利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题（原卷版）-2023届中考数学压轴大题专项突破

专题01利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题

题型概述

在几何压轴题中，全等三角形的性质和相似三角形的性质一般作为工具性质进行使用，

用以帮助解决角度的相等问题或者线段的数量关系。

(1)在具体的压轴题中可以通过证明三角形全等或三角形相似，得到某两个角相等，再结

合所求进行转化，从而得到我们想要的角度关系。

(2)压轴题中关于证明线段相等关系或者和差关系的证明时，一般通过三角形全等的性质,

找出中间线段与所求线段的倍数关系，进行等量代换或者转化。

(3)压轴题中关于证明或探究线段之间的积关系或者比值关系时，一般利用三角形相似的

性质进行转化，有时也会用到三角形全等的性质进行转化。

真题解析

例孽1

(2022•辽宁丹东•统考中考真题)己知矩形ABC。，点E为直线8。上的一个动点(点E不

与点8重合)，连接AE,以AE为一边构造矩形AEFG(A,E,F,G按逆时针方向排列),

连接DG.

(1)如图1,当署=嘿=1时，请直接写出线段BE与线段。G的数量关系与位置关系；

ABAE

(2)如图2,当当=隼=2时，请猜想线段8E与线段。G的数量关系与位置关系，并说明

ABAE

理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接3G,EG,分别取线段BG,EG的中点M,N,连接MN,

MD,ND,若AB=下,ZAEB=45°,请直接写出△MND的面积.

思路分析

(1)证明进一步得出结论;

(2)证明BAE^ADAG,进一步得出结论；

(3)解斜三角形ABE,求得BE=3,根据(2)二==2可得。G=6,从而得出三角形BEG

的面积，可证得△MNZJ0△MNG,AMNG与A8EG的面积比等于1：4,进而求得结果.

［答案与解析】

【答案】⑴BE=DG,BE±DG

(2)BE=；OG,BELDG,理由见解析

9

@SAMNG=一

4

【详解】(1)解：由题意得：四边形45。和四边形AE尸G是正方形,

：.AB=AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°,

：.ZBAD-ZDAE=ZEAG-ZDAE,

：.ZBAE=ZDAG,

：./\BAE^/\DAG(SAS),

:.BE=DG,ZABE^ZADG,

：.ZADG+ZADB=ZABE+ZADB=90°,

：.ZBDG=90°,

：.BE±DG；

-DG

(2)BE=2,BE±DG,理由如下：

由(1)得：ZBAE=ZDAG,

..AD=AG=

ABAE'

：./\BAE^/XDAG,

,DGAD

ZABE=ZADG,

"BE~AB

二ZADG+ZADB=ZABE+ZADB=90°,

；.NBDG=90°,

：.BE±DGi

(3)如图，

作于H,

AD

■:tanZABD=

BHAB

・••设AH=2x,BH=x,

在出△ABH中，

x2+(2x)2=W

：.BH=19AH=29

在A£H中，

Aff

,:tanZABE=,

EH

・AH«。1

••-tan45—I,

EH

：.EH=AH=29

：.BE=BH+EH=39

BD=^AB2+AD2=7(A/5)2+(2A/5)2=5,

；.DE=BD-BE=5-3=2,

由(2)得：—=2,DG±BE,

BE

：.DG=2BE=69

/.SABEG=—BE-DG=—X3X6=9,

22

在及ASOG和中，点M是bG的中点，点N是C£的中点,

DM=GM=-BG,DN=GN=-EG,

22

,:NM=NM,

:.丛DMN学AGMN(SSS),

VMN是4BEG的中位线,

:.MN〃BE,

:.△BEGsAMNG,

.S/^MNG_(GM)2_I

S^BEGGB4

I9

ASMNG=SMNG=-SBEG=-.

AA4A4

总结与点拨

本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质等知识，解决问题的关键是类比的方法.

(2022•辽宁鞍山•统考中考真题)如图，在।ABC中，AB^AC,NB4c=120。，点。在直

线AC上，连接5D,将DE绕点。逆时针旋转120。，得到线段DE,连接BE,CE.

(2)当点。在线段AC上(点。不与点A,C重合)时，求f的值；

AD

AN

⑶过点A作⑷V〃OE交30于点N,若AD=2CD,请直接写出不7的值.

CE

哪瓶

(1)作AH_L3C于可得3H=348,BC=2BH,进而得出结论；

2

(2)证明△ABOSACBE,进而得出结果；

(3)当点。在线段AC上时，作5FJ_AC,交C4的延长线于F,作AG，5Z)于G,设A5

=AC=3>a,则AO=2a,解直角三角形AD尸，求得5。的长，根据△ZMGS/^DB尸求得

AQ,进而求得4N,进一步得出结果；当点。在4c的延长线上时，设45=AC=2a,贝!J

AD=4a,同样方法求得结果.

