2025年中考数学一轮知识梳理难点与新考法15圆中相关计算、切线、内切圆、阴影面积等问题（7大热考题型）（原卷版）

难点与新考法15圆中相关计算、切线、内切圆、阴影面积等问题

（7大热考题型）

题型一：与圆周角有关计算

题型二：与垂径定理有关计算

题型三：与圆内接四边形有关计算

题型四：切线的判定问题

题型五：与切线性质有关计算

题型六：三角形的内心及内切圆

题型七：阴影部分面积计算

题型一：与圆周角有关计算

圆周角定理及其推论

常

见

形

式

方找到同弧所对的圆周角和圆心角,通过其角度的2倍关系进根据直径所对的圆利用同弧或等弧

法行计算周角是90°进行计所对的圆周角相

算等进行计算

结1∠ACB=90°∠ACB=∠ADB

∠ACB=∠AOB

论2

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，VABC是O的内接三角形，若OBC28，则A．

【典例1-2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，VABC内接于O，是直径，若B25，则CAD

．𝐴

【典例1-3】（2024·四川眉山·中考真题）如图，VABC内接于O，点O在AB上，AD平分BAC交O于

D，连接BD．若AB10，BD25，则BC的长为．

【典例1-4】（2024·陕西·中考真题）如图，BC是O的弦，连接OB，OC，A是BC所对的圆周角，则A

与OBC的和的度数是．

【典例1-5】（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是O的直径，AH是O的切线，点C为O上任意一

1

点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF1，tanB，则AE的

2

长为．

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（2024·西藏·中考真题）如图，AC为O的直径，点B，D在O上，ABD60，CD2，

则AD的长为（）

A．2B．22C．23D．4

【变式1-2】（2024·北京·中考真题）如图，O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若D35，则C

【变式1-3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，连接AD、BC、BD．若

BCD20，则ABD．

【变式1-4】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，AB是O的内接正n边形的一边，点C在O上，ACB18，

则n．

【变式1-5】（2025·广东·模拟预测）如图，点A，B，C在O上，若ABO55，则C的度数为（）

A．30B．35C．45D．60

【变式1-6】（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形ABCD内接于O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若

BAC44，则DBC的度数为（）

A．44B．46C．48D．56

【变式1-7】（2025·广西·模拟预测）如图，CD是O的直径，点A、B在O上．若ACBC，AOC36，

则D的度数是．

题型二：与垂径定理有关计算

垂径定理及其推论

1.定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

2.解题思路:如图①,有直角三角形,直接利用勾股定理解题:如图②.③,无直角三角形作半径和弦心距,构造直

角三角形.

知识拓展如果一条直线满足下列5个结论中的2个,便可推出其他3个结论(记为“知二推三”):①过圆心;

②垂直于弦:③平分弦(不是直径):④平分弦所对的优弧:⑤平分弦所对的劣弧.

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，

小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB

于点C，测出AB40cm,CD10cm，则圆形工件的半径为（）

A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm

【典例2-2】（2023·广西·中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.

如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）

A．20mB．28mC．35mD．40m

【典例2-3】（2023·陕西·中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从

正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．AB是O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB

交于点C，连接OA，OB．已知AB24cm，碗深CD8cm，则O的半径OA为（）

A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm

【典例2-4】（2023·湖北荆州·中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在

圆的圆心，B为AC上一点，OBAC于D．若AC3003m，BD150m，则AC的长为（）

A．300mB．200mC．150mD．1003m

【典例2-5】（2023·浙江温州·中考真题）图1是44方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为2，现

将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字

区域(点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为．若点A，

N，M在同一直线上，AB∥PN，DE6EF，则题字区域的面积为．

【中考模拟即学即练】

【变式2-1】（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底

的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、

B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB3cm，CD4cm．请你帮忙计算纸杯杯

底的直径为（）

A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm

【变式2-2】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，O是VABC的外接圆，AB是O的直径，点D是弧BC

的中点，AD与BC相交于点E，连接OD交BC于点F．若E为AD的中点，AC2，则BC的长为（）

A．22B．42C．6D．82

【变式2-3】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱

门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB1m，CD2.5m，则拱门所在圆的半径为（）

A．1.25mB．1.3mC．1.4mD．1.45m

【变式2-4】（2023·湖南永州·中考真题）如图，O是一个盛有水的容器的横截面，O的半径为10cm．水

的最深处到水面的距离为4cm，则水面的宽度为cm．

𝐴𝐴

【变式2-5】（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》

中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问

径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，EB=1寸，CD10寸，则直

径AB长为寸．

题型三：与圆内接四边形有关计算

圆内接四边形的性质

性质1:圆内接四边形的对角互补

性质2:任意一个外角等于它的内对角.

