2025年中考数学一轮知识梳理难点04 坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（4大热考题型）原卷版

难点04坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题

（4大热考题型）

题型一：坐标系中点的坐标规律问题

题型二：实际生活中函数图象问题

题型三：动点的函数图象问题

题型四：平面直角坐标系中的面积问题

题型一：坐标系中点的坐标规律问题

1.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：

1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找

出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；

2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间

存在的规律．

2.解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：

1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示；

3）找算式中数字与序号间的变化规律；

4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.

【中考母题学方法】

【典例1】（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2C3C4C5叫作“正方形的渐

开线，其中，，，，的圆心依次按，，，循环．当时，点的坐

”C1C2C2C3C3C4C4C5…OABC1OA1C2023

标是()

A．(1，2022)B．(2023，1)C．(1，2023)D．(2022，0)

【变式1-1】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的

坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是

(1,1)AA1BBAA1A2OOA1A2A3

以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为

CCA2A3A4AAA3BOCA

圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是．

【变式1-2】难点同时分析周期变化和递增变化的规律

（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中，VAOB为等边三角形，点A的坐标为1,0．把VAOB按

如图所示的方式放置，并将VAOB进行变换：第一次变换将VAOB绕着原点O顺时针旋转60，同时边长扩

△△

大为VAOB边长的2倍，得到A1OB1；第二次旋转将A1OB1绕着原点O顺时针旋转60，同时边长扩大为

△△△

A1OB1，边长的2倍，得到A2OB2，…．依次类推，得到A2033OB2033，则A2023OB2033的边长为，

点A2023的坐标为．

【变式1-3】难点结合函数,利用函数解析式求点坐标

1.（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，OA1B1，A1A2B2，△A2A3B3，是分别以A1，A2，A3，为直

角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3，，均在反比例

4

函数y(x0)的图象上，则点A的横坐标为，点A的横坐标为．

x22024

2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示，已知A点坐标为1,1，

过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线

于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2024的坐标为．

【变式1-4】难点结合三角形，利用相似三角形求面积

（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…

都是平行四边形，顶点B1，B2，B3，B4，B5，…都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…都在正比例函数

1

yx（x0）的图象上，且BC2AC，BC2AC，BC2AC，…，连接AB，AB，AB，

4212132324343122334

A4B5，…，分别交射线OC1于点O1，O2，O3，O4，…，连接O1A2，O2A3，O3A4，…，得到O1A2B2，O2A3B3，

O3A4B4，…．若B12,0，B23,0，A13,1，则O2023A2024B2024的面积为．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P

为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中

正方形的顶点坐标分别为P3,0，A12,1，A21,0，A32,1，则顶点A2024的坐标为（）

A．1347,0B．672,675C．672,675D．1350,0

2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点Aixi,yi，其中i1,2,3,,n,，

L

且xi，yi是整数．记anxnyn，如A10,0，即a10，A21,0，即a21，A31,1，即a30，，以

此类推．则下列结论正确的是（）

a22n3a22n4

A．a495B．a202443C．2n1D．2n1

3．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数y3x和yx的图象分别为直线l1，l2，

过点作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过

1,0

L

点A3作y轴的垂线交l2于点A4，，依次进行下去，则点A2024的坐标为（）

A．31010,31010B．31010,31011C．31011,31012D．31012,31012

4．（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，VABC的三个顶点都在边长为1的小正方形的格点上，VABC

关于y轴的对称图形为A1B1C，VABC与A1B1C组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到

如图所示的图形．若AmBnCk是这组图形中的一个三角形，当n2024时，点Am的横坐标是（）

A．2023B．2022C．4048D．4046

V

5．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角OA1B1的斜边OA14，

且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45，得到RtOA2B2，

△△

再将RtOA2B2绕原点O逆时针旋转45，又得到RtOA3B3,；依此规律继续旋转，得到RtOA2024B2024，

则点B2024的坐标为（）

A．2,2B．(22,22)C．(22,0)D．(0,22)

