排列组合与二项式定理

专题08排列组合与二项式定理

2024年真题研析

一、填空题

1.(2024新高考II卷•14)在如图的4x4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一

个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个

数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写

出所有的可能结果，即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为(a/,Gd),a,4c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24;112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个

方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.

近年真题精选

一、单选题

1.（2022新高考II卷5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排

列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一

个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排

这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

2.（2023新高考H卷-3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机

抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中

部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C：3C盛种B.C黑°C鼠种

C.CQC鼠种D.CQC焉种

【答案】D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x黑=40人，高中部共抽取

600

“2002

60x-----=20

6009

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有c%C禽种.

故选：D.

二、填空题

3.（2022新高考I卷J3）[l-5J（x+y）8的展开式中Vy6的系数为（用数字

作答）.

【答案】-28

【分析”1-£j（x+y『可化为（x+y）8-?（尤结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为y）8=（x+y）8-q（尤+yf，

所以11+的展开式中含Vy6的项为C；fy6-?c江3y5=-28/y6,

11_[jx+y）8的展开式中x2y6的系数为-28

故答案为：-28

4.（2023新高考I卷•13）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从

这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有一

种（用数字作答）.

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合

数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C1C；=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

必备知识速记

一、排列与排列数

1、定义：从〃个不同元素中取出用（加工个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中取出

加个元素的一个排列.从〃个不同元素中取出m（mV〃）个元素的所有排列的个数，叫做从

n个不同元素中取出小个元素的排列数，用符号然表示.

"I

2、排列数的公式：=n（n-l）（n-2）-.«（n-m+l）=-——1―-.

特例：当机=〃时，父=几!=〃（〃一1）（〃一2）..3,24；规定：0!=1.

3、排列数的性质：

①父='；②父=」一6”|=上猾；③d+稿.

n—mn—m

二、组合与组合数

1、定义：从"个不同元素中取出〃?（加4〃）个元素并成一组，叫做从"个不同元素中取出

加个元素的一个组合.从“个不同元素中取出m（加4"）个元素的所有组合的个数，叫做从

n个不同元素中取出小个元素的组合数，用符号C：表示.

2、组合数公式及其推导

求从"个不同元素中取出加个元素的排列数从"，可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这"个不同元素中取出"?个元素的组合数C：；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数从"；

根据分步计数原理，得到父=C；.黑；

因止匕C”=货=W•（…+1）

"Sml

这里“，加eN+，且根这个公式叫做组合数公式.因为普=7”二,所以组合数

\n-my.

rjI

公式还可表示为：c;=尸、.特例：C；=C：=1.

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题

时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题.公式

C：="（”一1）（〃-2）-一（〃一.+1）常用于具体数字计算，c;=_2_常用于含字母算式

ml

的化简或证明.

3、组合数的主要性质：①C—；"1；②C：+C；T=C2.

4、组合应用题的常见题型：

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②“至少，，或“最多，，含有几个元素的题型

三、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间

的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考

虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排

列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.

四、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数〃，都有：

nnrr

(a+力"=C°a++.••+Cnab+…+C：b"(neN*),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+与〃的二项展开式.

式中的0"一7/做二项展开式的通项，用7］巾表示，即通项为展开式的第r+1项：

nr

Tr+l=C；a'b,

其中的系数C；(k0,1,2,…，〃)叫做二项式系数，

2、二项式(a+b)"的展开式的特点：

①项数：共有〃+1项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第r+1项的二项式系数为最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的幕指数〃.字母a降暴排列，次数由〃到0;字母6升

塞排列，次

数从0到〃，每一项中，a,6次数和均为"；

④项的系数：二项式系数依次是c：,c；,c3…，C：,…，C；,项的系数是。与。的系数(包

括二项式系

数).

3、两个常用的二项展开式:

①{a-b)n=C°an-cy-'b+---+(-1丫«广〃.+-C；：b"(neN*)

@(i+%)"=i+c,>+c>2+...+c,x+...+r

4、二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：(r=0,1,2,3,

公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C；；

②字母6的次数和组合数的上标相同；

③a与。的次数之和为a.

