2025年中考数学一轮知识梳理专题06 二次函数（5大模块知识梳理+9大考点+5大易错点）解析版

专题06二次函数目录01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（5大模块知识梳理）知识模块一：二次函数的相关概念知识模块二：二次函数的图象与性质知识模块三二次函数与a，b，c之间的关系知识模块四二次函数与方程、不等式知识模块五二次函数的应用03究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大考点）考点一：二次函数的图象与性质考点二：判断二次函数图象a，b，c之间的关系考点三：二次函数含参问题考点四：二次函数解析式的确定及图象变化考点五：二次函数最值考点六：二次函数与一元二次方程关系考点七：二次函数与不等式关系考点八：二次函数的实际应用考点九：二次函数综合04辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（5大易错点）易错点一：忽略题目中的隐含条件易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性易错点三：考虑不全,导致出错易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围易错点五：忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错知识模块一：二次函数的相关概念知识点一：二次函数的概念一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0.知识点二：二次函数解析式的确定1.二次函数常见表达式名称解析式适用范围一般式y=ax²+bx+c(a≠0)已知抛物线上的无规律的三个点的坐标顶点式y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值交点式y＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)已知抛物线与x轴两交点坐标注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方ax²+bx+c=0的解相互联系1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.2.对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式(1)顶点在原点,可设为y=ax²(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c;(3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²;(4)抛物线过原点,可设为y=ax²+bx.知识模块二：二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的图象与性质图象特征二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.注意：二次函数图象的画法(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象.基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c图象a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=hx=−顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(−b2a，最值a>0开口向上，顶点是最低点，当x=−b2a时y有最小值a<0开口向下，顶点是最高点，当x=−b2a时时y有最大值增

减

性a>0在对称轴x=−b2a的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=−a<0在对称轴x=−b2a的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=−知识点二：二次函数的图象变换1.二次函数的平移变换总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项”方法一:(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,方法二:将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m);(2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减2.二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)²+k绕顶点旋转180°y=-a(x-h)²+ka变号，h、k均不变绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-ka、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-ka、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+ka、h不变，h变号知识点三：二次函数的对称性问题抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解题技巧：1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.知识模块三二次函数与a，b，c之间的关系关系符号图象特征a决定抛物线的开口方向a>0开口向上|a|越大，抛物线的开口小．a<0开口向下a、b共同决定抛物线对称轴的位置b=0对称轴是y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧左同右异ab<0((a，b异号))对称轴在y轴右侧c决定了抛物线与y轴交点的位置．c=0抛物线经过原点c>0抛物线与y轴交于正半轴c<0抛物线与y轴交于负半轴由b²-4ac确定抛物线与x轴交点的个数b²-4ac>0抛物线与x轴有两个交点b²-4ac=0抛物线与x轴有一个交点b²-4ac＜0抛物线与x轴没有交点注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1时,y<0.知识模块四二次函数与方程、不等式知识点一：二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与x轴交点的横坐标.b2-4ac与0的关系二次函数与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况b2-4ac>02个交点有两个不相等的实数根b2-4ac=01个交点有一个不相等的实数根b2-4ac<00个交点没有实数根知识点二：二次函数与不等式的关系（以a大于0为例）不等式以a大于0为例图象观察方法解集ax2＋bx＋c>0的解集情况函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴上方时对应的自变量的取值范围x<x1或x>x2ax2＋bx＋c<0的解集情况函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴下方时对应的自变量的取值范围x1<x<x2知识模块五二次函数的应用知识点一：用二次函数解决实际问题的一般步骤1.审：仔细审题，理清题意；2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．知识点二：方法技巧总结1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题3.销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值4.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．5.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．考点一：二次函数的图象与性质【典例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可．【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，则抛物线变为，∴化成顶点式则为，故选：A．【典例2】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，∵，，，而，，，∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．【典例3】（2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则y随x的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而增大，据此求解即可．【详解】解：A、由于，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；B、由于，则当时，y随x的值的增大而增大，符合题意；C、由于，对称轴为直线x=−1，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；D、由于，对称轴为直线x=1，则当时，y随x的值的增大而增大，当x<1时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；故选：B．【典例4】（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（

