2025年中考数学一轮知识梳理难点03 全等三角形的应用常考题型（5大热考题型）（原卷版）

难点03全等三角形的应用常考题型

（5大热考题型）

题型一：全等三角形的性质

题型二：添加条件证明三角形全等

题型三：全等三角的综合问题

题型四：角平分线性质定理

题型五：线段垂直平分线的性质与判定

题型一：全等三角形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知△ABC≌△DEC,A60,B40，则DCE的度数为

（）．

A．40B．60C．80D．100

【变式1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在VABC中，ABAC4，BAC120，点D，E分别

是边AB，BC上的动点，且ADBE，连接AE，CD，当AECD的值最小时，AEB的度数为（）

A．90B．120C．135D．150

【变式1-2】（2024·河北秦皇岛·二模）如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：①ACAE；②FABEAB；

③EFBC；④EABFAC．其中正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，CAE≌EBD，CAAB，且ACE55，则BDE的度

数为．

5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，CD90，CBADAB．

(1)求证：ABC≌BAD；

(2)若DAB70，则CAB__________°．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（）

A．圆柱B．正方体C．三棱柱D．圆锥

2．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，BCA2DCA，点E

在AC上，EDCABC．若BC5，CD25，AD2AE，则AC的长为．

3．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC

同侧，ABBC，AC90，EAB≌BCD，连接，设ABa，BCb，DEc，下列结论正

确的数量为（）𝐷

（1）abc（2）a2b2ab（3）2(ab)c

A．0B．1C．2D．3

4．（2024·广东汕头·一模）如图，VABC和△DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，

DCEC，连接AD,BE．

(1)求证：△ACD≌△BCE；

(2)直接写出AD和BE的位置关系．

5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践

【问题情境】

“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，

表示为VABC和△DFE，其中ACBDEF90，AD，将VABC和△DFE按图2所示方式摆放，

其中点B与点F重合（标记为点B）．当ABEA时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形

状，并说明理由．

【数学思考】

（1）请你解答以上老师提出的问题；

【深入探究】

（2）老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在VABC内部，让同学们提出新的问题并请

你解答此问题．

“善思小组”提出问题：如图3，当ABEBAC时，过点A作AMBE交BE的延长线于点M，BM与AC

交于点N．证明：AMBE．

【拓展提升】

（3）如图4，当CBEBAC时，过点A作AHDE于点H，若BC3，AC4，求AH的长．

题型二：添加条件证明三角形全等

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，C是AB的中点，CDBE，请添加一个条件，使

ACD≌CBE．

【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，VABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点

共线，请添加一个条件，使得AECE．（只添一种情况即可）

【变式2-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，∠ABCACB，点D，E分别在边AB，

AC上，连接BE，CD．下列命题中，假．命．题．是（）

A．若ACDABE，则CDBEB．若BDCE，则BECD

C．若CDBE，则ACDABED．若ADAE，则CBEDCB

【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD．只添加一个条件，

能判定△AOC≌△BOD的是（）

A．AODOB．AOBOC．ABD．AOCBOD

【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，ABDC，ECFB，______．

求证：AEDF．

在①AEDF；②EC∥FB这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·北京西城·二模）如图，点C为线段AB的中点，BAMABN，点D,E分别在射线AM,BN上，

ACD与BCE均为锐角，若添加一个条件一定可以证明VACD≌VBCE，则这个条件不能是（）

A．ACDBCEB．CDCE

C．ADCBECD．ADBE

2．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知ABDE，AD，请你添加一个条件（一个即可）：，

使△ABC≌△DEC．

3．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，ABAC，点D，E分别在AB与AC上，CD与BE相交于点F．只

填一个条件使得ABE≌ACD，添加的条件是：．

4．（2024·北京·模拟预测）如图，AD，BE是VABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明△AEB≌△BDA

（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是．（写出

一个即可）

5．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在VABC和△ABD中，AD与BC相交于点O，BCAD，添加一个

