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文档简介
热点09立体几何中的平行关系与垂直关系
明考情-知方向
三年考情分析2025考向预测
在天津高考数学中,本部分内容主要分两方面进行考
2022年,第17(1)题,考察线面平行
查,一是以几何体为载体考查空间点、线、面位置关
2023年,第17(1)题,考察线面平行
系的判断,主要以小题的形式出现,题目难度较小;
2024年,第6题,综合考察判断线面平行垂直关系
二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系的证明,
2024年第17(1)题,考察线面平行
属于简单档题。
热点题型解读
题型1空间中线,面平行,垂直关系的判断
©
常以选择题形式出现,可通过借助长方体模型,判断线线,线面,面面的平行或垂直关系
万益君泊E蔗秘孤薪前、浚/为两防港苕布苹氤二兀,丽荫示董吾研i莪:密由示前而题:
①若a,%/?,7,则a〃4;
②若根ua/ua,mllp.nlIp,则a//夕;
③若戊///,/ua,则/〃/;
其中真命题的个数是()
A.1B.2C.3D.0
2.(24-25高三上•天津河北・期末)已知。,夕是两个平面,/,根是两条不同的直线,则下列说法正确的是
(
A.若加〃a,/_La,则机〃/B.若m"a,a1[3,则机_L£
C.若机_La,Z±m,则/〃aD.若a〃尸,m±a,则根_L/
3.(24-25高三上•天津北辰•期末)已知名夕是空间中的两个不同的平面,I,m,〃是三条不同的直线.下列
命题正确的是()
A.若根ua,〃ua,/_Lm,/_L〃,则/_LaB.若相ua,几u£,m_L〃,则
C.若l"in,niua,则///aD.若///犯机//,/_La,则〃_La
4.(24-25高三上•天津和平・期末)已知加,〃为两条不同的直线,a,£为两个不同的平面,则下列说法
中正确的是()
A.若ml/a,〃ua,则m//〃B.若机_La,mlI/3,则a,/
C.若机_La,m±n,贝D.若根//a,a11/3,则zn///
5.(24-25高三上•天津河西•期末)设根4是两条不同的直线,久夕是两个不同的平面,则下列说法中正确
的是()
A.若加//%加//4,则alip
B.若机_La,m_L〃,贝
C.若a_L反机_Lc,则加//4
D.若mLa,m110,则。_L〃
题型2线面平行证明
(1)直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
a亡a
符号表述:bua>na||a
a\\b,
图形语言
b
1.(2024,天津和平•二模)如图,三棱台ABC-A用G中,VABC为等边三角形,AB=2AiBl=4,9,平
面ABC,点N,。分别为AB,AC,8C的中点,LAQ.
B
⑴证明:CG〃平面A〃N;
2.(2024•天津北辰・三模)如图,在四棱锥尸-ABCD中,PD,平面ABCD,ADA,DC,ABIIDC,
AB=AO=;CO=2,PD=2,河为棱PC的中点.
⑴证明:3"//平面PAD;
3.(2024•天津河北•模拟预测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,R4_L平面ABC。,
PA^AB=1,M,N分别是E4,PB的中点.
(1)求证:MN//平面ABCD;
4.(2024•天津・二模)如图,直线尸。垂直于梯形ABCD所在的平面,ZADC=ZBAD=90°,歹为线段Bl
上一点,PO=a,A3=AO=」CO=1,四边形PDCE为矩形.
2
⑴若厂是上4的中点,求证:AC〃平面£)£尸;
5.(2024•天津红桥•二模)在如图所示的几何体中,PAL平面PA//QD,四边形ABCD为平行四
边形,ZABC=6O°,ABAC=90°,AB=PA^\,PQ=272.
Q
--^D
C
(1)求证:直线PB〃平面OCQ;
题型3线线平行证明
0O❽图
直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行
符号表述:a||a,auB,a[}/3=b=>a\\b
简记:线线平行线面平行,______________,
ab
1T2丁2024•正景渔湛珠5”如图,在四棱锥P-ABCD中,'"置‘正赤7♦苹面一万而0。,
ZDAB=ZPCB=^°,CD=1,AB=3,PC=26,平面尸Cfi平面A8C£),尸为线段8C的中点,£为线段
P尸上一点.
