2025年中考数学一轮知识梳理难点10 相似三角形的常考题型（9大热考题型）（原卷版）

试卷第=page88页，共=sectionpages107107页难点10相似三角形的常考题型（9大热考题型）题型一：比例的性质题型二：黄金分割题型三：相似多边形的性质题型四：平行线分线段成比例定理题型五：相似三角形的判定题型六：相似三角形的性质题型七：相似三角形的性质与判定的综合题型八：相似三角形的实际应用题型九：图形位似题型一：比例的性质【中考母题学方法】【典例1】（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为．【变式1-1】（2023·甘肃武威·中考真题）若，则（

）A．6 B． C．1 D．【变式1-2】（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

【变式1-3】（2023·四川甘孜·中考真题）若，则．【中考模拟即学即练】1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，且，那么k的值是（

）A．2 B． C．2或0 D．2或2．（2024·浙江宁波·二模）已知，则下列比例式正确的是（

）A． B． C． D．3．（2024·广东深圳·一模）已知，且，那么．4．（2025·上海闵行·一模）如果，那么的值为．5．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中）的值是．题型二：黄金分割【中考母题学方法】【典例1】（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离．（结果保留根号）【变式2-1】（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为（结果保留根号）．【变式2-2】（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为米．【中考模拟即学即练】1．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点P是的黄金分割点，即，这个无理数约是（

）A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.8282．（2024·安徽合肥·三模）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（

）A． B．C． D．3．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为．（结果保留根号）4．（2024·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则．5．（2024·福建厦门·模拟预测）活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为）①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______；②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______；③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______；④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形．活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形．如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长；步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长；步骤三：作黄金三角形．6．（2024·江苏盐城·二模）【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题如图1，点是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示以为长、为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题：（1）若，则（结果保留根号）；（2）（填“”、“”或“”．【初步探究】（3）将图1补成矩形，如图2，小明猜想点在矩形的对角线上，请帮助小明判断其猜想是否正确，并说明理由．【深入探究】（4）如图3，已知线段为的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段上作一点，在圆上作一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）题型三：相似多边形的性质【中考母题学方法】【典例1】（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（

）A．4 B．6 C．16 D．18【变式3-1】（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（）

A． B． C． D．【中考模拟即学即练】1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图与关于点A成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则（

）A．9 B．12 C．16 D．183．（2024·重庆渝北·模拟预测）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸沿对开后，再把矩形纸沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（

）A． B． C． D．24．（2024·浙江宁波·一模）如图，点O为四边形内的一点，连结，若，则四边形的面积与四边形的面积比为（

）

A． B． C． D．5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，，若，则的面积一定可以表示为（

）

A． B．C． D．6．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为．题型四：平行线分线段成比例定理【中考母题学方法】【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（

）A． B．3 C． D．4【变式4-2】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（）A． B．C． D．【变式4-3】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则．【变式4-4】（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为．

【中考模拟即学即练】1．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知直线，直线分别交直线于点，直线分别交直线于点，若，则（

）A．6 B．16 C．18 D．202．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（

）A． B． C． D．25：163．（2024·湖南·二模）如图，在中，D，E分别为边上的点，且，若，则的长为．4．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．(1)求证：；(2)连接，当时，求的值．题型五：相似三角形的判定【中考母题学方法】【典例1】（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．【变式5-1】（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是．

【变式5-2】（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【变式5-3】（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．【中考模拟即学即练】1．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（

）A． B． C． D．2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，与相交于点O，要使与相似，可添加的一个条件是（

）A． B． C． D．3．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是．（只要写一个条件）由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等．此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键．解：是公共角，要使，可添加：或或等．故答案为：如或或等（此题答案不唯一）．4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，，请用尺规作图法在边上作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）6．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，．(1)证明：(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明题型六：相似三角形的性质【中考母题学方法】【典例1】（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（

）A． B． C． D．【变式6-1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（

）A． B． C． D．【变式6-2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（

）

A． B． C． D．【变式6-3】（2023·重庆·中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（

）

A．4 B．9 C．12 D．【中考模拟即学即练】1．（2023·广东阳江·一模）已知，若与的相似比为，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江宁波·三模）如图，，，，与的面积分别是和，与的周长分别是和，则一定成立的等式是（

）A． B． C． D．3．（2024·上海杨浦·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么．4．（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，，分别与直尺的另一边交于点，．若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点C到边的距离为．5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，D是AB上一点，连接．若，则的长为．6．（2024·云南·模拟预测）如图，，，则为．7．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．(1)在图1中画一个格点，使．(2)在图2中找一点F，使．题型七：相似三角形的性质与判定的综合【中考母题学方法】【典例1】（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．(1)如图1，当时，求的度数；(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．【变式7-1】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（

）．A． B． C． D．【变式7-2】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为．【变式7-3】（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为．【变式7-4】（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______(2)求证：(3)若，，，求的面积．【变式7-5】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结．(1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长．(2)如图2，若，设与交于点K．求证：．(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由．【中考模拟即学即练】1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线．（1）已知，则（用含α的代数式表示）；（2）若，则的长为．如2．（2025·上海普陀·一模）已知：如图，梯形中，，为对角线，．(1)求证：；(2)E为的中点，作，交边于点F，求证：．3．（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰中，，是的三等分点且靠近点，是的中点，过点作交延长线于点．(1)求的值；(2)连接，若，，求的值．4．（2025·湖南娄底·一模）如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点．(1)求证：；(2)如图2，连接，过点作，垂足为，连接，点是线段的中点，连接．①求的最小值；②当取最小值时，求线段的长．5．（2025·安徽·模拟预测）如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，．(1)求证：；(2)如图②，连接交于点G．①若，求证：平分；②若，求的值．6．（2025·广东·模拟预测）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，，过点作射线，垂足为，点在上．(1)【动手操作】如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为______度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若在直角中，，，点在线段上，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．7．（2025·甘肃·模拟预测）【模型建立】（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：；【模型应用】（2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值；【模型迁移】（3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值．8．（2024·广东深圳·模拟预测）在四边形中，P为对角线BD延长线上的一点，过点P作交射线AD于点E，连接CE．过点P作交射线于点F．(1)如图1，若四边形为正方形，求证：(2)若四边形为菱形，且，连接并延长，交直线CE于点G．①如图2，当G为CE中点，求的值；②如图3，若P点为射线BD上一点，当为等腰三角形时，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．题型八：相似三角形的实际应用【中考母题学方法】【典例1】（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．【变式8-1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（

）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米【变式8-21】（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为．【变式8-3】（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为：方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端．已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，）【变式8-4】（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），．(1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变．(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大．①画出此时所在位置的示意图；②的长度的最大值为cm．【变式8-51】（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

【中考模拟即学即练】1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深．立5尺长的木于井上，从木的末梢点观察井水水岸处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（

）A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸3．（2025·广东深圳·一模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为，则聚光灯距离地面的高度为m．4．（2024·吉林松原·三模）如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所示，此时液面．5．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是米．6．（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是m．7．（2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点，测得，．(1)若，求AB的长；(2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求AB距离地面的高．(结果保留整数参考数值，8．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．【问题提出】问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示）【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，