2025年中考数学一轮知识梳理难点与易错点08二次函数与三角形、相似三角形、四边形的存在性(5大热考题型)(原卷版)_第1页
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文档简介

难点与易错点08二次函数与三角形、相似三角形、四边形的存在性(5大热考题型)题型一:等腰三角形的存在性问题题型二:直角三角形的存在性问题题型三:相似三角形的存在性问题题型四:平行四边形的存在性问题题型五:特殊平行四边形存在性问题题型一:等腰三角形的存在性问题顶点确定法1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形(1)如图①,若AB为腰,分别以点A,B为圆心,以AB长为半径画圆,与直线l的交点即为所求;(2)如图②,若AB为底,作线段A8的垂直平分线与直线l的交点、即为所求2.求点坐标的常用方法(1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标:(2)几何法作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系【中考母题学方法】【典例1】易错点等腰三角形的边不确定,则需分情况讨论(2024·四川雅安·中考真题)在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于,两点,与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式;(2)如图①,若点P是线段上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,当线段的长度最大时,求点Q的坐标;(3)如图②,在(2)的条件下,过点Q的直线与抛物线交于点D,且.在y轴上是否存在点E,使得为等腰三角形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.【变式1-1】(2024·内蒙古通辽·模拟预测)综合与探究如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,D是第一象限抛物线上的一个动点,若点D的横坐标为m,连接,,,.(1)求A,B,C三点的坐标,并直接写出直线的函数表达式.(2)当四边形的面积有最大值时,求出m的值.(3)在(2)的条件下,在x轴上是否存在一点M,使是等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【变式1-2】(2024·上海·模拟预测)如图,直线交y轴于点A,交抛物线于点,抛物线经过点,交y轴于点D,点P是抛物线上的动点,作交DB所在直线于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)当为等腰直角三角形时,求:P点坐标;(3)在(2)的条件下,连接,将沿直线AB翻折,直接写出翻折后点E的对称点坐标.【变式1-3】(2024·湖南长沙·模拟预测)在平面直角坐标系中,如图,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,其中,且为等腰直角三角形.(1)求该抛物线的表达式;(2)点是直线下方抛物线上一动点,过点作于点,求的最大值及此时点的坐标;(3)在(2)的条件下,将该抛物线向右平移5个单位,点为点的对应点,平移后的抛物线与轴交于点,为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标,并把求其中一个点的坐标的过程写出来.【中考模拟即学即练】1.(2024·山西长治·模拟预测)综合与探究:如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点和点C,与y轴交于点B0,3,点是抛物线上点与点之间的动点(不包括点,点).备用图(1)求抛物线的解析式;(2)动点在抛物线上,且在直线上方,求面积的最大值及此时点的坐标;(3)在(2)的条件下,将该抛物线向右平移个单位,点为点的对应点,平移后的抛物线与轴交于点,为平移后的抛物线的对称轴上任意一点,若是以为腰的等腰三角形,求出所有符合条件的点的坐标.2.(2024·山东青岛·一模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数交轴于点A−4,0,,交轴于点C0,6,在轴上有一点,连接.(1)求二次函数的表达式;(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点,求面积的最大值及此时点的坐标;(3)抛物线对称轴上是否存在点,使为以为底的等腰三角形?若存在,请直接写出点的坐标即可;若不存在,请说明理由.题型二:直角三角形的存在性问题顶点确定法1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形如图①,分别过线段端点A,B作AB的垂线,与直线l的交点即为所求;(2)如图②,以AB为直径画圆,与直线l的交点即为所求.2.求点坐标的常用方法(1)代数法分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²;②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可;(2)几何法过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型【中考母题学方法】【典例2】(2024·山东泰安·中考真题)如图,抛物线的图象经过点,与轴交于点A,点.(1)求抛物线的表达式;(2)将抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位得到抛物线,求抛物线的表达式,并判断点是否在抛物线上;(3)在轴上方的抛物线上,是否存在点,使是等腰直角三角形.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【变式2-1】(2024·陕西咸阳·模拟预测)如图,已知抛物线(、为常数,且)与轴交于,两点(点在点左侧),与轴交于点,.抛物线的对称轴与轴交于点,与经过点的直线交于点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)在抛物线上是否存在点,使得是以为直角边的直角三角形?若存在,求出所有得合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【变式2-2】(2024·宁夏银川·模拟预测)小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展,用铁丝摆成如图①中抛物线的形状,并提出以下三个问题,请你解答:(1)建立合适的平面直角坐标系,如图②,可知抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点,求抛物线的解析式;(2)如图②,钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动,点A,C,P构成,试求面积的最大值;(3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝(足够长),钢珠Q可以沿着铁丝上下滑动,点Q,A,C构成,是否存在某一时刻,使为直角三角形.若存在,请求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【变式2-3】难点已知边为斜边的直角三角形存在性问题,可构造相似三角形求解(2024·湖北·模拟预测)若抛物线交x轴于交y轴于(1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集.(2)在抛物线对称轴上有一点P.当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标.(3)以B为圆心2为半径做圆,上有一点M,连接.