利用导函数研究恒（能）成立问题（5题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（原卷版）

重难点01利用导函数研究恒（能）成立问题

明考情・知方向

三年考情分析2025年考向预测

2024年，第20题第（2）问，考察不等式恒成立求利用导数研究不等式恒（能）成立问题，是导数应用

的重点，常涉及函数单调性，最值，常使用变量分离

参数

法，分类讨论法，今后也是天津高考重点考点。

重难点题型解读

题型1不等式恒成立问题（变量分离法）

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，

另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量X的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：若a>/（x））对恒成立，则只需。>/（X）max；若“</（x）对恒成立，则只需

a</（X）mm.

③求最值.

1.（2023•天津红桥•一模）己知函数/（x）=也-h

X

⑴当左=。时，求曲线y=/（x）在点（e"（e））处的切线方程：

⑵若/（x）W0恒成立，求实数％的取值范围；

2.(2023•天津河西•模拟预测)已知/(x)=f—4x—61nx.

⑴求〃x)在(L7•⑴)处的切线方程；

(2)对Vxe(l,+⑹，有矿(“-〃尤)>/+6(1-£|-12恒成立，求％的最大整数解;

3.(2017•安徽・三模)已知函数/(x)=xlnx

⑴求的单调区间和极值；

⑵若对任意xe(O,+e),〃X)XT2+'”-3成立,求实数机的最大值.

4.(2023•天津河北•一模)已知函数〃x)=x-lnx-2.

⑴求曲线y=/(x)在点(L〃l))处的切线方程；

(2)讨论函数〃x)的单调性；

(3)若对任意的xe(l,+oo),都有xlnx+x>%(x-l)成立，求整数上的最大值.

5.(2022•天津•模拟预测)已知函数〃x)=l+ln,+l)(x>0).

⑴试判断函数在(0，+s)上单调性并证明你的结论；

(2)若f(x)>击对于Vxe(0,e)恒成立，求正整数k的最大值;

⑶求证：(l+lx2)(l+2x3)(l+3x4)-1l+〃("+l)]>e2'T.

题型2不等式恒成立问题(分类讨论法)

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以

考虑二次项系数与判别式的方法(a>0,A<0或a<0,A<0)求解.

1.72024.关泽.模拟预测tf(x)=sin%+ln(l+x)-ar,aeR.

⑴求于(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

⑵若/(x)V0恒成立，求。的值；

2.(2024•天津•二模)已知函数/(x)=asinx-ln(l+x).

⑴当a=2时，求曲线y=/(尤)在x=O处的切线方程；

⑵若对Vxe(-1,0]时，f(x)>0,求正实数。的最大值；

3.(2024•天津•二模)已知函数/(%)=1-6，aeR.

⑴若曲线y=〃x)在尤=1处的切线的斜率为2,求。的值；

1丫

(2)当a=0时，证明：Vxe(O,l),f(2x}<——；

1-x

⑶若“对+sin无>1在区间(0,+巧上恒成立，求。的取值范围.

4.(2024高三下•天津•专题练习)己知函数/(x)=axz-21nx.

(1)当。=1时，求>=/(元)在点。，/⑴)处的切线方程；

⑵若对Vxe[l,3],都有恒成立，求。的取值范围；

5.(2023•天津河西•二模)已知函数〃x)=6a-lnx,a^R.

⑴若a=L求函数的最小值及取得最小值时的x值；

e

(2)求证：lnx<e*-1;

⑶若函数”力工屁尤―(a+l)lnx对x«0,y)恒成立，求实数〃的取值范围.

题型3不等式能成立(有解)问题(变量分离法)

00国卷

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数,

另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数(注意分类参数时自变量X的取值范围是否影响不等式的方向)

②转化：土e£>,使得a>/(x)能成立oa〉/(x)min；

BxeD,使得a<f(x)能成立。a</(x)max.

③求最值.

1.(2021・天津宁河•一模)已知函数=aeR.

