人教A版高中数学必修二同步讲义：对数及其运算（学生版+解析）

第03讲对数及其运算

01

课程标准学习目标

1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质；

1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会

2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对

求简单的对数值；

数的定义和性质解方程；

2.掌握积、商、塞的对数运算性质，并能正确利用对数

3.理解对数的运算性质，能用换底公式将

运算的性质进行对数运算；

一般对数转化成自然对数或常用对数；

3.掌握换底公式及其推论；

4.会运用运算性质进行一些简单的化简与

4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法.

证明.

思维导图

对数的概念及性质

对数的运算性质及应用

（知识点

甑;天自岫士:土匚

对数的概念与辨析

指数式与对数式的互化

’利用对数的运算性质求值与化简

题型K用已知对数表示其它对数

利用换底公式化简与求值

实际问题中的对数运算

J知识清单

知识点01对数的概念与性质

1、对数的概念：如果优=N（。＞0且awl），那么数X叫做以〃为底N的对数，记作x=log〃N,

其中a叫作对数的底数，N叫作真数.

2、常用对数与自然对数

名称定义记法

常用对数以10为底的对数叫做常用对数1g

自然对数以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数In

3、对数的性质

x

(1)当a>0,且。彳1时，a=NQx=logaN.

(2)负数和0没有对数，即N>0；

(3)特殊值：1的对数是0,gpiogfll=0(a>0,且awl)；

底数的对数是1,即log.a=l(a>0,且awl)；

(4)对数恒等式：

(5)log.ab=b.

【即学即练1】

1.指数式与对数式互化.

(l)3a=27(2)lg0.001=-3.

2.已知logx8=2,则x=()

A.2B.2V2C.3D.4

知识点02对数的运算性质及应用

1、运算性质：a>0,且awl,M>0,N>0

⑴logJACV)=logflM+logflN；

M

⑵现bg"bg"

1

(3)logflM'=«logflM

2、换底公式

(1)换底公式：log"b=-gc』(a>0,且a/1；c>0,且c/1；b>0).

log。a

(2)可用换底公式证明以下结论：

=—；®logb-logc-\oga=l；©log„bn=logb；

logbaabc°a

m

@log„b=—logflZ?；©log!b=-\o%ab.

ana

【即学即练2】10g2^+10g^8=()

911

A.4B.-C.5D.—

22

知识点03对数运算常用方法技巧

1、对数混合运算的一般原则

（1）将真数和底数化成指数幕形式，使真数和底数最简，用公式108，“m〃=乌108。6化简合并；

am

（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；

（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、塞；

（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后

进行化简合并；

（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式.

2、对数运算中的几个运算技巧

（1）Ig2+lg5=l的应用技巧：在对数运算中如果出现1g2和1g5,则一般利用提公因式、平方差公式、

完全平方公式等使之出现1g2+1g5,再应用公式1g2+1g5=1进行化简；

（2）log。。•log7,。=1的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置

颠倒,则可用公式log。式log}a=1化简;

（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式优=夕=c，作为已知条件，求函数/（x,y,z）的值的问题，

通常设屋=夕=c，=左（左〉0）,则x=loga左，y=logfek,z=logek,将x,y,z值带入函数/（x,y,z）

求解.

【即学即练3】计算：（Ig5）2+21g2-（lg2）2=

04题型精讲

题型01对数的概念及辨析

【典例1］（23-24高一上.全国.专题练习）（多选）下列选项中错误的是（）

A.零和负数没有对数

B.任何一个指数式都可以化成对数式

C.以10为底的对数叫做自然对数

D.以e为底的对数叫做常用对数

【变式1］（23-24高一上.贵州贵阳•月考）使式子logoi。-x）有意义的x的取值范围是（）

112

A.x>2B.-<x<2C.—<兄<2且％w—D.%<2,

333

【变式2】对数log.。中的实数。涉的取值范围与下列哪个不等式的解相同（）

—ab入

A.。>0且b>0B.——<0

a—1

C.a(a—l)b>0D.""D>0且b>0

Q—1

题型02对数式与指数式的互换

【典例2】已知，=4,log“3=y,贝|优”=二（）

A.5B.6C.7D.12

【变式1】若只%3=1,贝!)3"+3一"=()

53102

A.-B.-C.—D.一

2533

【变式2】若病。24=〃（机＞。且机*1）,则()

A.logwn=2024B.log〃m=2024

D.logn=m

c.log2024^=«2024

【变式3］若a=logH)2,Z?=log103,则［。。"号的值为

【变式4］已知log“2=2〃z,log«3=〃，则的值为.

