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文档简介
第01讲平面向量的概念
01学习目标
课程标准学习目标
1.通过对生活中力、速度、位移等的分析,了解平面
向量的实际背景;
掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向
2.理解向量的意义及几何表示;
量的几何表示;对共线向量的理解及掌握.
3.掌握相等向量与共线向量的意义.
02思维导图
向■的概念
平面向■的基本概念
平面向量的表示
平行向■与相等向■
平面向■的简单应用
03知识清单
知识点01向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量:只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量.
【解读】(1)本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平
移.
(2)看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素.
(3)向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.
【即学即练1】有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.
其中,不是向量的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
知识点02向量的表示法
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
2.向量的表示方法
(1)字母表示法:如a,b,c,••等.
(2)几何表示法:以A为始点,B为终点作有向线段A5(注意始点一定要写在终点的前面).如果用一
条有向线段A5表示向量,通常我们就说向量A5.
【注意】(1)用字母表示向量便于向量运算;
(2)用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示,不是说向量就
是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与它的始点的位置无关,即
同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
【即学即练2】已知向量。如图所示,下列说法不正确的是()
a
MN
A.也可以用加'表示B.方向是由M指向N
C.起点是MD.终点、是M
知识点03向量的有关概念
1.向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
【解读】(1)向量。的模|a|20.
(2)向量不能比较大小,但|a|是实数,可以比较大小.
2.零向量:长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.
3.单位向量:长度等于1个单位的向量.
【解读】定义中的零向量和单位向量都是用限制大小,没直确定发包一一我们规定零向量的方向是隹意的;
单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同,在平面内,将所有单位向量的起点平移到同一点,
则它们的终点构成一个半径为1的圆.
4.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
【解读】在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.
【即学即练3】(2024•高二课时练习)下列关于向量的命题中,真命题的个数是()
①任一向量与它的相反向量不相等;
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;
③若a/b,则卜卜卜|;
④两个向量相等,则它们的起点与终点相同.
A.0B.1C.2D.3
知识点04向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:0与任一向量共线.
【解读】(1)零向量的方向是任意的,注意。与0的含义与书写区别.
(2)理解平行向量的概念时,需注意平行向量和平行直线是有区别的,平行直线不包括重合的情况,而
平行向量是可以重合的.
(3)共线.向量就是平行向量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义•实际上,共线向量(平行
向量)有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这
样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.
(4)向量相聋具有传递性,即而,be,则ac.而向量的平行丕具有传递性,若a%〃c,未必有a//c.
因为零向量平行于任意向量.
【即学即练4】
在下列命题中:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③共线向量一定相等;④相等向
量一定共线;⑤长度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命
题是.
04题型精讲
题型01平面向量的基本概念
【典例1](23-24高一下•北京•期中)以下命题中正确的个数是()
①两个相等向量的模相等;
②若a和8都是单位向量,贝!Ja=6;
③相等的两个向量一定是共线向量;
④零向量是唯一没有方向的向量;
A.1个B.2个C.3个D.4个
【变式1](23-24高一下•福建莆田•阶段练习)下列结论中,正确的是()
A.零向量的大小为0,没有方向
B.网=网
C.起点相同的单位向量,终点必相同
D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
【变式2】(24-25高二上・甘肃临夏•阶段练习)判断下列各命题的真假:①向量a与万平行,则。与6的方
向相同或相反;②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;③零向量是没有方向的;④有向线
段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为()
A.4B.3C.2D.1
【变式3】(23-24高一下•吉林•期末)下列说法正确的是()
A.平面上所有单位向量,其终点在同一个圆上;
B.若卜卜忖,则a与6的长度相等且方向相同或相反;
C.若卜卜忖,且3与万的方向相同,贝Ua=b
D.若aHb,贝〜与。方向相同或相反
【变式4](23-24高一下•北京•期中)己知AB,C,D是平面内四个不同的点,贝广AB//DC"是"四边形ABCD
为平行四边形"的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
题型02平面向量的表示
【典例2](25-26高一上•全国•随堂练习)如图,在圆。中,向量08,OC,4。是()
A.有相同起点的向量B.相反向量
C.模相等的向量D.相等向量
【变式1](23-24高一下•江西九江•阶段练习)如图,8是线段AC的中点,若分别以图中各点为起点和终
点,则最多可以写出_____个共线非零向量.