）①②③对任意实数m，均成立④若点，在抛物线上，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，∴，，，∴，∴，故①正确；∵二次函数的图象与x轴相交于点，，∴二次函数的对称轴为直线，，，由得：，∵，∴，∴，即，故②错误；当时，二次函数有最小值，由图象可得，对任意实数m，，∴对任意实数m，均成立，故③正确；∵点，在抛物线上，且，∴，故④错误；综上所述，正确的有①③，共个，故选：B．【典例5】（2024·贵州遵义·二模）已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是数形结合．先画出函数图象，根据函数的图象即可得．【详解】解：如图所示，根据函数图象得，；故选：A．【典例6】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，四边形是正方形，、互相平分，，，，，．，，．，．点、的横坐标分别为、，，．，，，设，则，，，，，．又，，，．．．．点、在轴的同侧，且点在点的右侧，．．故选：B．考点二：判断二次函数图象a，b，c之间的关系【典例1】（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，则，∵对称轴为直线，则，∴，故②正确抛物线与轴交于负半轴，则，∴，故①错误；∵当时，取得小值，∴，当m为任意实数，则，故③正确，④∵抛物线关于对称，∴和的函数值相同，即：，由图象知，当时，函数值大于0，∴，故④正确；⑤当关于对称时：即：时，对应的函数值相同，即：，∴∴若，且，则；故⑤正确；综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，故选：C．【典例2】（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意；由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧，所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意；函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意．故选：B．【典例3】（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．【详解】解：根据题意得：，解得：，∴的取值范围是，故选：C．【典例4】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（

）①；②；③；④若方程两根为，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知，∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，，则，∵抛物线与轴的交点在，之间，∴，则，故①错误；设抛物线与轴另一个交点，∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，解得，则，故②错误；∵，，，∴，解得，故③正确；根据抛物线与轴交于点和，直线过点和0,1，如图，方程两根为满足，故④正确；故选：B．【典例5】（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案．【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，∴，∵对称轴是直线，∴，∴，∴，∴在x轴正半轴上；∵二次函数顶点在第二象限，∴当时，，∵二次函数与x轴无交点，∴，∴点在第二象限，∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．【典例6】（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（

）①；②抛物线的顶点坐标为；③；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④．【详解】解：由题意，∵有两实根，．∴得，．∴，故①正确．，∴抛物线的对称轴是直线．∴抛物线的顶点为．又，∴，即．∴．∴．∴顶点坐标为，故②正确．∵，∴．又，，∴，故③错误．，，∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．∵，抛物线的对称轴是直线，又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，，，∴，故④错误．综上，正确的有①②共2个．故选：B．【典例7】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断．【详解】解：由题图可知，，，故①正确；当时，，即，故②正确；二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线，二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5，多项式，故③错误；当时，有最大值，即，当时，抛物线与直线的图象无交点，即关于x的方程无实数根，故④正确．综上，①②④正确．故选：C．考点三：二次函数含参问题【典例1】（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（

）A． B．且C． D．且【答案】D【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义等知识．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义是解题的关键．由题意知，，令，则，由二次函数的图象与轴有公共点，可得，计算求解，然后作答即可．【详解】解：由题意知，，令，则，∵二次函数的图象与轴有公共点，∴，解得，，∴的取值范围是且，故选：D．【典例2】（2024·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（

