立体几何中的截面问题（七大题型）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

特训10立体几何中的截面问题(七大题型)

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集

(交线)叫做截线.

1.作截线与截点的主要根据：

(1)确定平面的条件.

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

(4)线面平行的性质定理。

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.

2.立体几何图形中有关截面的做法：

①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。

②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点；

③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点。

④面面平行的性质定理。

⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平而找出棱上的交点；

若已知点在体内，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点.

正方体的基本斜截面：

锐角三角形等腰三角形

⑴⑵

等边三角形梯形

(3)(4)

平行四边形菱形

(5)(6)

矩形任意五边形

⑺(8)

任意六边形正六边形

(9)(10)

题型归纳49

目录：

♦题型01：三棱柱

♦题型02：四棱锥

♦题型03：棱台

♦题型04：侧棱垂直于底面

♦题型05：正方体、长方体

♦题型06：其他多面体

♦题型07：三棱锥

♦题型08:折叠问题

♦题型01：棱柱（含正方体）

1.（2023・辽宁抚顺•模拟预测）在直四棱柱/BCD-44GA中，底面⑵为平行四边形，AB=26,

BC=M'"4,-噜，过点8作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱利于点

MD

跖则麻=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先结合截面为正方形，借助中位线转化得到的关系，再利用余弦定理分别求解底

面对角线NC,a）,然后由垂直关系及截面正方形，借助长度相等，利用勾股定理建立尸40c的方程组，求

解转化即得所求比值.

如图，设截面分别交工4,CG于点尸，Q,

连接尸。，BM,设交点。'，连接NC,AD,设交点。,

由已知截面为正方形，则。是BM,的中点，

底面N5CD为平行四边形，则。是5。，/C的中点，

又PAHBB\,BBJ/CQ,贝iJP/〃CQ,

则00,是ABDM的中位线，也是四边形PACQ的中位线.

设尸/=x,CQ=y,

i^MD=200'=PA+CQ=x+y,

^PB-=BQ2,得八8=/+5,

化简得/+3=/（*）,且x<y,

由直四棱柱ABCD-481GA知，4,，平面ABCD,

又4Cu平面N3CD,则

则四边形P4C。为直角梯形.

由cosN/8C=-叵，得cosN8CZ）=巫，

1010

在△3CD中，由余弦定理得瓦52=5+8_2x指x2亚*巫=9,

10

解得2D=3,同理可得NC=JI7,

如图，在直角梯形尸/CQ中，在CQ上取点S,使CS=/P=x,

由=PQ2,^MD-+BD-=PS-+QS2^AC2+QS2,

即（x+y『+9=（y-x『+17,化简得孙=2,

与（*）联立，解得x=l,歹=2,

所以〃。=3,则O|M=1,

验证知，此时四边形为必生。为正方形，满足题意.

故选：B.

2.（2023•江西赣州•模拟预测）在直四棱柱23CD-44GA中，底面/2C。是边长为2的正方形，侧棱

44=3,E是5c的中点，尸是棱CG上的点，且CF=gc£,过4作平面a,使得平面a〃平面/£凡则

平面二截直四棱柱/BCD-44，所得截面图形的面积为（）

A.-B.—C.3D.V19

22

【答案】A

【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解.

如图，取4，G的中点在上取一点使得用H=连接4MH0,4”,如上图,

则4A斯，4^0/^=M,/片口£尸=£,平面4HM,

NE,u平面/斯，.,.平面4EF〃平面4HW；

即过4点平行于平面/斯的平面截四棱柱45。-4与GA的图形是三角形4府,

其中BM=；BBi=l，AH=#,4M=4i,MH=血,

COS/M4〃="M+4"一皿=3,；.sin/Af4H=3,s=-A,M>A.HsmAMAH=-,

1515s2i112

故选：A.