ABC
【变式2】如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿西偏南—方向行走了—km.
【变式3】一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达8点,然后改变方向向西偏北70。方向行驶了
200km到达C点,又改变方向,向东行驶了100km到达D点。
⑴作出向量丽,灰,而;
(2)求汽车从A点到D点的位移大小|前|。
题型03平行向量与相等向量
【典例3](24-25高一下•全国•课后作业)如图,在菱形ABCD中,/区4。=120。,则以下说法正确的是()
B
A.与AB相等的向量只有1个(不含AB)
B.与AB的模相等的向量有9个(不含AB)
C.8。的模恰为DA的模的6倍
D.C8与。4不相等
【变式1】下列命题:①方向不同的两个向量不可能是共线向量;②长度相等、方向相同的向量是相等向量;
③平行且模相等的两个向量是相等向量;④若a#b,则卜卜忖.其中正确命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【变式2](23-24高一下•福建泉州•阶段练习)关于向量〃也。,下列命题中正确的是()
A.若|a|=|A|,则Q=B.若。〃匕,则Q〃C
C.若〃=人,则口.若|〃|〉|/?|,则4〉匕
【变式3】如图,点。是正六边形A8CDE尸的中心,在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量
中,与向量。4相等的向量有个.
题型04平面向量的简单应用
【典例4](24-25高一上•上海•课后作业)(1)A、B、C是平面上三个不同的点,若AB〃BC,则A、B、
C的位置关系是;若进一步有我=浅,则A、B、C的位置关系是;
(2)如图,在四边形A3CD中,若AB=OC,则四边形ABCD是.
C
【变式1】(23-24高一下•陕西咸阳•期中)已知四边形ABCD中,AB=DC,并且卜目,则四边形ABCD
是()
A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.长方形
【变式2】已知四边形ABC。,下列说法正确的是()
A.若AB=OC,则四边形A3CD为平行四边形
B.若|AC|=|BD|,则四边形A3GD为矩形
C.若AD〃BC,且lACRBOI,则四边形A3CD为矩形
D.若|AB|=|CO|,且AD〃2C,则四边形ABCD为梯形
【变式3】已知点E,F,G,"分别是平面四边形A3cD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证:EF=HG.
强化训练
一、单选题
1.(24-25高二上•黑龙江佳木斯•阶段练习)下列量中是向量的为()
A.体积B.距离
C.拉力D.质量
2.(23-24高一下•陕西宝鸡,期中)下列说法正确的是()
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行
C.模为1的向量都是相等向量
D.向量的模可以比较大小
3.(23-24高一下•天津河北•期中)下列说法中,正确的是()
A.若忖=1,则q=±lB.若°=),则
C.若卜卜W且a〃6,贝Ua=bD.若a〃0,则忖=。
4.(23-24高一下•全国•随堂练习)下列关于向量的描述正确的是()
A.若向量a,b都是单位向量,则a=b
B.若向量入6都是单位向量,贝lj|a|=|b|=l
C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
5.(23-24高一下•江西南昌•期中)下列说法正确的是()
A.若a=。,则-与6共线B.若♦与万是平行向量,贝卜=6
C.若|a|=|切,则.=》D.共线向量方向必相同
6.(23-24高一下•陕西宝鸡•阶段练习)下列说法错误的是().
A.零向量没有方向
B.两个相等的向量若起点相同,则终点必相同
C.只有零向量的模等于0
D.向量AB与54的长度相等
7.(23-24高一下•黑龙江大庆,阶段练习)下列命题中,正确的是()
A.若卜卜卜|,贝!Ja=bB.若忖>忖,则
C.若a=i>,则a〃bD.若〃〃则〃〃c
8.(22-23高一下•江苏连云港•阶段练习)下列说法错误的是()
A.|cr>|=|r>c|B.4、02是单位向量,则同=|
c.两个相同的向量的模相等D.单位向量均相等
二、多选题
9.(23-24高一下•广东佛山•期中)下列命题是真命题的是()
,___.、一,ULUlUUU
A.在正万形ABC。中,AB=BC
B.0的模长为0
C.若la|=1,则向量。是单位向量
D.若向量“与向量。是共线向量,则向量a与向量b的方向相同
10.(23-24高一下•陕西渭南•期末)已知0,6为两个单位向量,则下列四个命题中错误的是()
A.a与6相等B.如果a与6平行,那么a与6相等
C.a与。共线D.如果°与方平行,那么a=b或a=
11.(23-24高一下•广西来宾・期末)关于非零向量a,b,下列命题中,正确的是()
A.若同=W,则a=〃B.若。=一6,则a//6
C.若A//6,bl1c,则d//eD.若同>卜|,贝l]q>6
三、填空题
12.下列各量中,向量有:.(填写序号)
①浓度;②年龄;③风力;④面积;⑤位移;⑥人造卫星的速度;⑦电量;⑧向心力;⑨盈利;⑩
加速度.
