利用函数解决实际问题（13种题型+专项训练）-2025年中考数学一轮复习（解析版）

第三章函数

微专题03利用函数解决实际问题

（13种题型汇总+专题训练）

【题型汇总】

【专项训练】

题型01最大利润问题

1.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种

水果的进价和售价如表所示：

水果种类进价（元/千克）售价（元/千克）

甲a22

乙b25

该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705

兀.

(1)求a,b的值;

(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大

于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售

完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式(写出自变量x的取值

范围)，并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.

【答案】(l)a=14,&=19

(2)y=f2:鬻熏出支?幺、，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元

(—3%+1300(80<x<120)

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：

(1)根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需

705元”列方程求解即可；

(2)分50WXW80,80<xW120两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式,

然后利用一次函数的性质求解即可.

【详解】⑴解：根据题意，得常，

130a4-15D=705

解得｛广普;

lb=19

(2)解：当50<x<80时，

根据题意，得y=(22-14)久+(25-19)(150-%)=2%+900,

V2>0,

...y随x的增大而增大，

.•.当％=80时，y有最大值，最大值为2X80+900=1060,

即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；

当80<x<120时，

根据题意，得y=(22-14)X80+(22-14-5)x(%-80)+(25-19)(150-%)=-3%+1300,

V-3<0,

随x的增大而减小，

...x=80时，y有最大值，最大值为-3x80+1300=1060,

即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；

综上，y=[o购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元.

2.(2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题)为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毯子活动，

需购买甲、乙两种品牌毯子.已知购买甲种品牌毯子10个和乙种品牌毯子5个共需200元；购买甲种品牌

僚子15个和乙种品牌毯子10个共需325元.

(1)购买一个甲种品牌毯子和一个乙种品牌毯子各需要多少元？

(2)若购买甲乙两种品牌毯子共花费1000元，甲种品牌毯子数量不低于乙种品牌毯子数量的5倍且不超过乙

种品牌保子数量的16倍，则有几种购买方案？

(3)若商家每售出一个甲种品牌毯子利润是5元，每售出一个乙种品牌毯子利润是4元，在(2)的条件下,

学校如何购买毯子商家获得利润最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)购买一个甲种品牌键子需15元，购买一个乙种品牌键子需10元

(2)共有3种购买方案

(3)学校购买甲种品牌毯子60个，购买乙种品牌毯子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元

【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，

(1)设购买一个甲种品牌毯子需。元，购买一个乙种品牌建子需万元，根据题意列出二元一次方程组，问

题得解；

(2)设购买甲种品牌毯子无个，购买乙种品牌毯子(100-个，根据题意列出一元一次不等式组，解不

等式组即可求解；

(3)设商家获得总利润为y元，即有一次函数y=5%+4(100-根据一次函数的性质即可求解.

【详解】(1)解：设购买一个甲种品牌建子需。元，购买一个乙种品牌毯子需。元.由题意得：

(10a+5b=200

(15。+10b=325'

解得：

lb=10

答：购买一个甲种品牌毯子需15元，购买一个乙种品牌毯子需10元；

(2)解：设购买甲种品牌毯子x个，购买乙种品牌毯子变祥=(100—1%)个.

由题意得：\\2)

(尤<16(100-

解得：58^<x<64,

•・・X和(100-|久)均为正整数，

x=60,62,64,

3

1。。一/=1。，7,4,

共有3种购买方案.

(3)设商家获得总利润为y元，

y=5x+4(100-|x),

y——x+400,

fc=—1<0,

y随x的增大而减小，

二当x=60时，y最大=340,

答：学校购买甲种品牌穰子60个，购买乙种品牌毯子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元.

3.(2024・四川达州•中考真题)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将48两个品种的柑橘加

工包装成礼盒再出售.已知每件&品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元.且出售25件4品种柑橘礼

盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元.

