2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型11与角平分线、中点有关问题（5大热考题型）（原卷版）

难点与解题模型11与角平分线、中点有关问题（5大热考题型）

题型一：与角平分线有关问题

题型二：与中线有关问题

题型三：与中位线有关问题

题型四：与等腰三角形底边中点有关问题

题型五：倍长中线模型

题型一：与角平分线有关问题

常考模型及步骤

第一步：依据特征找模型——找是否存在角平分线

第二步：抽离模型——判断角平分线上一点与角两边上点的连线与角平分线的位置关系

第三步：利用性质解题——利用角平分线的性质、全等三角形、等腰三角形“三线合一”及平行线的性质

解题

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2023·湖南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，C90，按以下步骤作图：①以点A为圆心，

1

以小于AC长为半径作弧，分别交AC,AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半

2

径作弧，在BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长

为．

【典例1-2】（2023·江苏·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，ABDE，ACDF，BECF．

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)点P、Q分别是VABC、DEF的内心．

①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接PQ，则PQ与BE的关系是________．

【典例1-3】（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：

作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别

取点C和D，使得OCOD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是AOB的平分线．

请写出OE平分AOB的依据：____________；

类比迁移：

（2）小明根据以上信息研究发现：CDE不一定必须是等边三角形，只需CEDE即可．他查阅资料：我

国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB的边OA，OB上分别取OMON，移动角尺，

使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是AOB的平分线，请说明此做法

的理由；

拓展实践：

（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要

在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距

离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不．带．刻．度．的．直．尺．和．圆．规．在对应

的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【典例1-4】（2023·河南·中考真题）如图，VABC中，点D在边AC上，且ADAB．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

(2)若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DEBE．

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（2024·贵州铜仁·一模）如图，在VABC中，C90，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别

1

交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，

2

交BC于点E．已知CE2，AB6，AEB的面积为（）

A．4B．8C．10D．6

【变式1-2】（2024·山东济宁·一模）如图，在VABC中，∠C90，AC12．

(1)请用无刻度的直尺和圆规在边BC上求作一点D，使得点D到边AB，AC的距离相等（保留作图痕迹，

不写作法）；

(2)在（1）所作的图形中，过点D作DEAB于点E．

①求证：AEAC；

②

若CD4，SABD30，求BE的长．

【变式1-3】（2024·河南周口·模拟预测）如图，在VABC中，C90．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出B的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)若（1）中所作的角平分线与边AC交于点D，CD3，AB8，求△ABD的面积．

【变式1-4】（2023·广西桂林·模拟预测）在VABC中，BD是边AC上的高．

(1)尺规作图：作C的平分线，交BD于E．

(2)若DE4，BC10，求BCE的面积．

【变式1-5】（2023·广东惠州·二模）如图，CBCD，DABC180，CEAD于E．

(1)求证：AC平分DAB；

(2)若AE10，DE4，求AB的长．

题型二：与中线有关问题

与中线有关的解题关键解题关键是利用中线的性质,如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线则BD=CD,

1

S△S△S

ABDADC2ABC

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2024·山东德州·中考真题）如图，在VABC中，AD是高，AE是中线，AD4，S△ABC12，

则BE的长为（）

A．1.5B．3C．4D．6

【典例2-2】（2023·浙江·中考真题）如图，点P是VABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于

点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则VABC的面积为（）

A．15B．18C．24D．36

4

【典例2-3】（2024·福建福州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数yx0的图象分别

x

与等腰RtAOB的直角边AB和斜边OB交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接AD，CD，若ADOB，

则△BCD的面积为．

【典例2-4】（2024·河北·中考真题）如图，VABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是

线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．

△

（1）AC1D1的面积为；

（2）△B1C4D3的面积为．

【典例2-5】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的99网格，每个小正方形的顶点叫做格点

A，B，C三点是格点，F点是BC与网格线的交点．，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图1中，取AB的中点D，AC的中点E，连接ED，再作平行四边形BDEK；

(2)在图2中，在AB上画出一点G，使S△ACGS△ACF；

(3)在图3中，点T在格点上，连接BT，CT，在CT上画点M，使AM平分四边形ABTC的面积．

【中考模拟即学即练】

【变式2-1】（2024·云南昆明·二模）如图，AD，CE是VABC的两条中线，连接ED．若SVABC16，则阴

影部分的面积是（）

A．2B．4C．6D．8

【变式2-2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，AD是VABC的中线，点E是AD的中点，连接CE并延长，

交AB于点F，若AB6．则AF的长为（）

A．1B．2C．3D．4

【变式2-3】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为VABC三边BC,CA,AB上一点，且AD,BE,CF

