立体几何中的平行关系与垂直关系（7题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（原卷版）

热点09立体几何中的平行关系与垂直关系

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

在天津高考数学中，本部分内容主要分两方面进行考

2022年，第17(1)题，考察线面平行

查，一是以几何体为载体考查空间点、线、面位置关

2023年，第17(1)题，考察线面平行

系的判断，主要以小题的形式出现，题目难度较小；

2024年，第6题，综合考察判断线面平行垂直关系

二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系的证明，

2024年第17(1)题，考察线面平行

属于简单档题。

热点题型解读

题型1空间中线，面平行，垂直关系的判断

©

常以选择题形式出现，可通过借助长方体模型，判断线线，线面，面面的平行或垂直关系

万益君泊E蔗秘孤薪前、浚/为两防港苕布苹氤二兀，丽荫示董吾研i莪:密由示前而题:

①若a，％/?，7,则a〃4；

②若根ua/ua,mllp.nlIp,则a//夕；

③若戊///，/ua,则/〃/；

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

2.（24-25高三上•天津河北・期末）已知。，夕是两个平面,/,根是两条不同的直线，则下列说法正确的是

(

A.若加〃a,/_La,则机〃/B.若m"a,a1[3,则机_L£

C.若机_La,Z±m,则/〃aD.若a〃尸,m±a,则根_L/

3.（24-25高三上•天津北辰•期末）已知名夕是空间中的两个不同的平面，I,m,〃是三条不同的直线.下列

命题正确的是（）

A.若根ua,〃ua,/_Lm,/_L〃,则/_LaB.若相ua,几u£,m_L〃，则

C.若l"in,niua,则///aD.若///犯机//，/_La,则〃_La

4.（24-25高三上•天津和平・期末）已知加，〃为两条不同的直线，a,£为两个不同的平面，则下列说法

中正确的是（）

A.若ml/a,〃ua,则m//〃B.若机_La,mlI/3,则a，/

C.若机_La,m±n,贝D.若根//a,a11/3,则zn///

5.（24-25高三上•天津河西•期末）设根4是两条不同的直线，久夕是两个不同的平面，则下列说法中正确

的是（）

A.若加//%加//4，则alip

B.若机_La,m_L〃，贝

C.若a_L反机_Lc,则加//4

D.若mLa,m110,则。_L〃

题型2线面平行证明

（1）直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

a亡a

符号表述：bua>na||a

a\\b,

图形语言

b

1.（2024,天津和平•二模）如图，三棱台ABC-A用G中，VABC为等边三角形，AB=2AiBl=4,9，平

面ABC,点N,。分别为AB,AC,8C的中点，LAQ.

B

⑴证明：CG〃平面A〃N；

2.（2024•天津北辰・三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，PD，平面ABCD,ADA,DC,ABIIDC,

AB=AO=；CO=2,PD=2,河为棱PC的中点.

⑴证明：3"//平面PAD；

3.（2024•天津河北•模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，R4_L平面ABC。,

PA^AB=1,M,N分别是E4,PB的中点.

（1）求证：MN//平面ABCD；

4.（2024•天津・二模）如图，直线尸。垂直于梯形ABCD所在的平面，ZADC=ZBAD=90°,歹为线段Bl

上一点，PO=a,A3=AO=」CO=1,四边形PDCE为矩形.

2

⑴若厂是上4的中点，求证：AC〃平面£）£尸；

5.（2024•天津红桥•二模）在如图所示的几何体中，PAL平面PA//QD,四边形ABCD为平行四

边形，ZABC=6O°,ABAC=90°,AB=PA^\,PQ=272.

Q

--^D

C

(1)求证：直线PB〃平面OCQ；

题型3线线平行证明

0O❽图

直线与平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

符号表述：a||a,auB,a[}/3=b=>a\\b

简记：线线平行线面平行,______________,

ab

1T2丁2024•正景渔湛珠5”如图，在四棱锥P-ABCD中,'"置‘正赤7♦苹面一万而0。，

ZDAB=ZPCB=^°,CD=1,AB=3,PC=26,平面尸Cfi平面A8C£),尸为线段8C的中点，£为线段

P尸上一点.