⑴当a=l时，求函数〃x)的单调区间；

(2)当。=0时，证明工("一"*)Wlnx；

2

(3)若关于x的不等式/(x)V0有解，求实数。的取值范围.

2.（24-25高三上•天津西青•期中）已知函数/'（无）=lnx+26（aeR）.

（1）当。=e时，求函数/（x）在（1,7（1））处切线方程；

⑵求函数，（尤）的单调区间；

⑶若g（x）=/（尤）一2/，不等式g（x）2-1在口,+®）上存在实数解，求实数。的取值范围.

3.（2024•浙江金华•三模）已知函数/（%）=依+xlnx在X=e（e为自然对数的底数）处取得极值.

（1）求实数。的值；

⑵若不等式/詈＞%（1+[]恒成立，求人的范围.

4.（2024高二上•全国・专题练习）已知函数〃x）=lnx-gx2.

⑴求函数〃无）在1,2上的最大值和最小值；

⑵若不等式〃x）＞（2-。）必有解，求实数。的取值范围.

5.(22-23高三上•天津滨海新•期末)已知函数/(x)=xlnx,g(x)=(。+1)尤-。.

⑴当。=1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间；

⑵若存在x«l,e］时，使依-3成立，求a的取值范围.

题型4不等式能成立(有解)问题(分类讨论法)

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以

考虑二次项系数与判别式的方法(a>0,△<0或。<0,A<0)求解.

1.(24-25高三上•天津滨海新•期中)设函数/(x)=］+alnx.

(1)若。<0,求f(x)的单调区间和最小值;

⑵在(1)的条件下，若〃无)存在零点，则讨论在区间他人］上零点个数

⑶若存在"1,使得一岁一<六("1),求a的取值范围.

2.(2023•江西南昌•模拟预测)已知函数/(x)=e*+(l-。)x—lna-lnx(a＞0).

⑴若”=e,求函数的单调区间；

(2)若不等式/(x)＜1在区间(1,也)上有解，求实数。的取值范围.

3.(24-25高三上•天津南开•阶段练习)设函数/(x)=3+alnx.

(1)若。＜0,求/(x)的单调区间和极值；

⑵在(1)的条件下，证明：若存在零点，则，(彳)在区间(0,G］上仅有一个零点;

⑶若存在七21,使得〃尤)一3/一％＜二(4，1),求a的取值范围

2a—1

4.(2024・贵州安顺•二模)己知函数/(x)=e'T-左口-1),丘R.

(1)讨论了(尤)的单调性；

⑵若对任意的左＞0,存在xeR,使得好■(力＜苗+。，求实数a的取值范围.

5.（2023•甘肃金昌•模拟预测）已知函数〃无）=广一6（.20）.

⑴若。=0,求函数的单调区间；

（2）若存在为右卜工?],使〃%）成立，求实数。的取值范围.

题型5不等式能成立（有解）问题（最值定位法）

|0000

(1)3%!eA,\/々eB,使得/(xjNg®)成立=/(xJmax2g(X2)max

(2)Vx；eA,川eB,使得/(为)"(々)成立=/(xJmin2g(X2)min

(3)3XjeA,川eB,使得/(xjNg®)成立=/(%)1mxNgGLn

(4)V%1eA,V%e3,使得/(X1)2g(X2)成立=/(X])mmNg(X2)max

1.(24-25高三上•福建龙岩•期中)已知函数/(x)=：依2-(2a+l)x+21nx+4a(a>0).

⑴求f(x)的单调区间;

⑵设g(x)=d—2x,若对任意占e(0,2],均存在4e(0,2],使得,求实数。的取值范围.

2.(24-25高三上•湖北•期中)己知x=2为函数/(尤)=x(x-c)2-J的极小值点.

e

⑴求C的值；

kx

(2)设函数g(x)=W，若对V占e(0,+co),加eR,使得了区)一(%)20,求上的取值范围.

e

3.(2024高三•全国・专题练习)已知函数〃x)=got2-(2a+l)尤+21n尤(a>0)

⑴求的单调区间；

⑵设g(x)=/-2x,若对任意ae(0,2],均存在(0,2],使得〃石)<8(々)，求实数。的取值范围.