(1)求4B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？

(2)已知加工4、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出力、B

两种柑橘礼盒共1000盒，且4品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍.总成本不超过

54050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排4、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产

品展销活动中的最大收益为多少元？

【答案】(1)48两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元

(2)要使农户收益最大，销售方案为售出4种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用；

(1)设4B两种柑橘礼盒每件的售价分别为。元，。元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；

(2)设售出4种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒(1000-为盒，根据题意列出不等式组，得出595WXW

600,设收益为y元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：设4、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元,根据题意得，

(a+20=b

(25a+15b=3500

解得：Cwo

答：4、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元；

(2)解：设售出4种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒(1000-x)盒，根据题意得，

x<1.5(1000-x)

50%+60(1000-%)<54050

解得：595<%<600

设收益为y元，根据题意得，y=（80-50次+（100-60）（1000-x）=-10x+40000

V-10<0

随x的增大而减小，

.•.当x=595时，y取得最大值，最大值为-10X595+40000=34050（元）

售出B种柑橘礼盒1000-595=405（盒）

答:要使农户收益最大,销售方案为售出4种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒,最大收益为34050元.

4.（2024•山东青岛•中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的

收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：

A樱桃园

第X天的单价、销售量与X的关系如下表：

单价（元/盒）销售量（盒）

B樱桃园

第1天5020第尤天的利润（元）与X的关系可以近似地用二次函数=

ax2-+-6久+25刻画，其图象如图：

第2天4830

第3天4640

/\

第4天4450

905/•'

//।।

495-r।।

।।।

।11।।।।।।।।।।1।।।〉

O1215x

第X天lOx+10

第X天的单价与X近似地满足一次函数关

系，已知每天的固定成本为745元.

（1）A樱桃园第x天的单价是元/盒（用含尤的代数式表示）；

（2）求A樱桃园第x天的利润为（元）与x的函数关系式；（利润=单价x销售量-固定成本）

（3）①加与x的函数关系式是;

②求第几天两处樱桃园的利润之和（即为+%）最大，最大是多少元？

(4)这15天中，共有天8樱桃园的利润%比4樱桃园的利润为大.

【答案】⑴(―2x+52)

⑵%=-20/+500%-225

⑶①丫2=-30/+500^+25；②第10天两处樱桃园的利润之和(即yi+y2)最大，最大是4800元；

(4)4

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：

(1)设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可；

(2)根据(1)所求结合利润=单价x销售量-固定成本进行求解即可；

(3)①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出外+%的结果，再利用二次函数的性质求解即可；

(4)根据题意建立不等式—30/+500%+25>—20/+500%-225,求出不等式的正整数解即可得到答

案.

【详解】(1)解：第x天的单价与x满足的一次函数关系式为y=kx+b,

把(1,50),(2,48)代入y=kx+b中得%，

%乙K十。=4,0

.(k.=—2

,力=52'

J第％天的单价与久满足的一次函数关系式为y=-2%+52,

樱桃园第x天的单价是(-2乂+52)元/盒，

故答案为：(—2%+52)；

(2)解：由题意得，%=(-2尤+52)(10%+10)-745=-20/+500%-225

(3)解：①把(1,495),(2,905)代入乃=3：2+法+25中得：4H

解得忆料,

lb=500

2

y2=-30x+500x+25；

2

②——20/+500x—225,y2——30x+500x+25,

2

.".y1+y2——20/+500x—225—3Ox+500%+25

=-50久2+1000X-200

=-50(x-10)2+4800,

V-50<0,且1WXW15(x为正整数)，

当久=10时，为+%有最大值，最大值为4800,

.♦.第10天两处樱桃园的利润之和(即为+力)最大，最大是4800元；

(4)解：当yz>yi时，贝U-30久2+500x+25>-20/+500%-225,

/.10x2<250,

Ax2<25,

1<x<5,

•.•尤的正整数解有4个，

.♦•这15天中，共有4天8樱桃园的利润丫2比A樱桃园的利润yi大.

5.(2024・山东济宁.中考真题)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位:

件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.

300-

200....PN

o>idoilo*

(1)求这段时间内y与％之间的函数解析式；

(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多

少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为y=-5%+800

(2)当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元

【分析】(1)设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b,函数经过(100,300),(120,200),可以

利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；

(2)根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售

单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为z,写出z关于x的二次函数解析式，根据二次函数的增

减性和x的取值范围，即可求出获得利润的最大值

【详解】(1)解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b,

•••由图象可知,函数经过(100,300),(120,200),

二可得缪监:行黑，解得偿=就,

ll20fc+b-2003=800

.•・这段时间内y与x之间的函数解析式为y=-5%+800；

(2)解：•••销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，

•••x>100,y>220,

即「力臂0-2°，解得100C16,

设获得利润为Z,即z=(-5%+800)%-(-5%+800)x80=-5x2+1200%-64000,

•.对称轴"=一装=一螳5=12。,

-5<0,即二次函数开口向下，x的取值范围是100WxW116,

.•.在100WxW120范围内，z随着%的增大而增大,

即当销售单价x=116时，获得利润z有最大值,

•••最大利润z=-5x1162+1200x116-64000=7920元.

