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文档简介

难点04坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题

(4大热考题型)

题型一:坐标系中点的坐标规律问题

题型二:实际生活中函数图象问题

题型三:动点的函数图象问题

题型四:平面直角坐标系中的面积问题

题型一:坐标系中点的坐标规律问题

1.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法:

1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时,先求出第一个循环周期内相关点的坐标,然后找

出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置,从而求出坐标;

2)点的坐标是成倍递推变化时,先求出前几个点的坐标,然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间

存在的规律.

2.解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项:

1)求什么找什么的规律;2)变化规律最好用算式而不是得数表示;

3)找算式中数字与序号间的变化规律;

4)找坐标的变化规律,分两步进行:先找位置规律再找数字规律(点的坐标题型首先用这一条).

【中考母题学方法】

【典例1】(2023·辽宁阜新·中考真题)如图,四边形OABC1是正方形,曲线C1C2C3C4C5叫作“正方形的渐

开线,其中,,,,的圆心依次按,,,循环.当时,点的坐

”C1C2C2C3C3C4C4C5…OABC1OA1C2023

标是()

A.(1,2022)B.(2023,1)C.(1,2023)D.(2022,0)

【变式1-1】(2023·湖南张家界·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABOC是正方形,点A的

坐标为,是以点为圆心,为半径的圆弧;是以点为圆心,为半径的圆弧,是

(1,1)AA1BBAA1A2OOA1A2A3

以点为圆心,为半径的圆弧,是以点为圆心,为半径的圆弧,继续以点,,,为

CCA2A3A4AAA3BOCA

圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5称为正方形的“渐开线”,则点A2023的坐标是.

【变式1-2】难点同时分析周期变化和递增变化的规律

(2023·湖南怀化·中考真题)在平面直角坐标系中,VAOB为等边三角形,点A的坐标为1,0.把VAOB按

如图所示的方式放置,并将VAOB进行变换:第一次变换将VAOB绕着原点O顺时针旋转60,同时边长扩

△△

大为VAOB边长的2倍,得到A1OB1;第二次旋转将A1OB1绕着原点O顺时针旋转60,同时边长扩大为

△△△

A1OB1,边长的2倍,得到A2OB2,….依次类推,得到A2033OB2033,则A2023OB2033的边长为,

点A2023的坐标为.

【变式1-3】难点结合函数,利用函数解析式求点坐标

1.(2024·江苏无锡·模拟预测)如图,OA1B1,A1A2B2,△A2A3B3,是分别以A1,A2,A3,为直

角顶点,一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形,其斜边的中点C1,C2,C3,,均在反比例

4

函数y(x0)的图象上,则点A的横坐标为,点A的横坐标为.

x22024

2.(2024·黑龙江齐齐哈尔·二模)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示,已知A点坐标为1,1,

过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线

于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……,依次进行下去,则点A2024的坐标为.

【变式1-4】难点结合三角形,利用相似三角形求面积

(2023·辽宁锦州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,四边形A1B1B2C1,A2B2B3C2,A3B3B4C3,A4B4B5C4,…

都是平行四边形,顶点B1,B2,B3,B4,B5,…都在x轴上,顶点C1,C2,C3,C4,…都在正比例函数

1

yx(x0)的图象上,且BC2AC,BC2AC,BC2AC,…,连接AB,AB,AB,

4212132324343122334

A4B5,…,分别交射线OC1于点O1,O2,O3,O4,…,连接O1A2,O2A3,O3A4,…,得到O1A2B2,O2A3B3,

O3A4B4,….若B12,0,B23,0,A13,1,则O2023A2024B2024的面积为.