_2'—-\-)c

(1)证明：AB//CD；

TT

2.(2024•陕西西安・一模)图1所示的是等腰梯形ABC。，AB//CD,AB=3,CD=1,ZABC=-,DELAB

于£点，现将△ADE沿直线DE折起到△PZ汨的位置，连接P2,PC,形成一个四棱锥PEBCD如图2所

⑴若平面尸CDn平面PBE=/,求证：DC/11-,

3.（2024•河北保定•三模）如图，在四棱锥中，四边形＞15C£＞为正方形，PAL平面ABCD,且

PA=AB=2.E,尸分别是PA,尸。的中点，平面与P8,PC分别交于M,N两点.

(1)证明：MNIIAD-,

4.(2024,江苏•模拟预测)如图，在四棱台ABCD-AB|G2中，DRl•平面A3CDAD3BC,AD=DC=2,

BC=1,/.BCD-60°,\DX-DXD-1.

⑴记平面AA£>£>］与平面45CC］的交线为/，证明：1//BC；

5.（2024・北京•三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZABC=60°9=PC,

⑴设平面PABC平面PCD=/,求证：AB//h

题型4面面平行证明

%

两个平面平行的判定定理

如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面

面平行。）

（2）符号语言

au0,bu（3

aC\b=P>=aII。

alla.bIIa

（3）图形语言

1

二一-逛♦音萧百盛二羸防函:茬卤叔吝友加二4吊而吊…后而益苍而诵印满五至考菽节曲,

A}BtBA±平面ABCD,AB=2BBl=2AAi=2AiB],E为线段CD上一点.

⑴若E为线段C。的中点，证明：平面ARE〃平面BCG4.

2.（2024・黑龙江•模拟预测）已知正三棱柱ABC-ABG中，民尸分别为A2,A声的中点，AA,=AB=2.

(1)证明:平面BFCX//平面A]EC；

3.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)如图，在三棱柱中，侧面例£C为矩形，M,N分别为

AC,AG的中点.

(1)求证：平面BMA"/平面gNC；

4.(2024・云南曲靖・模拟预测)如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2,M,G,N分别是棱AS,BC,CD

的中点，O,E,尸分别为面BCD,面ABC,面AC。的重心.

A

⑴求证：面OEF〃面ABD；

5.（2024・四川眉山•三模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCL（为菱形，平面尸CD，平面ABC。,

TT

平面E4B，平面ABCDaAEBqCFD是等腰直角三角形，且ZDFC=NBEA=-.

2

⑴证明：平面ABfV/平面CDE；

题型5线面垂直证明

直线与平面垂直的判定定理

（1）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,

那么该直线与此平面垂直.简记：线线垂直n线面垂直

（2）符号语言：aua，bua,a^\b=P=>IA_a

（3）图形语言：如图

L（2024•江西新余•模拟预测）如图，在平面图形甲中，2AD=2CB=2CD=AB,CD//AB,ADCF与ABCE

分别为以。斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿C2CB向上翻折使CE、CF边重合（区/重合于

E）,连AE.图乙中，河为所中点.

⑴求证：CE_L平面ABCD；

（2）求证：CM〃平面ADE；

2.（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A4G中，四边形ACQA是菱形，E、F

分别是AC、4片的中点，平面441GC,平面ABC,A4,=AC=20，ZABC=90°.

（1）证明：3C，平面AEP；

3.（2024・山东威海•一模）如图，在四棱锥尸-ABCZ）中，平面24。_L平面ABCCUPAO为等边三角形,

PD1AB,AD//BC,">=25C,AB=2,M为%的中点.

4.（2024•广东•模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面BgC。是边长为2的菱形，其对角线交

于点。.且49,平面BBGC.

(1)求证：4CJ■平面ABC；

5.(2024•广东河源,模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD的底面A3C£＞为直角梯形，AD//BC,AD=1,BC=3,

ZABC=45。，△PCD为等边三角形，平面PBC_L平面PCD,PB=屈,M为CD的中点.

(1)证明：平面ABC。；

题型6线线垂直证明

000图

直线与平面垂直的性质定理(定义)

(1)定义转化性质：如果一条直线/与平面a垂直，那么直线/垂直于平面a内所有直线.

(2)符合语言：ILa,buanI上1).

(3)图形语言：

(4)定理应用：线面垂直n线线垂直.