6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中A1，1B1，2，C3，2，D3，1，一只蚂蚁

从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿ABCDA循环爬行，问第2023秒蚂蚁所在点的坐标

为．

7．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴

的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，

，照此规律作下去，则B2的坐标是；B2024的坐标是．

8．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A(1,0)同时出发，沿正六边形

按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点

的坐标为，则第2024次相遇地点的坐标为．

9.（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直

角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为P11,0，P20,1，

L

P31,0，则点P7的坐标为．

1

10．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，OA1，反比例函数y与该回

x

形图的交点依次记为B1、B2、B3、……，则B2024的坐标为．

11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线y=x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个

顶点落在抛物线上，按此规律类推，第2024个正方形的边长是．

题型二：实际生活中函数图象问题

读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分

析如下:

关键信息函数意义

坐标轴弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量

拐点图象上的拐点既是前一段函数的终点,又是后一段函数的起点,反映函数图象在这一时

刻开始发生变化

水平线函数值随自变量的变化而保持不变

【中考母题学方法】

【典例2】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，

运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行

的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（）

A．第1km所用的时间最长

B．第5km的平均速度最大

C．第2km和第3km的平均速度相同

D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度

【变式2-1】难点分析两个函数图象

1.（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两

人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列

说法正确的是（）

A．甲比乙晚出发1hB．乙全程共用2h

C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h

2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的

过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图

中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；

（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；

（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；

（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75；

其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔

生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究

提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：

由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（）

A．100min,50℃B．120min,50℃C．100min,55℃D．120min,55℃

【中考模拟即学即练】

1．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作

报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某

餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，

慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为xs，聪聪和慧慧行走的路程分别为

y1cm、y2cm，y1，y2与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（）

A．客人距离厨房门口450cm；B．慧慧比聪聪晚出发15s；

C．聪聪的速度为10cm/s；D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值

为140cm；

2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为

30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，

售价为x元/件.

(1)当售价在40—50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?

(2)当售价在50—70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y与x的关系式；

(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，

请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.

题型三：动点的函数图象问题

类型一动点与函数图象判断的解题策略

方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增

减变化趋势；

方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；

方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进

行排除；

方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．

类型二动点与函数图象计算的解题策略

一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；

二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；

三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；

四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．

【中考母题学方法】

【典例3】（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，D120，AD23厘米，AB43

厘米，点P从点D出发以每秒3厘米的速度，沿DCBA在平行四边形的边上匀速运动至点A．设

点P的运动时间为t秒，△ADP的面积为s平方厘米，下列图中表示s与t之间函数关系的是（）

A．B．

C．D．

【变式3-1】根据函数图象判断点的运动轨迹

1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边ABBC匀速运动，运动到点C

时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，

PO的长为（）

A．2B．3C．5D．22

2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着DBC

的路径行进，过点P作PQCD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQDQ为y，y与x的函数图象如

图2，则AD的长为（）

4287311

A．B．C．D．

3344

【变式3-2】根据点的运动轨迹画出函数图象

（2023·重庆·中考真题）如图，VABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速

度同时从点A出发，点E沿折线ABC方向运动，点F沿折线ACB方向运动，当两者相遇时停

止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞

技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中ADC和ABC均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线

上，且AMCN．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同

的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为MADCN和NCBAM．若移动时间

为x，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（）

A．B．

C．D．

2．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边VABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿

ABCA的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），yPC2，则y关于x的

函数的图象大致为（）

A．B．

C．D．

3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图1，点P，Q分别从正方形ABCD的顶点A，B同时出发，沿正方形的

边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动．图

2是点P，Q运动时，PBQ的面积y随时间x变化的图象，则正方形ABCD的边长为（）

A．1B．2C．3D．4

4．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形ABCD中，D60，点E在边CD上，连接AE，动点P从点A

出发，在菱形的边上沿ABBC匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，△PAE的面积y随着运动时

间x的函数图象如图2所示，则DE的长为（）

A．2B．23C．4D．43

5．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形ABCD中，AB4，BC6，点F为BC边上的三等分点(CFBF)，

动点P从点A出发，沿折线ADC方向运动，到点C停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，

设点P运动时间为x秒，APF的面积为y．

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，写出y6时x的取值范围．

6．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，已知ABC，点D是边AB上一点，且DB6cm，点P是线段DB上