【中考模拟即学即练】

1.(2024·宁夏银川·模拟预测)如图,在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P

为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6……按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中

正方形的顶点坐标分别为P3,0,A12,1,A21,0,A32,1,则顶点A2024的坐标为()

A.1347,0B.672,675C.672,675D.1350,0

2.(2024·湖南长沙·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中有一系列格点Aixi,yi,其中i1,2,3,,n,,

L

且xi,yi是整数.记anxnyn,如A10,0,即a10,A21,0,即a21,A31,1,即a30,,以

此类推.则下列结论正确的是()

a22n3a22n4

A.a495B.a202443C.2n1D.2n1

3.(2024·江苏盐城·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,函数y3x和yx的图象分别为直线l1,l2,

过点作x轴的垂线交l1于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l1于点A3,过

1,0

L

点A3作y轴的垂线交l2于点A4,,依次进行下去,则点A2024的坐标为()

A.31010,31010B.31010,31011C.31011,31012D.31012,31012

4.(2024·河南新乡·模拟预测)直角坐标系中,VABC的三个顶点都在边长为1的小正方形的格点上,VABC

关于y轴的对称图形为A1B1C,VABC与A1B1C组成一个基本图形,不断复制与平移这个基本图形,得到

如图所示的图形.若AmBnCk是这组图形中的一个三角形,当n2024时,点Am的横坐标是()

A.2023B.2022C.4048D.4046

V

5.(2024·河南省直辖县级单位·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角OA1B1的斜边OA14,

且OA1在x轴的正半轴上,点B1落在第一象限内.将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45,得到RtOA2B2,

△△

再将RtOA2B2绕原点O逆时针旋转45,又得到RtOA3B3,;依此规律继续旋转,得到RtOA2024B2024,

则点B2024的坐标为()

A.2,2B.(22,22)C.(22,0)D.(0,22)

6.(2024·山东临沂·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中A1,1B1,2,C3,2,D3,1,一只蚂蚁

从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿ABCDA循环爬行,问第2023秒蚂蚁所在点的坐标

为.

7.(2024·山东东营·模拟预测)如图,在平面直角坐标系xOy中,有一边长为1的正方形OABC,点B在x轴

的正半轴上,如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1,再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2,

,照此规律作下去,则B2的坐标是;B2024的坐标是.

8.(2024·河北秦皇岛·一模)如图,点O为正六边形的中心,P、Q分别从点A(1,0)同时出发,沿正六边形

按图示方向运动,点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,则第1次相遇地点

的坐标为,则第2024次相遇地点的坐标为.

9.(2024·浙江·模拟预测)生活中很多图案都与斐波那契数列1,1,2,3,5,8,…相关,如图,在平面直

角坐标系中,依次以这组数为半径作90°的圆弧,得到一组螺旋线,若各点的坐标分别为P11,0,P20,1,

L

P31,0,则点P7的坐标为.

1

10.(2024·山东聊城·三模)如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图,OA1,反比例函数y与该回

x

形图的交点依次记为B1、B2、B3、……,则B2024的坐标为.

11.(2024·黑龙江齐齐哈尔·二模)如图,在抛物线y=x2的内部依次画正方形,使对角线在y轴上,另两个

顶点落在抛物线上,按此规律类推,第2024个正方形的边长是.

题型二:实际生活中函数图象问题

读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分

析如下:

关键信息函数意义

坐标轴弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量

拐点图象上的拐点既是前一段函数的终点,又是后一段函数的起点,反映函数图象在这一时

刻开始发生变化

水平线函数值随自变量的变化而保持不变

【中考母题学方法】

【典例2】(2024·江苏常州·中考真题)在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中,为合理分配体能,

运动员通常会记录每行进1km所用的时间,即“配速”(单位:min/km).小华参加5km的骑行比赛,他骑行

的“配速”如图所示,则下列说法中错误的是()

A.第1km所用的时间最长

B.第5km的平均速度最大

C.第2km和第3km的平均速度相同

D.前2km的平均速度大于最后2km的平均速度

【变式2-1】难点分析两个函数图象

1.(2024·江苏南通·中考真题)甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进,两地之间的路程为20km.两

人前进路程s(单位:km)与甲的前进时间t(单位:h)之间的对应关系如图所示.根据图象信息,下列

说法正确的是()