请求出的最小值.【中考模拟即学即练】1.(2024·广东·模拟预测)综合运用如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于点A.C(点A在点C的右侧).与y轴交于点B.直线经过点A,B.(1)求A,B,C三点的坐标及直线的表达式.(2)P是第二象限内抛物线上的一个动点,过点P作轴交直线于点Q,设点P的横坐标为.的长为L.①求L与m的函数关系式,并写出m的取值范围;②若与交于点D,求m的值.(3)设抛物线的顶点为M,问在y轴上是否存在一点N,使得为直角三角形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2024·广东·模拟预测)综合探究如图(1)所示,在平面直角坐标系中,已知菱形的顶点A在y轴正半轴上,顶点B,C,D在二次函数(a为常数,且)的图象上,且轴,与y轴交于点E,.(1)求的长.(2)求a的值.(3)如图(2)所示,F是射线上的一动点,点C,D同时绕点F按逆时针方向旋转得点,当是直角三角形时,求的长.3.(2024·湖南·模拟预测)如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,连接.(1)求抛物线的表达式.(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点,连接,,求面积最大时点的坐标;(3)在抛物线上是否存在点,使得以点,,为顶点的三角形是直角三角形?如果存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由.题型三:相似三角形的存在性问题相似三角形问题的解题步骤第一步:找关键点根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标,如与坐标轴的交点坐标,顶点坐标等第二步:找等角找到两个三角形中相等的定角,通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角,或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角第三步:求点坐标根据相似三角形对应边成比例列关系式【中考母题学方法】【典例3】易错点相似三角形的对应边不确定,需分情况讨论(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像经过原点和点.经过点的直线与该二次函数图象交于点,与轴交于点.(1)求二次函数的解析式及点的坐标;(2)点是二次函数图象上的一个动点,当点在直线上方时,过点作轴于点,与直线交于点,设点的横坐标为.①为何值时线段的长度最大,并求出最大值;②是否存在点,使得与相似.若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.【变式3-1】(2024·山东济南·模拟预测)如图,已知抛物线上点的坐标分别为0,2,,抛物线与轴负半轴交于点,连接,点为抛物线上的点.(1)求抛物线的解析式及点的坐标.(2)抛物线上是否存在点,使得?若存在,求出的横坐标;若不存在,请说明理由.(3)点为轴负半轴上的点,且,点是线段(包含点)上的动点,过点作轴的垂线,交抛物线于点,交直线于点.若以点为顶点的三角形与相似,请求出点的坐标.【变式3-2】(2023·江苏常州·一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于、两点,与y轴交于点B.(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标;(2)若点D是抛物线上的一个动点,满足与的面积相等.求出点D的坐标;(3)若点E在第一象限内抛物线上,过点E作轴于点F,交于点P,且满足与相似,求出点E的横坐标.【变式3-3】(2024·重庆·模拟预测)如图,二次函数顶点D1,4,与x轴交A,B两点,交y轴于点C,点,

(1)求二次函数的解析式;(2)如图,连接,点P为线段上方抛物线上一动点,过点P作直线分别交y轴于点E,x轴于点F,求的最大值以及此时点P的坐标(3)连接,将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线的顶点为H,过点H作轴于点N,连接,在新抛物线对称轴右侧平面内是否存在点Q,使得与相似,若存在,请直接写出所有符合题意点Q的坐标,若不存在,请说明理由【中考模拟即学即练】1.(2024·江苏淮安·模拟预测)如图,二次函数的图象与x轴交于、两点,与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的表达式;(2)作直线,分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点,连接,若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似,求t的值;(3)点M为y轴负半轴上一点,且,将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线,点B的对应点为点,点C的对应点为点,与交于点N.在抛物线平移过程中,当的值最小时,试求的面积.2.(2024·青海西宁·三模)如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D,连接与抛物线的对称轴交于点E.(1)求点A,B,C的坐标.(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点,当三角形的面积为60时,求点P的坐标.(3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点,试探究在射线上是否存在一点H,使以H,Q,E为顶点的三角形与相似.若存在,直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2024·内蒙古通辽·模拟预测)如图,已知二次函数的图象与x轴交于点点和点,与y轴交于点C,点P是抛物线上点A与点C之间的动点(不包括点A,点C).(1)求此二次函数的解析式;(2)如图1,连结,,求的面积的最大值;(3)如图2,过点P作x轴的垂线交于点D,与交于点Q.探究是否存在点P,使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.4.(2024·安徽·模拟预测)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点(点在点左侧),与y轴交于点,连接.(1)如图1,求的值及直线的解析式;(2)如图2,点为直线上方抛物线上一动点,连接,设直线交线段于点.当时,求点的坐标;(3)在(2)的条件下,且点的横坐标小于2,在坐标轴上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似,如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.题型四:平行四边形的存在性问题顶点确定法1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点:如图①,分别过A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点;(2)两定顶点、两动顶点:①如图②,若AB为平行四边形的边,平移AB,确定另外两点位置:②)如图③,若AB为平行四边形的对角线,取AB中点,作过中点的直线确定另外两点的位置.2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法:如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点,同理);(2)平行四边形顶点坐标公式法设平行四边形ABCD的顶点坐标分别为则【中考母题学方法】【典例4】(2024·四川广元·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线F:经过点,与y轴交于点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C,连接交AB于点D,求的最大值及此时点C的坐标;(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象,抛物线F与只有一个公共点E(点E在y轴右侧),G为直线AB上一点,H为抛物线对称轴上一点,若以B,E,G,H为顶点的四边形是平行四边形,求G点坐标.