【变式5】将下列指数式与对数式互化：

(l)log216=4；

⑵1叫27=-3；

3

⑶logs100«4.606；

⑷43=64；

⑸3-2j

⑹10-3=0.001.

题型03利用对数运算性质化简

【典例1］（24-25高三上•广东梅州•开学考试）化简（210843+1脸3）（1脸2+1嗝2）的值为（）

A.1B.2C.4D.6

【变式1】已知xlog43=l,则3工+3一,=.

ln3

【变式2］（23-24高一上•江苏常州•期中）Ig25+21g2-log316.log43+e=.

【变式3］（1）化简求值：（lg2）2+lg2」g50+lg25；

（2）己知21g（x—2y）=lg尤+lgy,求7的值.

【变式4】（24-25高一・上海•课堂例题）化简下列各式：

（l）|lg25+lg2+lgA/w+lg（0.01）-1；

（2）（1g5）2+1g2-1g50+21+3,°825；

（3）2（lg+igA/2-lg5+J（lg可Tg2+1；

（4）4log42+^-°-In+1g4-1g.

log5>/2-log79

【变式5】（24-25高一上•全国•课前预习）计算;一H一

log5-log7V4

题型04用已知对数表示其他对数

【典例04］（23-24高一上•天津•阶段练习）log23=A,log27=Z?,试用a,fe^^log4256（）

3+b-3+Z?-a+b+1-a+b

A.------B.----------C.----------D.------

a+ba+b+l3+63+。

【变式1】（23-24高一上•上海•期末）已知lg2=a,io"=3,贝1可以用a、b表示为.

【变式2］（23-24高一上•湖北荆州•阶段练习）已知3”=5,2〃=3,则1脸。48=.（结果用。，b表

示）

题型05利用换底公式化简求值

【典例05］（23-24高一上•山东淄博・期末）设a,b,c都是正数，且3"=4"=6。，那么下列关系正确的是（）

A.a+2b=cB.ac+bc=2abC.—+—=—D.—+—=—

a2bcabc

22

【变式1］（23-24高一上•云南保山•阶段练习）若2"=5"=10,则一+7=（）

ab

A.-1B.Ig7C.2D.log710

【变式2］（23-24高一上.江苏盐城・期中）（多选）设a,b,c都是正数，且4"=6"=9。，下列结论不正确的是

（）

A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2bc+ac=2abD.2bc+ac=ab

【变式3］（23-24高一上•吉林•期中）若10"=4,104=25,5。=4,则下列计算正确的是（）

A.a+b=2B.b—a=lC.ab=10D.———

ac2

【变式4】已知5"=6"=30,则工+：=_____.

ab

题型06实际问题中的对数运算

【典题06】（2024.贵州遵义.一模）近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物

多样性、农牧业生产等构成巨大威胁.某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7

个月就增长1倍.假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要（lg2x0.3010）（）

A.8年B.10年C.12年D.20年

【变式1］（23-24高一上•江苏镇江•阶段练习）荀子《劝学》中说：“不积蹉步，无以至千里；不积小流，无

以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%）戚看作

是每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01泗。37.7834；而把（1-1%）戚看作是每天的“退步”率都是1%,一年

1ni365

后是0.9产=0.0255.这样，一年后的“进步值”是“退步值”的"1482倍.那么当“进步值”是“退步值”

