利用基本不等式求最值（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学复习专练（原卷版）

重难点1-2利用基本不等式求最值

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向预测

基本示等式的应用在近三年的高考中一直是一个基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内

重要的考查点，主要集中在求最值和大小判断.容.2025年会继续以选择题和填空题的形式考查基

主要以选择题和填空题的形式出现，题目难度适本不等式的直接应用，重点在于"一正二定三相等"

中，考查学生对基本不等式的熟练掌握程度.的条件和变形技巧，题目可能会更加灵活.与解三

角形、圆锥曲线、导数等知识结合的综合题型也有

可能出现.

重难点题型解读

题型1直接法求最值题型6齐次化法蝮值

题型2配凑法求最值题型7构造痔式求最值

题型3消元法求最值0--利用基本不等式求最值----0题型8多次使用襁式求最值

题型4"1”的代换求最值题型9三角换元法求最值

题型5双换元法求最值题型10利用柯西不等式求最值

题型1直接法求最值

iU*

：条件和问题之间存在基本不等式的关系

；转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用"公式"求最值.

i

乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值.

1.（24-25高三上•吉林・期末）已知正数。涉满足4+〃=i,则出，的最大值为（）

A.1B.交C.gD.-

224

2.（24-25高三上•河南驻马店•月考）已知且3〃-b-2=0,则27°+，的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

13

3.（24-25高三上・吉林松原•期末）已知正数。涉满足一+不=1,则必的最小值为_____.

ab

4.已知正数X,y满足x+}=2,则?的最小值是.

题型2配凑法求最值

将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.

配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。

利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

（1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;

（2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；

（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

（24-25高三上・贵州•期中”+e的最小值为

1.

2.（243高三上・北京・月考）尤+二的值可以为（）

A.-8B.-9C.8D.9

3.（24-25高三上•天津河西•期中）已知机>一2,n>l,且根+〃=3,则，m+2+，〃一1的最大值为（）

C.2V2D.左诋

A.6B.2A/3

2

Q2

4.（24-25高三上・甘肃白银•期中）已知x>2y>0,贝1”++的最小值为（）

x+2yx-2y

A.2B.4C.6D.8

题型3消元法求最值

,・・玄・,・

根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函

数，然后转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解.注意

所保留变量的取值范围.

41

1.（24-25高三上•新疆・月考）已知一-丁=1色>0,则“-6的最大值为______

ab

2.（24-25高三上•重庆・月考）已知a,6eR+,且出7+2。+》-3=0,则a+6的最小值为（）

35

A.-B.-C.275-3D.276-3

3.（24-25高三上•四川成都・期中）已知a,beR+,a+2b—2ab=0,则8a+6的最小值是（）

2527

A.8-\/2B.—C.—D.17

“22

vQV

4.（24-25高三上海南•月考）已知%>0,z>0,且”z-%,则2+一的最小值为（）

XZ

A.3B.5C.7D.8

题型4T〃的代换求最值

1、若已知条件中的“1”（常量可化为“1”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相

乘模型），则实施“1”代换，配凑和或积为常数.

mYi

G模型1：已知正数x,y满足+=1,求——F—的最小值。

%y

nb

;模型2：已知正数羽y满足一+—=1,求初x+改的最小值。（Q>0,Z?>0,根>0,〃>0）

Xy

2、常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：

（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；

（2）把确定的定值（常数）变形为1；

（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式;

（4）利用基本不等式求解最值.

12

1.（24-25高三上・安徽・月考）已知x>0,y>0,2尤+y=2,则—+一的最小值为（）

无y

C.V2

2.（24-25高三上•陕西西安・期末）已知正数。/满足为+/?=迎，贝!的最小值为（）

41

3.（24-25高三上•河北唐山・期末）已知则;一+一的最小值为

1-xx

4.（24-25高三上•山东济宁•期末）若Q>0〉/?,且Q—/?=2,则--7的最小值为（）

。+1b

题型5双换元法求最值

双换元法是"1"的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况.

;具体操作如下：如分母为3。+4/?与a+3/7,分子为a+2b,

\设Q+2Z?=2（3Q+4/?）+〃（Q+3/?）=（3X+〃）Q+（42+3〃）b

另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简.

21

1.己知正实数羽丫满足x+y42且x-y>0,贝+—的最小值为

x+3yx—y----

2.（24-25高一上•重庆•期中）若正实数x,>满足（3x-2）3+8（y-l）3=4-3x-2y,则2x+5+手的最小值

是.

xV1,2

3.（24-25局三上•江苏•月考）对于任意的％>0,y>0,-~~丁+六一之丁加2一根恒成立，则加的最大

2x+3y3x+y77

值为（）

3

A.—B.—1C.1D.3

7

4.（24-25高三上•江西南昌・月考）设实数苍V满足V一3冲-4y2=1,则/+4产的最小值为（）

题型6齐次化法求最值

适用于能构造成分式，且分式上下为齐次式的题型，构造齐次式后则可进行下面的操作

2

/+%+Cy2及+岁+*A+3—+。

Dx2+Exy+Fy2Dx2ExyFy,2、2

DE,-F,

X2XXx

再进行换元则题目变成分式类型，按照单变量分式类型计算即可.

1.（24-25高三上•河南・月考）已知。>6>0,则“一的最小值为______.

ab-b

3Xx

2.（24-25高三上・江苏苏州•期中）已知实数%>y>。，则一+----r的最小值为（）

y孙一y

A.12B.9C.6D.3

3.（24-25高三上・甘肃白银・月考）已知％,y为正实数，则2上+丁16二x的最小值为__________.

x2x+y

4.（23-24高三下•湖北•一模）已知正实数。,万满足2。+36=2,则”的最大值为_________.