3.（2024•安徽安庆・三模）在正方体/BCD-44GA中，点E,尸分别为棱/B,4D的中点，过点及尸,G三

点作该正方体的截面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱84的交点是棱8片的一个三等分点

C.4CJL平面GE尸

D.平面442〃平面尸

【答案】B

【分析】将线段£尸向两边延长，分别与棱CH的延长线，棱的延长线交于G,H,连C|G，G”分别与棱

BPBG1

BB”DDl交手P,Q,可判断A；利用相似比可得7^="=”可判断B；证明4。，平面8CQ即可判断

C；通过证明4C，平面/耳〃，可判断D.

【解析】对于A,将线段E尸向两边延长，分别与棱磁的延长线，棱CD的延长线交于G,",

连GGG”分别与棱8纵交于尸,0,得到截面多边形GPE股是五边形，A错误；

对于B,易知△/斯和ABEG全等且都是等腰直角三角形，所以G8=/尸=：8C,

BPBG1BP1

所以Kh=7万=W，即片■=［，点尸是棱的一个二等分点，B正确；

CrCJn/Jjj

对于C,因为4月，平面BCG4，8C1U平面8CC百，所以

又BCILB©,44nBe=4，4片,4Cu平面4»C，所以8。，平面』4C,

因为4Cu平面430,所以4CL2G，同理可证4CL8。，

因为ADc3G=8,5。,2。U平面8G。，所以4C，平面BQD,

因为平面BCQ与平面GE尸相交，所以4c与平面。山尸不垂直，C错误；

对于D,易知BG//AD\,BD//BQ\,所以4c_LAD,,A,C1B,D,,

又cBQ1=A,AD,,BlDluABR,所以4。_L平面AB{D1,

结合C结论，所以平面GE尸与平面/4。不平行，D错误.

故选：B.

♦题型02：棱锥

4.（2024・重庆渝中•模拟预测）在三棱锥P-N8C中，AC=BC=PC=2,^ACVBC,PCL^ABC,it

点尸作截面分别交NC,8c于点瓦尸，且二面角尸-EF-C的平面角为60。，则所得截面P斯的面积最小值

为（）

482

A.-B.-C.-D.1

333

【答案】B

【分析】由二面角的定义可得PGC=60。，从而尸G=述,CG=2叵，设CE=a,CF=b,由三角形的面积

33

O

相等和基本不等式得到。6w|,再由三角形的面积公式即可求解.

【解析】过P作尸G,所，垂足为G,连接CG,则由三垂线定理可得跖，CG,

.•./PGC即为二面角尸-E尸-C的平面角，

.■.PGC=60°,PC=2,所以PG=*,CG=工,

33

设CE=a,CF=b,则EF=J/+b2，

在三角形CE尸中，ab=^-yla2+b2,

3

又V7F声，所以abN空显品=封还,

33

所以M”=6=翌!时等号成立，

33

所以三角形PM的面积为'述x万寿

233

O

故截面PEF面积的最小值为§.

故选：B.

JT

5.(2024・广西•模拟预测)在三棱锥忆-4BC中，8厂，平面以C,VA=\,AB=AC=42,ZVAC=-,

点尸为棱上一点，过点厂作三棱锥忆-N2C的截面，使截面平行于直线阳和/C,当该截面面积取得

最大值时，CF=()

VioVn「后Vi3

AA.DR.U.nU.

3423

【答案】C

【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表

示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直

角三角形即可求得答案.

【解析】根据题意，在平面"C内，过点尸作EEC,交水;于点E；

在平面EBC内，过点E作E。B,交BC于点Q；

在平面E48内，过点尸作交4B于点。，连接。0,如图所示，

因为即〃/C,则△心s△也？，设其相似比为左，即===入

VAVCAC

贝IEF=瓜;

又因为K4=l,AC=V2,cosAC=——，

2

由余弦定理得，KC=^l+2-2xlxV2x^=b贝1」可2+以2=/。2,

即_Lg.