注意：①二项式(a+3"的二项展开式的第r+1项和厂的二项展开式的第r+1

项CV-d是有区别的，应用二项式定理时，其中的。和6是不能随便交换位置的.

②通项是针对在(a+6)"这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是

nrr

Tr+l=(-iyC：a-b(只需把此看成6代入二项式定理).

五、二项式展开式中的最值问题

1、二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即C：=c:;其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即

c：+l=c：-'+c：.

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c：=c：f.

③二项式系数和令a=6=l,贝I二项式系数的和为C，+C+C；+…+C：+…+C,：=2",变

形式C：+C；+…+C；+…+C：=2"T.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a=l,b=-L

则C°-C：+£；-£；+.••+(-1)"C：=(1-1)"=0,

从而得到：C°+C,；+C,f•••+C^+---=C>C>---+C^+1+---=1-2n=2,7-1.

⑤最大值：

如果二项式的幕指数〃是偶数，则中间一项7；的二项式系数C：最大；

-+1

2

n-1n+1

如果二项式的塞指数〃是奇数，则中间两项Tn+l的二项式系数C/,£7相等且最

————+1

22

大.

2、系数的最大项

求3+法）”展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为

设第r+1项系数最大，应有［4M,4,从而解出r来.

lA.+iN4+2

六、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

1、设（a+。）”=端优+cy-'b+C；af2+…+《0”-方+••.+C»”,

二项式定理是一个恒等式，即对“，6的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵

活选取。，。的值.

①令a=6=l,可得：2"=C：+C：+…+C：

②令a=l,6=l,可得：O=C-C：+Q-C：…+,即：

C；+C；+…+C：=C；+C：+…+C：T（假设”为偶数），再结合①可得:

C：+C；+…+C：=C；+C；+…+C；T=2"一.

n2

2、若/(X)=anX++^-2^~---1■4%+%,则

①常数项：令x=0,得4=/（0）.

②各项系数和：令X=1,得/'(1)=<20+<2]+6f2H---F4“_]+4”.

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

⑺当〃为偶数时，奇数项的系数和为%+%+%+…=/⑴7（T）

偶数项的系数和为q+q+q+…=♦⑴7T）•

（可简记为：〃为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

（拓）当”为奇数时，奇数项的系数和为4+%+4+…=/⑴1（T）

偶数项的系数和为4+%+%+…=/⑴JJl）

（可简记为：〃为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

,-1n

若/（X）=%+al+H---Ha„_1x'+anx,同理可得.

注意：常见的赋值为令x=0,x=l或x=T,然后通过加减运算即可得到相应的结果.

【排列组合常用结论】

一、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分

多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取

出多少个元素；

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.

二、常见排列组合类型及解法

1、如图，在圆中，将圆分〃等份得到〃个区域"1,M2,想，…，,现取

网2）种颜色对这几个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方

案有（7）"/_1）+（"1）"种.

2、错位排列公式。=这4+1）•加

^i=7l，ri八'

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条

件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的

方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元

素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为

特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

(1)以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安

排其他元素；

(2)以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考

虑其他位置；

(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某人个元素

排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这左个元素“捆绑在一起“，看成一个整

体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素

“内部”进行排列，共有4种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有

6丈;•婕种•

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将"个不同元素排成一排，其中某女个元

素互不相邻(kMrt—k+1),求不同排法种数的方法是：先将(n—k)个元素排成一排，

共有可:；种排法；然后把4个元素插入〃-左+1个空隙中，共有A；』种排法.根据分步乘

法计数原理可知，符合条件的排法共有娼.心旧种.

名校模拟探源

一、单选题

1.(2024.重庆•三模)重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地

区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的

饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝

地区学生中不同的抽样结果种数为()

A.C%B.C如C.C/。D.C%

【答案】C

【分析】根据分层抽样的性质计算即可。

【详解】为保证调研结果的代表性，设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人，

.n2400

贝nU——-------------------------------------------9

402400+2000+1400+1800+400

解得〃=12,

即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为C/。.