1.心4-25高三上.宁夏石嘴山.期中)如图，唬三冠行■汨-屈病羊，ACYBC,

AC=BC=2,CG=3,点。，E分别在棱和棱CC|上，且AD=1,CE=2,“为棱A片的中点.

(1)求证：1BtD；

2.(24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中)已知矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E是C。的中点，如图所

示，沿BE将ABCE翻折至△3FE,使得平面△3FE_L平面ABCD.

⑴证明：BFLAE;

3.(2024•全国•模拟预测)如图，在三棱锥尸-ABC中，已知AR4C为锐角三角形，平面己4C_L平面ABC,

3CLAP,点M是尸3的中点.

⑴求证：BC1PC；

4.（2024,全国•模拟预测）如图，在直四棱柱ABC。-ABC2中，DA=DC=CC1,

AB=AC=BC=2瓜AB_LAD.

G

⑴证明：AC,1BD.

5.（2024•浙江温州•一模）如图，在三棱柱ABC-A与C中，平面ABG，平面ABC,AQ,平面BCC4.

c

(1)求证：BCt±BC；

题型7面面垂直证明

平面与平面垂直的判定定理

(1)定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)

(2)符号(图形)语言：au(3=a](3

1.(2024•山东淄博•一模)如图，多面体是由一个正四棱锥A-3CDE与一个三棱锥F-ADE拼接

而成，正四棱锥A3CDE的所有棱长均为3&,AF//CD.

(1)在棱。E上找一点G,使得面ABCJL面APG,并给出证明;

2.(23-24高一下•天津滨海新•期末)如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC-A瓦G中，E为棱AC的中点.

①求证：直线A片〃平面8GE；

⑵求证：平面BGE，平面ACGA；

3.(23-24高一下•天津武清•阶段练习)已知四边形ABC。为直角梯形，ZADC=90°,AD//BC,AABD为

等腰直角三角形，平面上4D_L平面ABCD,E为的中点，AD=2BC=2也,PA=3PD=3.

(1)求证：3E〃平面「DC；

(2)求证：平面平面尸

4.(23-24高一下•天津静海•阶段练习)如图,在三棱柱ABC-\B}CX中，四边形BCCXBX为菱形，gCB=60°,

分别为BC,AC的中点，AB=BC=C[E=2,AC=20.

(1)求证：平面，平面8CC131；

5.(24-25高二上•上海,期末)如图，在长方体ABCD-ABiGR中AO=e=1,钻=2,点E在棱48上

移动.

⑴当点E在棱A5的中点时，证明：平面。平面EC2；

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（24-25高三上•天津红桥•期中）设夕是两个不同的平面，/是一条直线，下列命题是真命题的为（）

A.若/_Li,a,贝!!/u#B.若/〃a,a"B,贝力

C.若/La,a//j3f则D.若/La,a'B,则

2.（24-25高二上•吉林长春•期中）已知。，夕是两个平面，/,加是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A.若m_Ld/_Lzn,贝心_LiB.若加〃〃夕，则相〃〃

C.若m〃a,/_La,则/_LMD.若。〃2，机〃a,则叫|力

3.（23-24高一下•天津红桥•期末）设加，〃是两条不同的直线，a,夕，/是三个不同的平面，则下列命

题为真命题的是（）

A.若a八/二〃，miln,则m//a,mlIPB.若二_L/,（3Vy,则a/6

C.若mua,汨la,则加〃几D.若a//〃，PI!y,mVa,则用_L7

4.（23-24高一下•天津滨海新・期末）已知弓尸是两个不同的平面，也〃是两条不同的直线，则下列说法正

确的是（）

A.若mila,mil[3,则a〃尸B.若m_L则机

C.若a工,则机_L/?D.若根则%//a

5.（23-24高一下•天津•期末）已知根，〃是两条不同的直线，a，夕是两个不同的平面，则下列命题中正

确的是（）

A.若m//a,n!I[3,a11/3,则相〃几

B.若a_L£,mua,nu0,则根_L〃

C.若nt//a,mln,nVf3,则a//£

D.若根_L尸，n!la,miln,则a_L/7

二、填空题

6.（24-25高三上•天津东丽•阶段练习）已知。，。,/是不同的平面，/