13.(23-24高一下•江苏宿迁・开学考试)在下列判断中,真命题的是.
①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;③单位向量的长度都相等;④单位向量都
是同方向;⑤任意向量与零向量都共线.
14.如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,在这6个向量中:
(1)有两个向量的模相等,这两个向量是,它们的模都等于.
(2)存在着共线向量,这些共线的向量是,它们的模的和等于.
H
四、解答题
15..如图,D,E,歹分别是正三角形A8C各边的中点.
(1)写出图中所示与向量唬长度相等的向量;
(2)写出图中所示与向量FD相等的向量;
(3)分别写出图中所示向量与向量。E,尸。共线的向量.
16.(24-25高一上•上海•课后作业)已知线段A3被“(加.2)等分,等分点、为M、,M2,M3,Mn_x.
从这(〃+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点.
⑴当〃=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量?
(2)求互不相等的非零向量总数,用〃表示.
第01讲平面向量的概念
01学习目标
课程标准学习目标
4.通过对生活中力、速度、位移等的分析,了解平面
向量的实际背景;
掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向
5.理解向量的意义及几何表示;
量的几何表示;对共线向量的理解及掌握.
6.掌握相等向量与共线向量的意义.
02思维导图
L=
平面向量的基本概念
平面向■的表示
平行向■与相等向■
平面向■的简单应用
03知识清单
知识点01向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量:只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量.
【解读】(1)本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平
移.
(2)看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素.
(3)向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.
【即学即练1】有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.
其中,不是向量的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
【答案】D
【解析】质量、路程、功只有大小,没有方向不是向量,而速度、力、加速度均是既有大小又有方向的物
理量.故选C.
知识点02向量的表示法
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
2.向量的表示方法
(1)字母表示法:如名"c,..等.
(2)几何表示法:以A为始点,B为终点作有向线段A3(注意始点一定要写在终点的前面).如果用一
条有向线段A5表示向量,通常我们就说向量A3.
【注意】(1)用字母表示向量便于向量运算;
(2)用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示,不是说向量就
是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与它的始点的位置无关,即
同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
【即学即练2】已知向量。如图所示,下列说法不正确的是()
a
MN
A.也可以用加'表示B.方向是由"指向N
C.起点是MD.终点是M
【答案】A
【解析】由向量的几何表示知,A、B、C正确,D不正确.故选D.
知识点03向量的有关概念
1.向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
【解读】(1)向量。的模|a|20.
(2)向量不能比较大小,但|a|是实数,可以比较大小.
2.零向量:长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.
3.单位向量:长度等于1个单位的向量.
【解读】定义中的零向量和单位向量都是凡限制大小,没有确定方.向,-我们规定零向量的方向是任意的;
单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同,在平面内,将所有单位向量的起点平移到同一点,
则它们的终点构成一个半径为1的圆.
4.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
【解读】在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.
【即学即练3】(2024•高二课时练习)下列关于向量的命题中,真命题的个数是()
①任一向量与它的相反向量不相等;
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;
③若awb,则卜卜W;
④两个向量相等,则它们的起点与终点相同.
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【分析】利用零向量、相等向量与向量的模的定义逐一判断即可.
【详解】对于①,因为零向量与它的相反向量相等,所以①不是真命题;
对于②,根据向量的定义,知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量,所以②是真命题;
对于③,当£时,满足awb,但忖=忖,所以③不是真命题;
对于④,只要模相等,方向相同,两个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,所以④不是真命题.