又平面以C,VC,以u平面以C,所以3%J_NC,BVLVA.

又AB=y[i，则8%=1,BC=y[2.

因为ED〃⑵，则则一=—=—,

AVABVB

,AFVA-VF,,八，FDAF,,,

m因A为=-------=\—k,所以==\—k,即nnFD=\—k,

VAVAVBVA

同理可得。£=1-左，即0£=即，

因为£0〃叮，FD//VB,则E0〃FD,

故四边形跳刀。为平行四边形；而EQu平面EFD。，KB0平面EFDQ,

故f7®〃平面或明。，同理/C//平面£7叫。，

即四边形E尸D。为截面图形；

又平面以C,斯u平面以C,贝!]8%_L£F,

又FD//VB,所以9_LEF.

故平行四边形EED。为矩形，贝IS矩物皿2=£尸・£0=夜人（1一左）=一血[左-0+?，

所以当彳=1时，s矩形E加°有最大值?，则冲=%g=5，

在Rt^CEF中，CF=4CV2+VF-=11+-=^-.

V42

故选：C.

【点睛】思路点睛：先作平行线作出题中的截面，再证明四边形跳刀。为符合题意的截面图形，结合线面

平行以及线面垂直说明四边形E/Z）。为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式,

利用二次函数求出最值得解.

6.（2023•陕西西安•模拟预测）在三棱锥P-48C中，侧面PNC是等边三角形，底面45c是等腰直角三角

形，AB1BC,AC=PB=\Q,点M,N,E分别是棱尸/,PC,的中点，过“，N,E三点的平面。截

三棱锥尸-/8C所得截面为。，给出下列结论：

①截面。的形状为正方形；

②截面。的面积等于苧；

③异面直线PA与BC所成角的余弦值为叵；

4

④三棱锥P-ABC外接球的表面积等于当7i.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①④B.②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】根据三棱锥尸-43C的几何特征，取2C的中点为e，利用线面垂直的判定定理即可证明截面。的

形状为正方形，且其面积等于25,即①正确，②错误；利用平面向量数量积以及余弦定理可求出异面直线

PN与所成角的余弦值为也，可知③正确；利用垂直关系找出外接球球心位置，计算出半径即可得④

4

正确.

【解析】取的中点为尸，连接EF,NF,

因为点分别是棱尸4尸。,48的中点，所以MW/NC,EF//AC,可得MN//EF；

又MN==AC=5,EF=1PB=5,gpMN=EF；

22

所以厂四点共面，且四边形MA好为平行四边形，

取4C的中点为。，连接尸。,助，如下图所示：

易知PO_L/C,又。8c是等腰直角三角形，且4BJ.BC,所以=可得8O_L/C；

又PDcBD=D,平面尸5。，所以/C_L平面尸8D；

易知所u平面PAD,可得NC1P8；

又ME//PB,EFIIAC,所以

旦ME=NF=：PB=5,所以四边形肱V跖为正方形，

即截面。的形状为正方形，所以①正确；

由正方形面积公式可知，四边形跖皿的面积为5x5=25,即②错误；

设PA=a,PB=b,PC=c,可得2C=c—6，

所以尸/.BC=a-（c-b^=a-c-b-a,

易知。-c=10xl0xcos60°=50，ab=l0W10xcosZAPB，

在△尸45中，PA=10,PB=\0,AB=56,所以cos二4P£=1°2.°2一［亚）=150=3,可得

2x10x102004

a-b=10x10xcos//尸5=75;

a-c-b-a_50-75_1_后

所以cos（莎•就）

同卡-B「10x5收一2k4

所以异面直线口与2C所成角的余弦值为g即③正确;

易用PD=5区BD=5,尸3=10,所以可得PZ>_L8D；

又尸D_L4C,且8OcNC=。，3D,4Cu平面/8C,

所以PA_L平面/8C,

又尸£（u平面尸4C,所以平面尸4C_L平面4BC；

所以可得外接球球心。在尸。上，设OD=h,半径为A,

则小+52=（56一/Z『=R2,解得〃=孚，尺=竽；

所以三棱锥尸-48C外接球的表面积等于4兀笈=等兀，即④正确；

所有正确结论的序号是①③④.