【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组,

解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解.

6.（2024新疆真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额为

（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为为=5%；成本无（万元）与销售量尤（吨）的函数图象是如图所

示的抛物线的一部分,

八”(成本/万

II

1()

9

7

K销售量/吨）

⑴求出成本关于销售量X的函数解析式；

（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？

（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额-成本）

【答案】⑴%=

4

（2）销售产品所获利润是0.75万元;

（3）当销售量x=3吨时，获得最大利润，最大利润为：7万元;

27

【分析】（1）设抛物线为：加=aL+3再利用待定系数法求解即可;

（2）先求解当x=|时，成本的最小值为?再计算销售额，从而可得答案;

（3）设销售利润为“万元，可得W=y1->2,再利用二次函数的性质解题即可;

【详解】(1)解：..•成本(万元)与销售量无(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中(|，9是

其顶点.

2

.•.设抛物线为：y2=a(%-|)+：,

把(2,4)代入可得：：a+：=4,

解得：a=1,

**•抛物线为丫2=(%—1)+：；

(2)解：=(X-|)2+

...当％=2时，成本最小值为%

/.y-£=5%=5X|=2.5,

•••销售产品所获利润是0.75(万元)；

244

(3)解：设销售利润为W万元，

/.W=y1—y2

(1\27

=5%-广习"4

=—x2+6%—2,

当x=-bX=3时，获得最大利润，

最大利润为：-32+6x3-2=7(万元)；

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟

练的建立二次函数的关系式是解本题的关键.

题型02行程问题

7.(2024•陕西咸阳・模拟预测)已知A,2两地相距360km,甲、乙二人分别从A,2两地同时出发，相向而

行.设甲、乙二人离A地的距离为y(km),行驶时间为x(h),则y与龙的函数图象如图所示.

(1)求乙到达A地所用的时间；

(2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距90km?

【答案】(l)7.2h

(2)11时或13时

【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

(1)利用待定系数法解答即可.

(2)根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可.

【详解】(1)解：设丫甲=ax,根据题意，

得9a=360,

解得a=40,

故y甲=40x(0<x<9)；

当x=4时，y甲=160,

故图象交点的坐标为(4,160),

设丫乙=左刀+6,根据题意，

彳曰(4/c+b=160

Ib=360'

解得｛建揶

乙=-50%+360,

/.-50x+360=0,

解得x=7.2,

故乙到达A地所用的时间7.2h.

(2)解：设经过xh,甲、乙相距90千米，

根据题意，得则40刀+50久+90=360,

解得x=3(小时)，此时为11时.

根据题意,得则40x+50久-90=360,

解得x=5(小时)，此时为13时.

8.(2024・陕西咸阳・模拟预测)周末，爱好骑行的许一一同学和爸爸从家出发，骑行去渭河运动公园锻炼.许

一一先出发，并且匀速骑行完全程，爸爸随后出发并且出发一段时间后速度提高为原来的2倍.如图所示

是许一一和爸爸骑行离家的距离S(米)与许一一骑行时间f(分)之间的函数图象，根据图象解答下列问

(2)求爸爸骑行过程中BC段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围.

(3)求许一一出发多长时间后爸爸追上她.

【答案】⑴350

(2)s=1000t-21000(22<t<42)

(3)许一一出发32击分钟后爸爸追上她

【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，求自变量的值：

(1)根据速度等于路程除以时间进行求解即可；

(2)先求出BC段爸爸骑行速度为500X2=1000米/分，再根据路程等于速度乘以时间列出函数关系式,

再求出自变量的取值范围即可；

(3)根据(1)(2)所求列出方程求解即可.

【详解】(1)解：由函数图象可知，许——骑行的速度为21000+60=350米/分；

(2)解：1000+(22-20)=500米/分,

段爸爸骑行速度为500X2=1000米/分，

二爸爸骑行过程中BC段对应的函数表达式为y=1000(t-22)+1000=1000t-21000,

八

.-.-21-0-0-0-1-0-0-0=200,

1000

A22<t<22+20=42；

As=lOOOt-21000(22<t<42)；

(3)解:由题意得，350t=lOOOt-21000,

解得£=32.，

・・・许一一出发32看分钟后爸爸追上她.