0.99365

的5倍时，大约经过（）（参考数据：IglOl〜2.0043,lg99al.9956,lg2a。.3。1。）

A.70天B.80天C.90天D.100天

【变式2］（23-24高一上•新疆•期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是kC,空气的温

度是综℃，则tmin后该物体的温度可由公式e=4+（苗_4求得.若将温度分别为80℃和60℃的两块

物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过10℃,则至少要经过（取：In2=0.69）

（）

A.2.76minB.4.14minC.5.52minD.6.9min

【变式3］（22-23高一下•浙江杭州•期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震

里氏震级〃之间的关系为lgE=4.8+L5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级

地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为耳，E2,则?=______

七2

强化训练

一、单选题

1.（23-24高一上.福建厦门.期末）已知1呜8=2,则％=（）

A.2B.2.72C.3D.4

2.（23-24高一上•贵州贵阳•阶段练习）使式子log<3i）（2-尤）有意义的x的取值范围是（）

112

A.尤>2B.—<x<2C.—<x<2且xw—D.尤<2,

333

3.（23-24高一上.山东济南.阶段练习）下列计算结果为2的式子是（）

15

A.出B.（O.OOOlp-4C.产D.Iog10025+lg2

4.（23-24高一上.山东荷泽•阶段练习）里氏震级M的计算公式：M=lgA-lg4,其中A是测震仪记录的地震

曲线的最大振幅，4是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时

标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的

倍.（）

A.6,1000B.4,1000C.6,10000D.4,10000

5.（23-24高一上•四川凉山・期末）计算31+幅2+ig5+iog32xlog23xlg2的值为（）

A.5B.6C.7D.8

6.（23-24高一上.甘肃武威•阶段练习）己知Ig2=a,lg3=6,则*（）18=（）

b-\b+1

a-2ba-2b

D.

b-1-------------------------b+1

7.（22-23高一上•新疆乌鲁木齐•期末）若L=logz5,贝U25*+5。的值为（）

m

D.——

5

高一上•吉林长春・期中)设加，且!+：=:，

8.(23-242"=5"=则机=()

ab2

A.y/ioB.10C.100D.1000

二、多选题

9.（23-24高一上・云南曲靖•阶段练习）下列运算正确的是（）

A.logo（ACV）=logaM-k>gaN（Af>0,?/>0,。>0且。^1）

B.10822=1。8:1乂一1082用]\4>0,?^>0/>0且。力1）

C.logab=^^（b>0,a>0_1.6Z#l）

Ina

a33\

D.loga2b=/logab（b>0,a>0且awl）

10.（23-24高一上.江苏南京•阶段练习）己知210g3工+1。&6=0，则下列等式一定正确的是（）

a

lna

A.（2"）~=2"B.a.e=bC.b=2aD.log2a=log8ab

11.（22-23高一上•山东临沂•期末）已知正实数mb满足6"=2,且"+21叫6=3,则4+62的值可以为（

A.2B.3C.4D.5

三、填空题

12.（23-24高一上•江苏南京•阶段练习）若20=3,^log62=.

13.（23-24高一上•北京•期中）计算log]25+16W=.

5

14.（23-24高一上.宁夏吴忠•阶段练习）若xlog23=l,则3工+3一，的值为

四、解答题

15.（23-24高一上・江西宜春・期末）计算：

⑴卜I）'图"-叱；

log63

⑵log3a-log32.log23-6-lgV2-lg^.

2

16.（23-24高一上.吉林长春・期中）⑴计算：（坨5）2_（电2）2+83><想力_0.6°+0.27=

2

（2）求下列式中的x的值：1怨(3X+2X-1)=1.

2

17.（23-24周一上•青海海东•阶段练习）⑴求值：加22+1呜242-1。&27+0.003

（2）设lg2=a,lg3=b,试用"，6表示log536.

18.（23-24高一上•上海•期中）（1）B^nlog310=a,log2725=Z>,用a、6表示lg5.

33

（2）设a,6为方程x2-i2x+9=0的两个根，求无一年的值.

a-P

19.（23-24高一上.广东.期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度

是，C,环境温度是那么r分钟后茶水的温度，（单位：。C）可由公式，⑺=q+（a-q）e-k求得.现

有刚泡好茶水温度是100℃,放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是70℃.