故选：C

【点睛】方法点睛：关于球外接几何体的问题，首先根据几何体的结构特征，利用线面垂直判定定理等确

定球心位置，再利用半径相等列出等量关系即可计算出半径的大小.

♦题型03：棱台

7.（23-24高三上•河北廊坊•期末）如图所示，正四棱台NBC。-44GA中，上底面边长为3,下底面边

长为6,体积为电1,点£在“。上且满足。£=2/E,过点E的平面。与平面平行，且与正四棱台

2

各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（）

A.772B.8拒C.3V3+4V2D.4g+4a

【答案】D

【分析】首先过点4作于点a,结合已知得/〃=逑，由棱台体积公式得=逑，由勾股

22

定理得说=，4//2+4〃2=3,再求出4A的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解.

【解析】如图所示,

B

过点4作4H1AC于点H,因为4G=3A/2,AC=6C,

则四棱台的高为4”，则四棱台的体积为g(32+62+3x6)x45=甘月,

解得4〃=半，所以侧棱长为=妙—+4/=3.

过。尸。于点尸，于点G,连接幺口，

6-33

由对称性可知=/G=《一=,,Gb=42=3,

39

所以4尸=6-彳=彳，

22

而DD]=AAX=3,

所以。/=小二|=孚，

所以皿=科+?=36,同理。|=/0=3石，

分别在棱DC,DDX上取点N,M,使得DN:NC=DM:=2:1,

易得ME=NM=—AD、=25EN=—AC=4近,

33

所以截面多边形的周长为46+4行.

故选：D.

8.(22-23高三下•浙江绍兴•开学考试)在正棱台/BCD-4耳G2中，N8=24稣44=6,“为棱AG中

点.当四棱台的体积最大时，平面”3。截该四棱台的截面面积是()

5>/3

A-¥B.3V2D.672

【答案】c

【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即

可.

【解析】设N2=244=4x,上底面和下底面的中心分别为Q,。，该四棱台的高Q0=〃，A.H1AC.

在上下底面由勾股定理可知，4。=；J(2xp+(2无族=&x,/O=gj(4x)2+(4x)2=2瓜.

在梯形4。。/中，4片+4〃2n3=仅瓜-缶『+/=3一2一,

所以该四棱台的体积为-=116/+加口？+4/卜=^/人

（X2X2X2

二匚I、lr/2784227278422<784++3-2

所以/=—^―X•X•h=~~g~xx2•（3-2x）

3

当且仅当/=3-2/,即x=l时取等号，止匕时/2=4,44=2,00=1.

取CQ］的中点N,连接NM、ND,显然有MNHD\B\"DB,MNy平面23CD,

ADu平面48CD,所以初V//平面48CD,因此平面就是截面.

显然==血,8。=4后，

在直角梯形QME。中，ME=+{OE-OXM^=VT+T=41.

因此在等腰梯形4GC2中，MB=y/ME2+EB2=J2+4=V6，

同理在等腰梯形2GCD中，DN=&,

在等腰梯形M&DN中，设

^\MF=a,BF=4正益=3亚,

所以梯形以汨N的面积为"1、半=乎'

【点睛】关键点睛：根据基本不等式求出体积最大值，结合线面平行判定定理判断截面的形状是解题的关

键.

9.（22-23高二上•湖北荆州•阶段练习）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积

之比为1:4,已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3,则棱台的上、下底面的距离为（）

A.12B.9C.6D.3

【答案】D

【分析】

根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，

以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高.

【解析】•••截去小棱锥的高为3,设大棱锥的高为〃，

根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，

则3,:*=1:4,；.〃=6,

.•・棱台的高是6-3=3,即棱台的上、下底面的距离为3.

