2025年中考数学一轮知识梳理考前突破03函数的实际应用（4大必考题型）（解析版）

考前突破03函数的实际应用（4大必考题型）题型一：分段函数的应用问题题型二：费用最少、利润最大问题题型三：方案选择问题题型四：抛物线型应用问题题型一：分段函数的应用问题【中考母题学方法】1．（2023·江苏无锡·中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．

(1)求关于的函数表达式：(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】【答案】(1)(2)销售价格为元时，利润最大为【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解；（2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，，进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解．【详解】（1）当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，∴解得：∴，当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，解得：∴，（2）设利润为当时，∵在范围内，随着的增大而增大，当时，取得最大值为；当时，∴当时，w取得最大值为，当销售价格为元时，利润最大为．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．2．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为元/千克．销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元/千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润（元）与一次性销售量（千克）的函数关系如图所示．

(1)当一次性销售千克时利润为多少元？(2)求一次性销售量在之间时的最大利润；(3)当一次性销售多少千克时利润为元？【答案】(1)当一次性销售千克时，利润为元；(2)一次性销售量在之间时的最大利润为元；(3)当一次性销售为或或千克时，利润为元．【分析】（）用销售量利润计算即可；（）根据一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元求出每千克利润，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；（）分一次性销售量在之间和一次性销售不低于千克两种情况列方程求解即可；本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，当时，，∴当一次性销售千克时，利润为元；（2）解：设一次性销售量在之间时，每千克利润为，∴，，，，∵，，∴当时，有最大值，最大值为，∴一次性销售量在之间时的最大利润为元；（3）解：当时，，∴，当一次性销售量在之间时，由题意得，，解得；当一次性销售不低于千克时，每千克利润为元，由题意得，，解得；∴当一次性销售为或或千克时，利润为元．3．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：张华离开家的时间141330张华离家的距离②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时，(2)【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可.（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社，∴张华的骑行速度为，∴张华离家时，张华离家，张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是，张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是．故答案为：.②,故答案为：．③当时，张华的匀速骑行速度为，∴；当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，可得出：，解得：，∴，综上：当时，，当时，，当时，．（2）张华爸爸的速度为：，设张华爸爸距家，则，当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有，解得：，∴，故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是．4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：(1)______米/秒，______秒；(2)求线段所在直线的函数解析式；(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)【答案】(1)8，20(2)；(3)2秒或10秒或16秒．【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．（1）根据图形计算即可求解；（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为秒，得到，利用待定系数法即可求解；（3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解【详解】（1）解：由题意得甲无人机的速度为米/秒，，故答案为：8，20；（2）解：由图象知，，∵甲无人机的速度为8米/秒，甲无人机匀速从0米到96米所用时间为秒，甲无人机单独表演所用时间为秒，∴秒，∴，设线段所在直线的函数解析式为，将，代入得，解得，∴线段所在直线的函数解析式为；（3）解：由题意，，同理线段所在直线的函数解析式为，线段所在直线的函数解析式为，线段所在直线的函数解析式为，当时，由题意得，解得或（舍去），当时，由题意得，解得或（舍去），当时，由题意得，解得或（舍去），综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：(1)甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车的速度是；(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．【答案】(1)30，40(2)的函数解析式是(3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得；（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（）∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h，∴乙货车速度，故答案为：30；40（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点设∴解得：，∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式（3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前：，解得：,②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：，解得：，③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：，解得：，答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等．6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：(1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；(2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．【答案】(1)70，300(2)(3)或【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键．（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；（2）利用待定系数法求解；（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，甲车行驶的速度是，∴A、C两地的距离为：，故答案为：70；300；（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，设线段所在直线的函数解析式为，则，解得，线段所在直线的函数解析式为；（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，乙车行驶的速度为：，C、B两地的距离为：，A、B两地的距离为：，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分两种情况，当甲乙相遇前时：，解得；当甲乙相遇后时：，解得；综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．【中考模拟即学即练】7．（2024·福建龙岩·模拟预测）上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米．(1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式；(2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：）【答案】(1)见解析，(2)需32根吊杆【分析】该题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意．（1）如图，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．