9.(2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题)甲、乙两货车分别从相距225km的A、8两地同时出发，甲货车从

A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往2地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但

乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回8地，结果比甲货车晚半小时到达8地.如图是甲、

乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)甲货车到达配货站之前的速度是km/h,乙货车的速度是km/h；

(2)求甲货车在配货站卸货后驶往8地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解

析式；

(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.

【答案】(1)30,40

(2)EF的函数解析式是y=8Ox-215(4<x<5.5)

⑶经过1.5h或^|h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等

【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数

图象表示的意义是解题关键.

(1)由图象可知甲货车到达配货站路程为105km,所用时间为3.5h,乙货车到达配货站路程为120km,到

达后返回，所用时间为6h,根据速度=距离+时间即可得；

(2)甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往8地，由图象结合已知条件可知

E(4,105)和点尸(5.5,225),再利用待定系数法求出y与尤的关系式即可得答案；

(3)分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回8地后、甲货车卸货,

半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出尤的值即可得答案.

【详解】(1)解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km,所用时间为3.5h,所以甲货车到达配货站

之前的速度是105+3.5=30(km/h)

乙货车到达配货站路程为225-105=120(km),到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回2地，总

路程为240km，总时间是6h,

乙货车速度=240+6=40km/h,

故答案为：30；40

(2)甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往5地，由图象可知E(4,105)和点

F(5.5,225)

设ZE尸=kx+6(4<%<5.5)

・14k+b=105

••(5.5/c+b=225

解得：忆手

.•.甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解析式y=80%-215(4<%<5.5)

(3)设甲货车出发xh,甲、乙两货车与配货站的距离相等，

①两车到达配货站之前：105-30%=120-40x,

解得：x=|,

②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：105-30x=40x-120,

解得:“推

14

③甲货车在配货站卸货后驶往5地时：80%-215-105=40%-120,

解得：%=5,

答：经过1.5h或普h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等.

10.(2024・天津•中考真题)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km,文化广

场离家1.5km.张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min,之后匀速骑行了6min到

文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图

象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.

请根据相关信息，回答下列问题:

(1)①填表：

张华离开家的时间/min141330

张华离家的距离/km0.6

②填空：张华从文化广场返回家的速度为km/min；

③当0<%<25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；

(2)当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化

广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是多少？(直接写出结果即可)

【答案】(1)①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当0<%<4时,y=0.15%；当4<xW19时，y=0.6；当19<x<25

时，y=0.15x—2.25

(2)1.05km

【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题

意，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)①根据图象作答即可；

②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；

③分段求解，可得出y=0.15%,当4<xW19时，y=0.6；当19<xW25时，设一次函数解

析式为：丫=/«+6,把(19,0.6),(25,1.5)代入丫=/0：+6,用待定系数法求解即可.

(2)先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家y'km,则旷=0,075%-0.6,当两人相遇时有0.15X一2.25=

0.075%-0.6,列一元一次方程求解即可进一步得出答案.

【详解】(1)解：①画社离家0.6km,张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，

张华的骑行速度为0.6+4=0.15(km/min),

，张华离家lmin时,张华离家0.15x1=0.15km,

张华离家13min时，还在画社，故此时张华离家还是0.6km,

张华离家30min时，在文化广场，故此时张华离家还是1.5km.

故答案为：0.15,0.6,1.5.

②1.5+(5.1-3.1)=0.075km/min,

故答案为：0.075.

③当0SxW4时，张华的匀速骑行速度为0.6+4=0.15(km/min),

**.y=0.15%；

当4<x<19时，y=0.6；

当19<%425时，设一次函数解析式为：y=kx+b,

把（19,0.6）,（25,1.5）代入丫=1%+儿可得出：

C19fc+h=0.6

(25k+b=1.5

解得:(k=0.15

=-2.25

'.y=0.15%—2.25,

综上：当0WxW4时，y=0.15x,当4<xW19时，y=0.6,当19<xW25时，y=0.15x-2.25.

