立体几何中的平行关系与垂直关系（7 题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（解析版）

热点09立体几何中的平行关系与垂直关系

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

在天津高考数学中，本部分内容主要分两方面进行考

2022年，第17(1)题，考察线面平行

查，一是以几何体为载体考查空间点、线、面位置关

2023年，第17(1)题，考察线面平行

系的判断，主要以小题的形式出现，题目难度较小；

2024年，第6题，综合考察判断线面平行垂直关系

二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系的证明，

2024年第17(1)题，考察线面平行

属于简单档题。

热点题型解读

题型1空间中线，面平行，垂直关系的判断

©

常以选择题形式出现，可通过借助长方体模型，判断线线，线面，面面的平行或垂直关系

万益君泊E蔗秘孤薪前、浚/为两防港苕布苹氤二兀，丽荫示董吾研i莪:密由示前而题:

①若a，％/?，7,则a〃4；

②若根ua/ua,mllp.nlIp,则a//夕；

③若戊///，/ua,则/〃/；

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

【答案】A

【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断

【分析】①若a_L7,£_L7,则或a与£相交，即可判断；②若muc,〃u（z,相〃尸,”//尸，则a〃夕

或a与夕相交，即可判断；③利用面面平行的性质定理即可判断.

【详解】解：①若夕，7,£，7,则a〃尸或a与£相交，故①不正确；

②若〃?uc,〃utz,mllp,nlIp,则a//夕或a与夕相交，故②不正确；

③若a〃夕，/ua,则利用面面平行的性质定理可得/〃尸，故③正确.

所以其中真命题的个数是1.

故选：A.

2.（24-25高三上•天津河北•期末）已知夕是两个平面，I,根是两条不同的直线，则下列说法正确的是

（）

A.若m〃a,ILa,则相〃/B.若机〃a,aL/3,则机J_£

C.若租」tz,Z±m,则/〃aD.若a〃尸，mVa,则机J_6

【答案】D

【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一判断四个选项得答案.

【详解】对选项A,若m//a,ILa,则“故A错误；

对选项B,若mlla,aV/3,则加〃尸，mua,或，”与a相交，故B错误；

对于C,若ILm,贝!J///a或/u（z,故C错误；

对于D,若a〃刀，mLa,则加」分，

即一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，D正确.

故选：D

3.（24-25高三上•天津北辰•期末）已知名夕是空间中的两个不同的平面，/,机，〃是三条不同的直线.下列

命题正确的是（）

A.若7〃ua,wua,贝!J/_LaB.若mua,nuJ3,m工n,则a_L/?

C.若I"m,mua,贝lj/〃aD.若///机,,贝

【答案】D

【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直

【分析】对于A：根据线面垂直的判定定理分析判断；对于B：根据面面垂直的判定定理分析判断；对于C：

根据线面平面的判定定理分析判断；对于D：根据平行关系可知〃/",再结合线面垂直的性质分析判断.

【详解】对于选项A：根据线面垂直的判定定理可知：需保证优，〃相交，故A错误；

对于选项B：根据面面垂直的判定定理可知：需推出线面垂直，现有条件不能得出，故B错误;

对于选项C：根据线面平面的判定定理可知：需保证故c错误；

对于选项D：若〃/加,机//〃，则"/〃，

且/_La,所以“_La,故D正确；

故选：D.

4.（24-25高三上•天津和平,期末）已知加，”为两条不同的直线，a,£为两个不同的平面，则下列说法

中正确的是（）

A.若mJla,"ua,则加/乃B.若加」tz,ml1/3,则

C.若m±n,则〃//aD.若mlla,a1113,则加//2

【答案】B

【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】对于A：若m//<2,〃ua,则或机与〃异面，故A错误；

对于B：在月内任取一点尸，设点尸与直线机确定一个平面/,且，c7=人,

由相〃尸，由线面平行的性质定理，可得，n//k,

因为机JLa,所以左_La,因为Gu£,所以a_L/7,故B正确；

对于D：若ml/a,al1/3,则用〃/?或mu",故D错误.

故选：B.

5.（24-25高三上•天津河西•期末）设私〃是两条不同的直线，a,Q是两个不同的平面，则下列说法中正确

的是（）

A.若加///m//月，则。///?

B.若-L-L〃，贝!|〃J_a

C.若_尸则m///

D.若〃2_La,〃z//£,则a_L6

【答案】D

【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直

【分析】根据各项给定的线面、面面的位置关系，结合平面的的基本性质及空间想象判断正误即可.