得出，，根据待定系数法即可求解；（2）根据题意得出点的纵坐标为15，结合（1）将代入即可求出，即可解答；【详解】（1）解：如图示，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．则有另一桥墩，拱桥顶点，桥面，设桥拱抛物线解析式为，把点坐标代入求得，所以拱桥抛物线的解析式为．（2）解：因桥面距离水面15米，所以点的纵坐标为15，当时，，解得，，所以，，∴，∵，故单侧需32根吊杆．8．（2024·江西·模拟预测）弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为的点处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面时，弹球与甲的水平距离为．弹球在处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点处．(1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式．（不要求写出的取值范围）(2)若不考虑筺的因素，求弹球第二次着地点到点的距离．(3)如果摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点，那么甲能投球成功吗？【答案】(1)(2)(3)不能【分析】（）由题意可以用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解；（）利用第一次着地前抛物线的解析式求出点坐标，再用同（）法求得第二段抛物线的解析式，求出它的对称轴，利用对称性求出点的坐标，进而即可求解；（）把代入第二段抛物线的解析式求出的值即可判断求解；本题考查了二次函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：由题意可得，弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的解析式为，将代入得，，∴弹球第一次着地前抛物线的解析式为；（2）解：当时，，解得，，∴，由从点弹起的最大高度为原来最大高度的一半，可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为，故可设该抛物线的解析式为，将代入得，，解得(不合，舍去)，，∴，且对称轴为直线，∴，即，∴弹球第二次着地点到点的距离为；（3）解：当时，，∴甲不能投球成功．9．（2024·贵州安顺·二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点，运动员（可视为一质点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点，正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．(1)求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，人水点恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米．若该运动员的出水点在之间（含，两点），求的取值范围．【答案】(1)；(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析；(3)点在之间得的取值范围为．【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）依据题意，当距点水平距离为5时，对应的横坐标为，将代入解析式求出后即可判断得解；（3）根据题意得到，点，，，，，当抛物线过点时，，分情况求出值，进而根据点在之间即可判断得解．【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为，把代入解析式得，．抛物线的解析式为；（2）解：由题意，当距点水平距离为5时，对应的横坐标为．将代入解析式，，，该运动员此次跳水失误了；（3）解：，，点的坐标为，点，的坐标分别为，．令，则．解得：（舍去），，入水处点的坐标为．该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，当抛物线过点时，，把代入，得，同理，当抛物线过点时，，由点在之间得的取值范围为．10．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：．(1)小强第几天生产的产品数量为200件？(2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式；(3)设小强第天创造的利润为元．①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件(2)与之间的函数关系式为：(3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．（1）把代入，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本与x之间的关系即可；（3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，，故：，解得：答：小强第10天生产的产品数量为200件．（2）由图象得，①当时，．②当时，设，由题意可得，解得：，．综上可得，与之间的函数关系式为：；（3）①当时，，，随的增大而增大，当时，有最大值为：（元）；当时，，，随的增大而增大，故当时，有最大值为（元）．当时，．当时，有最大值，最大值为576（元）综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元．②由①可知，，设第15天提价元，则第15天的利润为：，由题意得：，解得：，答：第15天每件产品至少应提价0.5元．11．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同．(1)两种型号电脑每台进价各是多少？(2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，AB为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价)【答案】(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元(2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解；（）由题意可得型电脑购进台，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元，再根据函数图象可得，设总利润为万元，可分别求出时，时，进而即可求解；本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意得，，解得，经检验，是原方程的解，符合题意，∴，答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元；（2）解：∵销售量台，∴型电脑购进台，∴型电脑购进台，∴型电脑的利润为万元，由图象可知，当时，与的函数解析式为，把代入得，，∴，∴，把代入得，，解得，∴，∴，设总利润为万元，当时，总利润，∵，∴随的增大而增大，∴当时，有最大值，(万元)；当时，总利润，∵，对称轴为直线，∴当时，有最大值，(万元)；∵，∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大．题型二：费用最少、利润最大问题【中考母题学方法】1．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．(1)求m、n的值；(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．【答案】(1)的值为3，的值为2(2)(3)0.5【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出、的值；（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润每支利润数量”分别列出代数式即可求出与的函数关系式，注意写出自变量的取值范围；（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令，先根据题意列出关于的关系式，再写出关于的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．【详解】（1）解：根据表格可得：，解得：，∴的值为3，的值为2；（2）当时，店主获得海鲜串的总利润；当时，店主获得海鲜串的总利润；∴；（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令，∵，∴，∴，∵，∴，∴随的增大而减小，当时，的值最小，由题意可得：，∴，即，解得：，∴的最大值是0.5．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键．2．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息—工程队每天施工面积（单位：）每天施工费用（单位：元）甲3600乙x2200信息二甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．(1)求x的值；(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?【答案】(1)x的值为600(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．【详解】（1）解：由题意列方程，得．方程两边乘，得．解得．检验：当时，．所以，原分式方程的解为．答：x的值为600．（2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．则．，．1400>0，随的增大而增大．当时，取得最小值，最小值为56800．