）A． B．4 C．或4 D．无法确定【答案】B【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．由题意二次函数的解析式为：知，则，再根据二次函数的图象经过原点，把代入二次函数，解出的值．【详解】解：二次函数的解析式为：，∴，，二次函数的图象经过原点，，或，∵，．故选：B．【典例3】（2024·广东广州·一模）二次函数的图象开口向．【答案】下【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可．【详解】∵为二次函数，∴，∴，∴二次函数解析式为，∵，∴该二次函数的图象开口向下．故答案为：下．【典例4】（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中，(1)若它的图象过点，则t的值为多少？(2)当时，y的最小值为，求出t的值：(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可得；（3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．【详解】（1）将代入中，得，解得，；（2）抛物线对称轴为．若，当时，函数值最小，，解得．，若，当时，函数值最小，，解得（不合题意，舍去）综上所述．（3）关于对称轴对称，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，此交点关于对称轴的对称点为且，解得．当A，B都在对称轴左边时，，解得，当A，B分别在对称轴两侧时到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，解得综上所述或．【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键．【典例5】（2024·云南·二模）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题．(1)若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求，，的值．(2)对于任意非零实数，，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数．①求函数的图象的对称轴．②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】(1)的值为，的值为，的值为；(2)①函数的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析；【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用；（1）根据题意得到即可解答；（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；【详解】（1）解：由题意可知：，∴．答：的值为，的值为，的值为．（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，∴对称轴为，∴，∴，∴对称轴为．答：函数的图像的对称轴为．②，令，解得，∴函数的图像过定点，．考点四：二次函数解析式的确定及图象变化【典例1】（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．【详解】解∶抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为，∴新抛物线的顶点坐标为，故选∶D．【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则．【答案】2【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可．【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到，把点代入得到，，得到，∴，故答案为：2【典例3】（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则．【答案】1【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：，令，则，或，解得：或，，故答案为：1．【典例4】（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是（填写序号）．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到，当时，，平移后的函数的图象经过原点，故①正确；当时，则，令，即，，抛物线与直线没有交点，抛物线开口向上，当时，这个函数的图象在函数图象的上方；故②正确；二次函数是常数），开口向上，对称轴为直线，当时，函数值随自变量增大而增大，故③错误；，顶点为，，故④正确．故答案为：①②④．【典例5】（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）①②当时，代数式的最小值为3③对于任意实数，不等式一定成立④Px1,y1，Qx【答案】①③④【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键．由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意；【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．∴，∴，故①符合题意；∴，∴，，∵，∴当时，取最小值，故②不符合题意；∵，∴对称轴为直线，∵，当时，函数取最小值，当时，函数值为，∴，∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意；当时，∵，∴，∴，当时，满足，∴，∴，当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意；综上：符合题意的有①③④；故答案为：①③④．【典例6】（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据−1,1，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过−1,1得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过−1,1，两点，且．∴对称轴为直线，，∵，∴，故①错误，∵∴，即−1,1，两点之间的距离大于又∵∴时，∴若，则，故②正确；③由①可得，∴，即，当时，抛物线解析式为设顶点纵坐标为∵抛物线（a，b，c是常数，）经过−1,1，∴∴∴∵，，对称轴为直线，∴当时，取得最大值为，而，∴关于x的一元二次方程无解，故③正确；④∵，抛物线开口向下，点Ax1,y1，Bx2,又，∴点Ax1,∴对称轴解得：，故④正确．故答案为：②③④．【典例7】（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；(2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由；(3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：．【答案】(1)2，(2)，理由见解析(3)证明见解析【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．（1）将点代入二次函数的解析式即可得的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得；（2）先求出，从而可得抛物线的对称轴，再求出，得出点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得；（3）先分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且，∴将点代入得：，解得，则化成顶点式为，故答案为：2，．（2）解：，理由如下：∵抛物线经过点，∴，∵，∴，即，二次函数的对称轴为直线，，∴，∴，又∵，∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，又∵抛物线的开口向上，∴．（3）证明：若，则，将向上平移4个单位得到新抛物线，∵抛物线与直线交于点，∴设点的坐标为，将代入得：，∴，∵点为中点，∴，轴于点，，∴，，∴．