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足ADC120，

BC2，则弧BC的长为（）

π2πππ

A．B．C．D．

4323

【典例3-2】（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是O的切线，切点为A，D，点B，C在O上，

若BAEBCD236，则E（）

A．56B．60C．68D．70

【典例3-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB是O的直径，

若BEC20，则ADC的度数为（）

A．100B．110C．120D．130

【典例3-4】（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点

E，F．若E5441，F4319，则A的度数为（）

A．42B．4120C．41D．4020

【典例3-5】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，点O在四边形ABCD

内部，过点C作O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若AOB140，BCP35，则ADC

的度数为．

【中考模拟即学即练】

【变式3-1】（2024·吉林·中考真题）如图，四边形ABCD内接于O，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若

BEC50，则ABC的度数是（）

A．50B．100C．130D．150

【变式3-2】（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在O内，若圆周角D130，则圆心角AOC的度数是

（）

A．130B．100C．65D．50

【变式3-3】（2024·湖北宜昌·二模）如图，点O是VABC的外心，若BOC110°，求弦BC所对的圆周

角．

【变式3-4】（2024·北京·模拟预测）平面中有四个点A,B,C,D.AB交CD于点M使得

AMBMCMDM．三角形ABC的外接圆为O．表示DOC和DAC的关系

题型四：切线的判定问题

1.连半径,证垂直

连接圆心与交点,证明直线垂直半径,即“连半径,证垂直”.常见的情形如下

条件图形提示

已知∠C=90°证明半径OE//AC

已知∠ABC=90°证明△ODC≌△OBC

已知AB是⊙0的直径,D是⊙0上证明∠ADO=∠BDC,结合等腰三角

的点,即∠ADB=90°形,利用等角的余角相等“倒角”

2.作垂直,证相等

过圆心作直线的垂线段,证明垂线段长等于半径,即“作垂直,证相等”证明圆心到直线的距离等于半径的常见

证明方法:①利用角平分线上的点到角两边的距离相等:②证明三角形全等.

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA3，

AB2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点A作切线AC，且AC4（点C在A的上方）；

②连接OC，交O于点D；

③连接BD，与AC交于点E．

(1)求证：BD为O的切线；

(2)求AE的长度．

【典例4-2】（2024·山东东营·中考真题）如图，VABC内接于O，AB是O的直径，点E在O上，点C

是BE的中点，AECD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．

(1)求证：CD是O的切线；

(2)若CD3，ABC60，求线段AF的长．

【典例4-3】（2024·湖北·中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，点E在AC上，以为直径的O

经过上的点D，与OB交于点F，且BDBC．𝐶

𝐴

(1)求证：是O的切线；

𝐴

(2)若AD3，AE1，求CF的长．

【典例4-4】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将VABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C落在

边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，O经过点A、D．若ACB90，判断BC与O的位置关系，

并说明理由．

【典例4-5】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长

为半径的O与相切于点E，与AC相交于点F．

𝐴

(1)求证：与O相切．

(2)若正方�形�ABCD的边长为21，求O的半径．

(3)如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MNOC交CE于点N．当

CM:FM1:4时，求CN的长．

【中考模拟即学即练】

【变式4-1】（2024·山西运城·模拟预测）阅读与思考

直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并

完成相应的任务．

欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，

切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的

切线…

证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理

来证明．

添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．

图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，

将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连

杆”AP，BP的连接点P在O上，MNEF，垂足为O，当点P在O上转动时，带动点A，B分别在射

1

线OM，OF上滑动，当点B恰好落在O上时，PBOPAO，请判断此时AP与O的位置关系并说

2

明理由．

小王的解题思路如下：AP与O相切．

理由：连接OP．

∵点B恰好落在O上，

1

PBOPOE．（依据1）

2

1

QPBOPAO，

2

POEPAO．

MNEF，

POEAOP90，

PAOAOP90．

QPAOAOPAPO180，（依据2）

APO90，

∴AP与O相切．

任务：

(1)依据1：_____________________________．

依据2：________________________________．

(2)在图2中，O的半径为6，AP8，求BP的长．

【变式4-2】（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知O是VABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径