答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2023·湖南湘西·中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元(2)(3)型30台，型120台，最大利润是570元．【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．【详解】（1）设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：，解得：，答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．（2）设购进型品牌小电器台由题意得：，解得，答：购进A种品牌小电器数量的取值范围．（3）设获利为元，由题意得：，∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元∴解得：∴随的增大而减小，当台时获利最大，最大元，答：型30台，型120台，最大利润是570元．【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．4．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．根据题意，得解这个方程，得经检验，是原方程的根．答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．（2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，由题意得：，解得．∴即，∵，∴随的增大而增大．∴当时，取得最小值11200，此时；答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．5．（2023·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．

(1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张；(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；(3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)，(2)制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张(3)A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元【分析】（1）根据题意即可求解；（2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可；（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可．【详解】（1）解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，故制作B种木盒个；∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，故使用乙种方式切割的木板材张；故答案为：，．（2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个；故解得：，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，（3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，故总成本为（元）；∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，即，解得：，故的取值范围为；设利润为，则，整理得：，∵，故随的增大而增大，故当时，有最大值，最大值为，则此时B种木盒的销售单价定为（元），即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键．6．（2023·内蒙古·中考真题）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．

(1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；(2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）【答案】(1)(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．【详解】（1）解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为．∵图象过两点，，解得∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为．（2）设销售收入为万元，①当时，，，当时，（万元）．

②当时，，，∴随的增大而增大，∴当时，（万元）．

，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：时间第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本）【答案】(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为(2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．（1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为（）代入数据，利用待定系数法即可求解；（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元，根据销售利润销售每袋土特产的利润每日的销售量，得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设（）将，代入，得解得，∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为；（2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元，（），当时，W最大，最大值为225答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元．8．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为(2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为，由图象可知，函数经过，，可得，解得，这段时间内y与x之间的函数解析式为；（2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，，，即，解得，设获得利润为，即，对称轴，，即二次函数开口向下，的取值范围是，在范围内，随着的增大而增大，即当销售单价时，获得利润有最大值，最大利润元．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．9．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元…1214161820…销售量y/盒…5652484440…(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．【答案】(1)(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元(3)2【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解即可；（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为，把，；，代入，得，解得，∴y与x的函数表达式为；（2）解：设日销售利润为w元，根据题意，得，∴当时，有最大值为450，∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；（3）解：设日销售利润为w元，根据题意，得，∴当时，有最大值为，∵糖果日销售获得的最大利润为392元，∴，化简得解得，当时，,则每盒的利润为：,舍去，∴m的值为2．10．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元(2)这天售出了64辆轮椅【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；（2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：；∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴，∴，∵，∴当时，随的增大而增大，∴当时，每天的利润最大，为元；答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；（2）当时，，解得：（不合题意，舍去）；∴（辆）；答：这天售出了64辆轮椅．【中考模拟即学即练】11．（2025·湖北黄石·一模）某商家购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应增加20件．若按照这个规律，则当单价提高x元时，销售量m（件）与x的关系如下表：单价（元/件）销售量（件）提高1元31380提高2元32360………提高x元(1)求销售量m（件）与x之间的函数关系式；(2)求销售利润y（元）与x之间的函数关系式；(3)若限定每月的销售量在320件到460件之间（可以包括320件或460件），则如何定价，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？【答案】(1)(2)(3)当定价为24元时，y有最大值4480，此时单价为34元【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题公式：销售利润单件利润销售量．