【详解】A：若加//%加///，则a、£可能平行或相交，故A错；

B：若m_La,m_L〃，则〃//a或〃ua,故B错；

C：若。_L尸，相_La,则加//4或加u4，故C错；

D：若m工a,mml/B,则存在直线〃u/7,使得机//〃，

又加_La,所以〃_La,所以a_L尸.故D对.

故选：D

题型2线面平行证明

00与式

（1）直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

aaa

符号表述：buaa\a

a\\b

图形语言

1.（2024・天津和平•二模）如图，三棱台ABC-A4cl中，VASC为等边三角形，AB=2X1B,=4,44,，平

面ABC,点M,N,£）分别为AB,AC,8C的中点，AyB±AQ.

⑴证明：CG〃平面AMN；

【答案】①证明见解析

【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用CG」“，结合CG2平面得

出CCJ/平面AMN；

【详解】（1）因为侧棱的，底面ABC,VABC为等边三角形，所以过点A作AHLAC,则以为点A为

坐标原点，AC>AH>A4,的方向分别为了轴，，轴，z轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，

设AA长为m(根＞0),则A(0,0,0),241(0,0,m),B(2,273,0),^(2,0,m)

UL1UUUL1

\B=(2,2^3,—m)，AG=(2,0,m),

因为ABLAG，所以4BA£=0,贝!J有4—/=0,m=2.

所以A(0,0,0),B(2,2瓜0),C(4,0,0),C/2,0,2),A(0,0,2),M(1,^,0),N(2,0,0).

ULILUU_ULIU

证明：因为4M=(1,若,一2),4^=(2,0,-2),设平面AMN的法向量为“=(x,y,z),

n.-AM=x+V3y-2z=0,()

则，令x=l,贝＜1々=1，耳」，

Y\•=2x-2z=0.I3,

LlUU

又因为CC]=(—2,0,2).

LILUl

所以CC]r4=—2+0+2=0,所以。。口々，又因为CGu平面AMN,所以CG〃平面AMN.

2.(2024•天津北辰•三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD_L平面ABC。，AD±DC,ABIIDC,

AB=AD=^CD=2,PD=2,M为棱尸C的中点.

（1）证明：®0//平面PAD；

【答案】⑴证明见详解

【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到直线距离的向量求法

【分析】（1）取PO中点N,可得四边形A3MN为平行四边形，从而BM//AN,利用线面平行的判定定

理即可得证；

【详解】（1）取P。中点N,连接AN,MN.

在中，M,N分别为PC,尸。的中点，则肱V〃DC,MN=-DC,

2

因为AB//DC,AB=-DC,则AB//MV,AB=MN,

2

可知四边形ABMN为平行四边形，则氏0//AN,

且为必仁平面尸AD,ANu平面PA。，所以3A///平面PAD

P

3.（2024,天津河北•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，上4_L平面ABCZ）,

PA=AB=1,M,N分别是R4,尸3的中点.

（1）求证："N//平面ABC。；

【答案】（1）证明见解析

【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直

【分析】（1）根据闻N〃AB及线面平行的判断定理，即可证明；

【详解】（1）在424s中，M,N分别是R4,尸8的中点，

:.MN//AB,

又肱V.平面A3CD,

ABu平面ABCD,

4.（2024•天津•二模）如图，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面，NADC=4L4D=90。，歹为线段PA

上一点，PD=j2,AB=AD=^-CD=l,四边形PDCE为矩形.

2

/\yZ/、、

AB

（1）若尸是E4的中点，求证：AC〃平面DE尸；

【答案】⑴证明见解析

【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法

【分析】（1）矩形即CE对角线交点即为线段PC中点，在，B4C内应用中位线定理，即可得证；【详解】

（1）设CPDE=G,连接FG,

因为四边形PDCE为矩形，所以G为尸C中点，

又尸为R4中点，则AC〃尸G,

又FGu平面ZJEF,AC<Z平面£>EF,

所以AC〃平面£>£尸.

5.（2024•天津红桥•二模）在如图所示的几何体中，PAL平面A5CD,PA//QD,四边形ABCD为平行四

边形，ZABC=60°,ABAC=90°,AB=PA=1,PQ=20.