A.甲比乙晚出发1hB.乙全程共用2h

C.乙比甲早到B地3hD.甲的速度是5km/h

2.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.下面的图象反映的

过程是:该同学从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐,饭后骑自行车到图书馆.图

中用x表示时间,y表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论:

(1)体育场离该同学家2.5千米;

(2)该同学在体育场锻炼了15分钟;

(3)该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍;

(4)若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍,则a的值是3.75;

其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024·山东潍坊·中考真题)中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔

生理学或医学奖.某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验,控制其他实验条件不变,分别研究

提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响,其结果如图所示:

由图可知,最佳的提取时间和提取温度分别为()

A.100min,50℃B.120min,50℃C.100min,55℃D.120min,55℃

【中考模拟即学即练】

1.(2024·贵州·模拟预测)2024年3月5日,第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕,政府工作

报告中一个新关键词“人工智能”引发热议,随着人工智能的发展,智能机器人送餐成为时尚.如图①是某

餐厅的机器人聪聪和慧慧,他们从厨房门口出发,准备给客人送餐,聪聪比慧慧先出发,且速度保持不变,

慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设聪聪行走的时间为xs,聪聪和慧慧行走的路程分别为

y1cm、y2cm,y1,y2与x的函数图象如图②所示,则下列说法不正确的是()

A.客人距离厨房门口450cm;B.慧慧比聪聪晚出发15s;

C.聪聪的速度为10cm/s;D.从聪聪出发直至送餐结束,聪聪和慧慧之间距离的最大值

为140cm;

2.(2024·湖北黄冈·模拟预测)大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品,新商品的进价为

30元/件,经过一段时间的试销,她发现每月的销售量会因售价的调整而不同,若设每月的销售量为y件,

售价为x元/件.

(1)当售价在40—50元/件时,每月的销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元?

(2)当售价在50—70元/件时,每月的销售量与售价的关系如图所示,求y与x的关系式;

(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元,若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大,

请你帮她计算m的最小值是多少,并求此时售价为多少元时,她每月获利最大.

题型三:动点的函数图象问题

类型一动点与函数图象判断的解题策略

方法一:趋势判断法.根据几何图形的构造特点,对动点运动进行分段,并判断每段对应函数图象的增

减变化趋势;

方法二:解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式,结合解析式对应的函数图象进行判断;

方法三:定点求值法.结合几何图形特点,在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值,对选项进

行排除;

方法四:范围排除法.根据动点的运动过程,求出两个变量的变化范围,对选项进行排除.

类型二动点与函数图象计算的解题策略

一看图:注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围,以及图象的拐点、最值点等;

二看形:观察题目所给几何图形的特点,运用几何性质分析动点整体运动情况;

三结合:几何动点与函数图象相结合,求出图形中相关线段的长度或图形面积的值;

四计算:结合已知,列出等式,计算未知量,常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解.

【中考母题学方法】

【典例3】(2023·四川资阳·中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,D120,AD23厘米,AB43

厘米,点P从点D出发以每秒3厘米的速度,沿DCBA在平行四边形的边上匀速运动至点A.设

点P的运动时间为t秒,△ADP的面积为s平方厘米,下列图中表示s与t之间函数关系的是()

A.B.

C.D.

【变式3-1】根据函数图象判断点的运动轨迹

1.(2024·甘肃·中考真题)如图1,动点P从菱形ABCD的点A出发,沿边ABBC匀速运动,运动到点C

时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到BC中点时,

PO的长为()

A.2B.3C.5D.22

2.(2024·甘肃临夏·中考真题)如图1,矩形ABCD中,BD为其对角线,一动点P从D出发,沿着DBC

的路径行进,过点P作PQCD,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQDQ为y,y与x的函数图象如

图2,则AD的长为()

4287311

A.B.C.D.

3344

【变式3-2】根据点的运动轨迹画出函数图象

(2023·重庆·中考真题)如图,VABC是边长为4的等边三角形,动点E,F分别以每秒1个单位长度的速

度同时从点A出发,点E沿折线ABC方向运动,点F沿折线ACB方向运动,当两者相遇时停

止运动.设运动时间为t秒,点E,F的距离为y.