【典例8】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．(1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_______．(2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为．①求二次函数的解析式；②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②存在，点的坐标为或【分析】（）根据“顶点相容函数”的定义得到该函数的图象的顶点坐标为，再代入二次函数解析式得到即可解答；（）①根据旋转的性质可知，再根据全等三角形的性质及二次函数的性质即可解答；②根据直角三角形的性质分三种情况讨论即可解答．【详解】（1）解：∵二次函数，∴该函数的图象的顶点坐标为，∴将代入，得，解得．∴二次函数的解析式为,∴二次函数的顶点为，∴将代入入得，∴符合要求，故答案为：；（2）解：①∵旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，∴的图象的顶点必在二次函数的图象上，∵的图象是二次函数为的图象绕点旋转得到，∴这两个函数图象的顶点关于点对称，如图，分别过作轴，轴，垂足分别为，在和中，∴，∴．当时，，解得（舍去），∴点的坐标为，当点是的图象的顶点时，设，把代入，解得，∴二次函数的解析式为为；②设点的坐标为，则，；当时，，∴，解得；当时，，∴，解得；当时，，∴，解得，综上所述，存在一点，使得为直角三角形，点的坐标或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质与图象，直角三角形的性质，“顶点相容函数”的定义，理解“顶点相容函数”的定义是解题的关键．【典例9】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，．【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式；（2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案；（3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，∴，解得，∴，∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，∴即（2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，则解得，∴直线的解析式为，联立与得到，解得，则（3）解：由（1）可得，，与联立得到，，解得，此时∴点C的坐标为，∵点M的横坐标为m，且在上，∴即点M的坐标为设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，则解得，∴直线的解析式为，与联立得到，，整理得到，则，即，即，即为定值．【典例10】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．①若D点的坐标为，则_________；②求t的取值范围：③求的最大值．【答案】(1)，，(2)①6；②且；③4【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础．（1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标；（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值；②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且；③，根据二次函数的性质可得结论．【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为，；令，解得或，，；（2）解：①由题知，该函数过点，，，函数的解析式为：，函数的对称轴为直线，，，点，关于对称轴对称，，，故答案为：6；②设二次函数的解析式为：，将，，两点代入，得，，，，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，，两点关于对称轴对称，点，，点在线段上，且与端点不重合，，即，时，过点，，三点的二次函数不存在，且；③，，．，且，时，有最大值，最大值为4．【典例11】（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，点在抛物线上(3)存在，点的坐标为：或【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可；（2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上；（3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：．（2）解：由题意得：，当时，，故点在抛物线上．（3）解：存在，理由如下：①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴点，当时，，即点在抛物线上，∴点即为点；②当为直角时，如图2，同理可得：，∴，，∴点，当时，，∴点在抛物线上，∴点即为点；③当为直角时，如图3，设点Ex,y同理可得：，∴且，解得：且，∴点，当时，，即点不在抛物线上；综上，点的坐标为：或．考点五：二次函数最值【典例1】（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出，求二次函数的最小值．①请你写出对应的函数解析式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确，【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；（3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）①把代入，得：；∴；②∵，∴当时，有最小值为；（2）∵，∵抛物线的开口向上，∴当时，有最小值；∴甲的说法合理；（3）正确；∵，∴当时，有最小值为，即：，∴当时，有最大值，为．【典例2】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G(1)如图1，当点E为的中点时，求的值；(2)如图2，若，求的长；(3)连接，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键.（1）过点F作交延长线于H，延长，交于M，则四边形是矩形，则，由旋转的性质可得，证明得到，进而求出，证明得到,则；（2）过点F作交延长线于H，延长交于M，设,则四边形是矩形，则，同理可得，则,则，同理可得，即：解方程即可；（3）如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形是矩形；再证明可得，即；设，则,由勾股定理可得，最后根据二次函数的性质即可解答.【详解】（1）解：如图所示：过点F作交延长线于H，延长，交于M，则四边形是矩形，∴，由旋转的性质可得：，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵点E为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴,∴,∴（2）解：过点F作交延长线于H，延长交于M，设，则四边形是矩形，∴，同理可得：，∴,∴，同理可得：，∴，即：，∴，解得：或（舍去）经检验：是原方程的解，∴；（3）解：如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形，∴，∵,∴,∴,∵，∴,∴,∴,设，则,∴，∴当时，有最大值8，则有最大值【典例3】（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值；(3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系数法即可求解；（）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解；（）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，即可求出最小值．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，，