（1）求证：直线PB〃平面DC。；

【答案】⑴证明见解析

【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、面面角的向量求法

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面DC。的法向量”，由;7.瓶=0即可证明；

【详解】（1）因为上4,平面ABC。，NR4c=90。，如图建立空间直角坐标系，

因为四边形A3。为平行四边形，ZABC=60°,NR4c=90。，AB=PA=1,PQ=2也,

则AC=ABtan60o=5BC=^l2+（^）2=2,（DQ-1）2+22=（2A/2）2,

解得OQ=3（负值已舍去），

则尸（0,0,1）,3（1,0,0）,C（0,A/3,0）,£>（-1,V3,o）,以一1,后3）,

所以CD=(TQO),DQ=(0,0,3),PB=(l,0,-l),

rYI'CD——x—0

设平面OC。的法向量为〃=（x,y,z）,贝"，取为=（0,1,0）,

nDQ=3z=0

所以:郎=0，即“_LP8，

又PBo平面。CQ,所以尸3〃平面。CQ.

题型3线线平行证明

1000a

直线与平面平行的性质定理

;如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

；符号表述：aa,au/3,a（3=b=ab

；简记：线线平行二：线面平行

二二一（2024•北京德湛三硬）如图，在四棱锥P-ABCD中，淆殖花"幸而一反方,…^^己"二面。，

^DAB=^PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=2K,平面PCF，平面ABC。，尸为线段BC的中点，E为线段

尸尸上一点.

【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、线面平行的性质

【分析】（1）利用线面平行的性质定理即可证明；

【详解】（1）因为直线A5〃平面PCD,A3u平面ABC。，

且平面A8CZ））平面PCD=CD,所以AB〃CD；

TT

2.（2024•陕西西安•一模）图1所示的是等腰梯形ABC。，AB//CD,AB=3,CD=1,ZABC=-,DELAB

于E点，现将△AOE沿直线。E折起到△POE的位置，连接PB,PC,形成一个四棱锥PEBCD,如图2所

⑴若平面PCOn平面P8E=/,求证：DC//1；

【答案】（1）证明见解析

【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面垂直、线面平行的性质

【分析】⑴易证CD〃平面尸8瓦根据线面平行的性质可知DC//1.

【详解】（1）由题，BE//CD,BEu平面PBE,CD0平面PBE,

所以CD〃平面尸3及

又平面PCOc平面P8E=/,CDu平面PCD,

所以DC//1.

3.（2024•河北保定•三模）如图，在四棱锥尸-MCD中，四边形ABC。为正方形，PAL平面ABCD,且

PA=AB^2.E,歹分别是PA,尸。的中点，平面EFNM与PB,PC分别交于M,N两点.

（1）证明：MNUAD-,

【答案】（1）证明见解析；

【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、线面平行的性质

【分析】（1）根据给定条件，利用线面平面的判断、性质推理即得.

【详解】（1）由E,尸分别是PA,的中点，得AT>//£F,

在正方形ABCD中，AD//BC,则防〃BC,

而EFu平面ERVM,3CtZ平面£7叭拉，于是BC//平面ERVM,

又BCu平面P3C,平面PBC1平面EFM0=A£V,EFu平面EFMI/,

因此3C〃肱V,所以肱V//AD.

4.（2024•江苏•模拟预测）如图，在四棱台ABa>-A4G2中，DR,平面ABCDAD//BC,AD=DC=2,

BC=1,ABCD=60,AjDl=DtD=1.

⑴记平面AAD2与平面片BCG的交线为/,证明：1//BC；

【答案】⑴证明见解析

【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、线面平行的性质

【分析】（1）利用线线平行证明线面平行，再由线面平行即可证线线平行;

【详解】（1）

因为AD//BC,短><=平面4人£>2，8c</平面\ADD.,

所以BCH平面A.ADD,.

又BCu平面BiBCQ,平面AADD,平面耳BCC】=/,所以//ABC.

5.（2024•北京•三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZABC=60°,PA=PC,

“为中点，PC=3NC.

⑴设平面EWc平面PCD=/,求证：AB//1-

【答案】①证明见解析；

【知识点】证明线面平行、空间向量垂直的坐标表示、线面角的向量求法、线面平行的性质

【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得.

【详解】（1）在四棱锥尸-ABCZ）中，底面ABC。是边长为2的菱形，则AB〃CD,

而AB<z平面PC。,CDu平面PCD,于是AB〃平面PCD,

又ABu平面上4B,且平面R4Bc平面PCD=/,所以AB///.