—/+26+4

题型7构造不等式求最值

混

I00I

当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"

和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.

ii

1.（24-25高三上•广东广州•月考）若“力>。，S.ab=2a+b+4,则必的取值范围是（）

A.（4,8+4方]B.（4,16]C.18+4指,+qD.[16,”）

14

2.（24-25高三上•浙江杭州•期末）已知x+y=—+—+8（x,y>0）,则％+2的最小值为（）

尤y

A.573B.9C.4+726D.10

3.（23-24高三下•湖北・一模）已知实数羽丫满足3d+3孙+丁=3,则2x+y最大值为（）

A.2B.3C.y/3D.72

4.（24-25高三上•广东湛江•月考）已知正数a,b满足（。+6）3一4="（3。+36-2）,则a+6的取值范围

为（）

题型8多次使用不等式求最值

;运；

同一式子中若使用多次基本不等式，需满足以下两个条件：（1）不等号的方向己知；（2）取等条件一致.1

1.（24-25高三上•湖南长沙・月考）已知x,y,q>0,且无+至+^28恒成立，则a的取值范围是________.

xxy

一21

2.（24-25高三上・福建宁德・月考）已知正数〃，b,c满足c<l,〃+b=4,则益+西7行的最小值

为

3.（23-24高三上.江苏南京•月考）设正实数6,c满足6+c=#,且。＞-1,则贮±"'的最小值

bea+1

为.

4.（24-25高一上•辽宁沈阳・月考）VG,b,eR+,满足b+c=l,则酬上+'的最小值为（）

bea+1

A.6B.8C.1672-8D.872-1

题型9三角换元法求最值

8—0

适用于双变量不等式能构造平方和形式的题型.利用cos?e+sin?6=1进行换元.

x=cos0

例如x2+3y2=10炉+（Gy）2=]0

y/3y=sin0

=A/6COS0

x2+2xy+3y2=6n（%+»+（后=6n

=A/6sin0

1.（24-25高三上•江苏盐城•期中）若实数无，y满足/+9/=1,贝|x+3y的最小值为（）

A.1B.-1C.72D,-72

2.（24-25高三上・甘肃白银•期末）已知〃+2〃=2,则片+他的最大值为（）

A.1+咚B.1+*C.#-1口.1+手

3.（24-25高三上•辽宁•开学考试）已知。也c均为正数，/+廿=2,则五R五-五）+2匕的最大值为.

4.（24-25高三上•安徽合肥•月考）已知正数尤,y满足的4一1+J9y?-1=9肛,贝U4—+丁的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

题型10利用柯西不等式求最值

;适用于：已知A?+By2的值，求m+利的取值范围，或者已知的值，求A？+冷2的最值或

求aG十几丘的最值.

Z7b

\（1）二维柯西不等式：设a,b,c,d均为实数，有（a2+b2）（c2+c2）2（ac+6d）2,当且仅当—=一时等;

cd

\号成立.

ii

（2）〃维柯西不等式：（〃；++〃；.・.+）S；+b；+〃；+…+b；）之（。占+02b2+a3b3+…+。出厅，

ii

ii

a,%a,a

l其中字母值域均为H,当且仅当广二六二广二…二片时等号成立.

ii

1.（24-25高三上•北京朝阳•模拟预测）函数/（x）=J尤一尤2+J4X-Y的最大值为（）

A.1B.72C.2D.2血

2.（24-25高三上•陕西西安・月考）已知。力>0,-+-=1,则。+方+而工炉的最小值为_____.

ab

3.（24-25高一上•陕西西安・月考）存在正数占y，z,使得不等式«+风+症2俏Jx+y+z成立,则优的

最大值是.

4.（24-25高三上•广西钦州•月考）（多选）已知x>0,y>0,且不等式x（x+l）2+y（y+l）2_（疗—2m）孙20

恒成立，则优的取值可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（24-25高三上•重庆・期末）已知租>1,〃>1,1g?"=log”100,则血”的最小值为（）

A.10点B.io2^C.104D.100

2.（24-25高三上•四川广安•月考）已知正实数x,y满足'+1=1,贝U4孙-3x的最小值为（）

龙y

A.9B.10C.11D.12

3.（24-25高三上•广东中山・月考）若正实数满足（a+2）g+l）=9,则a+6的最小值为（）

A.9B.6C.3D.2

32

4.（24-25高三上•湖北黄冈•月考）若根>0,〃>0,且3切+2〃-1=0,则一+—的最小值为（）

mn

A.20B.12C.16D.25

已知实数X满足0<x<；,1I7

5.（24-25高三上•江西上饶・月考）则上+占的最小值为（）

x1-3元

A.9B.18C.27D.36

nh

6.（24-25IWJ二上,江苏・月考）已知a〉0,b>0,2a+b=ab,贝!J------F----的最小值为（）

a-1b-2

A.4B.5C.6D.3+2夜

7.（23-24高三下•山东淄博•二模）记皿乂包丁⑶表示羽丁衣中最大的数.已知龙，y均为正实数，则

max]j；,x2+4y2；的最小值为（）

A.1B.1C.2D.4

8.（24-25高三上•天津河东•期末）已知且必>0,则「已-，）八」的最小值为（）

\a'+b-（a+bYI

二、多选题

9.（24-25高三上•江苏镇江•月考）已知x>0,>>0,且x+2y=l,则（）

719

A.炉+丁的最小值为:B.一+一的最小值为9

9xy

C.2,+4,的最小值为2cD.log?x+log2y的最小值为-3

10.（24-25高三上•山西・月考）已知。,万为正实数，S.ab+2a+b=16,则（）

A.