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;

(3)结合函数图象,写出点E,F相距3个单位长度时t的值.

【中考模拟即学即练】

1.(2024·湖南长沙·模拟预测)RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞

技,其某场对抗赛的轨道可简化成下图,其中ADC和ABC均为半圆,点M,A,C,N依次在同一直线

上,且AMCN.现有比赛双方的机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发,沿着轨道以大小相同

的速度匀速移动进行射击比赛,其路线分别为MADCN和NCBAM.若移动时间

为x,两个机器人之间距离为y.则y与x关系的图象大致是()

A.B.

C.D.

2.(2024·湖北·模拟预测)如图,等边VABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度,沿

ABCA的方向运动,当点P回到点A时运动停止.设运动时间为x(秒),yPC2,则y关于x的

函数的图象大致为()

A.B.

C.D.

3.(2024·甘肃兰州·模拟预测)如图1,点P,Q分别从正方形ABCD的顶点A,B同时出发,沿正方形的

边逆时针方向匀速运动,若点Q的速度是点P速度的2倍,当点P运动到点B时,点P,Q同时停止运动.图

2是点P,Q运动时,PBQ的面积y随时间x变化的图象,则正方形ABCD的边长为()

A.1B.2C.3D.4

4.(2024·甘肃·模拟预测)如图1,在菱形ABCD中,D60,点E在边CD上,连接AE,动点P从点A

出发,在菱形的边上沿ABBC匀速运动,运动到点C时停止.在此过程中,△PAE的面积y随着运动时

间x的函数图象如图2所示,则DE的长为()

A.2B.23C.4D.43

5.(2024·重庆南岸·模拟预测)如图矩形ABCD中,AB4,BC6,点F为BC边上的三等分点(CFBF),

动点P从点A出发,沿折线ADC方向运动,到点C停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度,

设点P运动时间为x秒,APF的面积为y.

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;

(3)结合函数图象,写出y6时x的取值范围.

6.(2024·北京延庆·模拟预测)如图,已知ABC,点D是边AB上一点,且DB6cm,点P是线段DB上

的动点,过点P作BC的垂线,垂足为E,连接DE,设DPx,DEy.

通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系,请将以下过程补充完整:

(1)选点、画图、测量,得到x与y的几组数值,数据如下:

x/cm0123456

y/cm2.02.22.83.54.35.1m

(说明:补全表格时相关数值保留一位小数);

(2)自变量x的取值范围是_______;

(3)在平面直角坐标系xOy中,画出此函数的图象:

(4)结合函数图象解决问题:当DE2DP时,DE的长约为________cm(结果精确到0.1).

7.(2024·重庆开州·模拟预测)如图,在矩形ABCD中,AB2,AD4,点E,F分别为AD与AB边的中

点,动点P从点B出发,沿折线BCD运动,到达点D后停止运动.连接PE,PF,EF,设点P的运

动路程为x,PEF的面积为y.

(1)直接写出y与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;

(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象,并写出该函数的一条性质;

(3)结合函数图象,当函数y满足y2时,写出x的取值范围(误差不超过0.2).

题型四:平面直角坐标系中的面积问题

类型1一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算

当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时,可直接使用三角形的面积公式,

1

其中是在坐标轴上或平行于坐标轴的边,为边上的高�=2𝐴⋅ℎ

𝐴△𝐴�ℎ𝐴

11

�△𝐴�=2(𝐴−��)⋅|��|�△𝐴�=2(��−𝐴)⋅|��|

11

△𝐴�����△𝐴�����

类型2三边都不�在坐标=轴2(上�或−不�平)行⋅(于�坐−标�轴)的三角形�面积的=计2(算�−�)⋅(�−�)

11

�△𝐴�=�△𝐴�+�△���=��⋅(𝐴+𝐶)�△𝐴�=��⋅(��−𝐴)

22

11

=��⋅(��−��)=(��−��)⋅(��−𝐴)