(2)张华爸爸的速度为：1.54-20=0.075(km/min),

设张华爸爸距家y'km,则y'=0.075(x-8)=0.075%-0.6,

当两人从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时，有0.15%-2.25=0.075%-0.6,

解得：x=22,

：.y'=0.075(%-8)=0.075%-0.6=0.075x22-0.6=1.05km,

故从画社到文化广场的途中（0.6<y<1.5）两人相遇时离家的距离是1.05km.

题型03阶梯计费问题

11.（2023•上海浦东新•二模）某市全面实施居民“阶梯水价”.当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点

后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：

户年用水量自来水单价污水处理单价

分档

（立方米）（元/立方米）（元/立方米）

第一阶梯0~220(含220)2.25

第二阶梯220-300(含300)41.8

第三阶梯300以上6.99

注：应缴的水费=户年用水量X（自来水单价+污水处理单价）

仔细阅读上述材料，请解答下面的问题:

(1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？

(2)居民应缴纳水费y(元)关于户年用水量尤(立方米)的函数关系如图所示，求第二阶梯(线段4B)的表

达式；

(3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？

【答案】(1)她家全年应缴纳水费891元

(2)y=5.8%-385(220<%<300)

(3)他家全年用水量是270立方米

【分析】(1)根据题意列出算式计算即可；

(2)利用待定系数法求出函数解析式即可；

(3)根据缴纳的水费1181元得出用水量在第二阶梯范围内，然后将y=1181代入(2)中求出的函数解析

式进行解答即可.

【详解】(1)解：根据题意得：220x(2.25+1.8)=891(元)，

答：她家全年应缴纳水费891元.

(2)解：设线段AB的表达式为y=kx+b(k羊0),把(220,891),(300,1355)代入得:

(220k+b=891

1300k+b=1355'

解得,仁温，

线段的表达式为y=5.8x-385(220<x<300).

(3)解：V891<1181<1355,

.♦•小明家全年用水量处于第二阶梯，

把y=1181代入y=5.8x-385得：1181=5.8x-385,

解得：%=270,

答：他家全年用水量是270立方米.

【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法，数形结合.

12.(2024•福建南平・二模)北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：(以户为单位)

阶梯采暖用气销售价格

第一阶梯0-1500m3（含1500）的部分2.67jE/m3

第二阶梯1500~2500m3（含2500）的部分3.15元/rrP

第三阶梯2500m3以上的部分3.637U/m3

根据表中所给的数据回答以下问题：

(1)某户用气量为1000m3,求此户需缴纳的燃气费用：

(2)设某户这个冬季用气量为xm3(0W比W2500),缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式：

(3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为8970元，求该户用多少立方米的燃气？

【答案】(1)2670元

_(2.67%,(0<x<1500)

⑵y=(3.15%-720,(1500<%<2500)

(3)3000立方米

【分析】本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式.

(1)用1000乘以第一阶梯的电价即可；

(2)根据题意按第一、二阶梯电价写出函数解析式即可；

(3)先根据用户缴纳的燃气费用为8970元，判断用户的燃气量的范围，再计算出燃气量即可.

【详解】(1)解：2.67x1000=2670元.

答：此户需缴纳的燃气费用为2670元，

(2)解：当0<久<1500时

y=2.67x

当15002500时

y=3.15(%-1500)+2.67x1500

=3.15%-4725+4005

=3.15%-720,

所以y与％的函数解析式为

_(2.67xf(0<x<1500)

y=(3.15%-720,(1500<%<2500)'

(3)解：当％=2500时,

y=3.15%-720=3.15X2500-720=7155,

V8970>7155

・•・当%>2500时

y=3.63(%-2500)+3.15X1000+2.67X1500

=3.63%-9075+3150+4005

=3.63x-1920

当y=8970时

3.63x-1970=8970

解得x=3000

答：该用户用了3000立方米的燃气.

13.(2023•河北石家庄•模拟预测)为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地采取表1的计

费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元.

表1某地居民用电计费方式

第一档电量第二档电量第三档电量

月用电量180度(含180度)，月用电量180度至300度(含300度)月用电量300度以上的部分，每

以下每度价格0.55元的部分，每度比第一档提价。元度比第一档提价0.30元

(1)求出表1中a的值；

(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；

(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户

家庭缴纳电费的中位数和众数.