交于点G，若SBDG6,SCDG4,SAEG15，则SABC（）

A．50B．54C．60D．63

【变式2-4】（2024·重庆·模拟预测）如图，在RtABC中，BAC90，AB5，AC10，D为BC的中点，

E为AC中点，连接BE交AD于点F，则ABF的面积为．

【变式2-5】（2024·辽宁·模拟预测）如图，将VABC沿直线AC翻折得到△ADC，BD交AC于点E，F为CD

的中点，连接AF并延长，交BC的延长线于点G，连接EF，若AB10，AE6，△ADF的面积为18，

则DEF的面积为．

【变式2-6】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，将VABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置，已知

VABC的面积为25cm2，阴影部分三角形的面积为9cm2，若AA1cm，则AD的值为cm．

【变式2-7】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，AC4,BD2，

过点C作CEAB，交AB的延长线于点E，连接OE，则COE的面积是

【变式2-8】（2024·上海浦东新·一模）如图，在VABC中，AB4，AC6，E为BC中点，AD为VABC的

:

角平分线，VABC的面积记为S1，VADE的面积记为S2，则S2S1．

4

【变式2-9】（2024·广东广州·二模）如图，已知△ABD中，ACBD，BC8，CD4，cosABC，BE

5

为AD边上的中线．

(1)求AC的长；

(2)求BED的面积．

题型三：与中位线有关问题

与中位线有关的解题关键

利用中位线的性质解题,如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则

11

DE//BC,DEBC，S△S△

2ADE4ABC

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．

【示例】如图，AF，BE是VABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，像VABC这样的三角形称作“中垂三角

形”．设BCa，ACb，ABc．数学兴趣小组想研究“中垂三角形”的三边是否存在某种关系，进行了如

下探究过程：

(1)【特例探究】如图2，VABC为“中垂三角形”，当ABE30，c4时，求a，b的值；

解：∵VABC为“中垂三角形”，即AF⊥BE，

又∵ABE30，ABc4，

∴AP2，BP①，

∵AF、BE分别是中线，连接EF，

∴EF是VABC的中位线，

1

∴EF∥AB，EFAE，

2

∵ABPFEB，BAPEFP，

∴△ABP∽△FEP，

1

∴FPAP1，

2

…（此处省略部分步骤）

∴BCa②，ACb③．

完成上述解题过程中的填空；

①：，②：，③：；

(2)【归纳证明】请你观察（1）中的解题思路及计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示

出来，并利用图3证明你发现的关系式；

(3)【拓展应用】利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4，在边长为8的菱形ABCD中，O为对角线AC，

BD的交点，E，F分别为线段OA，OD的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于

点G，H，直接写出MG2MH2的值．

【典例3-2】（2024·重庆九龙坡·三模）小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思

路如下：如图，在VABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，过点C在AC的右边作ACF，

使得ACFBAC，延长DE交CF于点F，然后通过证明ADE≌CFE和平行四边形BCFD来证明三角

形中位线定理，请完成下面的作图和填空．

(1)用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在AC的右侧作ACFBAC，延长DE，交CF于点F；（保