故选：c

2.（2024・北京•三模）已知一”的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为

（）

A.-240B.240C.60D.-60

【答案】B

【分析】根据二项式系数之和可得〃=6,结合二项展开式分析求解.

【详解】由题意可知：二项式系数之和为2"=64,可得〃=6,

其展开式的通项为Tr+l=C；白］（T）'=（-1丫.26T.eR,r=0,1,2,…,6,

3

令5-3=0,解得r=2,

所以其展开式的常数项为（-I?•2,&=240.

故选：B.

3.（2024.陕西.三模）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方

设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰

有三人在同一区域的不同座位方式共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的两人分别在其它

两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得.

【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：

第一步，先从五人中任选三人，有C；种方法；

第二步再选这三人所在的区域，有C种方法；

第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有C>C；种方法.

由分步乘法计数原理，共有C；C；=120种方法.

故选:C.

4.（2024・四川成都.三模）成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前

端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不

止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团

拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发

言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（）

A2428827

A.—D.------C.—U.-----

55551155

【答案】D

【分析】利用古典概率结合组合数的计算求解即可.

【详解】从11所学校中任选3所学校共有种C%=165选法.

其中排名为第一名或第五名的学校，可以分为三种情况：

第一类：只含有排名为第一名的学校的有Cj=36种选法；

第二类：只含有排名为第五名的学校的有Cj=36种选法；

第三类：同时含有第一名和第五名学校的有C；=9种选法；

o197

共36+36+9=81种选法.根据概率公式可得多=2.

16555

故选：D.

5.（2024.重庆九龙坡•三模）用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位数，则

在数字1,3相邻的条件下，数字2,4,6也相邻的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】A

【分析】分别求出数字1,3相邻时的六位数个数以及数字1,3相邻，数字2,4,6也相

邻的六位数的个数，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.

【详解】设4="数字1,3相邻”，设3="数字2,4,6相邻”，

则数字1,3相邻时的六位数有A；A；=240个，

数字1,3相邻，数字2,4,6也相邻的六位数的个数为A；A；A；=72,

n(AB)723

则P(B|A)=-y-^=—

w(A)24010

故选：A.

6.（2024.新疆喀什•三模）（V+x+1展开式中，V的系数为（）

A.20B.30C.25D.40

【答案】B

【分析】分不含V项和含有一个/项两种情况求解.

【详解】（Y+X+l）5展开式中，V的项为C江3/2+C%2,C；/13=30彳3,

则/的系数为30.

故选：B.

7.（2024.新疆•三模）西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主为

领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古都中的

两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为（）

A.-B.-C.yD.-

5525

【答案】B

【分析】求出事件的总数以及目标事件的数量，再用古典概型计算即可..

【详解】将古都分成2个、3个两组，再在两个月安排旅游顺序，故事件总数为

C；.A；=20,

分2个古都组中含西安、洛阳，或3个古都组中含西安、洛阳，故恰好在同一个月游览西

安和洛阳的事件数为：2+2x3=8,

QO

所以恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为：^=1

故选：B

8.（2024.北京三模）在-2）（2x-l）s的展开式中，项的系数为（）

A.-144B.-16C.16D.144

【答案】C

【分析】写出（2x-l）5=-（l-2x）5的展开式通项，即可列式求解.

【详解】（2x-l）5=-（l-2尤丫，其展开式通项公式为7；M=-C；（-2X）',r=0,1,2,3,4,5,

所以所求N项的系数为-C；（-2）3+2G（-2）5=80-64=16,

故选：c.

9.（2024•河北秦皇岛•三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须

有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（）

A.8种B.12种C.16种D.24种

【答案】B

【分析】根据参加晚会的人数分类讨论，利用排列组合数求解即可.

【详解】第一种情况，只有两人参加晚会，有A；=6种去法；

第二种情况，三人参加晚会，有C；A；=6种去法，共12种去法.

故选：B

10.（2024・安徽芜湖•三模）已知A、B、C、D、E、尸六个人站成一排，要求A和8不相

邻，C不站两端，则不同的排法共有（）种

A.186B.264C.284D.336

【答案】D

【分析】先考虑A和B不相邻的排法，再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，相减

后得到答案.