_2'—-\-)c
(1)证明:AB//CD;
TT
2.(2024•陕西西安・一模)图1所示的是等腰梯形ABC。,AB//CD,AB=3,CD=1,ZABC=-,DELAB
于£点,现将△ADE沿直线DE折起到△PZ汨的位置,连接P2,PC,形成一个四棱锥PEBCD如图2所
⑴若平面尸CDn平面PBE=/,求证:DC/11-,
3.(2024•河北保定•三模)如图,在四棱锥中,四边形>15C£>为正方形,PAL平面ABCD,且
PA=AB=2.E,尸分别是PA,尸。的中点,平面与P8,PC分别交于M,N两点.
(1)证明:MNIIAD-,
4.(2024,江苏•模拟预测)如图,在四棱台ABCD-AB|G2中,DRl•平面A3CDAD3BC,AD=DC=2,
BC=1,/.BCD-60°,\DX-DXD-1.
⑴记平面AA£>£>]与平面45CC]的交线为/,证明:1//BC;
5.(2024・北京•三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,ZABC=60°9=PC,
⑴设平面PABC平面PCD=/,求证:AB//h
题型4面面平行证明
%
两个平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(定理简述:线面平行,则面
面平行。)
(2)符号语言
au0,bu(3
aC\b=P>=aII。
alla.bIIa
(3)图形语言
1
二一-逛♦音萧百盛二羸防函:茬卤叔吝友加二4吊而吊…后而益苍而诵印满五至考菽节曲,
A}BtBA±平面ABCD,AB=2BBl=2AAi=2AiB],E为线段CD上一点.
⑴若E为线段C。的中点,证明:平面ARE〃平面BCG4.
2.(2024・黑龙江•模拟预测)已知正三棱柱ABC-ABG中,民尸分别为A2,A声的中点,AA,=AB=2.
(1)证明:平面BFCX//平面A]EC;
3.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)如图,在三棱柱中,侧面例£C为矩形,M,N分别为
AC,AG的中点.
(1)求证:平面BMA"/平面gNC;
4.(2024・云南曲靖・模拟预测)如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,M,G,N分别是棱AS,BC,CD
的中点,O,E,尸分别为面BCD,面ABC,面AC。的重心.
A
⑴求证:面OEF〃面ABD;
5.(2024・四川眉山•三模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCL(为菱形,平面尸CD,平面ABC。,
TT
平面E4B,平面ABCDaAEBqCFD是等腰直角三角形,且ZDFC=NBEA=-.
2
⑴证明:平面ABfV/平面CDE;
题型5线面垂直证明
直线与平面垂直的判定定理
(1)直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,
那么该直线与此平面垂直.简记:线线垂直n线面垂直
(2)符号语言:aua,bua,a^\b=P=>IA_a
(3)图形语言:如图
L(2024•江西新余•模拟预测)如图,在平面图形甲中,2AD=2CB=2CD=AB,CD//AB,ADCF与ABCE
分别为以。斜边的等腰直角三角形,现将该图形沿C2CB向上翻折使CE、CF边重合(区/重合于
E),连AE.图乙中,河为所中点.
⑴求证:CE_L平面ABCD;
(2)求证:CM〃平面ADE;
2.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)如图,在三棱柱ABC-A4G中,四边形ACQA是菱形,E、F
分别是AC、4片的中点,平面441GC,平面ABC,A4,=AC=20,ZABC=90°.
(1)证明:3C,平面AEP;
3.(2024・山东威海•一模)如图,在四棱锥尸-ABCZ)中,平面24。_L平面ABCCUPAO为等边三角形,
PD1AB,AD//BC,">=25C,AB=2,M为%的中点.
4.(2024•广东•模拟预测)如图,在三棱柱ABC-A4G中,侧面BgC。是边长为2的菱形,其对角线交
于点。.且49,平面BBGC.
(1)求证:4CJ■平面ABC;
5.(2024•广东河源,模拟预测)如图,四棱锥P-ABCD的底面A3C£>为直角梯形,AD//BC,AD=1,BC=3,
ZABC=45。,△PCD为等边三角形,平面PBC_L平面PCD,PB=屈,M为CD的中点.
(1)证明:平面ABC。;
题型6线线垂直证明
000图
直线与平面垂直的性质定理(定义)
(1)定义转化性质:如果一条直线/与平面a垂直,那么直线/垂直于平面a内所有直线.
(2)符合语言:ILa,buanI上1).
(3)图形语言:
(4)定理应用:线面垂直n线线垂直.
