利用导数研究函数的零点问题（高考高频考点）（ 3大题型+1大易错）（原卷版）-2025年新高考数学

利用导数研究函数的零点问题

（高考高频考点，3大题型+1类易错）

目录

第一部分：题型篇..........................................1

题型一：函数零点（方程根）的个数问题..................1

题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题..............5

题型三：函数的图象与函数零点问题......................9

第二部分：易错篇.........................................12

易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象........12

第一部分：题型篇

题型一：函数零点（方程根）的个数问题

典型例题

1nY

例题1.（23-24高一下•甘肃天水•阶段练习）已知函数7'（x）—UX--------Fu-2,IER.

⑴当a=2时，求曲线），=〃”在点（1,/（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

⑵讨论f（x）的零点个数.

例题2.(浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题)已知。为实数,

〃eN*,设函数=-alnx.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若/'(x)有两个零点，求”的取值范围.

4

例题3.(23-24高二下•安徽芜湖•期中)已知函数=-办2+i2x+6在》=3处取得

极小值-2.

⑴求实数。，6的值；

⑵若函数V=/(x)-彳有三个零点，求实数2的取值范围.

例题4.(23-24高三下•山东青岛•阶段练习)已知函数f(x)=e'

⑴求/(x)的单调递增区间；

(2)求出方程/⑴=eR)的解的个数.

精练高频考点

1.(23-24高二下•黑龙江•期末)已知函数/(%)=("-a+l)e1

⑴若”=1，求“X)的图象在点处的切线方程；

⑵若关于x的方程/(x)=-L恰有两个不同的实数解，求。的取值范围.

e

2.(23-24高二下•陕西汉中•期末)已知函数/(x)=x2-8x+61nx-m.

(1)求〃x)的单调区间及极值点；

(2)若方程/⑺=0有三个不同的根，求整数加的值.(In3。1.09)

3.(23-24高二下•云南曲靖•期末)已知函数/(x)=71.

(1)判断函数/(x)的单调性，并求出/(x)的极值；

(2)设函数g(x)=〃x)-a(aeR),讨论函数g(x)的零点个数.

4.(24-25高三上•湖北武汉•开学考试)已知函数〃无)=x-/iu与函数g(x)=e"-x,其

中a>0.

(1)求/'(x)的单调区间；

⑵若g(x)>0,求a的取值范围；

⑶若曲线'=与x轴有两个不同的交点，求证：曲线y=f(x)与曲线y=g(x)共有三个

不同的交点.

题型二：函数的最值(极值)与函数零点问题

典型例题

例题1.(23-24高二下•江苏南京•期中)已知函数/(x)=e[x2-8)+加.

(1)当俄=0时，求函数了=/(力在点(0,〃0))处的切线方程；

⑵若函数V=/(x)有三个不同的零点，求实数m的取值范围.

例题2.(23-24高二下•北京海淀•期末)已知函数〃x)=(x-l)e-x2.

⑴判断,f(x)在(-8,0)上的单调性，并证明；

(2)求f(x)在(0,+功上的零点个数.

例题3.(23-24高二下•辽宁沈阳•期末)已知函数〃耳=学+°(--1).

(1)当°=0时，求/(x)的极值；

(2)当〃=1时，求/(x)在［1,+8)上的最小值；

(3)当好0时，若/'(x)在(l,e)上存在零点，求。的取值范围.

例题4.(23-24高二下•重庆・期末)已知函数〃x)=xe，.

⑴若关于尤的方程/(x)=上有且只有一个实数根，求实数上的取值范围；

(2)若关于x的不等式/(x)+/(l-x)冷对Vxe1,2恒成立，求实数。的取值范围.

精练高频考点

1.(23-24高二下•贵州毕节•阶段练习)已知函数/(x)=；xL；x2-2x-b(beR)

⑴当6=0时，求/(力在［-2,3］上的值域;

(2)若方程/(x)=。有三个不同的解，求6的取值范围.

2.(23-24高二下•云南玉溪期中)设/(x)=a(x-心+6',曲线(=/(力在点(1J⑴)处

的切线与了轴相交于点(0,6).

(1)求实数。的值；

(2)若函数V=/(x)+6有三个零点，求实数6的取值范围.

3.(23-24高二下•广东惠州•期中)已知函数/(》)=；/一4尤+4.

(1)求曲线y=/⑶的图象在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)若方程f(x)=左有3个不同的根，求实数4的取值范围.

4.(23-24高二下•河南,阶段练习)已知函数/(x)=：+21nx.

⑴求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

(2)求函数〃尤)的零点个数.

题型三：函数的图象与函数零点问题

典型例题

例题1.(2024•陕西榆林•模拟预测)已知函数/(x)=x2-x-alnx.

⑴若函数/(尤)单调递增，求实数"的取值范围；

(2)若函数/(X)有且仅有2个零点，求实数。的取值范围.

例题2.(23-24高二下•山东聊城•期末)已知函数/(x)=(ae'-b)x-e'+b.

(1)当b=0时,求/(x)的单调区间;

⑵若/(x)的导函数/(x)满足/'(X)*/'(-|)恒成立.

(I)求。的值；

(H)讨论/(x)零点的个数.

例题3.（2024高三•全国•专题练习）已知”0且〃片1,函数/（x）=m（x>0）,若曲线

ax

V=与直线y=l有且仅有两个交点，求4的取值范围.

例题4.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（元）=上下的图象在点（0J（0））处的切线方程为

ax+b

2x+y+1=0.

（1）求6的值;

⑵若“外:占有两个不同的实数根，求实数加的取值范围.

2x-l

精练高频考点

1.(2024・云南曲靖•二模)已知函数/(x)=(x+a)e',aeR.

⑴求函数的图象在点7(0J(0))处的切线方程；

⑵讨论方程/(x)=b的实根的个数.

2.(2024・贵州贵阳・二模)已知函数/(x)=czxlnx+L,aeR.

2x

(1)当。=1时.求〃x)在(1,7(1))处的切线方程；

(2)若方程/(x)=d+1存两个不等的实数根，求。的取值范围.

3.(23-24高二下•广东佛山•阶段练习)已知函数/("=。班+/(。为实常数).

⑴当。=-4时，求函数/(x)在［l,e］上的最大值与最小值及相应的x值；

(2)讨论函数的单调性.

⑶讨论函数的零点个数

m

4.(23-24高二下•北京延庆•期末)已知函数/(》)=+ln(x-1),其中加eR.

(x-D2

(1)当"z=1时，求曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程;

(2)若/(x)在(2,+◎上存在极值，求实数加的取值范围；

⑶求/(X)的零点个数.

第二部分：易错篇

易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象

典型例题

例题1.(23-24高二下•四川眉山•期中)已知函数=下+2)x+ltu,其中"R.

(1)求当a>0时,函数y=/(x)在区间［l,e］上的最小值0(。)；

(2)若函数g(x)=/(x)-ax-有两个不同的零点孙X］.

①求实数"的取值范围；

②证明：>e2•

例题2.(2024•天津•模拟预测)已知函数〃x)=ln(x+2)

⑴求曲线y=/(x)在产-1处的切线方程；

(2)求证：e'>x+1;

⑶函数/?(x)=/(x)(X+2)有且只有两个零点，求.的取值范围.

精练高频考点

1.(23-24高一下•内蒙古赤峰•阶段练习)高三年级学生李波研究函数无