留作图痕迹，不写作法，不下结论）

(2)求证：BC2DE，BC∥DE．

证明：∵点E为AC的中点，

∴AECE，

又∵ACFBAC，

∴①．

在VADE和△CFE中，

DAEFCE

AECE，

②

∴ADE≌CFE，

∴③，DEFE，

∵点D为AB的中点，

∴ADBD，

∴④，

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴DFBC，DF∥BC，

∵DEFE，

∴⑤，

∴BC2DE，BC∥DE．

【典例3-3】（2024·广西南宁·模拟预测）阅读下面材料，并回答问题．

在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．

在八下课本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第

三边的一半．证明过程如下：

已知：如图1，D、E分别是VABC的边AB，AC的中点；

1

求证：DE∥BC且DEBC．

2

证明：如图1，延长DE到点F，使EFDE，连接FC，DC，AF．

∵E为AC中点

AE①

DEEF，

∴四边形ADCF是平行四边形，（②）（填推理的依据）

∴CF平行且等于DA

即CF平行且等于BD．

∴四边形DBCF是平行四边形

DF∥BC，DFBC，

11

又DEDF，DE∥BC，DEBC．

22

这个证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化．

(1)请完成证明过程中的填空：

①_______②_______

(2)在学习的过程中，我们可以用转化的数学思想，解决很多数学问题．

例如：如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，且点E，F分别为AB和CD中点．

猜想：线段AD，BC和EF之间的数量和位置关系，并写出证明过程．

(3)类比运用：如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，且ABCD．求证：ABCDCB．

【中考模拟即学即练】

【变式3-1】（2024·山西阳泉·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务．

三角形中位线的折法

如图1，在Rt△ABC中，ACB90，将A向下对折，使点A与点C重合，得到折痕DE，则DE垂直

平分AC，易得DE是VABC的中位线，

如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中

位线．

第一步，将C向左对折，使点C的对应点C落在BC上，展开后，得到折痕AP；

第二步，将A向下对折，使点A与点P重合，得到折痕DE，则DE是VABC的中位线．

理由如下：设AP与DE交于点Q．

第一次折叠可得APCC，第二次折叠可得DEAP，且AQPQ．

∴AQDAPB90．

ADAQAE

∵DE∥BC．∴（依据）．

BDPQCE

∵AQPQ，∴ADBD，AE=CE．

∴DE是VABC的中位线，

如图3，继续探究其他折法：

第一步，将C向左对折，使点C的对应点C落在BC上，展开后，得到折痕MN；

第二步，将A向下对折，使点A的对应点A落在BC上，点M的对应点落在折痕MN上，则DE是VABC

的中位线．

任务：

(1)写出材料中的依据：_____．

(2)请根据图3的折法，求证：DE是VABC的中位线．

【变式3-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）在初二下学期我们学习了三角形中位线的定义以及三角形中位线定

理，并且能用相关知识解决问题．

【问题再现】

1

已知：如图1，在VABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DEBC．

2

【简单应用】

（1）如图2，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分

别取CA、CB的中点D、E．测得DE的长为20m，则A、B两地的距离为_______m．

（2）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是BD和AC的中点，AD3，BC5，求EF的

长．

【灵活运用】

如图4，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点，点F关于直线DE的对称

点G恰好在BC的延长线上，FG交DE于点H，点M为AD的中点，若MH17，求BE的长．

【变式3-3】（2024·辽宁锦州·二模）【问题提出】

如图1，在VABC中，BAC90，ABAC，F为VABC内一点，连接AF，将AF绕点F顺时针旋转90

得到DF，连接BF并延长到点E，使EFBF，连接BD，CD，DE．求证：DECD，DECD．

【思路探究】

“神州小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点B作BG平行DE交DF的延长线

于点G，这样可以将证明DE和CD的关系转化为BG和CD的关系；

“智慧小组”的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH平行DF交ED

延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系．

（1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；

【思维训练】

王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：

（2）如图4，在VABC中，ACB90，A30，D为AB上一点，将CD绕点C逆时针旋转60得到CE，

连接BE，DE，O为DE中点，连接BO并延长交CD的延长线于点F，若EBO2BCE，探究OF，OB，

BE之间的数量关系，并说明理由；

【能力提升】

（3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F为平面内一点，

AD∥CE，CD2，AC3，其他条件不变，求AF的长．

【变式3-4】（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】

（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：

如图1，在VABC中，点D是AB的中点，点E是AC的一个三等分点，且AC3CE，连接CD，BE交于

点F，求证：CFFD．

①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取EB的中点G，连接DG，再通过“全等三角

形的性质”解决问题；

②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点C作CG∥AB，交BE的延长线于点G，再

通过“全等三角形的性质”解决问题．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

【类比分析】

（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我们熟悉的角度

去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在VABC中，

点D是AB的中点，点E，G是AC的三等分点，BG，BE与CD分别交于点H，F，求HD:HF的值．

【学以致用】

（3）如图5，在VABC中，ACBC，在射线AB上取点D，使BD2AB，连接CD，在CD上取点E，

射线EB，CA相交于点F，当EBED时，求BE:BF的值．

【变式3-5】（2024·宁夏银川·一模）如图1．在VABC中，D、E分别为AB、AC的中点，连接DE：

操作1．将VADE绕点E按顺时针方向旋转180到△CFE的位置．

操作2．延长DE到点F，使EFDE，连接CF．

试探究DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？

（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，

．

【结论应用】

（2）如图2，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次

连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH．

①求证：四边形EFGH为平行四边形；

②当AC与BD满足时，四边形EFGH是矩形，当AC与BD满足时，四边形EFGH是菱形.

③若AC16，BD20，AOB60，求四边形EFGH的面积．

【问题解决】

（3）如图3所示，在一个四边形ABCD的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边AB和边CD的中

点，且AABC90，BC6，AD8，求小路PQ的长度．

题型四：与等腰三角形底边中点有关问题

三线合一法

解题关键是利用等腰三角形“三线合一”,即顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线重合,利用角平分线、

中线和高线的性质解题.