题型4面面平行证明

00混

两个平面平行的判定定理

i如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面

I

面平行。）

I

（2）符号语言

I

au/3,bu§

aC\b=P>=aIIB

alla,blla

（3）图形语言

1.（2024•甘肃白银•一模）如图，在四棱台-A与GR中，底面ABCD和A4GA均为正方形，平面

\BXBA±平面ABCD,AB=2BB、=29=24瓦,E为线段CD上一点.

BC

（1）若E为线段CD的中点，证明：平面A2E〃平面BCG4.

【答案】（1）证明见解析

【知识点】证明面面平行、线面角的向量求法、已知线面角求其他量

【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明即可得出结论；

【详解】（1）证明：a4GA是正方形，.〔4。〃4G.

QARa平面BCG4,21Gu平面BCCJBJ,.-.AiDl//平面BCClBl.

•.・平面平面A耳GA，平面co2cli平面ASCD=CD,平面CDAG平面A4CQ=G2，；.C。

//G2.

由题意得CO=2G2，E为CD的中点，.•.CEaGA.CEnG，，

四边形2GCE为平行四边形，QE//GC

DtEU平面BCC[Bi，GCu平面BCCXBV:.DXE//平面BCClB]

.AD】cRE=2，；.平面ARE//平面BCClBl

2.（2024•黑龙江•模拟预测）已知正三棱柱ABC-A4G中，E,尸分别为A8,$用的中点，AAi=AB=2.

ABi

AEB

⑴证明:平面BFCJ/平面AEC；

【答案】（1）证明见解析

【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、线面角的向量求法

【分析】（1）借助线线平行关系，先证8R〃平面AEC,BG〃平面AEC,从而可得面面平行;

【详解】（1）E,歹分别为AB,A瓦的中点，所以4尸=防，4尸//防，

四边形4以£为平行四边形，所以

而O平面A.EC,AtEu平面AtEC,所以3R〃平面^EC,

连接AG交AC于。，连接OE,显然。是AG的中点，因为E为48的中点，

所以OE//BG，而BG。平面4EC,OEu平面AEC,所以BC"/平面4EC,

又BQcBF=B,BC{u平面BFC{,BFu平面BFQ,所以平面BFCJ1平面\EC.

3.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）如图，在三棱柱ABC-ABIG中，侧面为矩形，M,N分别为

AC,AG的中点.

⑴求证：平面即依//平面耳NC；

【答案】⑴证明见解析

【知识点】证明线面平行、证明面面平行、求线面角、由二面角大小求线段长度或距离

【分析】（1）只需运用两次线面平行的判定定理分别证明AM”平面与NC,以及加欣//平面片NC,最

后再结合面面平行的判定定理即可得证；

【详解】（1）因为N分别为侧面441c0为矩形的边AC,4G的中点，

所以AM//AN,4M=AN,即四边形4VW是平行四边形，

所以A41I/MN,AA,=MN,

因为84//AV24，

所以BBJ/MN,BB}=MN,即四边形BB、NM是平行四边形，

所以BM//BN,

因为平面BiNC,B]Nu平面片NC,

所以//平面片NC,

因为M,N分别为侧面441cC为矩形的边AC,4G的中点，

所以MC〃4N,MC=AN,即四边形MCNA是平行四边形，

所以&I1//NC,

因为平面片NC,CNu平面用NC,

所以AM//平面耳NC,

因为AM//平面片NC,且BMCM41=M,BMu平面2加4，八叫＜=平面8M4，

所以平面BM\II平面BtNC,

H._____________Bi

4.（2024・云南曲靖・模拟预测）如图，四面体A3C。的每条棱长都等于2,M,G,N分别是棱AS,BC,CD

的中点，O,E,尸分别为面BCD,面ABC,面AC。的重心.

A

⑴求证：面OEF〃面ABO；

【答案】（1）证明见解析

【知识点】证明面面平行、求二面角、由线面平行求线段长度

【分析】⑴连接GN,利用平行的传递性可以证明防〃3。，禾U用对应成比例可以证明EO〃AT）,从而

得证面面平行；

【详解】（1）如图，连接GN,G。易知G,。。三点共线

因为。E,尸分别为面3CD,面ABC,面AC。的重心，

AFAF?