综上,只有②是真命题,即真命题的个数是1.
知识点04向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:0与任一向量共线.
【解读】(1)零向量的方向是任意的,注意。与0的含义与书写区别.
(2)理解平行向量的概念时,需注意平行向量和平行直线是有区别的,平行直线不包括重合的情况,而
平行向量是可以重合的.
(3)共线同量就是干行同量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义・实际上,共线向量(平行
向量)有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这
样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.
(4)同量相等具有传递性,即be,则ac.而向量的平行不具有传递性,若a〃方,b//c,未必有a//c.
因为零向量平行于任意向量.
【即学即练4】
在下列命题中:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③共线向量一定相等;④相等向
量一定共线;⑤长度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命
题是.
【答案】④⑥
【解析】由向量的相关概念可知④⑥正确.
04题型精讲
题型01平面向量的基本概念
【典例1](23-24高一下•北京•期中)以下命题中正确的个数是()
①两个相等向量的模相等;
②若。和。都是单位向量,则
③相等的两个向量一定是共线向量;
④零向量是唯一没有方向的向量;
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解.
【详解】对于①,两个相等向量的模相等,且它们的方向也相同,故①正确;
对于②,若〃和b都是单位向量,当它们的方向不同时,则a=6不不成立,故②错误;
对于③,相等的两个向量方向相同,所以它们一定是共线向量,故③正确;
对于④,任何向量都有大小以及方向,零向量也是向量,只不过零向量是方向任意的向量,故④错误.
故正确的有①③,共两个.
【变式1】(23-24高一下,福建莆田•阶段练习)下列结论中,正确的是()
A,零向量的大小为0,没有方向
B.网=网
C.起点相同的单位向量,终点必相同
D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
【答案】C
【分析】根据零向量特点即可判断A;根据向量模的定义即可判断B,根据单位向量以及向量共线的性质即
可判断CD.
【详解】对A,既有大小又有方向的量叫向量,则零向量既有大小又有方向,故A错误;
对B,由于与54方向相反,长度相等,故B正确;
对C,起点相同的单位向量,终点不一定相同,故C错误;
对D,若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等或相反,故D错误.
【变式2](24-25高二上•甘肃临夏•阶段练习)判断下列各命题的真假:①向量。与6平行,则。与万的方
向相同或相反;②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;③零向量是没有方向的;④有向线
段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为()
A.4B.3C.2D.1
【答案】C
【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得.
【详解】对①:因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线,
故当与中有一个为零向量时,其方向是不确定的,故为假命题;
对②:两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同,故为真命题;
对③:零向量也是向量,故也有方向,只是方向是任意的,故为假命题;
对④:向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段,故为假命题.
【变式3】(23-24高一下•吉林•期末)下列说法正确的是()
A.平面上所有单位向量,其终点在同一个圆上;
B.若卜卜忖,则a与6的长度相等且方向相同或相反;
C.若卜W|,且a与方的方向相同,则a=b
D.若a//6,贝!la与。方向相同或相反
【答案】D
【分析】考虑向量的起点位置可判断A;利用向量相等的定义可判断BC;考虑特殊向量可判断D.
【详解】对于A,只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时,其终点才会在同一个圆上,故A错误:
对于B,由同=忖只能判断两向量长度相等,不能确定它们的方向关系,故B错误;
对于C,因为同=忖,且a与。同向,由两向量相等的条件,可得“故C正确;
对于D,依据规定:0与任意向量平行,故当a=0时,a与6的方向不一定相同或相反,故D错误.
【变式4](23-24高一下•北京•期中)已知A氏是平面内四个不同的点,则"AB//OC"是"四边形ABCD
为平行四边形”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量平行的意义进行判断即可.
【详解】一方面,时,可能AB,。。共线,此时A不构成四边形,充分性不不成立;
另一方面,四边形ABCD为平行四边形时,则AB〃OC,故AB//OC,必要性不成立.
故""是"四边形ABCD为平行四边形"的必要不充分条件.
题型02平面向量的表示
【典例2](25-26高一上•全国•随堂练习)如图,在圆。中,向量08,OC,4。是()
A.有相同起点的向量B.相反向量
C.模相等的向量D.相等向量
【答案】D
【分析】根据向量的几何表示,可判断出选项A和C的正误,再利用相反向量及相等向量的概念,结合图
形,即可判断选项B和D的正误.