解得，∴抛物线的解析式为；（2）设，直线为，据题意得，，解得，∴，联立得，解得或，∴，设，直线为，据题意得，，解得，∴，联立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）设直线为，由得，∴，∴，

设，，联立直线与抛物线，得，，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，

由题意得直线，则，∴，过点作于F，则．则，，

在中，，

即当时，，此时，故的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【典例4】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．(1)求二次函数的解析式及点的坐标；(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．【详解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函数的解析式为，设直线解析式为，则，解得，∴直线解析式为，当时，，∴；（2）解：①设，则，∴，∴当时，有最大值为；②∵，，∴，又，∴，又轴，∴轴，∴，当时，如图，∴，∴轴，∴P的纵坐标为3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐标为；当时，如图，过B作于F，则，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐标为综上，当P的坐标为或时，与相似．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．【典例5】（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．【答案】(1)菱形(2)(3)，理由见解析【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；（2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为；（3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即．【详解】（1）解：如图所示，连接∵都是等边三角形，∴，∴四点共圆，∵点E是的中点，∴，∴为过的圆的直径，又∵，∴为过的圆的直径，∴点H为圆心，∴，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形，∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；（2）解：∵都是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴是等边三角形，过点E作，∴设，则，，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为；（3）解：，理由如下：如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接，∵都是边长为的等边三角形，∴，，∴由勾股定理可得，，∴，又∵，∴，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．【典例6】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．【操作发现】小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：【实践探究】连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．请求出当．时，长的最大值；【问题解决】在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段DE所成的比始终相等．请予以证明．【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论；实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解；问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：，得到，根据，易证，得到，即可证明结论．【详解】操作发现：解：连接并延长交于点M，连接，是直径，，，由旋转的性质得，，，，是的半径，与相切；实践探究：解：由旋转的性质得：，即，，，，，，，，，设，则，，，，当时，有最大值为；问题解决：证明：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，，，，，由旋转的性质得：，，，，，，，．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键．【典例7】（2024·重庆铜梁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中．(1)求a，b的值；(2)如图1，连接AB，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标；(3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线y′恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【答案】(1)(2)的最大值为4，此时(3)【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键．（1）将代入中得到二元一次方程组求解即可；（2）由（1）可知抛物线的解析式为，得直线的解析式为，设，则，故，再根据二次函数的性质求解即可；（3）先求平移后的抛物线解析式为，再证明为等腰直角三角形，由得，过C作，交移动后的抛物线于M．当时，，即．【详解】（1）解：将代入中，∴，∴．（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为，∵，∴直线的解析式为，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，当时，的最大值为4，此时；（3）解：设抛物线向右平移n个单位，∴平移后的抛物线解析式为，∵抛物线平移后经过原点，∴，解得或n=−1（舍），∴平移后的抛物线解析式为，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，过C作，交移动后的抛物线于M，当时，，∴．考点六：二次函数与一元二次方程关系【典例1】（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（

）

A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．【详解】解∶∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；∵抛物线开口向下，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；设二次函数解析式为，把代入，得，解得，∴，当时，，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键，根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断①；根据判断②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把，代入解方程求出m的值判断④．【详解】解：设抛物线的解析式为：，∴，，∴，故①正确；∵点C的纵坐标在～之间，∴，即，∴，故②正确；∵，∴，即，∴，又∵，∴，故③错误；∵令相等，则∴，解得（舍），，∴，故④正确；故选A．【典例3】（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可.【详解】解：二次函数的图象与轴有交点，，解得，的取值范围为，故答案为：.【典例4】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为．