表220户家庭7月份用电量统计表

用电量(度)120160200260320

户数23672

【答案】(1)。的值为

'0.55x(0<x<180)

(2)y=0.65x-18(180<x<300)

0.85比—78(%>300)

(3)中位数和众数分别是112元、151元

【分析】(1)根据梯度计费方式计算7月份电费可得到和a相关的方程，解方程即可；

(2)根据梯度计费方式分别列出三个档位电费的等量关系即可；

(3)先根据中位数计算方法算出中位数，然后根据数值代入对应函数关系式计算即可.

【详解】(1)由题意得，180X0.55+(280-180)X(0.55+a)=164,解得a=0.1,

即。的值为0.1;

(2)当0WKW180,y=0.55%；

当180<x<300,y=180x0.55+(x-180)x(0.55+0.1)=0.65x-18；

当久>300y=180x0.55+(300-180)x(0.55+0.1)+(x-300)x(0.55+0.3)=0.85x-78,

’055x(0<x<180)

综上，y与尤的函数关系式为y=0.65%-18(180<%<300)；

0.85x—78(x>300)

(3)根据表2可知，将20户家庭用电量由小到大排序，最中间两个数均为200度，

所以这20户家庭用电量的中位数为200度，

应缴纳电费为0.65x200-18=112(元)；

20户家庭用电量的众数应为260度，所以应缴纳电费0.65x260-18=151(元).

【点睛】本题主要考查一次函数实际应用，根据表格计费方式列出等量关系式解题的关键.

14.(2023•浙江温州•二模)某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，x表示每月上网流量(单位:

GB),y表示每月的流量费用(单位：元)，三种套餐对应的y关于x的关系如图所示:

(1)当x>5时，求4套餐费用以的函数表达式.

(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择C套餐较为划算.

(3)小红爸妈各选一种套餐，计划2人每月流量总费用控制在150元以内(包括150元)，请为他们设计一种方

案使总流量达到最并完成下表，

小红爸爸：一套餐小红妈妈：一套餐

总流量

(填4、B、C)(填4、B、C)

消耗流量_GB_GB_GB

【答案】⑴丫

4=10xA-20(XA>5)

(2)x>13GB

(3)C,24；B,10；34

【分析】(1)根据三种套餐对应的y关于x的关系图，列出4套餐的函数关系式即可；

(2)根据三种套餐对应的y关于x的关系图，列出B套餐的函数关系式，根据图可知，基本费用超过80元时，

C套餐的费用划算，代入B套餐的函数关系式，即可求出相应的流量；

(3)假设基本费用刚好是150元，要是流量最多，要有一人选择C套餐，并且超出基本费用的钱要购买C套

餐中的流量最合适，再分情况讨论第二种套餐种类，通过对比选择合适的套餐即可.

【详解】(1)解：由三种套餐对应的y关于x的关系图可知，

yA=30+(马—5)X10=10xA—20(%^>5),

当%>5时，力套餐费用为1的函数表达式以=10xA-20(x4>5)；

(2)由三种套餐对应的y关于x的关系图可知，

=50+(xB-10)x10=10xB—50(%>10),

%；=80+(xc-20)x5=5xc—20(x>20),

由图可知，当月基本费用超过80元时，选择C套餐合适，

80=10xB-50,解得：xB=13GB,

・•.当x>13GB时，选择C套餐较为划算；

(3)假设基本费用刚好是150元，要是流量最多，要有一人选择C套餐，并且超出基本费用的钱要购买C套

餐中的流量最合适，

假设，小红爸爸选择C套餐20GB,妈妈选择4套餐流量为5GB,两人的基本费用为80+30=110元，超出的

40元在C套餐中购买流量可以买的更多，即40+5=8GB,

则费用为150元，小红爸爸选择C套餐20+8=28GB,花费120元，小红妈妈选择4套餐流量为5GB,花费30

元，总流量为28+5=33GB；

假设，小红爸爸选择C套餐20GB,妈妈选择B套餐流量为10GB,基本费用为80+50=130元，超出的20元

在C套餐中购买流量可以买的更多，即20+5=4GB,

则费用为150元，小红爸爸选择C套餐20+4=24GB,花费100元，小红妈妈选择B套餐流量为10GB,花费

50元，总流量为24+10=34GB；

.••小红爸爸选择C套餐，消耗流量24GB,小红妈妈选择B套餐消耗流量10GB,总流量为34GB.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是结合关系图，明确题意，分情况讨论，利用数形

结合的思想.