所以在▲AGN中，—————=彳，所以EF//GN，

AGAN3

在△CB。中，所以GN分别是棱5C,CD的中点，所以GN//BD,

所以£F〃BD,

又EFa平面ABD,BDu平面ABD,所以所〃平面ABD,

在GAD中，——=——~=—,所以EO//AD,

CJUCJA3

又EOZ平面ABD,ADu平面ABD,所以EO〃平面ABO,

又因为EFcOE=E,E£OEu平面OE尸，

所以面OEP〃面ABD

5.（2024•四川眉山•三模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCL（为菱形，平面BCD_L平面AB8,

71

平面平面ABC。，AEB，CFD是等腰直角三角形，且NDFC=/BE4=耳.

⑴证明：平面A&F〃平面COE；

【答案】(1)证明见解析

【知识点】证明线面平行、证明面面平行、求平面的法向量、面面角的向量求法

【分析】⑴取的中点M,N,连接ME,EN,NF,FM,由已知可证万FN=ME,进而可

得A/EVF为平行四边形，可得初尸〃EN,可证A1F〃平面CDE,进而可得AB〃平面CZJE,可证结论.

【详解】⑴如图，取AB,CO的中点MN,连逢ME,EN,NF,FM.

因为AEB是等腰直角三角形，故FNLDC,平面尸平面ABCZ),

平面FCDc平面ABCD=CE>,RVu平面bC£),

所以印，平面ABCD.

同理，£仪1,平面ABCD

所以尸N〃ME.

又，A£B和△CTO是等腰直角三角形，四边形A5C。为菱形，所以FN=：DC=ME,

2

四边形MENF为平行四边形，所以MF〃EN,

ENu平面CDE,平面CDE,所以MF//平面CDE,

又因为AB〃CD,CDu平面CDE,AB(Z平面CDE,所以AB〃平面CDE,

又ABMF=M,AB,MFu平面AB尸，

所以平面ABF〃平面CDE.

题型5线面垂直证明

直线与平面垂直的判定定理

(1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,

那么该直线与此平面垂直.简记：线线垂直n线面垂直

(2)符号语言：I_La,/_!_/?,aua,bua,a\b=PnILa

(3)图形语言：如图

1.（2024•江西新余•模拟预测）如图，在平面图形甲中，2AD=2CB=2CD=AB,CD//AB,DCF与.BCE

分别为以。F,班斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿C2C3向上翻折使CE、B边重合（E、尸重合于

E）,连AE.图乙中，M为EB中点.

（1）求证：CE_L平面ABC。；

⑵求证：CM〃平面ADE；

【答案】⑴证明见解析

（2）证明见解析

【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面角的向量求法

【分析】（1）应用线面垂直判定定理证明即可；

（2）应用线面平行判定定理证明即可；

【详解】（1）图乙中，由题意知NZ）CE=/BCE=90。，所以CEJ_CD,CE1CB

CDcCB=C,CD、CBu平面ABC。，所以CE_L平面ABC。；

（2）取AE中点为N,由于M为中点，

故肱V〃AB且IMN=结合2AD=2CB=2CD=AB,CD!/AB

2

所以MN〃DC且MN=DC,

故四边形NMCD为平行四边形，

所以CM//DN,而DNu平面ADE,平面ADE,

故CM//平面ADE

2.（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）如图，在三棱柱A8C-a与G中，四边形ACC^是菱形，E、F

分别是AC、4片的中点，平面MGC，平面ABC,A4,=AC=20,ZABC=90°.

（1）证明：3。，平面4£尸；

【答案】（1）证明见解析

【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法

【分析】（1）取BC的中点Af,连接EM,B\M,可证得3CLEM,由面面垂直证明AE，平面ABC,

可得AEj.BC,进而证得平面4口"即可证得结论.

【详解】（1）取BC的中点连接加0,BM,

11

所以EM〃—A氏EM=—AB,又因为3CLAB,所以

22

因为四边形ACC]A是菱形，E是AC的中点，A4,=A^C=2y/2,所以AE_LAC,

又平面AAGC，平面ABC,平面A41cC-平面ABC=AC,4后匚平面人^^。，

所以HE,平面ABC,BCu平面A3C,所以

因为EMcAE=瓦EM,4Eu平面EMB、A,所以BC_L平面EMB^,

又EMA.F,EM=\F,所以四边形M吗F为平行四边形，

所以M,E，A*四点共面，则3CL平面AE尸.

3.（2024•山东威海•一模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面24。_L平面ABC。，PAD为等边三角形，

（1）证明：DM_L平面B1B；

【答案】⑴证明见解析

【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法

【分析】（1）取AD的中点。，连接尸O,由面面垂直得POL平面ABCD,从而得POLAB,再由线面垂

直的判定定理证得线面垂直平面PAD,得证然后再由线面垂直的判定定理证得结论成立.