【详解】先考虑A和B不相邻的排法，

将C、D、E、F四个人进行全排列，有A：种情况，

C、D、E、F四个人之间共有5个空，选择2个排A和B,有A；种情况，

故有&=480种选择，

再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，

先从两端选择一个位置安排C,有C；种情况，

再将D、E、F三个人进行全排列，有A；种情况

最后D、E、F三个人之间共有4个空，选择2个排A和B,有A：种情况，

故有C；A：A；=144种情况，

则要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的安排有480-144=336种情况.

故选：D

11.（2024・浙江绍兴.三模）在（x+l）（x+2）（x+38+a）（x+b）的展开式中，含一项的系数

是10,贝!Jlog2(a+b)=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】在(x+l)(x+2)(x+3)(尤+a)(x+6)的展开式中含/的项即从5个因式中取4个

x,1个常数项即可写出含，的项，则可得出答案.

【详解】根据二项展开式可知含一项即从5个因式中取4个无，1个常数项即可写出含一

的项；

所以含/的项是(1+2+3+。+6)/=10/，可得a+b=4；

即可得Iog2(a+b)=log24=2.

故选：C

12.(2024・湖北荆州•三模)已知(3%-1户24=4+0+研2+1+42024铲"，贝。

q+g+L+%。24被3除的余数为()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】先对二项展开式中的x进行赋值，得出4+为+…+%必=4皿2-1,再将4m2看作

(3+1)皿2进行展开，再利用二项展开式特点分析即得.

【详解】令X=0,得％=1，令无=1,得4+。1+。2+…+。2024=，

M241012

两式相减，al+a2+.：+a2024=2-1=4-1,

因为产=(3+1广=/23皿2+42/+...+或；3+/；；,

其中c，23KH?+c；。123nm+L+C黑3被3整除，所以即2被3除的余数为1,

综上，%十%+L+%024能被3整除.

故选：D.

二、多选题

13.（2024•山西临汾•三模）在［2-也］的展开式中（）

A.所有奇数项的二项式系数的和为128

B.二项式系数最大的项为第5项

C.有理项共有两项

D.所有项的系数的和为38

【答案】AB

【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定

A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式

a=c：卜板）=（-1户22c5产，再对左赋值，即可确定C；令尤=1,可求出所

有项的系数的和，从而确定D.

28

【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为二=128,故A正

2

确；

对于B,二项式系数最大为C：,则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；

对于。心|=以匕卜五）=（-1广284c行产（04”8,左eN）,加为有理项，％可取

的值为0,3,6,所以有理项共有三项，故C错误；

对于D,令x=l,则所有项系数和为-初］=1,故D错误.

故选：AB.

14.（2024•江西南昌三模）已知卜-54的展开式中二项式系数的最大值与［+£［的展

开式中工的系数相等，则实数。的值可能为（）

X

A.V2B.-V2C.正D.-立

22

【答案】AB

【分析】先计算出1-的展开式中二项式系数最大值，根据二项式定理得到（x+fj

展开式的通项公式，从而得到方程，求出a=±0.

【详解】卜-：：的展开式中二项式系数最大值为戢=6,

的展开式通项公式为（+|=&尤3-%，无一，

令3-2/=-1得,r=2,

故展开式中▲的系数为C犷，故3储=6,解得°=±忘.

X

故选：AB

15.（2024•山西・三模）已知函数”无）=（4尤-1）”=魅+%尤+的尤2---t-^x12,则（）

3

A.«3=4XC^2B.〃尤）展开式中，二项式系数的最大值为

小

12

C.al+a2+a3+---+a12=3D./（5）的个位数字是1

【答案】BD

【分析】对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；

对于C：利用赋值法，令x=0、x=l即可得结果；对于D：因为〃5）=（20-1）;结合二

项展开式分析求解.