（1）根据题意销售单价每提高1元，销售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应增加20件，即可写出与x的函数关系式；（2）根据销售问题公式：销售利润单件利润销售量即可列出二次函数解析式；（3）根据（2）所列函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意可以得出销售量m（件）与x之间的函数关系式为；（2）解：由题意可以得出销售利润y（元）与x之间的函数关系式为：；（3）解：由（2）得，∵，∴，∴，∵，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，∴当时，y有最大值4480，此时单价为34元12．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克10元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系，(1)请直接写出与的函数关系式；(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【答案】(1)；(2)每千克售价定为元时，利润可达到元；(3)当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为元．【分析】（1）该函数经过点，，利用待定系数法求出与的函数关系式即可；（2）设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，根据利润销量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去；（3）设利润为，可以列出关于的函数解析式为，根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，可知当时，所获得的利润最大，把代入函数解析式求出最大利润．【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点，，设与的函数关系式为，将代入，得到：，解得：，与的函数关系式为；（2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，根据题意可得：，，整理得：，分解因式得：，解得：，，售价不低于成本价且不超过每千克10元，每千克售价定为元时，利润可达到元；（3）解：设利润为，，函数开口向下，当时，随的增大而增大，，当时，有最大值，此时，当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、一元二次方程的应用．解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大利润．13．（2025·广西柳州·一模）某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加．(1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示）(2)若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？(3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)；(2)应降价2元或8元(3)当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出关系式．（1）根据每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加，列出代数式或算式即可；（2）根据每天获利2160元，列出方程，解方程即可；（3）设利润为w元，单价降低元，根据总利润单个的利润销售量，列出二次函数解析式，然后求最大值即可．【详解】（1）解：若单价降低2元，则每天的销售量是（千克），若单价降低元，则每天的销售量是千克；（2）解：设单价应降价元，依题意得：，整理得：，解得，，答：单价应降价2元或8元；（3）解：设利润为w元，单价降低元，，，w有最大值，当时，w的最大值是2250，答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．14．（2025·山西长治·模拟预测）山药是山中之药、食中之药，有“神仙之食”的美名，为方便人们使用，现在很多企业将山药加工成山药粉进行销售，小李想要购进一批山药粉，了解到某品牌山药粉有罐装和盒装两种规格，每件盒装山药粉的价格是每件罐装山药粉价格的，用元购买盒装山药粉的数量比用元购买罐装山药粉的数量多6件．(1)求该品牌罐装山药粉和盒装山药粉的单价．(2)小李打算购买该品牌罐装山药粉和盒装山药粉共件进行销售，且购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，求最低的购买费用．【答案】(1)每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元；(2)元．【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用．（1）设每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元，用元购买盒装山药粉的数量比用元购买罐装山药粉的数量多6件．据此列方程并解方程即可；（2）设购买该品牌罐装山药粉为件，则购买该品牌盒装山药粉件，设购买费用为元，根据总费用列出函数解析式，购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可．【详解】（1）解：设每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元，则解得，经检验是分式方程的解且符合题意，则，，答：每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元；（2）设购买该品牌罐装山药粉为件，则购买该品牌盒装山药粉件，设购买费用为元，则，由题意可得，，解得，∵，∴随着的增大而增大，∴当时，的最小值为．即最低的购买费用为元．15．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践．如何分配工作，使公司支付的总工资最少素材1壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．素材2经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．素材3由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．问题解决任务1确定工作效率求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；任务2拟订设计方案①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天；②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①，；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答．（2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据利润公式得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可．【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天，故答案为：，；②由题意得：，解得：，设该公司支付的总工资为y元，由题意得：，，随m的增大而减小，当时，y有最小值，此时，，答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．16．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元．(1)求A，B两种香料的单价；(2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元(2)购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键．（1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得，再列出函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，根据题意得：，解得：．答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元．（2）解：设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元．由题意可得:，,由题意可得,,，．答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元．17．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？【答案】(1)B款文化衫每件元，A款文化衫每件元(2)购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式．（1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；（2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可．【详解】（1）解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，解得，，经检验，是原分式方程的解，且符合要求；∴，∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；（2）解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，解得，，由题意知，，∵，∴当时，费用最低为（元），∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元．