的动点，过点P作BC的垂线，垂足为E，连接DE，设DPx,DEy．

通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整：

(1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下：

x/cm0123456

y/cm2.02.22.83.54.35.1m

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；

(2)自变量x的取值范围是_______；

(3)在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象：

(4)结合函数图象解决问题：当DE2DP时，DE的长约为________cm（结果精确到0.1）．

7．（2024·重庆开州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB2，AD4，点E，F分别为AD与AB边的中

点，动点P从点B出发，沿折线BCD运动，到达点D后停止运动．连接PE，PF，EF，设点P的运

动路程为x，PEF的面积为y．

(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，当函数y满足y2时，写出x的取值范围（误差不超过0.2）．

题型四：平面直角坐标系中的面积问题

类型1一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算

当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式,

1

其中是在坐标轴上或平行于坐标轴的边,为边上的高�=2𝐴⋅ℎ

𝐴△𝐴�ℎ𝐴

11

�△𝐴�=2(𝐴−��)⋅|��|�△𝐴�=2(��−𝐴)⋅|��|

11

△𝐴�����△𝐴�����

类型2三边都不�在坐标=轴2(上�或−不�平)行⋅(于�坐−标�轴)的三角形�面积的=计2(算�−�)⋅(�−�)

分

割

法

11

�△𝐴�=�△𝐴�+�△���=��⋅(𝐴+𝐶)�△𝐴�=��⋅(��−𝐴)

22

11

=��⋅(��−��)=(��−��)⋅(��−𝐴)

补22

形

法

�△𝐴�=�△𝐴�−�△����△𝐴�=�△���−�△𝐴�−�△���

11

=𝐴⋅(��−��)−𝐴

22

1

⋅(��−𝐴)=𝐴⋅(𝐴

2

1

−��)=(��−𝐴)⋅(𝐴

2

−��)

矩形四边形矩形

�△𝐴�=��𝐴�−�△�𝐴−�△���−�△𝐴��𝐴��=���𝐹−�△𝐴�−�△𝐹�

【中考母题学方法】−�△���−�△���

【典例4】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是

，A1,2，B3,3，C5,0，则四边形OABC的面积为（）

�0,0

A．14B．11C．10D．9

【变式4-1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第

k

一象限内，点B为AC的中点，反比例函数yx0的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k

x

的值为．

【变式4-2】（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角

坐标系xOy，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为7,8，2,8，10,4，5,4．

(1)以点D为旋转中心，将VABC旋转180得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；

(2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；

(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分BAC，写出点E的坐标．

【变式4-3】（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题：

因为(ab)20，所以a2b22ab……①，当且仅当ab时取等号．若a、b均为正数，根据①式：

ab

ab(a)2(b)22ab，得：ab2ab……②即ab……③（②式、③式中a、b均为正

2

ab

数，当且仅当ab时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把

2

叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．

(1)若a6，b2，求a、b的算术平均数和几何平均数；

11

(2)若x，当x为何值时代数式2x1有最小值，并求出此时的最小值；

22x1

8

(3)已知A3,0，B0,6，点P为双曲线y（x0）上的任意一点，过P作PCx轴于点C，PDy

x

轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值和此时点P的坐标．

【变式4-4】列方程解决面积的存在性问题

（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数yax2bx3的图象与x轴交于点B1,0,C3,0，与y轴交

于点A．

(1)求二次函数的表达式．

(2)M,N是二次函数的图象位于x轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点N在点M的左侧．过点M,N

作x轴的垂线，分别交x轴于点G,H，当MNMG的值最大时，求点M的坐标．

2

(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点P，使PHG的面积等于矩形MNHG的面积的？若

3

存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【变式4-5】难点动点问题（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB

的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x25x60的根，动点P从点O出发以

每秒2个单位长度的速度沿折线OAAB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线

OBBA运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0t3.6），△OPQ的面积为

S．

(1)求点A的坐标；

(2)求S与t的函数关系式；

(3)在（2）的条件下，当S63时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为

顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

【中考模拟即学即练】

1.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，VABC的

顶点均在格点上．

(1)作出VABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；

(2)连接AA1，CC1，求四边形AA1C1C的面积．

2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABO的边AB垂直于x轴，

k

垂足为点B，反比例函数yx0的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD1．若点D的坐标

x

为4,n．

(1)设点A的坐标为4,4则点C的坐标为；

k

(2)①求反比例函数y的表达式；

x

②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；

(3)在（2）的条件下，设点