【详解】对于选项A：（4xT>2的展开式的通项为

12rr12r12r

Tr+1=Q2（4X）^-（-l）=（-l）-4--Q2.%,r=0,l,2,--,12,

令厂=9,可得£=（一1）9.43.Crd—dSxCtx3,

所以。3=-43XC；2,故A错误；

对于选项B：因为〃=12为偶数，可知二项式系数的最大值为C：2,故B正确；

对于选项C：令x=0,可得4=1;

令X=1,可得/+。］+。2---%2=3°;

所以+。2+。3-I---1-«12=3'--1,故C错误;

对于选项D：因为〃5）=（20-1）;

且（20_1户的展开式的通项为Tk+1=C，-20g.（-1）1=0,1,2,…,12,

可知当上=0』,2,…,11,%均为20的倍数,即个位数为0,

当左=12时，0=1,所以/（5）的个位数字是1,故D正确；

故选：BD.

三、填空题

16.（2024•山东烟台•三模）。五+2）展开式的中间一项的系数为.

【答案】|

【分析】中间一项是第4项，结合二项展开式的系数的计算公式即可求解.

【详解】因为12«+：j展开式共有7项，它的中间一项是第4项，

所以126展开式的中间一项的系数为C：26-31£|3=^=T.

故答案为：

17.（2024•安徽合肥・三模）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组

（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘

组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”.随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共

同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不

站最右边，则不同的排法有.

【答案】504

【分析】本题考查排列中分类加法计数原理和分步乘法计数原理.根据题目要求，分两类进

行讨论，第一类叶光富在最右侧，第二类叶光富不在最右侧.然后根据分类加法计数原理相

加即可得到答案.

【详解】根据叶光富不站最左边，可以分为两种情况：

第一种情况：叶光富站在最右边，此时剩余的5人可以进行全排列，共有A；=120种排法.

第二种情况：叶光富不站在最右边，根据题目条件叶光富不站最左边，此时叶光富有4种

站法.根据题目条件汤洪波不站在最右边，可知杨洪波只有4种站法.剩余的4人进行全排

列，共有4x4xA：=384种排法,

由分类加法计数原理可知，总共有120+384=504种排法.

故答案为：504

18.（2024・福建福州•三模）卜+的展开式中常数项为

【答案】49

【分析】利用多项式乘法法写出展开式的通项，令x次数为0即为常数项.

【详解】+展开式的通项公式为

；；4rrr；rrarm；4r2m

7,+1=C(x+|)-x(-l)=(-l)CCtX--F]=(-l)2CC™rx--m<r,

当m=0,r=4时，常数项为1；

当根=l,r=2时，得常数项为（-1）22&0=24；

当〃?=2/=0时，得常数项为(-1)°22C°C^=24；

所以展开式中的常数项为1+24+24=49.

故答案为：49.

19.（2024•新疆喀什.三模）小明设置六位数字的手机密码时，计戈U将兀=3.14159……的前

6位数字3,1,4,1,5,9进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相

同数字之间一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为.

【答案】96

【分析】利用捆绑法即可求解.

【详解】从3,4,5,9中选择一个数字放入两个1之间，将其与两个1看作一个整体,

与剩下元素全排列，故不同的密码个数为C；A：=96,

故答案为：96

20.（2024•河北衡水•三模）（/+2耳卜2-耳7的展开式中凸6的系数为（用数字作

答）

【答案】-35

【分析】根据题意，结合二项式的展开式的性质，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，多项式（/+2力12-"7的展开式中含有犬丁的项为:

所以x、6的系数为一35.

故答案为：-35.

21.（2024・河南•三模）若（我

〃eN*）的展开式中存在常数项，贝门的值可以是

（写出一个值即可）

【答案】5（答案不唯一，满足〃=5上次eN*的〃即可）

【分析】写出展开式的通项，令5（2〃-5r）=0,求出厂，再根据04厂＜〃且reN,即可确

定”的取值.

展开式的通项为

=2rC'x^~^=2rCrx®(2"_5，)(0<r<reN),

]2〃

令一（2〃一5'）=0,贝1!r=——,又OVrV”且rwN,所以〃=5左，左eN*.

65

故答案为：5（答案不唯一，满足"=5左左eN*的“即可）

22.（2024.上海闵行•三模）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛

（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同

的安排方法有种.