⑴求上的值；

（2）经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃,自然冷却至80℃时饮用，可以产生最佳口

感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0」；参考值：M2。0.7,

ln3~l.l）

第03讲对数及其运算

学习目标

课程标准学习目标

1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质；

1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会

2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对

求简单的对数值；

数的定义和性质解方程；

2.掌握积、商、幕的对数运算性质，并能正确利用对数

3.理解对数的运算性质，能用换底公式将

运算的性质进行对数运算；

一般对数转化成自然对数或常用对数；

3.掌握换底公式及其推论；

4.会运用运算性质进行一些简单的化简与

4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法.

证明.

思维导图

对数的概念及性质

对数的运算性质及应用

对数运算的常用方法与技巧

对数的概念与辨析

指数式与对数式的互化

利用对数的运算性质求值与化简

用已知对数表示其它对数

利用换底公式化简与求值

实际问题中的对数运算

知识清单

知识点01对数的概念与性质

1、对数的概念：如果优=N（。＞0且"1）,那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log“N,

其中a叫作对数的底数，N叫作真数.

2、常用对数与自然对数

名称定义记法

常用对数以10为底的对数叫做常用对数1g

自然对数以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数In

3、对数的性质

x

(1)当a>0,且。彳1时，a=NQx=logaN.

(2)负数和0没有对数，即N>0；

(3)特殊值：1的对数是0,gpiogfll=0(a>0,且awl)；

底数的对数是1,即log.a=l(a>0,且awl)；

(4)对数恒等式：

(5)log.ab=b.

【即学即练1】

1.指数式与对数式互化.

(l)3a=27(2)lg0.001=-3.

【答案】a=log32710-3=0.001

【分析】根据指数式和对数式互化的规定：底数不变，指数变对数，累值变真数进行变换即得.

【详解】(1)由3a=27可得：a=log327；由IgO.OOl=一3可得10-3=0.001.

故答案为：a=log327；10-3=000i

2.已知log*8=2,贝卜=()

A.2B.2V2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据对数运算分析求解.

2

【详解】因为log”=2=logxx,可得=8,

且xe(0,1)U(1,+00),解得x=2位.

知识点02对数的运算性质及应用

1、运算性质：a>0,且awl,M>0,N>0

(1)loga(MN)=logaM+logaN■,

M

⑵^ga-=\ogaM-\ogaN；

n

(3)logaM=nlogaM

2、换底公式

(1)换底公式：log4=log*3〉0,且c>0,且c/1；b>0).

log,、。

(2)可用换底公式证明以下结论：

®logflZ?=-^—；®logflZ?-logz,c-logctz=l；③log=loga。；

log/"

rn

m

©log„b=—logflZ?；⑤log16=-log“5.

a"；

【即学即练2】啕¥+嚏四8=()

911

A.4B.-C.5D.—

22

【答案】A

【分析】利用对数的运算法则求解即可.

6

【详解】log2y+log^8=log2V2-log22+log^(V2)=|-l+6=y.

知识点03对数运算常用方法技巧

1、对数混合运算的一般原则

（1）将真数和底数化成指数幕形式，使真数和底数最简，用公式log”,^log“6化简合并；

am

（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；

（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幕；

（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后

进行化简合并；

（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式.

2、对数运算中的几个运算技巧

（1）Ig2+lg5=l的应用技巧：在对数运算中如果出现lg2和lg5,则一般利用提公因式、平方差公式、

完全平方公式等使之出现1g2+1g5,再应用公式1g2+1g5=1进行化简；

（2）log。。的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置

颠倒，则可用公式log/logi=1化简；

（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式优=勿=1作为已知条件，求函数/（x,y,z）的值的问题，

通常设优=夕=c，=左（左＞0）,贝！|x=loga左，y=\ogbk,z=logck,将羽y,z值带入函数/（x,y,z）

求解.

【即学即练3】计算：（Ig5）2+21g2-（lg2）2=

【答案】1

【详解】由(lg5)2+21g2-(lg2)2=(l-lg2)2+21g2-(lg2)2=1.

J

题型精讲

题型01对数的概念及辨析

【典例1]（23-24高一上•全国・专题练习）（多选）下列选项中错误的是（）

A,零和负数没有对数

B.任何一个指数式都可以化成对数式

C.以10为底的对数叫做自然对数

D.以e为底的对数叫做常用对数

【答案】CCD

【解析】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确；

对于B：只有符合。＞0,且awl,N＞0,才有/=Nox=log“N,故B错误；

对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误；

对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误.CD.