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC10m，B30，

则中柱（D为底边中点）的长为m．

𝐴

【典例4-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，VABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O

相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．

(1)求证：AB与半圆O相切；

(2)连接OA．若CD4，CF2，求sinOAC的值．

【典例4-3】（2022·山东德州·中考真题）如图1，在等腰三角形ABC中，ABAC，O为底边BC的中点，

过点O作ODAB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．

(1)与O的位置关系为_______；

(2)�求�证：AC是O的切线；

(3)如图2，连接DM，DM4，A96，求O的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：

sin240.41，cos240.91，tan240.45)

【中考模拟即学即练】

【变式4-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，厂房屋顶人字形钢架（等腰三角形）的中柱AD（D为底边

中点）的长为5m，B30，则它的跨度BC为m.

【变式4-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变

得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．

2．等腰三角形+底边中3．直角三角形+斜边中

题眼1．普通三角形+中点4．两个中点

点点

大致图形

辅助线名

倍长中线三线合一斜边中线中位线

称

延长BD到点E，

具体做法连接AD连接CD连接DE

使DEBD，连接AE

△AED≌△CBDADBC

产生效果①②

AE∥BCBADCAD

(1)请在①，②中任选择一个填空：

你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）

(2)如图①，在三角形中，AD是VABC的一条中线，AB5,AC3,AD2，求BC的长．

(3)如图②，在VABC中，A30,C90,AB4，点M，N是边AC上两个不同的动点，以MN为边在

VABC内部（包括边界）作等边三角形PMN，点E，F分别是AM，PM的中点，当PMN的周长取最大

值时，求线段EF的长．

【变式4-3】（2024·广西·模拟预测）如图，已知VABC为等腰三角形，点O是底边BC上中点，腰AB与O

相切于点D.

(1)求证：AC是O的切线；

(2)当C45，O的半径为1时，求图中阴影部分的面积；

(3)设O与BC的交点为G、H，若BGBH12，求DB的长．

【变式4-4】（2024·辽宁·模拟预测）问题情境

数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片（各等腰三角形形状不同）探究旋转的特性，

如图①，ABAC，O为底边BC的中点．将VABC以点O为旋转中心，逆时针方向旋转，设旋转后得到

的三角形记为ABC，旋转角为0180．同学们经过操作探究后发现：旋转角等于2倍底角的

度数时，边AC总能落在原三角形边AB所在的直线上．在此基础上同学们进行如下探究：

独立思考：

小明：“设AB与BC相交于点D，当AB与BC垂直时，则60．”

小红：“若45，过点A作AEBC，垂足为E，交BC于点F，则AFBD．”

实践探究

奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

（1）问题1：在等腰三角形ABC中，ABAC，ABC由VABC绕底边BC中点O旋转得到，当旋转角

2C时，边AC总能落在原三角形边AB所在的直线上．

（i）如图②，设AB与BC相交于点D，当AB与BC垂直时，求证：60；

（ii）如图③，若45，过点A作AEBC，垂足为E，交BC于点F，求证：AFBD．

问题解决

小明经过探究发现：在问题1的基础上，若给出等腰三角形ABC腰与底的长，图中用字母标记的线段都可

求，可以将问题进一步拓展．

（2）问题2：如图④，在等腰三角形ABC中，ABAC5，BC6．若BA与CB的延长线相交于点D，

请直接写出BD的长．

题型五：倍长中线模型

倍长中线法

题中已知三角形及中线,或已知过一边中点的线段,常考虑倍长中线或倍长类中线构造全等三角形.

类型倍长中线倍长类中线

图示

条件在△ABC中.AD是边BC的中线在△ABC中点D是边BC的中点,点E是边

AB上一点,连接ED

作法延长AD至点E,使DE=AD,连接BE延长ED至点F,使DF=DE,连接CF

结论△ACD≌△EBD△BDE≌△CDF

【中考母题学方法】

【典例5-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变

得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．

2．等腰三角形+底边中3．直角三角形+斜边中

题眼1．普通三角形+中点4．两个中点

点点

大致图形

辅助线名

倍长中线三线合一斜边中线中位线

称

延长BD到点E，

具体做法连接AD连接CD连接DE

使DEBD，连接AE

△AED≌△CBDADBC

产生效果①②

AE∥BCBADCAD

(1)请在①，②中任选择一个填空：

你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）

(2)如图①，在三角形中，AD是VABC的一条中线，AB5,AC3,AD2，求BC的长．

(3)如图②，在VABC中，A30,C90,AB4，点M，N是边AC上两个不同的动点，以MN为边在

VABC内部（包括边界）作等边三角形PMN，点E，F分别是AM，PM的中点，当PMN的周长取最大

值时，求线段EF的长．

【典例5-2】（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：

如图①，在VABC中，AB6，AC8，第三边上的中线ADx，则x的取值范围是____．

【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：

（1）如图②，延长AD至点A，使得DAAD，连结AC，根据“SAS”可以判定△