条件可以证明ACBD．

(1)①12；②CADCBD；③OCOD；④CD，上面四个条件可以添加的是______（填序

号）．

(2)请你选择一个条件给出证明．

6．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AEBF．

若________，则ABCD．

请从①CE∥DF；②CEDF；③EF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并

说明理由．

7（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知ABCD，点E，F在线段BD上，且AFCE．

请从①BFDE；②BAFDCE；③AFCF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得

△ABF≌△CDE．

你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．

添加条件后，请证明AECF．

题型三：全等三角的综合问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离

【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具

【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及PAB

和PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB60米，PAB79，PBA64．画出示意图，如图

【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离．

（参考数据：sin640.90，sin790.98，cos790.19，sin370.60，tan370.75）

【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：

如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且ADDE，DEFDAP，当F，

D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．

（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）

①解直角三角形②三角形全等

【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．

【典例2】（2024·重庆·中考真题）在VABC中，ABAC，点D是BC边上一点（点D不与端点重合）．点D

关于直线AB的对称点为点E，连接AD,DE．在直线AD上取一点F，使EFDBAC，直线EF与直线

AC交于点G．

(1)如图1，若BAC60,BDCD,BAD，求AGE的度数（用含的代数式表示）；

(2)如图1，若BAC60,BDCD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；

(3)如图2，若BAC90，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，请直

CG

接写出此时的值．

AG

【变式3-1】（2023·湖南岳阳·一模）如图，在VABC中，ABAC，D、E是BC边上的点．请从以下三个

条件：①BDCE；②BC；③BADCAE中，选择一个合适的作为已知条件，使得ADAE．

(1)你添加的条件是______（填序号）；

(2)添加了条件后，请证明ADAE．

【变式3-2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在VABC和DEF中，点A、E、B、D在同一条直线

上，AC∥DF，ACDF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）

A．AEDBB．CFC．BCEFD．ABCDEF

【变式3-2】（2024·四川南充·模拟预测）如图，在VABC中，ACB90，CAB35，将VABC沿AB边

所在直线翻折得△ABC，连接CC交AB于点D，则BCC的度数为（）

A．35B．45C．55D．65

【变式3-3】（2023·四川成都·二模）如图，OB是AOC内的一条射线，D、E、F分别是射线OA、射线OB、

射线OC上的点，D、E、F都不与O点重合，连接ED、EF，添加下列条件，能判定DOE≌FOE的是（）

A．DOEEOF，ODEOEFB．ODOF，EDOA，EFOC

C．DEOF，ODEOFED．ODOF，ODEOFE

【变式3-4】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，

过点D作DEAB于点E．

(1)求证：ACAE；

(2)若AC4，BC3，求CD的长．

【变式3-5】（2024·浙江宁波·三模）如图，在66的方格纸中，有VABC，仅用无刻度的直尺，分别按要求

作图：

(1)在图1中，找到一格点D，使VABC与ACD全等；

(2)在图2中，在BC上找一点E，使得SABE:SACE2:3．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，

其中射线OP为AOB的平分线的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为，

点F在直线DE上，且ADAF，连接BF．

(1)如图1，当090时，求证：EF2BF．

(2)如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0360）

△ADG面积的最大值．

k

3．（2024·湖北·一模）如图，一次函数ykxbk0的图象与反比例函数y2k0的图象在第一

1112x2

象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为AB的中点，SVAOC4．

(1)求k2的值；

(2)当OB2，y1y20时，求x的取值范围．

4．（2023·北京门头沟·二模）如图，在VABC中，ACB90，点D在BC延长线上，且DCAC，将VABC

延BC方向平移，使点C移动到点D，点A移动到点E，点B移动到点F，得到EFD，连接CE，过点F作

FGCE于G．

(1)依题意补全图形；

(2)求证：CGFG；

(3)连接BG，用等式表示线段BG，EF的数量关系，并证明．

5．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD，

交AP于点E，连接BE．

(1)依题意补全如图；

(2)若PAB20，求ACE；

(3)若0PAB60，用等式表示线段DE，EC，CA之间的数量关系并证明．

6．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图①，在Rt△ABC中，ABAC3，BAC90，点D在BA边上，连

接CD，点E在射线CD上，连接AE．

(1)如图，将AE绕点A逆时针旋转90得到AF，连接BE，CF．求证：VABE≌VACF；

(2)若点D是AB的中点，连接EF，求EF的最小值；

(3)如图②，若BECE于点E,AE2，求BE的值．

7．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在VABC中，ABAC，作BC的中点D，过D作EDF90，分

别交、AC于E、F，我们称DEF为等腰VABC的“内接直角三角形”．设BEa，CFb．

𝐴

(1)如图①，当A90时，若，b1时，求内接直角三角形DEF的斜边EF的长．

(2)如图②，当A60时，求证�=：2内接直角三角形DEF的斜边满足：EF2a2abb2；

(3)拓展延伸：如图③，当A90时，若E、F分别在BA、AC的延长线上，EF与a，b还满足（2）的

关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索EF与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论．

题型四：角平分线性质定理

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，ABC90，BDAC，垂足为D，AE平分BAC，

分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC3:4，则BF:FD为（）

A．5:3B．5:4C．4:3D．2:1

【典例2】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．

求作：四边形内一点P，使EPBC，且点P到AB,AD的距离相等．

【变式4-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C90，BAC的平分线AE交BC于点

E，EDAB于点D，若VABC的周长为12，则VBDE的周长为4，则AC为（）

A．3B．4C．6D．8

【变式4-2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在VABC中，ABAC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右