【详解】（1）取AD的中点0,连接尸。，

因为△「相＞为等边三角形，所以「OLAD,

因为平面尸ADJ_平面A3C£>,平面E4£）c平面A8C£）=AD,POu平面PAD,

所以PO_L平面ABC。，ABu平面ABC。，所以PO_LAB,

因为PDLAB,尸。cPO=尸，PZ）,P0u平面PAD,所以AB,平面PAD,

因为。A/u平面PAD,所以AB_LDVf,

因为△PAD为等边三角形，M为出的中点，所以£）A/_LR4,

因为ABPA=A,AB,PAu平面pLF,

所以D/01,平面E4B.

4.（2024•广东•模拟预测）如图，在三棱柱4BC-A瓦G中，侧面BBCC是边长为2的菱形，其对角线交

于点。.且AO,平面B4GC.

（1）求证：4CL平面ABC1；

【答案】（1）证明见解析

【知识点】证明线面垂直、求二面角、面面角的向量求法

【分析】（1）通过证明与CL8G，A。，4c可证明结论；

【详解】（1）证明：因为四边形叫C。是菱形，所以qCL8G，

又因为40,平面8片GC,且4Cu平面8瓦GC,所以AO,4c.

又AOcBG=O,AO,8£u平面ABC一所以8（，平面ABQ.

5.（2024•广东河源•模拟预测）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABC。为直角梯形，AD//BC,A£>=1,BC=3,

ZABC=45,△PCD为等边三角形，平面P3C，平面PCO,PB=5〃为CD的中点.

（1）证明：PM_L平面ABC。；

【答案】⑴证明见解析

【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法

【分析】（1）由等边三角形三线合一得到尸河，8,在直角梯形中通过已知边和角求得CO长，由勾股定

理得到加长，再由勾股定理逆定理得到BC±PC,结合面面垂直，得到平面PCD,然后得到8C，尸河，

然后得证PM±平面ABCD；

【详解】（1）因为△产□）为等边三角形，M为CD的中点，

所以PM_LCD.

过A作AE_LBC,垂足为E,

因为底面ABC。为直角梯形，AD//BC,AD=1,BC=3,ZABC=45,

所以BE=AE=2,则CD=PC=2,

由PB=岳得BC?+PC?=,所以3C_LPC

因为平面尸BC_L平面PCD,且平面平面PCD=PC,BCu平面PBC,

所以BC_L平面PCD.

因为PMu平面PCD,所以3C_LPM.

又BCcCD=C,BC,CDu平面ABCD,所以PM_L平面ABC。.

题型6线线垂直证明

直线与平面垂直的性质定理（定义）

（1）定义转化性质：如果一条直线/与平面。垂直，那么直线/垂直于平面a内所有直线.

（2）符合语言：ILa,bua=lLb.

（3）图形语言：

（4）定理应用：线面垂直n线线垂直.

1.（24-25高三上•宁夏石嘴山•期中）如图，在三棱柱A3C-A与G中，CG，平面ABC,ACLBC,

AC=BC=2,cq=3,点。，E分别在棱A4和棱CC］上，且AD=1,CE=2,M为棱4月的中点.

(1)求证：QM1BtD;

【答案】⑴证明见解析

【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、面面角的向量求法、已知面面角求其他量

【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示可得£河-4。=0,即可证明;

【详解】（1）由题意知，CCtlCB,CCt±CA,AC±CB,建立如图空间直角坐标系C-孙z,

则C(0,0,0),G(0,0,3),4(0,2,3),0(2,0,1),"(1,1,.3),

所以。幽=(1,1,0),BXD=(2,-2,-2),

得C]A/.4Z）=0,所以GM，BQ.

2.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）已知矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E是CD的中点，如图所

示，沿BE将，BCE翻折至△BFE,使得平面△BFE_L平面ABCD.

（1）证明：BFLAE;

【答案】（1）证明见解析

【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求

法

【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直；

【详解】（1）因为42。矩形，AB=4,BC=2,E是CD中点，所以AE=3E=2应，

又AB=4,所以4^+台左二他?，所以至上班，

因为平面3EF_L平面ABCD,平面3EPI平面ABCD=8E,AEu平面ABCD,

所以隹上平面跳广，又班'u平面BEF,

所以M_LAE.

