是"四边形ABCD

为平行四边形”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据向量平行的意义进行判断即可.

【详解】一方面，时，可能AB,。。共线，此时A不构成四边形，充分性不不成立；

另一方面，四边形ABCD为平行四边形时，则AB〃OC,故AB//OC，必要性不成立.

故""是"四边形ABCD为平行四边形"的必要不充分条件.

题型02平面向量的表示

【典例2］（25-26高一上•全国•随堂练习）如图，在圆。中，向量08，OC，4。是（）

A.有相同起点的向量B.相反向量

C.模相等的向量D.相等向量

【答案】D

【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图

形，即可判断选项B和D的正误.

【详解】对于选项A,因为向量。8，0C的起点为而向量A0的起点为A,所以选项A错误，

对于选项B,因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量08，0C，A0方向不同，所以选项B

错误，

对于选项C,向量08，0C，A0的模长均为圆。的半径，所以选项C正确，

对于选项D,因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量08，OC，A0方向不同，所以选项D

错误，

【变式1］（23-24高一下•江西九江•阶段练习）如图，2是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终

点，则最多可以写出____个共线非零向量.

ABC

【答案】6

【分析】根据题意，直接写出满足题意的向量即可.

【详解】根据题意，可得所有共线非零向量有：AB,AC,BA,BC,CA,CB,共有6个.

故答案为：6.

【变式2】如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南—方向行走了—km.

北

【答案】8002

【分析】直接由图求解即可

【详解】解析：由已知图形可知，的几何意义是从A点沿西偏南80。方向，行走了2km.

故答案为：80。；2

【变式3】一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后改变方向向西偏北70。方向行驶了

200km到达C点，又改变方向，向东行驶了100km到达D点。

⑴作出向量荏，前，而；

（2）求汽车从A点到D点的位移大小|而|。

【解析】⑴如图所示。

（2）由题意，易知同与？5方向相反，故荏与丽平行。

又因为|说|=|3所以在四边形A8CO中工B〃CD,且所以四边形ABC。为平行四边形。

所以|而门阮1=200km,即这辆汽车从A点到D点的位移大小为200km。

题型03平行向量与相等向量

【典例3］（24-25高一下•全国•课后作业）如图，在菱形A3CD中，440=120。，则以下说法正确的是（）

A.与AB相等的向量只有1个（不含AB）

B.与的模相等的向量有9个（不含AB）

C.8D的模恰为。A的模的近倍

D.CB与D4不相等

【答案】ABC

【分析】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD,根据菱形的性质即可求解C.

【详解】由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有。C，而与43的模相等的向量有D4，DC，AC.CB

AD，CD，CA,BC，BA，故A,B正确;

国当网故|网=6冈，故C正确;

而在Rt_AOD中,Zz4Z)O=30°,：\D0\

由于CB=D4，因此C8与D4是相等的，故D错误.

BC

【变式1】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量;

③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若awb，则卜卜I4其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；

对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；

对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，

所以不一定相等，故③错误；

对于④，若awb，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.

【变式2】（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）关于向量a,6,c,下列命题中正确的是（）

A.若则a=>B.若.〃"则。〃工

C.若.=贝!la〃6D.若|a|>|b|,则

【答案】D

【分析】利用向量的有向知识逐项判断即可得结论.

【详解】对于A：当a=Z?时，|a|=|b|,但|。|=|6|,得不出a=b,故A错误;

对于B：若.〃b，则与a〃工没有关系，故B错误；

对于C：若a=b,则a〃b，故C正确；

对于D：若贝卜和6不能比较大小，故D错误.

【变式3】如图，点。是正六边形ABCDEP的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量

中，与向量OA相等的向量有个.

【答案】3

【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解.

【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量04相等的向量有。。，CB，EF，共3个.

故答案为：3

题型04平面向量的简单应用

【典例4］（24-25高一上•上海•课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若AB〃BC，则&、B、

C的位置关系是；若进一步有防=甜，贝UA、B、C的位置关系是；

（2）如图，在四边形ABC。中，若A3=DC,则四边形ABCD是.

C

【答案】4B、C三点共线2是AC的中点平行四边形

【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断；

（2）根据相等向量的概念即可判断.

【详解】（1）A8〃BC且有一个公共点8,

，A、B、C三点共线；

ULULUUU

QAB=BC，万向相同，

・••2是AC的中点，

故答案为：A、B、C三点共线；B是AC的中点；

（2）在四边形ABCD中，若A3=DC,则一组对边平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形;

故答案为：平行四边形

【变式1］（23-24高一下.陕西咸阳•期中）已知四边形A3CD中，AB=DC，并且卜台卜从耳，则四边形A3CD

是（）

A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.长方形

【答案】A

【分析】由AB=DC,得到四边形ABC。为平行四边形，再由卜耳=卜4,得到3c=A6,得出四边形A3C。

为菱形.

【详解】由题意，四边形A3CD中，

因为AB=OC，可得网=|叫且AB〃CD,所以四边形A3CD为平行四边形，

又因为,耳=卜4,可得BC=AB,

所以四边形A3。为菱形.

【变式2】已知四边形ABC。，下列说法正确的是（)

A.若AB=OC，则四边形A3CD为平行四边形

B.若|AC|=|BD|,则四边形A5GD为矩形

C.若AD〃BC，且lACRBOI，则四边形A3CD为矩形

D.若|AB|=|CO|,且AD〃2C，则四边形ABCD为梯形

【答案】A

【解析】A选项，若AB=DC,则卜Qc|且ABDC,则四边形ABCD为平行四边形，正确;

\AC\=\BU\=2,但是四边形ABCD不是矩形，错误;

C选项，若AD〃2C，且|AC|=|BO|,

则四边形A3co可以是等腰梯形，也可以是矩形，故错误.