［答案与解析】

【答案】⑴证明见解析;

⑵有

(3卢或叵

1921

【详解】(1)证明：如图1,

图1

作AHJLBC于H,

"：AB=AB,

:.ZBAH=ZCAH=|NBAC=gxl20°=60°,BC=2BHf

sin60°=——

AB

2

：.BC=2BH=^3AB；

9

(2)解：：AB=ACf

180。一/84c180。-120。—30。

:.ZABC=ZACB=3

22

由（1）得，空=石，

同理可得,

BEr-

NDBE1=30°,----=43

BD9

BCBE

：.NABC=NDBE,

AB-BD

:.ZABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC,

:.ZABD=ZCBE9

:.AABDsACBE,

3殷s

ADBD

(3)如图2,

F

当点O在线段AC上时，

作3尸J_4C,交C4的延长线于F,作AGL3。于G,

设A5=4C=3a,则4O=2a,

由(1)得，CE=6AD=2B，

在RSA3F中，ZBAF=180°-ZBAC=60°,AB=3a,

3qC

/.AF=3a*cos60°=-a,BF=3a*sin60°=-----a,

22

37

在REAbD/中，DF=AD+AF=2QH—a——ci

229

BD=YIBF*2+DF2=

VZAGD=ZF=90°,ZADG=ZBDF,

:./\DAGS/\DBF,

'•BFBD

AG2a

A3A/3-719a,

--a

2

：.AG=^=a,

s/19

'JAN；DE,

：.NAND=ZBDE=120°9

JZANG=60°f

AG6M

AN=-----------CL

sin60°19

6M

:.AN历,

~CE~2y/3a~~L9~

如图3,

当点。在AC的延长线上时，

设43=AC=2a,则AO=4a,

由（1）得，

CE—#>AD=4's/3a,

作交CA的延长线于R,作于0,

同理可得，

AR—a,BR—邪a,

•*.BD=J(怎『+(5“)2=2不a,

.AQ4。

y/3a2币a'

.AC.

••A。=—CL9

V7

一"2g24

••AJy=—(!•―『=—十d9

A/7A/377

4_

AN币a历,

~CE~4y/3a~^l

综上所述：券的值为冬或冬.

C七1921

总结与点拨

本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问

题的关键是正确分类和较强的计算能力.

例孽3

(2022•湖北宜昌•统考中考真题)已知菱形ABCD中，E是边的中点，尸是边A。上一点.

(1)如图1,连接CE,CF.CE1AB,CF±AD.

①求证：CE=CF；

②若AE=2,求CE的长；

(2)如图2,连接CE,EF.若AE=3,EF=2AF=4,求CE的长.

哪瓯

(1)①根据A4S可证得：ABEC当ADFC,即可得出结论；

②连接AC,可证得ABC是等边三角形，即可求出CE=26；

(2)延长在■交CB的延长线于点根据AAS可证得_A£F丝一切30,可得出腔=4,

BM=2,MC=8,则迹=改=,，即可证得△MEBSAWCE,即可得出EC的长.

MEMC2

［答案与解析】

【答案】(1)①见解析；②CE=26

(2)EC=6

【详解】(1)①CFLAD,

：.ZBEC=Z.DFC=90°,

•.•四边形A5CD是菱形，

/.ZB=ZD,BC=CD,

二.BEC冬DFC(AAS),

CE=CF.

②如图，连接AC.

VE是边AB的中点，CE1AB,

：.BC=AC,

又由菱形ABCD,得BC=AB,

....ABC是等边三角形，

二/E4c=60。，

在咫AEC中，AE=2,

/.EC=AEtan60°=2y/3,

:.C£=2A/3.

(2)如图，延长FE交CB的延长线于点M,

由菱形ABC。，得AD〃BC,AB=BC,

：.ZAFE=ZM,ZA=ZEBM,

VE是边AB的中点，

，AE=BE,

：.AAEF^ABEM(AAS),

：.ME=EF,MB=AF,

VAE=3,EF=2AF=4,

：.ME=4,BM=2,BE=3,

：.BC=AB=2AE=6f

・迎_2_J_ME_i

**ME~4~29MC~8~2

.MBME=生八年

..莉=而，而ZM为公中

，AMEB^AMCE,

.BEMB2

・,法一加一"

又,：BE=3,

：.EC=6.

AF

M---B

总结与点拨

本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数求线段长度，全等三角

形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键.

精却酬题

1.(2022.吉林长春・校联考模拟)【教材呈现】

在华师版八年级下册数学教材第ill页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直.

【结论运用】

F/\D

BB匕-----------»C

图①图②

⑴如图①，菱形ABCD的对角线AC与3。相交于点。，AD=5,8=4,则菱形ABCD的

面积是;

(2)如图②，四边形ABCD是平行四边形，点尸在AD上，四边形CD屏'是菱形，连接AE、

AC、BF,求证：AC=BF；

（3）如图③，四边形ACBZ）是菱形，点产在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE,若

ZDAE=40°,则/ACF=度.

2.（2022•四川德阳.模拟）已知：四边形ABCD是正方形，点E在8边上，点尸在AD边上,

且=

(1)如图1,

（2）如图2,对角线AC与3。交于点0.BD,AC分别与AE,M交于点G,点

①求证：OG=OH；

②连接OP,若AP=4,0尸=夜，求AB的长.

3.（2022・山东日照•校考二模）在AABC中，AB^AC,NBAC=tz,点P为线段C4延长线

上一动点，连接尸8,将线段PB绕点尸逆时针旋转，旋转角为得到线段P。，连接。B,

DC.

⑴如图1,当《=60。时，①求证：PA=DC；②求/DCP的度数；

⑵如图2,当。=120。时，请直接写出上4和0c的数量关系.

⑶当。=120。时，若AB=6,BP=y/31,请直接写出点。到CP的距离为

4.（2022•山东济南・山东师范大学第二附属中学校考模拟）如图，在，ABC中，点。、E分

别是边BC、AC上的点，且/4DE=NB.

⑴如图1,若NB=NC,求证：ABCE=BDCD-,