4.(23-24高二下.天津.期中)已知函数/(x)=e£-xT,g(x)=alnx-x

⑴求的单调区间和极值；

⑵若力(x)=-g(x)在[1,2]单调递增，求实数。的取值范围；

⑶当a<0时，若对任意的玉€!,1,总存在-,1,使得〃士尸8伍)，求实数。的取值范围.

ee

5.（23-24高三上・云南曲靖•阶段练习）已知函数/（x）=x+xcosx-2sinx.

（1）求曲线y=/0）在》=兀处的切线方程；

（2）g（x）=x2-3x+a（aeR）,若对任意再e[0,7t],均存在/eR2],使得/（不）<8（当），求实数”的取

值范围.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（24-25高三上•贵州•阶段练习）已知函数/（x）=g尤2-or+lnx,oeR.若有两个极值点玉，龙?，且

/（药）+/（赴）<2&+崂恒成立，则实数力的取值范围为（）

A.——,+°°^B.5'+0°]C.[―A/^,+8）D.^^/2,+coj

2.（2024高三・全国・专题练习）已知对于\/x>0,都有e«+a4上坦，贝山的最大值为（）

A.-1B.--C.--D.-e

2e

3.（24-25高三上仞川成都・期中）函数/z（x）=+房丁不等式从公2-2）+〃（2以）42对VxeR恒成

立，则实数。的取值范围是（）

A.（—2,+oo）B.（—<x）,2）C.2）D.[—2,0]

4.（2024.全国.模拟预测）若关于x的不等式（e-D（lnx+Q"xe"-l在xe1,1内有解，则正实数。的取

值范围是（）

1

A.（0,2+21n2]C.(0,4]D.

2e

二、填空题

5.(2024・浙江・三模)已知函数"x)=(x-2)e*+lnx,g(x)=ax+b,对任意ae,存在xe(0,l)使

得不等式/(x)Ng(x)成立，则满足条件的6的最大整数为.

6.(2024.云南.一模)已知函数/(尤)=。・b%g(x)=lnx+x+2,用M(x)表示“X),g(x)中的较大者,

记作M(x)=max{〃x),g(x)},若M(x)=/(x),则实数。的取值范围是.

三、解答题

7.(23-24高二下•天津静海•阶段练习)已知函数/(x)=ln(2x+〃?)(〃?€R).

2x

(1)当小=1时，讨论函数g(x)=〃尤的单调性；

(2)若不等式/(x)W2x恒成立，求机的取值范围；

⑶在(1)的条件下，设q=g,«„+1=/(«„)(«eN*),且。“>0.求证：当〃22,且weN*时，不等式

5-2),+1〈工-？成立.

2"an

8.(2024•天津武清•模拟预测)已知〃％)=优-靖(x>0,。>0且awl).

⑴当。=2时，求〃x)在x=0处的切线方程；

⑵当a=e时，求证：〃尤)在(e,+a>)上单调递增；

(3)设a>e,已知有不等式"x"。恒成立，求实数。的取值范围.

9.(23-24高三下•重庆•阶段练习)定义：若/7(尤)是，7(x)的导数，//(x)是"(x)的导数，贝I］曲线y=〃(x)在

“(尤)|

点(x,/?(x))处的曲率K已知函数/(X)=e'sinf^+x(g(x)=x+(2a-1)cosx,fa<^-j,曲

［1+恨(尤)『『

线y=g。)在点(o,g(0))处的曲率为也;

4

⑴求实数〃的值；

TT

(2)对任意xe--,0，〃矿(元)Ng，(%)恒成立，求实数机的取值范围;

(3)设方程/(%)=g'(x)在区间［2”n+1,2〃兀+5eN*)内的根为演,马,当，…比较%与匕+2兀的大小,

并证明.

10.(2022・天津西青.模拟预测)已知函数/(x)=e'-ax-a,g(x)="皿"一次+”e(/。)，