1.心4-25高三上.宁夏石嘴山.期中)如图,唬三冠行■汨-屈病羊,ACYBC,
AC=BC=2,CG=3,点。,E分别在棱和棱CC|上,且AD=1,CE=2,“为棱A片的中点.
(1)求证:1BtD;
2.(24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中)已知矩形ABCD中,AB=4,BC=2,E是C。的中点,如图所
示,沿BE将ABCE翻折至△3FE,使得平面△3FE_L平面ABCD.
⑴证明:BFLAE;
3.(2024•全国•模拟预测)如图,在三棱锥尸-ABC中,已知AR4C为锐角三角形,平面己4C_L平面ABC,
3CLAP,点M是尸3的中点.
⑴求证:BC1PC;
4.(2024,全国•模拟预测)如图,在直四棱柱ABC。-ABC2中,DA=DC=CC1,
AB=AC=BC=2瓜AB_LAD.
G
⑴证明:AC,1BD.
5.(2024•浙江温州•一模)如图,在三棱柱ABC-A与C中,平面ABG,平面ABC,AQ,平面BCC4.
c
(1)求证:BCt±BC;
题型7面面垂直证明
平面与平面垂直的判定定理
(1)定理:如果一个平面过另一个平面的的垂线,那么这两个平面垂直.(线面垂直,则面面垂直)
(2)符号(图形)语言:au(3=a](3
1.(2024•山东淄博•一模)如图,多面体是由一个正四棱锥A-3CDE与一个三棱锥F-ADE拼接
而成,正四棱锥A3CDE的所有棱长均为3&,AF//CD.
(1)在棱。E上找一点G,使得面ABCJL面APG,并给出证明;
2.(23-24高一下•天津滨海新•期末)如图,在棱长均为2的正三棱柱ABC-A瓦G中,E为棱AC的中点.
①求证:直线A片〃平面8GE;
⑵求证:平面BGE,平面ACGA;
3.(23-24高一下•天津武清•阶段练习)已知四边形ABC。为直角梯形,ZADC=90°,AD//BC,AABD为
等腰直角三角形,平面上4D_L平面ABCD,E为的中点,AD=2BC=2也,PA=3PD=3.
(1)求证:3E〃平面「DC;
(2)求证:平面平面尸
4.(23-24高一下•天津静海•阶段练习)如图,在三棱柱ABC-\B}CX中,四边形BCCXBX为菱形,gCB=60°,
分别为BC,AC的中点,AB=BC=C[E=2,AC=20.
(1)求证:平面,平面8CC131;
5.(24-25高二上•上海,期末)如图,在长方体ABCD-ABiGR中AO=e=1,钻=2,点E在棱48上
移动.
⑴当点E在棱A5的中点时,证明:平面。平面EC2;
限时提升练
(建议用时:60分钟)
一、单选题
1.(24-25高三上•天津红桥•期中)设夕是两个不同的平面,/是一条直线,下列命题是真命题的为()
A.若/_Li,a,贝!!/u#B.若/〃a,a"B,贝力
C.若/La,a//j3f则D.若/La,a'B,则
2.(24-25高二上•吉林长春•期中)已知。,夕是两个平面,/,加是两条不同的直线,则下列说法正确的是()
A.若m_Ld/_Lzn,贝心_LiB.若加〃〃夕,则相〃〃
C.若m〃a,/_La,则/_LMD.若。〃2,机〃a,则叫|力
3.(23-24高一下•天津红桥•期末)设加,〃是两条不同的直线,a,夕,/是三个不同的平面,则下列命
题为真命题的是()
A.若a八/二〃,miln,则m//a,mlIPB.若二_L/,(3Vy,则a/6
C.若mua,汨la,则加〃几D.若a//〃,PI!y,mVa,则用_L7
4.(23-24高一下•天津滨海新・期末)已知弓尸是两个不同的平面,也〃是两条不同的直线,则下列说法正
确的是()
A.若mila,mil[3,则a〃尸B.若m_L则机
C.若a工,则机_L/?D.若根则%//a
5.(23-24高一下•天津•期末)已知根,〃是两条不同的直线,a,夕是两个不同的平面,则下列命题中正
确的是()
A.若m//a,n!I[3,a11/3,则相〃几
B.若a_L£,mua,nu0,则根_L〃
C.若nt//a,mln,nVf3,则a//£
D.若根_L尸,n!la,miln,则a_L/7
二、填空题
6.(24-25高三上•天津东丽•阶段练习)已知。,。,/是不同的平面,/
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