补22

�△𝐴�=�△𝐴�−�△����△𝐴�=�△���−�△𝐴�−�△���

11

=𝐴⋅(��−��)−𝐴

22

1

⋅(��−𝐴)=𝐴⋅(𝐴

2

1

−��)=(��−𝐴)⋅(𝐴

2

−��)

矩形四边形矩形

�△𝐴�=��𝐴�−�△�𝐴−�△���−�△𝐴��𝐴��=���𝐹−�△𝐴�−�△𝐹�

【中考母题学方法】−�△���−�△���

【典例4】(2024·内蒙古包头·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别是

,A1,2,B3,3,C5,0,则四边形OABC的面积为()

�0,0

A.14B.11C.10D.9

【变式4-1】(2023·辽宁锦州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,△AOC的边OA在y轴上,点C在第

k

一象限内,点B为AC的中点,反比例函数yx0的图象经过B,C两点.若△AOC的面积是6,则k

x

的值为.

【变式4-2】(2024·安徽·中考真题)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角

坐标系xOy,格点(网格线的交点)A、B,C、D的坐标分别为7,8,2,8,10,4,5,4.

(1)以点D为旋转中心,将VABC旋转180得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;

(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;

(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分BAC,写出点E的坐标.

【变式4-3】(2024·四川眉山·二模)阅读材料,完成下列问题:

因为(ab)20,所以a2b22ab……①,当且仅当ab时取等号.若a、b均为正数,根据①式:

ab

ab(a)2(b)22ab,得:ab2ab……②即ab……③(②式、③式中a、b均为正

2

ab

数,当且仅当ab时等号成立.)我们常常用这两个不等式来解决一些最大(小)值问题.其中我们把

2

叫做正数a,b的算术平均数,把ab叫做正数a,b的几何平均数.

(1)若a6,b2,求a、b的算术平均数和几何平均数;

11

(2)若x,当x为何值时代数式2x1有最小值,并求出此时的最小值;

22x1

8

(3)已知A3,0,B0,6,点P为双曲线y(x0)上的任意一点,过P作PCx轴于点C,PDy

x

轴于点D,求四边形ABCD面积的最小值和此时点P的坐标.

【变式4-4】列方程解决面积的存在性问题

(2024·安徽宣城·模拟预测)如图,二次函数yax2bx3的图象与x轴交于点B1,0,C3,0,与y轴交

于点A.

(1)求二次函数的表达式.

(2)M,N是二次函数的图象位于x轴上方的两动点,且两点关于对称轴对称,点N在点M的左侧.过点M,N

作x轴的垂线,分别交x轴于点G,H,当MNMG的值最大时,求点M的坐标.

2

(3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在点P,使PHG的面积等于矩形MNHG的面积的?若

3

存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.

【变式4-5】难点动点问题(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB

的边OB在x轴上,点A在第一象限,OA的长度是一元二次方程x25x60的根,动点P从点O出发以

每秒2个单位长度的速度沿折线OAAB运动,动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线

OBBA运动,P、Q两点同时出发,相遇时停止运动.设运动时间为t秒(0t3.6),△OPQ的面积为

S.

(1)求点A的坐标;

(2)求S与t的函数关系式;

(3)在(2)的条件下,当S63时,点M在y轴上,坐标平面内是否存在点N,使得以点O、P、M、N为

顶点的四边形是菱形.若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由.

【中考模拟即学即练】

1.(2024·安徽六安·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,VABC的

顶点均在格点上.

(1)作出VABC关于y轴对称的△A1B1C1,并直接写出点A1的坐标;

(2)连接AA1,CC1,求四边形AA1C1C的面积.

2.(2024·山西运城·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,ABO的边AB垂直于x轴,

k

垂足为点B,反比例函数yx0的图象经过AO的中点C,交AB于点D,且AD1.若点D的坐标

x

为4,n.

(1)设点A的坐标为4,4则点C的坐标为;

k

(2)①求反比例函数y的表达式;

x

②求经过C,D两点的直线所对应的函数解析式;

(3)在(2)的条件下,设点

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