故选：D.

♦题型04：圆柱

10.（2022•河南新乡•三模）已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三

角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（）

A.V3B.272C.2A/3D.75

【答案】C

【分析】设正方形与正三角形的边长为2,则可求出圆柱和圆锥的体积，从而可求得答案

【解析】设正方形与正三角形的边长为2,

则圆柱的体积为万xFx2=2万，

圆锥的体积为为/“艮『

所以圆柱的体积与圆锥的体积的比值为26.

故选：C

11.（23-24高二上•辽宁•阶段练习）如图，某圆柱的轴截面/BCD是边长为2的正方形，P,。分别为线

段8C,/C上的两个动点，E为标上一点，且BE=1,则尸。+%的最小值为（）

A.3B.空3亚

2

【答案】C

【分析】根据圆柱的结构特征采用将ABCE沿直线2c旋转到某个位置的方法，将线段和转化为一条线段的

长度问题，结合求解线段长度即得答案.

【解析】如图，连接EC,将ABCE沿直线2c旋转到ABCE'的位置，

且勿在N8的延长线上.则=

7T

由于圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，故NBAC=NBC4=—,AE'=AB+BE'=2+1=3,

4

则PQ+PE=PQ+PE'>E'Q,当Q,P,E'三点共线时取等号,

当中时，£0最小，最小值为sin.善逑,

42

即尸。+尸£的最小值为逑，

2

故选：C

12.（23-24高三上•陕西•阶段练习）已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形/BCD,在该圆柱的底面内

任取一点则当四棱锥E-A8CD的体积最大时，该四棱锥的侧面积为（）

A.1+V2+V5B.1+272+75

C.1+72+275D.72+275

【答案】B

【分析】根据棱锥体积公式以及正方形/BCD的面积为定值确定E点在底面上的位置，求出相关线段长,

根据棱锥侧面积公式即可求得答案.

【解析】如图，设圆柱的底面圆心为。，E为该底面上一点，底面半径为1,

C

D

四棱锥体积VE_ABCD=|SABCD-d,其中d为£到ND的距离，

因为正方形48C。的面积为定值2x2=4,

所以当E为石的中点时，连接OE,此时OE为四棱锥的高，高最大，

此时四棱锥£-ABCD体积最大，

OE=1,AE=DE=母,BE=CE=行+（物?=痛,

设圆柱的另一底面圆心为Q,连接。或，则QELBC,且C\E=«屈7=垂,

此时四棱锥E-/8CD侧面积为$=•/E+gcD•〃£1+；5c-OiE

=-x2xl+-x2xV2+-x2xV2+-x2xV5=1+272+75,

2222

故选：B

♦题型05：圆锥

13.（2024•四川绵阳•模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥W的高与球。的直径相等，则圆锥

的体积与球O的体积的比值是.

【答案】f

【分析】设圆锥脑口的底面半径为入球。的半径为凡由题意可得27?=/!=6厂，结合体积公式运算求解.

【解析】设圆锥W的底面半径为r,球。的半径为七

因为圆锥AW的轴截面为正三角形，可知圆锥W的高〃=V3r，

贝！|2尺=力=出厂，即R=±r,

2

可得圆锥MA/'的体积V,=：—xnr2xy/3r=Tir3）

133

44

球。的体积匕=§成3=-7lX

故答案为：g.

14.（22-23高二上•上海浦东新•期中）如图，圆锥。的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧

上的一点，ZCPB=45°,£为线段所上的动点，则CE+OE的最小值为（）

P

A.V2B.V3C.2»*

【答案】B

【分析】将空间图形进行翻折变化到同一平面，根据两点之间线段最短即可求解.