【详解】对于选项A,因为向量。8,0C的起点为而向量A0的起点为A,所以选项A错误,
对于选项B,因为相反向量是方向相反,长度相等的向量,而向量08,0C,A0方向不同,所以选项B
错误,
对于选项C,向量08,0C,A0的模长均为圆。的半径,所以选项C正确,
对于选项D,因为相等向量是方向相同,长度相等的向量,而向量08,OC,A0方向不同,所以选项D
错误,
【变式1](23-24高一下•江西九江•阶段练习)如图,2是线段AC的中点,若分别以图中各点为起点和终
点,则最多可以写出____个共线非零向量.
ABC
【答案】6
【分析】根据题意,直接写出满足题意的向量即可.
【详解】根据题意,可得所有共线非零向量有:AB,AC,BA,BC,CA,CB,共有6个.
故答案为:6.
【变式2】如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿西偏南—方向行走了—km.
北
【答案】8002
【分析】直接由图求解即可
【详解】解析:由已知图形可知,的几何意义是从A点沿西偏南80。方向,行走了2km.
故答案为:80。;2
【变式3】一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点,然后改变方向向西偏北70。方向行驶了
200km到达C点,又改变方向,向东行驶了100km到达D点。
⑴作出向量荏,前,而;
(2)求汽车从A点到D点的位移大小|而|。
【解析】⑴如图所示。
(2)由题意,易知同与?5方向相反,故荏与丽平行。
又因为|说|=|3所以在四边形A8CO中工B〃CD,且所以四边形ABC。为平行四边形。
所以|而门阮1=200km,即这辆汽车从A点到D点的位移大小为200km。
题型03平行向量与相等向量
【典例3](24-25高一下•全国•课后作业)如图,在菱形A3CD中,440=120。,则以下说法正确的是()
A.与AB相等的向量只有1个(不含AB)
B.与的模相等的向量有9个(不含AB)
C.8D的模恰为。A的模的近倍
D.CB与D4不相等
【答案】ABC
【分析】根据相等向量以及模长定义,结合结合图形求解ABD,根据菱形的性质即可求解C.
【详解】由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有。C,而与43的模相等的向量有D4,DC,AC.CB
AD,CD,CA,BC,BA,故A,B正确;
国当网故|网=6冈,故C正确;
而在Rt_AOD中,Zz4Z)O=30°,:\D0\
由于CB=D4,因此C8与D4是相等的,故D错误.
BC
【变式1】下列命题:①方向不同的两个向量不可能是共线向量;②长度相等、方向相同的向量是相等向量;
③平行且模相等的两个向量是相等向量;④若awb,则卜卜I4其中正确命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】对于①,由共线向量的定义可知:方向相反的两个向量也是共线向量,故①错误;
对于②,长度相等,方向相同的向量是相等向量,故②正确;
对于③,平行向量的方向相同或相反,不一定方向相同,
所以不一定相等,故③错误;
对于④,若awb,可能只是方向不相同,但模长相等,故④错误.
【变式2】(23-24高一下•福建泉州•阶段练习)关于向量a,6,c,下列命题中正确的是()
A.若则a=>B.若.〃"则。〃工
C.若.=贝!la〃6D.若|a|>|b|,则
【答案】D
【分析】利用向量的有向知识逐项判断即可得结论.
【详解】对于A:当a=Z?时,|a|=|b|,但|。|=|6|,得不出a=b,故A错误;
对于B:若.〃b,则与a〃工没有关系,故B错误;
对于C:若a=b,则a〃b,故C正确;
对于D:若贝卜和6不能比较大小,故D错误.
【变式3】如图,点。是正六边形ABCDEP的中心,在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量
中,与向量OA相等的向量有个.
【答案】3
【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解.
【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知,与向量04相等的向量有。。,CB,EF,共3个.
故答案为:3
题型04平面向量的简单应用
【典例4](24-25高一上•上海•课后作业)(1)A、B、C是平面上三个不同的点,若AB〃BC,则&、B、
C的位置关系是;若进一步有防=甜,贝UA、B、C的位置关系是;
(2)如图,在四边形ABC。中,若A3=DC,则四边形ABCD是.