【变式1]（23-24高一上・贵州贵阳・月考）使式子1。8（31）（2-尤）有意义的x的取值范围是（）

A.x>2

【答案】D

3x-l＞0

【解析】由式子1%1（2-X）有意义，则满足3m,解得:1＜尤＜2且9

2-尤＞0''

【变式2】对数10gli。中的实数。涉的取值范围与下列哪个不等式的解相同（）.

A.。>0且〃>0

C.a(a—l)b>0

【答案】A

【分析】首先根据对数bg06中的实数。和6的取值要求求出。和6取值范围，再解不等式分析下面选项中

的。和6取值范围，看是否一致即可.

【详解】对数log/中的实数。的取值要求为：。＞0且。关1,b＞0,

A：本选项显然不符合题意；

abfb>0I。<0

B：-----<0n=>5或<.

a-1[0<a<l^[«(«-l)>0

显然不符合题意;

[a>\a<0

C：ab(Q—1)2On[b〉O或

b>0

显然不符合题意;

—ab(a-\\「，八a(a-l}2>0一八

D：———^〉O且I7且a—lwO,

a-1b>0

所以有a>0且azl,Z?>0,显然符合题意,

题型02对数式与指数式的互换

【典例2】已知罐=4,bg03=y,则，+了=()

A.5B.6C.7D.12

【答案】A

【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案.

【详解】由log03=y,得考=3,

故ax+y—ax-ay=4x3=12,

【变式1】若Hog23=l,则3"+3一=()

5c3〃10r2

A.-B.—C.—D.一

2533

【答案】A

【分析】由对数的运算求出入再结合对数和指数的运算化简即可.

1,c

【详解】由题得尤=1--=log32,

log23

所以3'+3一、=3晦2+3“叼=2+-=-.

22

【变式2】若苏。24="(相>0且加#1),则()

A.logmn=2024B.log,,m=2024

C.log2024m=nD.log2024n=m

【答案】A

【分析】根据对数的定义将指数化为对数.

【详解】因为小。24="(机＞0且加工1),所以log,〃=2024.

【变式3】若。=1唱。2,fe=log103,则I。。尺的值为.

【答案】浦

【分析】将对数化为指数，结合指数塞运算求解.

【详解】因为“=logi()2,b=log103,则10"=2,1。"=3,

所以100右=5=匕

1003

4

故答案为：—.

【变式4】已知logq2=2%log03=〃,则/-〃的值为.

【答案】封1

3

【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解.

33

2

【详解】loga2=2私log.3=〃，则a'"=2,a"=3,则_(小尸_2己_20.

优33

故答案为：巫

3

【变式5】将下列指数式与对数式互化：

(l)log216=4；

⑵1叫27=-3；

3

(3)log5100^4.606；

(4)43=64；

⑸3-2=：

(6)10-3=0.001.

【答案】(1)24=16

⑵用二7

(3)54606»100

(4)log464=3

(5)log31=-2

(6)log100.001=-3

【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换“，可转化.

【详解】(1)log?16=4,运用指数对数互化规则“底不变，其他换“，可转化为24=16.

(2)bg『7=-3,运用指数对数互化规则，，底不变，其他换，，，可转化为，[=27.

606

(3)log5100«4.606,运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为S4。100.

(4)43=64,运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为log,64=3.

11

(5)3-2=-,运用指数对数互化规则“底不变，其他换“，可转化为log3§=-2.

(6)103=0,001,运用指数对数互化规则“底不变，其他换"，可转化为log1。0.001=-3.

题型03利用对数运算性质化简

【典例1](24-25高三上•广东梅州•开学考试)化简(21og43+log83)(log32+log92)的值为()

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值.

1II43

【详解】Ms^=(2x-log23+jlog23)(log32+-log32)=-log23x-log32=2.

【变式1】已知尤log43=l,则3*+3一工=

17

【答案】-

4

【分析】运用对数运算性质化简即可.