D选项，若|AB|=|CO|,且人。〃2。，

则四边形ABC。可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.

【变式3】已知点E,F,G,H分别是平面四边形A3CD的边AB,BC,CD,ZM的中点，求证：EF=HG.

【答案】证明见解析

因为£,歹分别是AB,8C的中点，所以所为ABC的中位线，

所以EF//AC,且EF=^AC,

2

同理，因为G,H分别是8,D4的中点，所以HG〃AC,旦〃G=gAC,

所以EF//HG,且£F="G,

UUL1

因为向量而与HG方向相同，所以EF=HG.

'p

05强化训练

一、单选题

1.（24-25高二上•黑龙江佳木斯•阶段练习）下列量中是向量的为（）

A.体积B.距离

C.拉力D.质量

【答案】D

【分析】由向量的定义即可判断

【详解】A,B,D只有大小，C既有大小又有方向

故选:C

2.（23-24高一下•陕西宝鸡•期中）下列说法正确的是（）

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行

C.模为1的向量都是相等向量

D.向量的模可以比较大小

【答案】A

【分析】由向量的相关概念逐一判断即可.

【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；

由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；

长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错;

向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.

3.（23-24高一下•天津河北•期中）下列说法中，正确的是（）

A.若忖=1,则。=±1B.若。=人则。〃6

C.若卜卜卜|且则a=bD.若°〃0，则忖

【答案】C

【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：

举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断.

【详解】对于选项A：因为°为向量，±1均为数量，故A错误；

对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知a=b，即有a〃b，故B正确；

对于选项C：例如a=—6w0，满足同=W旦a〃b,但awb,故C错误;

对于选项D：由零向量可知：对任意”，均有°〃0，即同=0不一定不成立，故D错误;

4.（23-24高一下•全国•随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（）

A.若向量i，b都是单位向量，则.=%

B.若向量”，6都是单位向量，贝口=1

C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量

D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共线

【答案】C

【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C,利用共线向量的定义，即可判断出

选项C的正误.

【详解】对于选项A,向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1,方向不定，

故向量a和。不一定相同，故选项A错误；

对于选项B,单位向量的长度相同均为1,所以|a|=|b|=l,故选项B正确；

对于选项C,任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；

对于选项D,因为所有单位向量的模为1,且共起点，

所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D错误；

5.（23-24高一下•江西南昌•期中）下列说法正确的是（）

A.若a=。，则a与b共线B.若°与。是平行向量，则〃

C.若则a=bD.共线向量方向必相同

【答案】A

【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得.

【详解】对于A,相等向量必是共线向量，A正确；

对于B,a与8是平行向量，如.为非零向量，而6=0,显然awb，B错误；

对于C,模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即a=）不一定不成立，C错误；

对于D,共线向量的方向可以相反，D错误.

6.（23-24高一下,陕西宝鸡•阶段练习）下列说法错误的是（）.

A.零向量没有方向

B.两个相等的向量若起点相同，则终点必相同

C.只有零向量的模等于0

D.向量与区4的长度相等

【答案】A

【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义

判断

【详解】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误；

B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确；

C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0,故正确；

D.向量AB与54是相反向量，大小相同，方向相反，故正确；

7.（23-24高一下•黑龙江大庆•阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若忖训，则°B.若卜卜阵则

C.若a=。，则°〃bD.若0〃"b〃c,则°〃c

【答案】D

【分析】根据向量的概念逐一判断.

【详解】对于A：若同=忖，则a涉只是大小相同，并不能说方向相同，A错误;

对于B：向量不能比较大小，B错误；

对于C：若a=则。/方向相同，C正确；

对于D：若〃〃如果〃为零向量，则不能推出a,c平行，D错误.

8.（22-23高一下•江苏连云港•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.|cr>|=|r>c|B.4、是单位向量，则同=同

C.两个相同的向量的模相等D.单位向量均相等

【答案】A

【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可.

【详解】对于A：因为又互为相反向量的两个向量的模相等，所以=故A正确;

对于B：因为q、是单位向量，所以同=M|=1,故B正确；

对于C：两个相同的向量的模相等，故C正确；

对于D：单位向量的模相等均为1,由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误.

二、多选题

9.（23-24高一下•广东佛山•期中）下列命题是真命题的是（）

A.在正万形ABC。中，AB=BC

B.0的模长为0

C.若则向量“是单位向量

D.若向量。与向量6是共线向量，则向量d与向量。的方向相同

【答案】CC

【分析】对于A,根据正方形的性质结合相等向量的定义分析判断，对于B,由零向量的定义判断，对于C,

由单位向量的定义判断，对于D,根据共线向量的定义判断.

【详解】对于A,在正方形A8CO中，A8与BC的方向不同，A错误.

对于B,0的模长为0,B正确.

对于C,若|“|=1,则向量。是单位向量，C正确.

对于D,若向量4与向量8是共线向量，则向量商与向量分的可能相反，D错误.

C

10.（23-24高一下•陕西渭南•期末）已知a，〃为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（）

A.a与〃相等B.如果〃与很平行，那么a与6相等

C.£与方共线D.如果2与6平行，那么a=b或a=-b

【答案】ABC

【分析】根据相等向量，共线向量的定义进行判断.

【详解】A选项，a与5为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误；

B选项，如果.与方平行，即a与6共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线，

当它们反向共线时，。与6不相等，B选项错误；

C选项，两个单位