将APBC翻折到平面尸4S内，得到如图所示平面四边形OBCP,

因为以=；PAPB=1,所以PA=PB=亚,

所以。尸=OA=OB=1，所以Z8PO=45°,

又因为NCP3=45。，所以翻折后的图形中NOPC'=90。，

根据两点之间线段最短可知，CE+OE的最小值为0。=^OP2+PC2=V3,

故选:B.

15.（23-24高二上•北京•期中）已知圆锥的底面半径为2。，高为2,S为顶点，A,8为底面圆周上的两

个动点，则下列说法正确的是.

①圆锥的体积为8无；

②圆锥侧面展开图的圆心角大小为百万；

③圆锥截面SAB面积的最大值为4G!

④若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为手兀.

【答案】①②④

【分析】根据题意求出圆锥的母线长，体积，侧面展开图的弧长，轴截面的面积，外接球体积，即可得出

结论.

【解析】••,圆锥的底面半径『=26,高为〃=2,

，圆锥的母线长SA=SB=yjr2+h2=国+2?=4,

二圆锥的体积/=；兀r%=g兀x（26丫x2=8兀，①正确；

设圆锥侧面展开图的圆心角大小为a,则27tx2VJ=ax4,a=百兀，②正确；

当圆锥截面SAB为圆锥的轴截面时,此时SA=SB=4,AB=4y/i,

贝Ucos/ASB---------------——，/LASBe（0,兀），

2SASB2

2兀

:.ZASB=—,

3

jr

则当乙4sB=/时，圆锥截面S/8面积的最大，

此时~sB=；-S4S4sinN4s5=；x4x4xl=8,故③错误；

圆锥的顶点和底面上的所有点都在同一个球面上，即为圆锥的外接球，

设圆锥的外接球半径为尺,

由球的性质可知R2=小-M+*，即叱=（2-尺y+（2石『，

解得R=4,

所以夕卜接球体积-=9兀把=g兀x4'=等，④正确.

故答案为：①②④.

♦题型06：球

16.（2024•江苏徐州•模拟预测）对球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，所得三弧围成的球

面部分称为“球面三角形”，这三个弧叫做球面三角形的边.若半径为2的球的球面上有一个各边长均为兀的

球面三角形，则该球面三角形的面积为（）

A.2兀B.4兀C.叵^D.立工

42

【答案】A

【分析】确定球面三角形与球表面积的关系，可求球面三角形的面积.

【解析】设球面三角形N8C.

因为球的半径为2,所以大圆周长为4兀，求的表面积为471x2,=16%.

因为球面三角形的各边长均为兀,所以N/O8=NAOC=NBOC=90°.

以。为球心，建立如图空间直角坐标系：

则球面三角形4BC的面积就是球面在第一卦限内的部分，根据对称性，球面三角形4BC的面积为球面面积

的L为1义4兀义22=2兀.

88

故选：A

【点睛】关键点点睛：确定/4。8=//0。=/8。。=90°后，关键是弄清楚球面三角形的面积和整个球的

表面积之间的数量关系.

17.（2024•江西宜春•模拟预测）在正六棱柱NBC7）所-40G2用耳中，A4=2AB=2,。为棱441的中

点，则以。为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（）

2］兀2+4

A.B.

3J3J

C.卜节尸D.广节了

【答案】D

【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案.

【解析】因为球。的半径为2,所以球。不与侧而/阴4及侧面/鹏4相交，

连接。G，4G，o昂4月.由题得。4=1,4G=4G=道.所以。。=2,

所以球。与侧面BCG用交于点G，c,与侧面£叫&交于点为,E.

在正六边形4月G2&G中，易得4。，CQ,因为cq_L平面44G2耳片，4Gu平面.

所以eq，4G,又G2ncq=c,,QD,,cqu平面CDDG,

所以4G，平面CDAG，即。G1平面CZ)AG，且OG=G，又舟_(a2=1，OH=OCX=OC=2.

所以球。与侧面CDRJ的交线为以CG为直径的半圆，同理可得球0与侧面EDD内的交线为以EE,为直径

的半圆.