3.（2024•全国•模拟预测）如图，在三棱锥尸-ABC中，已知7^4c为锐角三角形，平面P4C，平面ABC,

3CJ_AP,点〃是PB的中点.

B

（1）求证：BC工PC；

【答案】⑴证明见解析

【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法

【分析】（1）过点尸作尸DLAC于点。，由面面垂直的性质得到尸平面ABC,再根据线面垂直的判定

定理与性质证明BC_1平面PAC,进而得到BCA.PC.

【详解】（1）如图，过点尸作PDLAC于点£）,

因为平面尸AC1■平面ABC,平面PACI平面ABC=AC,PDu平面PAC,

所以PD_L平面ABC.

又BCu平面ABC,所以PDJ_3C.

又BC_LAP,PDAP=P,PD,APu平面PAC,

所以3C_L平面PAC.

因为PCu平面PAC,所以3C_LPC.

4.（2024•全国•模拟预测）如图，在直四棱柱ABCD-ABGD中，DA=DC=CQ,

AB=AC=BC=2拒,AB±AD.

A

⑴证明：AQ±BD.

【答案】⑴证明见解析

【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法

【分析】（1）由题易知AC13D,CC,1BD,由线面垂直的判定定理可证比）上平面ACC|A,由线面垂

直的性质定理可证AG±BD.

【详解】（1）因为AD=CD,AB=CB,BD=BD,

所以△ABD/Z\CBD,所以ZABD=NCBD,

所以AC1BD,

在直四棱柱A8CZ）—4片。[2中，CQ-L，面ABCZ）,8Du平面ABCZ）,

所以CG^B。，

又CC|AC=C,CC[,ACU平面ACC]A,

所以3£>2平面ACGA,

又AQu平面ACGA，所以AG，8。；

5.（2024•浙江温州•一模）如图，在三棱柱ABC-A4G中，平面A2G，平面ABC,AG，平面BCC4.

（1）求证：BC11BC-

【答案】①证明见解析

【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量

【分析】（1）过C1作C|EJ.AB于点£,然后根据面面垂直的性质定理得GE，面ABC,然后再利用线面

垂直的性质定理得C|E，BC,同理AG^BC,然后再利用线面垂直的判定定理得3CL面ABG，然后用

线面垂直的性质定理得BQ_L8C；

【详解】（1）过C1作于点E,

因为平面ABG，平面A3C,所以CEL面ABC,

因为BCu面ABC

所以

又因为AG，平面8CC#,所以AGL5C,

而AC['GEMCI.ACKGEU面4BC],

所以BC，面4BG，

因为u面ABQ

所以BQJ_8c

题型7面面垂直证明

00目©

平面与平面垂直的判定定理

（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.（线面垂直，则面面垂直）

（2）符号（图形）语言：aJ_a,au（3=a1/3

1.（2024•山东淄博・一模）如图，多面体A8CQE9是由一个正四棱锥A-3CDE与一个三棱锥F-ADE拼接

而成，正四棱锥A3CAE的所有棱长均为30,AFHCD.

（1）在棱。E上找一点G,使得面45。，面4/6,并给出证明；

【答案】（1）当点G为。E中点时，证明见解析

【知识点】求点面距离、证明面面垂直、线面角的向量求法

【分析】（1）当点G为DE中点时，面48。_1_面4尸。，利用面面垂直的判定即可证明；

【详解】（1）当点G为DE中点时，面ABC,面A/C,

证明如下：因为四棱锥A-3CDE是正四棱锥，所以An=AE,AG，DE.

在正方形3a组中，DE//BC,所以AG_L3C,

在正方形3CDE中，CD1BC,因为AF〃CD,所以AblBC,

因为AFcAG=A,AF,AGu面AFG,

所以BC_L面A尸G,

因为BCu面A3C,所以面45€7_1面4八7.

2.（23-24高一下•天津滨海新•期末）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC-A耳G中，E为棱AC的中点.

⑴求证：直线4月〃平面8GE；

（2）求证：平面8GE，平面ACGA；

【答案】⑴证明见解析；

⑵证明见解析；

【知识点】证明线面平行、求线面角、证明面面垂直

【分析】（1）连接百C交BG于点G,根据线面平行的判定定理可得A用〃平面8GE；

（2）根据面面垂直的判定定理可得平面BGE,平面ACGA；

【详解】⑴连接与C交8G于点G,连接EG.

.,在△AB。中，G为用C的中点，E为AC的中点.