侧作BF∥AC，且BFAE，连接CF．若AC13，BC10，则四边形EBFC的面积为．

【变式4-3】如图，VABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的

距离为（）

A．4B．3C．2D．1

【变式4-4】（2024·陕西西安·三模）如图，已知锐角VABC，C70，请用尺规作图法，在VABC内部

求作一点P．使PAPC．且PCA35．（保留作图痕迹，不写作法）

44．（2024·四川乐山·一模）如图，在Rt△ABC中，C90，是Rt△ABC的一条角平分线，点O、E、

F分别在、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．��

��

(1)求证：OA平分BAC；

(2)若AC5，BC12，求OE的长．

【变式4-5】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，EFAD

于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．

(1)判断四边形ABEF的形状，并说明理由；

(2)若ADAE，AF1，求DG的长．

【中考模拟即学即练】

1．如图，在Rt△ABC中，C90，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD5，P为AB上

一动点，则PD的最小值为（）

A．2B．3C．4D．5

2．（2024·广东中山·模拟预测）如图，AOEBOE15，EFOF，ECOB，若EC62，则

OE．

3．（2023·北京·模拟预测）如图，在VABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分

1

别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射

2

线AP交BC于点D．若AB:AC2:3，△ABD的面积为4，则ACD的面积为．

4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在RtABC中，C90，A30，按以下步骤作图：①以点A为

1

圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点D，E；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半

2

径作弧，两弧在BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点F，若CF3，则AB的长为．

5．（2024·青海·一模）如图，在VABC中，C90，AD平分CAB，交CB于点D，过点D作DEAB

于点E．

(1)求证：ACAE；

(2)若BC4，AB5，求BE的长．

6．（2024·广东·模拟预测）如图，已知矩形ABCD，ABAD，BAD的平分线交BC的延长线于点E．

(1)尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G（保留作图痕迹，不写作法）．

(2)在（1）所作的图形中，连接BF，若BF平分GBE，求证：AE2AD．

7．（2024·江苏南京·三模）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重心）、…

1

（1）如图1，VABC的中线AD、BE相交于点G，连接DE，易证DEG∽ABG，可得DGAG．如图

2

2．VABC的中线AD、CF相交于点G，同理易证①．于是，点G与点G重合，三角形的三条中线交于一

点．这样证明两个点（G与G）是同一点的方法也称为“同一法”．

ABBD

（2）如图3，AD是VABC的角平分线，求证：．

ACCD

由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．

（3）根据（2）中得到的结论用“同一法”证明：VABC的三条角平分线交于一点．

8

（4）在VABC中，AB10，AC5，AD是VABC的角平分线，且AD，则BC．

3

8．（2023·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与

点C关于y轴对称．

(1)如图1，OAOB，AF平分BAC交BC于F，BEAF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系

为________；

(2)如图2，AF平分BAC交BC于F，若AF2OB，求ABC的度数；

(3)如图3，OAOB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH45交BA的延长线于H，连接GH，试探

究OG与GH的数量和位置关系．

10．【思维启迪】

（1）如图1，AD是VABC的中线，延长AD到点E．使DEAD，连接BE，则AC与BE的数量关系为

________，位置关系为________．

【思维应用】

（2）如图2，在VABC中，ACB90，点D为VABC内一点，连接AD，DC，延长DC到点E，使CECD，

连接BE，若ADBE，请用等式表示AB，AD，BE之间的数量关系，并说明理由；

【思维探索】

（3）如图3，在VABC中，ACB90，ACBC，点D为AB中点，点E在射线DB上（点E不与点B，

点D重合），连接CE，过点B作BFCE，垂足为点F，连接FD．若CB29，BF2，请直接写出FD

的长．

题型五：线段垂直平分线的性质与判定

【中考母题学方法】

1

【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的

2

长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于

点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK2，则正方形ABCD的边长为（）

535

A．21B．C．D．31

22

【典例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，VABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC8，

CD5，则BD．

【典例3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD

于点E、F．若AD8，BE10，则tanABD．

【变式5-1】（2024·陕西渭南·二模）如图，点A为VABC和VADE的公共顶点，已知CE，ACAE，

请你添加一个条件，使得ABAD．（不再添加其他线条和字母）

(1)你添加的条件是______；

(2)根据你添加的条件，写出证明过程．

【变式5-2】（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在VABC中，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，

若CE平分ACB，B40，则A度．

【变式5-3】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形ABCDE边的中点，连接BF并延长与延长线

交于点G，则BGC的度数为．𝐷��

【变式5-4】（2024·四川南充·中考真题）如图，在VABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD

的延长线于点E．

(1)求证：BDE≌CDA．

(2)若ADBC，求证：BABE

【中考模拟即学即练】

1．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，ACB90，B=60，求作ACB的三等分线．

阅读以下作图步骤：

1

（1）分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线DE交AB于点F，

2

交AC于点H，画射线CF；

（2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交BC于点M，交CF于点N；

1

（3）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在BCF的内部交于点G，画射线CG，则