的O与边AC相切于点D，且BCCD，连接OC，交O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．

(1)求证：BC是O切线；

(2)求证：OAABADAC；

4

(3)若AC16，tanBAC，F是AC中点，求EF的长．

3

【变式4-3】（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的动点，以E为圆

心，DE为半径作圆，AF与E相切于点F，连接EF并延长交BC于点G，连接AE，AG．

(1)求证：△ABG≌△AFG；

(2)如图2，AE与E相交于点H，连接BH并延长交AD于点K，当满足DKEGCG12时，试判断BK

与E的位置关系并说明理由．

【变式4-4】（2024·广东东莞·一模）如图1，OB是Rt△ABC中ABC的平分线，BAC90，以AO为半

径的O与AC相交于点E，且CE1．

(1)求证：BC是O切线；

1

(2)如图2，设O与BC的切点为D，连接AD．当tanCAD时，求O的半径；

3

SCDG

(3)若F是线段AB的中点，连CF与AD交于G，在（2）的条件下，求的值．

SACG

【变式4-5】（2025·云南·模拟预测）如图，O是四边形ABCD的外接圆，AC、BD是四边形ABCD的对角

线，AC恰为O的直径，ADB30，点E在劣弧AD上，过点D作DFAE，交AE的延长线于点F，

AD平分FAC．

(1)求BAC的度数；

(2)求证：DF是O的切线；

(3)若CAD30，P是劣弧CD上的一个动点，不与C，D重合，连接AP，CP，DP，DG⊥AP于点G，

求AP3CP的值．

DP

题型五：与切线性质有关计算

1.求角度问题的解题关键

连接圆心和切点,构造直角三角形,依据三角形内角和定理得到角度,通常还需结合等腰三角形的性质、圆周角

定理及推论和平行线性质定理进行角度转化

2.求线段长问题的解题步骤

第一步:先将题中已知条件进行转化,挖掘题中的隐含条件,如:①切线与过切点的半径垂直,可构造直角三角

形:②圆的半径长相等,可构造等腰三角形;③弦与切线平行则弦与过切点的半径垂直,可结合垂径定理;

第二步:结合已知解题方法,考虑利用勾股定理、锐角三角函数或相似三角形的性质求解;

第三步:作辅助线,构造直角三角形或相似三角形;

第四步:论证求解

利用勾股定理求解的常考图形如下:

图形AB与O相切于点A，0BAB是O的切线,CD∥AB,交OA在Rt△ABC中,点O在AB上，

交O于点C于点EO交AB于点E,切BC于点D

结论ΔOAB为直角三角形,△OED为直角三角形△ADE为直角三角形

2

r²+AB²=(r+BC)²2CD2AE²-DE²=CD²+AC²

rAEr

2

利用相似三角形求解的常考图形如下:

图形AB是直径,切线CD交AB是直径.CD是O的切线,切AB是O的直径,CD是O0的

O于点E,交AB延长线于点为D切线,C是切点,AD⊥CD

点C,AD⊥CD

结论△COE∽△CAD△BCD∽△DCA△ABC∽△ACD.

ACrCErBCCDBDABACBC

ACCDADDCCADAACADCD

【中考母题学方法】

【典例5-1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切

于点D，若C20，则CAD°．

【典例5-2】（2024·云南昆明·模拟预测）在边长为10的正方形ABCD中，点E是AD的中点，作射线BE，

在射线BE上有一点P，若以点P为圆心，半径长为4的P与正方形ABCD的其中一边相切，则BP的长

为．

【典例5-3】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，ABl2于点B，

点C、D分别是l1、l2上的动点，且满足ACBD，连接CD交线段AB于点E，BHCD于点H，则当BAH

最大时，sinBAH的值为．

【典例5-4】（2024·山东青岛·中考真题）如图，VABC中，BABC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC

3

于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON10，cosABC，

5

则半径OC的长为．

【典例5-5】（2024·天津·中考真题）已知VAOB中，ABO30,AB为O的弦，直线MN与O相切于点C．

(1)如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求AOB和BCE的大小；

(2)如图②，若OB∥MN,CGAB，垂足为G,CG与OB相交于点F,OA3，求线段OF的长．

【中考模拟即学即练】

【变式5-1】（2024·福建·中考真题）如图，已知点A,B在O上，AOB72，直线MN与O相切，切点

为C，且C为AB的中点，则ACM等于（）

A．18B．30C．36D．72

【变式5-2】（2024·山西·中考真题）如图，已知VABC，以AB为直径的O交BC于点D，与AC相切于点

A，连接OD．若AOD80，则C的度数为（）

A．30B．40C．45D．50

【变式5-3】（2024·浙江·中考真题）如图，是O的直径，AC与O相切，A为切点，连接BC．已知

ACB50°，则B的度数为𝐴

【变式5-4】（2025·贵州·模拟预测）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，过点C作O的切线CD，