；.EG是△48。的中位线，

EG//AB,,

.成;匚平面86及4耳0平面26片，

AB]〃平面BQE；

（2）在正三棱柱ABC-A4G中，

CC,1平面ABC,EBu平面ABC,

CCj_LEB,

在等边VABC中，E为AC的中点，

ACLEB,

又CG，AC是平面ACG4内的两条相交直线，

，E3_L平面ACC|A,又£Bu平面8GE,

平面BC\E±平面AC£A；

3.（23-24高一下•天津武清•阶段练习）已知四边形ABC。为直角梯形，ZADC=90°,AD//BC,△ABQ为

等腰直角三角形，平面R1D_L平面A3C£>,E为总的中点，AD=2BC=2及,PA=3PD=3.

E

BC

(1)求证：BE〃平面PDC；

(2)求证：平面P4B_L平面尸3D.

【答案】①证明详见解析

⑵证明详见解析

【知识点】证明面面垂直、证明线面平行、求异面直线所成的角

【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理来证得3E〃平面PDC；

(2)通过证明AB_L平面尸来证得平面N4B_L平面尸3D.

【详解】(1)设尸是尸。的中点，连接EECT,

由于E是R4的中点，所以砂是三角形PAD的中位线，

所以EF//AD,EF=-AD,而BC//AD,BC=-AD,

22

所以EF//BC,EF=BC,所以四边形3CFE是平行四边形，

所以BE//CF,由于3EU平面PDC,bu平面PDC,

所以3E〃平面PDC.

(2)由于尸£)2+AD2=92,所以尸£>j_AO,

由于平面尸AD_L平面A3CZ)且交线为AD,PDu平面尸AD,

所以PD_L平面ABC。，由于AB,5D,CDu平面ABCD,

所以尸£>J_AB,PD±BD,PD±CD.

由于AB，BD,PDBD=D,PD,BDu平面PBD,

所以AB_L平面尸3D,

由于Afiu平面上4S,所以平面PAB_L平面尸3£).

4.(23-24高一下•天津静海,阶段练习)如图,在三棱柱ABC-44G中，四边形BCC{B1为菱形，NQCB=60°,

£),E分别为3C,AC的中点，AB=BC=C1E=2,AC=2y/2.

⑴求证：平面GDE，平面BCC出；

【答案】（1）证明见解析

【知识点】证明面面垂直、求点面距离、锥体体积的有关计算

【分析】（］）由勾股定理逆定理得到由中位线定理得到线线平行,得到DEL3C,BCG为等

边三角形，得到线线垂直，故。平面BCG用，从而证明面面垂直；

【详解】（1）由AB=3C=2,AC=2VL可得A*+BC2=AC2,

所以ABJ_3C,

.2E分别为BC,AC的中点，

：.DE//AB,S.DE=-AB=l,:.DE±BC,

2

连接BG，由题可得.BCG为等边三角形，=

22

又C.E=2,.\CQ2+DE=QE,/.DE1CtD,

又C、DcBC=D,且CQ,BCu平面8CCI4，

;.DE_L平面BCGB，

又。Eu平面GOE,

二平面GOEL平面BCGg.

5.（24-25高二上•上海•期末）如图，在长方体ABCZ）-AgGR中AO=AA1,AB=2,点E在棱A3上

移动.

⑴当点E在棱A3的中点时，证明：平面。平面EC，；

【答案】①证明见解析

【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、已知线面角求其他量、面面角的向量求法

【分析】（1）建立空间直角坐标系，先证明DELCE，再应用线面垂直判定定理证明CEL平面

最后应用面面垂直判定定理证明；

【详解】（1）

如图，以£）为坐标原点，DC,。。所在直线为无轴，＞轴，z轴，建立空间直角坐标系，AD=AAi=l,

AB=2,

则。（0,0,0）,R（0,0,1）,E（l,l,0）,C（0,2,0）,

即DE=（1,1,0）,CE=（l,-l,0）,

因为DE-CE=l*（-l）+lxl+0x0=0,

所以。ELCE，即OELCE,又因为DR，平面ABC。，CEu平面ABC。，所以

CE±DD},DDXDE=D,DR,DEu平面DD[E,

所以CEL平面。RE,CEu平面EC，，所以平面平面EC，.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（24-25高三上•天津红桥•期中）设a,夕是两个不同的平面，/是一条直线，下列命题是真命题的为（）

A.若/_La,a±j3,则/u/7B.若/〃a,a〃/，