TT1

由题易得NE/C=g,则球。与上底面4耳GD0耳及下底面/BOE尸的交线均为二个半径为百的圆.

36

1(?.

所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为2XTIX1+2XZX2兀x6=2++兀.

613J

故选：D.

【点睛】关键点点睛：根据球。的半径为2,判断球。只与侧而CD2G及侧面耳，上底面4402£百

及下底面ABCDEF相交.

18.(23-24高二上•四川德阳•阶段练习)已知正三棱锥/-88的外接球是球。，正三棱锥底边8c=3,

侧棱43=26，点£在线段5。上，且BE=DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的取值范围是

()

117L_「cc11“V7L.

A.,3nB.[2兀,3兀]C.,4兀D.~~»4TC

4JLJL4JL4

【答案】D

【分析】设△BCD的中心为。1，球。的半径为凡在Rt^OOQ中，利用勾股定理求出&,余弦定理求出

O、E,再由勾股定理求出OE,过点£作球。的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球

心时，截面面积最大.

【解析】如下图，设△5CZ）的中心为球。的半径为R,

连接OQ,OD,O、E,OE,贝lj

OQ=3s呜<=也,AO]=不AD?-Op=3,

在Rt^OOQ中，叱+（3-R）2,

3

解得R=2,所以氏=1,因为BE=DE,所以。£=,,

在AOEO]中，0£=-2xV3xxcos,

所以OE=JoE+OO；=,过点£作球。的截面，

当截面与OE垂直时，截面的面积最小，

此时截面的半径为:冒-。5=|,则截面面积为兀=；兀，

当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4兀.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是过点E作球。的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当

截面过球心时，截面面积最大.

♦题型07：组合体

19.（21-22高二上•湖南•期中）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底

面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底

面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（）

A.4万一4B.4〃C.4乃一2D.2万一2

【答案】c

【分析】先求出截面截圆柱所得的圆面的面积，再求出截面截正四棱锥所得的正方形的面积，从而得出答

案.

【解析】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2,

则截面圆的面积为：4万

设正四棱锥的底面正方形边长为。，则2/=16,所以0=2后

正四棱锥的底面正方形的面积为（2亚『=8

由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似

设圆面中挖去一个正方形的面积为S,正四棱锥的底面正方形为S

S'S'1

则之二3二2•，从而S'=2

S84

所以截面图形的面积为4万-2.

故选：C.

20.（2022•陕西西安・模拟预测）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和

谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几

何体（如图1）.如图2所示的“四脚帐篷”为“牟和方盖”的上半部分，点。为四边形48CD的中心，点尸为“四

脚帐篷”的“上顶点”，OP=1.用平行于平面的平面&去截“四脚帐篷”，当平面口经过OP的中点时，

截面图形的面积为.

【答案】3

【分析】根据对称性，可得截面a的形状为正方形，利用勾股定理得正方形的边长即可求得面积.

【解析】根据对称性，可得截面"的形状为正方形.

取48中点凡CD中点尸，可知截面EP尸为半圆.

截面a与弧£尸交于点“，与尸。交于点N,N为中点，

所以NO=],同。=尸。=1,由勾股定理可得河=必，

所以截面正方形的边长为事x2=g,故其面积为（Gy=3.

故答案为：3

21.（2021•全国•模拟预测）如图，正八面体尸/8CD0的棱长为2,点E,F,〃分别是尸N,PB,8c的

中点，则过E,F,7/三点的平面。截该正八面体所得截面的面积等于.

p

【答案】巫

2

【分析】由EF//4B得EF〃平面4BQ,同理E才〃平面CDP,进而得

到平面a〃平面ABQH平面CDP,结合正八面体的对称性可知截面是

边长为1的正六边形，求出面积即可.

【解析】•・•£,F,〃分别是尸/,PB,8C的中点，

EF//AB,又EFa平面ABQ,48u平面ABQ,

EFH平面.同理得FHH平面CDP.