交AB的延长线于点D，过点A作AECD于点E．

(1)若EAC25，求D的度数；

(2)若OB3，BD2，求AC的长．

【变式5-5】（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形ABCD中，A90，AD6，AB8，BD为四边形ABCD

2

的对角线，sinBDC．

5

(1)求点B到DC的距离；

(2)如图2，点E在AD边上，且AE4．以B为圆心，BC长为半径作B，点F为B上一点，连接EF交

4

AB于P．tanC．

3

①当EF与B相切时，求EF的长；

②当EF∥AB时，直．接．写出EF的长．

题型六：三角形的内心及内切圆

重要结论识记

图示

条件点O是△ABC的内心⊙0是△ABC的内切圆

结论1.点O是ΔABC角平分线的交点:1.点0是ABC的内心,⊙0分别与AB、BC,AC相切于

1点则；

2.∠B0C=90°+∠BAC,D,E,F,OD=OE=OF

2

1

12.SABCABBCACCD

∠AOC=90°+∠ABC,2

2

1

∠AOB=90°+∠ACB

2

【中考母题学方法】

【典例6-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于O，则它的内切圆半

径为（）

A．1B．2C．2D．3

【典例6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在VABC中，AC5，AB7，BC6，O为VABC的内

切圆，过O作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，则DE的长为（）

46

A．26B．4C．5D．

3

【典例6-3】（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，ABAD6m，CBCD8cm，

B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为cm．

【典例6-4】（2024·浙江宁波·一模）如图，将矩形ABCD的边AD翻折到AE，使点D的对应点E在边BC上，

SADE

再将边AD翻折到DF，且点A的对应点F为ABE的内心，则．

SAEF

【典例6-5】（2024·山东烟台·中考真题）如图，AB是O的直径，VABC内接于O，点I为VABC的内心，

连接CI并延长交O于点D，E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．

(1)若ABC25，求CEB的度数；

(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；

13

(3)若CI22，DI2，求VABC的周长．

2

【中考模拟即学即练】

【变式6-1】（2024·山东聊城·一模）如图，点I为等边VABC的内心，连接AI并延长交VABC的外接圆于点

D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（）

A．2B．3C．4D．23

【变式6-2】（2024·四川南充·一模）如图，点O是VABC外接圆的圆心．点I是VABC的内心．连接OB,IA．若

CAI37，则OBC的度数为（）

A．37B．20C．16D．14

4

【变式6-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张Rt△ABC纸片中，ACB90，AC8，tanABC，

3

O是它的内切圆．小明用剪刀沿着O的切线DE剪下一块三角形ADE，则VADE的周长为（）

A．9B．12C．15D．18

【变式6-4】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在Rt△ABC中，ÐB=90°，AB6，AC10，点P是

Rt△ABC的内心．点P到边AB的距离为；

【变式6-5】（2024·福建南平·模拟预测）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D，

过点D作O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．

(1)求证：E为BC的中点；

(2)若O的面积为12，两个AHD和VBMH的外接圆面积之比为3，求DEC的内切圆面积S1和四边形

OBED的外接圆面积S2的比．

题型七：阴影部分面积计算

方法1公式法

面积公式直接计算

观察图形,所求阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时,可直接用面积公式进行求解.

方法2和差法

面积和差运算

观察图形,所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形或特殊四边形面积的和或者差,则分别计算每部分面积,

再加减计算.

方法3等积转化法

等积转化法的解题关键

观察图形,当所求阴影部分可转化成规则图形或阴影部分不是一个整体时,可尝试通过等积转化法计算.

1.通过平行线间三角形面积相等进行等积转化;

2.将两部分阴影部分面积合二为一进行等积转化

【中考母题学方法】

【典例7-1】（2024·河南·中考真题）如图，O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中

点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在O内画弧，则阴影部分的面积为（）

8π16π

A．B．4πC．D．16π

33

【典例7-2】（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片ABCD，BC36cm，A110，BDC50，

点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则NMC度；将扇

形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为cm．

【典例7-3】（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2．以点A为圆心，AD长

为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，则图中阴影部分的面积为．

【典例7-4】（2024·宁夏·中考真题）如图，O是VABC的外接圆，AB为