【变式4-1】(2024·宁夏·中考真题)抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,点是第四象限内抛物线上的一点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,过作轴于点,交直线于点.设点的横坐标为,当时,求的值;(3)如图点F1,0,连接并延长交直线于点,点是轴上方抛物线上的一点,在(2)的条件下,轴上是否存在一点,使得以,,,为顶点的四边形是平行四边形.若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.【变式4-2】(2024·湖北武汉·模拟预测)如图1,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,已知,对称轴为直线(1)求抛物线的解析式;(2)点P在抛物线上,点Q在x轴上,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;(3)如图2,抛物线顶点为D,对称轴与x轴交于点E,过点的直线(不与直线重合)与抛物线交于G,H两点,直线分别交x轴于点M,N,画出图形,试探究是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.【变式4-3】难点平行四边形的顶点顺序不确定,需分情况讨论(2024·四川南充·模拟预测)如图1,抛物线与直线相交于点B和C,点B在x轴上,点C在y轴上,抛物线与x轴的另一个交点为A.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D,在直线上有一点P,求周长的最小值及此时点P的坐标;(3)如图3,将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线,在新抛物线上有一点N,在x轴上有一点M,试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形?若存在,写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.【中考模拟即学即练】1.(2024·湖北武汉·模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中,,等腰直角三角形的顶点A的坐标为,点B在第四象限,边与x轴交于点C,点M,R分别是线段的中点,过点M的抛物线(m,n为常数)的顶点为P.(1)点M的坐标为___________,用含m的代数式表示n为___________;(2)如图2,点N为中点,抛物线经过点N,E,点F在线段上,当以和为对边的四边形是平行四边形时,求点E的坐标;(3)当点P在等腰直角三角形的边上或内部,且抛物线与有且只有一个公共点时,求出m的取值范围.2.(2024·山西·模拟预测)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过两点,与y轴交于点C,P是抛物线上一动点,设点P的横坐标为,连接.(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标.(2)当的面积等于的面积的时,求m的值.(3)在(2)的条件下,若M为x轴上一动点,N是抛物线上一动点,是否存在以点C,P,M,N为顶点的平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2024·甘肃嘉峪关·二模)如图所示,在的顶点、在轴上,点在轴上正半轴上,且,,.(1)求过A,B,C三点的抛物线解析式.(2)设抛物线的对称轴与边交于点,若是对称轴上的点,且满足以、、为顶点的三角形与相似,求点的坐标;(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、,使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点、点的坐标;若不存在,请说明理由.题型五:特殊平行四边形的存在性问题顶点确定法1.确定矩形的顶点位置A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形(1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB确定点C,再利用矩形对边平行的性质确定点D(2)若AB为矩形的对角线,如图②,以AB为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作BC,AC的平行线确定点D.2.确定菱形的顶点位置A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形(1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点A,C作BC,AB的平行线交于点D;如图②,以点A为圆心,AB长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D;(2)若AB为菱形的对角线,如图③,作AB的垂直平分线交直线l于点C,交AB于点0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D.3.确定正方形的顶点位置已知两个定点A,B,在平面内找点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为正方形.(1)若AB为正方形的边,如图①,过点A.B分别作垂直于AB的直线,再利用正方形的边长相等,确定另两点的位置:(2)若AB为正方形的对角线,如图②.可作AB的垂直平分线,再利用正方形的对角线相等且互相垂直平分,确定另两点的位置。【中考母题学方法】【典例5】(2024·四川泸州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点,与y轴交于点B,且关于直线对称.(1)求该抛物线的解析式;(2)当时,y的取值范围是,求t的值;(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点C作x轴的垂线交直线于点D,在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形?若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由.【变式5-1】(2024·江苏无锡·中考真题)已知二次函数的图象经过点和点.(1)求这个二次函数的表达式;(2)若点,都在该二次函数的图象上,试比较和的大小,并说明理由;(3)点在直线上,点在该二次函数图象上.问:在轴上是否存在点,使得以,,,为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【变式5-2】(2024·湖南长沙·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中存在两条抛物线,抛物线交轴于点,,顶点坐标为.抛物线交轴于点,,顶点坐标为,().(1)求线段的长;(2)若点在抛物线上,点在抛物线上.试讨论和大小;(3)若点,在抛物线上,且满足,求的取值范围;(4)若S、T分别为、上的动点,当为菱

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