题型04图形面积

15.(2024・湖北.中考真题)如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验

田，墙长为42m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m),与

墙平行的一边长为M单位：m),面积为S(单位：m2).

H-----------42m------------H

墙

x实验田x

y

(1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；

(2)矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求尤的值；如果不能，请说明理由.

(3)当尤的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

【答案】(l)y=80-2%,S=-2x2+80%

(2)x=25

(3)当x=20时，实验田的面积S最大，最大面积是800m2

【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键.

(1)根据2x+y=80,求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式；

(2)先求出x的取值范围，再将S=750代入函数中，求出光的值；

(3)将S与％的函数配成顶点式，求出S的最大值.

【详解】(1)解：:2久+y=80,

y=-2%+80,

S=xy,

••・S=%(—2x+80)=—2x2+80%；

(2)­••y<42,

*,•-2,x+80W42,

•••x>19,

19<x<40,

当S=750时，-2x2+80%=750,

x2—40%+375=0,

(%-25)(%-15)=0,

*,*x—25,

二当％=25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2；

(3)S=-2x24-80x=-2(%2-40%)=-2(%2-40%+400-400)=-2(x-20)24-800,

二当x=20m时，S有最大值800m2.

16.(2023•江苏徐州•中考真题)如图，正方形纸片力BCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得

到四边形EFGH.设2E的长为灯四边形EFGH的面积为y.

(1)求y关于久的函数表达式；

(2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10?

(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=2x2-8x+16(0<%<4)

⑵当4E取1或3时，四边形EFGH的面积为10；

(3)存在，最小值为8.

【分析】(1)先证出四边形EFGH为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积公式即可解决问

题；

(2)代入y值，解一元二次方程即可；

(3)把二次函数配方化为顶点式，结合其性质即可求出最小值.

【详解】(1)解：•••在正方形纸片2BCD上剪去4个全等的直角三角形,

.­./.AHE=CDGH,4DGH+Z.DHG=90°,HG=HE,

•••Z.EHG=180°-4AHE-乙DHG,

Z.EHG=90°,四边形EFGH为正方形，

在AAEH中，AE=x,AHBEAB-AE4-x,乙4=90。，

HE2=AE2+AH2=x2+(4-x)2=2x2-8%+16,

.•.正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-8x+16；

•••AE,AH不能为负,

0<x<4,

故y关于光的函数表达式为y=2x2-8%+16(0<x<4)

(2)解：令y=10,得2/—8%+16=10,

整理，得K2-4%+3=0,

解得X1=1,x2=3,

故当2E取1或3时，四边形EFGH的面积为10；

(3)解：存在.

正方形EFGH的面积y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8(0<x<4)；

.•.当x=2时，y有最小值8,即四边形EFGH的面积最小为8.

【点睛】本题考查二次函数的应用.解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只需把二次函数表达式配

方化为顶点式，即可求解.

17.(2023•黑龙江大庆•中考真题)某建筑物的窗户如图所示，上半部分△力BC是等腰三角形，AB=AC,

AF-.BF=3:4,点G、H、尸分别是边AB、AC,BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE\\IJ\\MN\\CD,

制造窗户框的材料总长为16米(图中所有黑线的长度和)，设BF=x米，BE=y米.

A

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量支的取值范围；

(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)，并计算窗户的最大面积.

【答案】（l）y=4—警。<*<||）

O

⑵当％=轲，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为,

【分析】（1）由BE=y可表示出〃,MN,CD的长，由=%,AF\BF=3:4可表示出BC,AF,AB,FG,

F”的长，进而可求出y与X之间的函数关系式；

（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答.

【详解】（1）,・,四边形BCDE是矩形，

\BC||DE,

：BE\\IJ\\MN\\CD,

\BE=IJ=MN=CD=y.

：AB=ACfF是边BC的中点,

\BC=DE=2x,AFIBC,

JAF-.BF=3:4,

\AF=—4

,.AB=AC=\BF2+AF2=—.

4

.•点G、H、F分别是边4B、AC的中点,

1qv

\FG=FH=-AB=—,

28

.・.4y=Y16/—2%Cxc2-----5%x2c------5%xc2-----3-%,

z844

•・4y=16-子

.17%

.y=4A------

8

17x、八

4------>0

8

x>0

..。<”不32,

.417%

.丫=4一丁…音）;

（2）设面积为S,

则S=2x（4—等）+3x2xX中

7,

=8%