又平面230〃平面CDP,EFHFH=F,

.♦・平面all平面ABQII平面CDP.

设平面a与C。相交于点贝|田///30,

故M为C0的中点.同理得平面a也过。。，40的中点，

结合正八面体的对称性，得截面是边长为1的正六边形，

其面积S=gxlxlxsin60°]x6=¥.

故答案为：巫

2

【点睛】确定多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的

两个截点即可连接成截线，从而求得截面.而截线与截点的主要依据主要有：

(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.

(2)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

(3)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条

直线就和交线平行.

（4）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.

22.（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）正方体的棱长为2,“是棱4c上的一个动点

（含端点），则M4+MC的最小值为（）

A.4B.2+V2C.V6+V2D.275

【答案】C

【分析】将绕C4翻折至与ACBG共平面，当A,M,G共线时，M4+MG最小.

【解析】由正方体的性质可得A/C可为等边三角形，边长为2行，

ACBG为等腰直角三角形，其直角边长为2,

将下图中“CBi绕CB,翻折至与共平面，

因为CA=CB[=AB[=2亚,C£=4G=2,所以A,M,G共线时，

M4+MG最小，此时M为Cg中点，则M4+MG最小值为0+痛.

23.（2024高三•全国・专题练习）如图，S-43C是正三棱锥且侧棱长为明两侧棱M,SC的夹角为30。,民厂

分别是W,SC上的动点，则三角形8防的周长的最小值为（）

A.亚aB.yj3aC.45aD.y/6a

【答案】A

【分析】通过展开平面以及勾股定理求得正确答案.

【解析】把正三棱锥沿S3剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：△S8C、ASCA、ASAB',

贝!JZB'SA=ZBSC=ZASC=30°,ZBSB'=90°,

连接28',交SC于尸，交1s4于E,

则线段BB'就是4BEF的最小周长，又SB=SB'=a,

根据勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2,■-BB'=yfia.

故选：A

24.（23-24高三下•全国•阶段练习）如图，在三棱锥尸-/8。中,

AB=BC=也,BA工BC,PA=PB=PC=2,WM是棱BC上一动点、,则尸M+M4的取值范围是（）

A.,6+2互4B.[2+V2,4]

C.D.旧2+后

【答案】A

【分析】把平面P3C展开，判断出当”与C重合时，PM+M4最大；PM+M4的最小值为4尸，利用余弦

定理即可求解.

【解析】如图所示，把平面PBC展开，使2、C、P四点共面.

c

当M与5重合时，PM+MA=2+也<4;

当加与。重合时，H+M4=2+2=4最大;

连结NP交5C于M1,由两点之间直线最短可知，当〃位于Mi时，PM+M4最小.

22f正丫

此时，『2

sinZCBP=-J——―二

2

V14

所以cosZ.ABP=cos5+ZCBP=-sinNCBP=-

~T~

由余弦定理得：AP^yJAB2+BP2-2ABBP-cosZABP

=j6+2"

所以H/+M4的取值范围为，6+25,4.

故选：A.

25.（2024•福建漳州•一模）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个

圆石做成.磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移,

在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末.如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱

体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为64兀，则圆柱底面圆的半径为（）

A.4B.2C.8D.6

【答案】A

【分析】设圆柱底面圆的半径为r>0,则圆柱的高为「，结合圆柱的侧面积公式运算求解.

【解析】设圆柱底面圆的半径为厂＞0,则圆柱的高为r,

则石磨的侧面积为2x2wxr=64兀，解得厂=4.

故选：A.

26.（21-22高二下•湖南株洲•阶段练习）《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形,

一侧棱垂真于底面的四棱锥”.现有阳马S-/8C。，S/_L平面48CQ,4B=1,4D=3,"=2C上有

【答案】D

【分析】通过底面展开转化为平面图形，容易找到最小值点E,然后