1117

【详解】由于xlog43=l,则尤~-=log34,贝。浮4+3'4=4+；=[.

log4344

17

故答案为：

4

ln3

【变式2](23-24高一上.江苏常州•期中)Ig25+21g2-log316.log43+e=.

【答案】3

【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可

ln3

[详解】lg25+21g2-log3161og43+e

=0+2g-号.||+3

=2(lg5+lg2)-选土妲+3

lg3lg4

=2-2+3=3.

故答案为：3

【变式3](1)化简求值：(1g2)2+1g2•lg50+1g25；

(2)已知21g(x—2y)=lgx+lgy,求]的值.

【答案】(1)2；(2)4

【分析】(1)由对数的运算性质化简即可；

(2)由对数的运算性质化简后再结合定义域解方程即可；

【详解】(1)m^=lg2(lg2+lg50)+lg25=lg2(lg2+lg2x25)+lg25=lg2(lg2+lg2+21g5)+lg25

=lg2(21g2x5)+lg25=21g2+lg25=lg4x25=2；

(2)由已知可得x>0,y>0,x>2y,

因为21g(x-2y)=lgx+lgy,

所以(尤-2>)2=孙，化简可得V-5孙+4y?=0,

解得彳=>(舍去)，或x=4y,

Y

所以二=4

【变式4](24-25高一・上海•课堂例题)化简下列各式：

(l)|lg25+lg2+lg7w+lg(0.0irl；

(2)(lg5)2+1g2-1g50+21+21OS25；

(3)2(lg忘了+lgVLlg5+J(lg应『一lg2+l;

(4)4log<2+^°-lnV^+lg4-lg^.

7

【答案M呜

(2)1+2.75

(3)1

9

(4)万

【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果；

【详解】(1)1lg25+lg2+lgVi0+lg(0.01)-1=lg5+lg2+1lgl0+2xlgl0

117

=lg(5x2)+-lgl0+2xlgl0=l+-+2=-；

⑵(1g5)2+1g2.1g50+21+210825=(lg5)2+lg2-(lg5+l)+2-2log2'/5

=(lg5)2+lg2-lg5+lg2+2.^=lg5-(lg5+lg2)+lg2+2V5

=lg5+lg2+2君=1+2君；

(3)2(lgV2)2+lg72-lg5+^(lgA/2)2-lg2+l=lgV2(lg2+lg5)+^(lg>/2-l)2

=lgV2+|lgV2-l|=lgV2+l-lg5/2=1；

(4)4loS42+^-0-lnVe+lg4-lg^=2+l-1z«e+lg4+lg25

=2+l--+2=-.

22

log55/2-log79

【变式5](24-25高一上•全国•课前预习)计算;―I-,一五.

log5--log7V4

3

【答案】

【分析】运用换底公式及对数的运算性质计算即可.

_log5V2log79r1

2

［详解］原式=；r.=log,‘2.log石9"iog22.log_3

3

lOg5-12囱、r343

=4-log2.61og3=-31og2.12||=-31og2.1叫313

3433=-31og2-

23

log3221og322,

题型04用已知对数表示其他对数

【典例04］（23-24高一上•天津•阶段练习）log23=«,log27=/?,试用〃，Z?表示log4256（

3+Z?-3+Z?Ca+b+1-5

A.------B.----------D.------

a+ba+b+l*3+Z?3+b

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则算计即得.

3

log2(2x7)_3+log27_3+b

【详解】由logz3=a,log27=b,则log4256=

Iog2(2x3x7)1+log23+log271+a+b

【变式1】（23-24高一上•上海•期末）已知lg2=a,10〃=3,则logz,S可以用a、b表示为.

1—/7

【答案]

3a+b

【分析】利用指数、对数互化关系及对数换底公式求解即得.

【详解】由10〃=3,得6=lg3,而lg2=a,

lg51-炮21-°

所以10g245=

lg(23x3)31g2+lg33a+b

1-。

故答案为:

3a+b

【变式2］（23-24高一上•湖北荆州•阶段练习）已知3。=5,2:3,则1鸣。48=.（结果用”,6表

示）

b+4

【答案