C
【答案】4B、C三点共线2是AC的中点平行四边形
【分析】(1)根据共线向量的概念即可判断;
(2)根据相等向量的概念即可判断.
【详解】(1)A8〃BC且有一个公共点8,
,A、B、C三点共线;
ULULUUU
QAB=BC,万向相同,
・••2是AC的中点,
故答案为:A、B、C三点共线;B是AC的中点;
(2)在四边形ABCD中,若A3=DC,则一组对边平行且相等,则四边形ABCD是平行四边形;
故答案为:平行四边形
【变式1](23-24高一下.陕西咸阳•期中)已知四边形A3CD中,AB=DC,并且卜台卜从耳,则四边形A3CD
是()
A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.长方形
【答案】A
【分析】由AB=DC,得到四边形ABC。为平行四边形,再由卜耳=卜4,得到3c=A6,得出四边形A3C。
为菱形.
【详解】由题意,四边形A3CD中,
因为AB=OC,可得网=|叫且AB〃CD,所以四边形A3CD为平行四边形,
又因为,耳=卜4,可得BC=AB,
所以四边形A3。为菱形.
【变式2】已知四边形ABC。,下列说法正确的是()
A.若AB=OC,则四边形A3CD为平行四边形
B.若|AC|=|BD|,则四边形A5GD为矩形
C.若AD〃BC,且lACRBOI,则四边形A3CD为矩形
D.若|AB|=|CO|,且AD〃2C,则四边形ABCD为梯形
【答案】A
【解析】A选项,若AB=DC,则卜Qc|且ABDC,则四边形ABCD为平行四边形,正确;
\AC\=\BU\=2,但是四边形ABCD不是矩形,错误;
C选项,若AD〃2C,且|AC|=|BO|,
则四边形A3co可以是等腰梯形,也可以是矩形,故错误.
D选项,若|AB|=|CO|,且人。〃2。,
则四边形ABC。可以是平行四边形,也可以是梯形,故错误.
【变式3】已知点E,F,G,H分别是平面四边形A3CD的边AB,BC,CD,ZM的中点,求证:EF=HG.
【答案】证明见解析
因为£,歹分别是AB,8C的中点,所以所为ABC的中位线,
所以EF//AC,且EF=^AC,
2
同理,因为G,H分别是8,D4的中点,所以HG〃AC,旦〃G=gAC,
所以EF//HG,且£F="G,
UUL1
因为向量而与HG方向相同,所以EF=HG.
'p
05强化训练
一、单选题
1.(24-25高二上•黑龙江佳木斯•阶段练习)下列量中是向量的为()
A.体积B.距离
C.拉力D.质量
【答案】D
【分析】由向量的定义即可判断
【详解】A,B,D只有大小,C既有大小又有方向
故选:C
2.(23-24高一下•陕西宝鸡•期中)下列说法正确的是()
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行
C.模为1的向量都是相等向量
D.向量的模可以比较大小
【答案】A
【分析】由向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】向量是有大小又有方向的矢量,不能比较大小,故A错;
由于零向量的方向不确定,故规定零向量与任意向量平行,故B错;
长度相等、方向相同的向量称为相等向量,模长为1的向量只规定了长度相等,方向不一等相同,故C错;
向量的模长是一个数量,因此可以比较大小,故D正确.
3.(23-24高一下•天津河北•期中)下列说法中,正确的是()
A.若忖=1,则。=±1B.若。=人则。〃6
C.若卜卜卜|且则a=bD.若°〃0,则忖
【答案】C
【分析】对于A:根据向量与数量的定义分析判断;对于B:根据向量相等和向量共线分析判断;对于C:
举反例说明即可;对于D:根据零向量和向量共线分析判断.
【详解】对于选项A:因为°为向量,±1均为数量,故A错误;
对于选项B:根据相等向量与平行向量的关系,知a=b,即有a〃b,故B正确;
对于选项C:例如a=—6w0,满足同=W旦a〃b,但awb,故C错误;
对于选项D:由零向量可知:对任意”,均有°〃0,即同=0不一定不成立,故D错误;
4.(23-24高一下•全国•随堂练习)下列关于向量的描述正确的是()
A.若向量i,b都是单位向量,则.=%
B.若向量”,6都是单位向量,贝口=1
C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
【答案】C
【分析】利用单位向量的定义,即可判断出选项ABD的正误;选项C,利用共线向量的定义,即可判断出
选项C的正误.