【答案】【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得x=−1或，从而即可得解．【详解】解：把点，点代入抛物线得，，解得，∴抛物线，令，得，解得x=−1或，∴，∴；故答案为：．【典例5】（2024·全国·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．素材1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛．图1是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米．素材2：如图2，身高为1.5米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．(1)如图3，以点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)某班跳绳成员有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，绳子能否顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由．(3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头上越过？【答案】(1)(2)能．理由见解析(3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学米的地方，才能让绳子顺利从头上越过．【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，求二次函数的极值，求自变量，对于（1），根据待定系数法求出直线解析式即可；对于（2），将关系式配成顶点式，再求出最大值，即可得出答案；对于（3），将代入关系式求出答案即可.【详解】（1）由题意可知，．设函数的解析式为，把代入，得，解得：函数的解析式为；（2）能．理由如下：由任务1知，该抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为1.9米，绳子能顺利从每位跳绳成员头顶越过；（3）把代入得：，解得：，身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学米的地方，才能让绳子顺利从头上越过．【典例6】（2024·云南昆明·一模）已知抛物线(1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式．（1）证明，即可求解；（2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解．【详解】（1）证明：，故此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：当时，，令，则，解得：或，∴．【典例7】（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．(1)________；(2)如图，已知点A的坐标是．①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．【答案】(1)3(2)①；②1或或【分析】（1）当时，，即；（2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或．【详解】（1）解：当时，，即；（2）解：①将点A代入得，，解得：，∴解析式为：，而，∴对称轴为直线：，当，且时，∴y随着x的增大而减小，∴当，，当时，，由得，，解得：或（舍）∴；②在中，，由题意得，，，∴四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，∵轴，∴，∵，∴，∵，∴设，则，∴，∴，∴，将点代入，得：，解得：或（舍），∴；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，∵轴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴设，则，∴，∴，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，∵∴，设，∴，∴，∴，∴，∴，将点P代入，得：，解得：或，而当时，，故舍，∴，综上：点P的横坐标为1或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．【典例8】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）．(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；(2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；(3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P．①求证：点P在一条定直线上；②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)①证明见解析；②或【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证；（2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断，得到当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答；（3）①根据对称轴为直线，求得，得到二次函数解析式为．令，求得，令，求得，从而．设，采用待定系数法求得直线的解析式为．把点代入，得到．同理求得直线的解析式为，直线的解析式为．联立直线，，求得点．设点P所在的定直线的解析式为，代入点P的坐标可求得，从而得证点P在定直线上；②根据，得到，化简得到，由①知，从而，分两种情况分别讨论：当时或，根据①中的点P的横坐标可得，整理得，结合，即可求出m，n的值，进而得到，的值，从而得到直线l的解析式．同理可求出当时直线l的解析式，即可解答．【详解】（1）证明：令，则，∵，∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．（2）解：由二次函数的解析式得，函数图象对称轴为直线，最大值为4．，，∴当时，y取得最小值，最小值为，，解得或（舍去），二次函数的解析式为．（3）①证明：对称轴为直线，∴∴二次函数解析式为．令，则，解得或，则，令，则，则∴．设，由题意知，且均不为0，2．设直线的解析式为，，解得，∴直线的解析式为．（记为①式）又直线过点，，即．同理设直线的解析式为，把代入得解得，直线的解析式为．（记为②式）同理得直线的解析式为．（记为③式）由②③式联立得，解得．若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得，将①式代入化简得，由对应系数相等得，∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上．②解：直线l的解析式为或理由：，∴，，，，∴，由①知，∴，∴当时，，整理得．又，∴整理得，解得（不符合题意，舍去），，，直线l的解析式为；当时，，整理得．又，整理得，解得（不符合题意，舍去），，∴直线l的解析式为．综上所述，当时，直线l的解析式为或．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键．考点七：二次函数与不等式关系【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；③当x>1时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确．【详解】解：由图可得：，对称轴，，，①错误；由图得，图象经过点，将代入y=ax2+bx+c可得，，②正确；该函数图象与轴的另一个交点为，且，对称轴，该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当x>1时，随着的增大而减小，③正确；，，关于的一元二次方程的根为，，，，④正确；，即，解得，即，，，⑤正确．综上，②③④⑤正确，共个．故选：．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．【典例2】（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是．【答案】或【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数的解析式，根据抛物线的开口向上，与轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可．【详解】解：∵抛物线经过和两点，∴，解得：，∴，∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点，∴，解得：或；故答案为：或．【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数（a是常数，且），（1）若点在该函数的图象上，则a的值为；（2）当时，若，则函数值y的取值范围是．【答案】2【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的对称轴，增减性，解不等式，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．（1）把代入函数解析式计算即可；（2）根据抛物线开口向，结合对称轴，利用函数的增减性列出不等式计算即可．【详解】解：（1）∵点在二次函数的图象，∴，解得；（2）当时，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，y有最大值4，又当时，，当时，．∴当时，函数值y的取值范围是．【典例4】（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正确；∵，，，∴，当时，，∴，∵，∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点坐标为，又∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值，∵与时函数值相等，等于，∴当时，的取值范围为，故错误；∵，∴点，关于对称轴对称，∴，故正确；由得，即，画函数和图象如下：由，解得，，∴，，由图形可得，当或时，，即，故错误；综上，正确的结论为，故答案为：．考点八：二次函数的实际应用【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（

）A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④【答案】D【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④．【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，是等边三角形，点在边上，，，，，，，，故①正确；当时，，，，是等边三角形，，，故②正确；当时，且时，最小，，，，最小为，即能取到，故③错误；动点沿匀速运动时，，，，，，；当时，，，；，；故④正确；综上所述，正确的有①②④，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键．【典例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．(1)，_____；(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？【答案】(1)，(2)(3)在试销售的天中，共有天销售额超过元【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；（3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：依题意，将，代入，∴解得：∴故答案为：，．（2）解：依题意，当时，当时，∴（3）解：依题意，当时，当时，解得：为正整数，∴第天至第天，销售额超过元（天）答：在试销售的天中，共有天销售额超过元【典例3】（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地面竖直高度为．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口．(1)求外边缘抛物线的函数表达式；(2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．【答案】(1)(2)点的坐标为(3)的取值范围是【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合的思想是解题的关键．（1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式；（2）根据对称轴为直线可得点的对称点为，则是由向左平移得到的，即可求出点B的坐标；（3）如图：当时，可得点的纵坐标为；令则结合可得；由当时，则随的增大而减小，然后分、、三种情况确定x的取值范围，进而确定的最大值和最小值即可解答．【详解】（1）解：由题意得是外边缘抛物线的顶点，设．又抛物线过点，，，外边缘抛物线的函数表达式为．（2）解：的对称轴为直线，点的对称点为，是由向左平移得到的，．令，即，解得或（舍去），点的坐标为，点的坐标为．（3）解：，点的纵坐标为，令，即