【详解】对于选项A,向量包括长度和方向,单位向量的长度相同均为1,方向不定,
故向量a和。不一定相同,故选项A错误;
对于选项B,单位向量的长度相同均为1,所以|a|=|b|=l,故选项B正确;
对于选项C,任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量,故选项C错误;
对于选项D,因为所有单位向量的模为1,且共起点,
所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上,故选项D错误;
5.(23-24高一下•江西南昌•期中)下列说法正确的是()
A.若a=。,则a与b共线B.若°与。是平行向量,则〃
C.若则a=bD.共线向量方向必相同
【答案】A
【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得.
【详解】对于A,相等向量必是共线向量,A正确;
对于B,a与8是平行向量,如.为非零向量,而6=0,显然awb,B错误;
对于C,模相等的两个向量,它们的方向不一定相同,即a=)不一定不成立,C错误;
对于D,共线向量的方向可以相反,D错误.
6.(23-24高一下,陕西宝鸡•阶段练习)下列说法错误的是().
A.零向量没有方向
B.两个相等的向量若起点相同,则终点必相同
C.只有零向量的模等于0
D.向量与区4的长度相等
【答案】A
【分析】A.由零向量的定义判断;B.由相等向量的定义判断;C.由向量模的定义判断;D.由相反向量的定义
判断
【详解】A.规定零向量的方向是任意的,所以零向量有方向,故错误;
B.两个相等的向量大小相同,方向相同,所以若起点相同,则终点必相同,故正确;
C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0,故正确;
D.向量AB与54是相反向量,大小相同,方向相反,故正确;
7.(23-24高一下•黑龙江大庆•阶段练习)下列命题中,正确的是()
A.若忖训,则°B.若卜卜阵则
C.若a=。,则°〃bD.若0〃"b〃c,则°〃c
【答案】D
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A:若同=忖,则a涉只是大小相同,并不能说方向相同,A错误;
对于B:向量不能比较大小,B错误;
对于C:若a=则。/方向相同,C正确;
对于D:若〃〃如果〃为零向量,则不能推出a,c平行,D错误.
8.(22-23高一下•江苏连云港•阶段练习)下列说法错误的是()
A.|cr>|=|r>c|B.4、是单位向量,则同=同
C.两个相同的向量的模相等D.单位向量均相等
【答案】A
【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可.
【详解】对于A:因为又互为相反向量的两个向量的模相等,所以=故A正确;
对于B:因为q、是单位向量,所以同=M|=1,故B正确;
对于C:两个相同的向量的模相等,故C正确;
对于D:单位向量的模相等均为1,由于无法确定方向是否相同,故单位向量不一定相等,故D错误.
二、多选题
9.(23-24高一下•广东佛山•期中)下列命题是真命题的是()
A.在正万形ABC。中,AB=BC
B.0的模长为0
C.若则向量“是单位向量
D.若向量。与向量6是共线向量,则向量d与向量。的方向相同
【答案】CC
【分析】对于A,根据正方形的性质结合相等向量的定义分析判断,对于B,由零向量的定义判断,对于C,
由单位向量的定义判断,对于D,根据共线向量的定义判断.
【详解】对于A,在正方形A8CO中,A8与BC的方向不同,A错误.
对于B,0的模长为0,B正确.
对于C,若|“|=1,则向量。是单位向量,C正确.
对于D,若向量4与向量8是共线向量,则向量商与向量分的可能相反,D错误.
C
10.(23-24高一下•陕西渭南•期末)已知a,〃为两个单位向量,则下列四个命题中错误的是()
A.a与〃相等B.如果〃与很平行,那么a与6相等
C.£与方共线D.如果2与6平行,那么a=b或a=-b
【答案】ABC
【分析】根据相等向量,共线向量的定义进行判断.
【详解】A选项,a与5为两个单位向量,它们模长相等,但方向不一定相同,A选项错误;
B选项,如果.与方平行,即a与6共线,根据共线向量性质,此时它们可能同向共线或者反向共线,
当它们反向共线时,。与6不相等,B选项错误;
C选项,两个单位
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