18．（2024·湖南·二模）在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元．(1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？(2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元．①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元(2)①；②购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组．（1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个，然后表示出；②根据购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半列出不等式，得到，然后根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元．依题意，得解得答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元．（2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个．，即．②购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，，解得．随的增大而增大，为整数，当时，（元）．答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元．题型三：方案选择问题【中考母题学方法】1．（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫A免费B108免费(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．【答案】(1)见解析；(2)选方式B计费，理由见解析；(3)见解析．【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为、，分别计算三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可；（2）令，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可；（3）令，求出此时的值，当主叫时间时，方式A省钱；当主叫时间时，方式A和B一样；当主叫时间时，方式B省钱；【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元；方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元；当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为总结如下表：主叫时间/分钟方式A计费()方式B计费()78108108（2）解：当时，，故选方式B计费．（3）解：令，有解得∴当时，方式A更省钱；当时，方式A和B金额一样；当时，方式B更省钱．【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键．2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示甲型客车乙型客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名(2)6(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于辆，即可解答；（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，列出不等式组，解得，设租车费用为y元，得出，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，，解得：，∴，答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，∴汽车总数不超过6辆，∵要保证所有师生都有车坐，∴汽车总数不少于（辆），则汽车总数最少为6辆，∴共需租车6辆，故答案为：6．（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，，解得：，∵a为整数，∴或，方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；设租车费用为y元，，∵，∴y随a的增大而增大，∴当时，y最小，，综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．3．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买10辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；(2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人．【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．（1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可；（2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买10辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，由题意得：，解得，答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；（2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人，由题意得，解得：，∵，∴，∵是整数，∴，，10；∴线路的年均载客总量为与的关系式为，∵，∴随的增大而减小，∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）∴（辆）∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，【中考模拟即学即练】4．（2024·陕西西安·模拟预测）国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）．根据以上信息，解决下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式；(2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．【答案】(1)，(2)当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式．（1）根据两家公司的费用计算方法求解即可；（2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算．【详解】（1）解：根据题意，，当时，，∴，；（2）解：时，，选择乙公司比较合算，时，，选择乙公司比较合算，时，，选择乙公司比较合算；当时，当时，，解得，此时选择甲乙公司一样合算；当时，且，解得，此时选择乙公司合算；当时，，解得，此时选择甲公司合算；∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算．5．（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．方案运费肥料价格方案一12元3元方案二0元3.6元若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．(1)请分别写出与之间的函数关系式；(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？【答案】(1)，(2)方案一【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键．（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可；（2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案．【详解】（1）解：与之间的函数关系式为，与之间的函数关系式为．（2）解：当时，，解得，当时，，解得，，该班选择方案一购买的肥料较多．6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．(1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；(2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由．【答案】(1)，(2)选择乙方案更划算，见解析【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键．（1）根据甲、乙收费方案即可求解；（2）令，分别求出，，即可进行判断．【详解】（1）解：由题意得：，；（2）选择乙方案更划算理由：当时，，．∵，∴选择乙方案更划算．7．（2024·四川资阳·一模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元．(1)求篮球、实心球的单价各是多少元？(2)该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1)篮球的单价是30元，实心球的单价是20元(2)最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由见解析【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．（1）设篮球的单价是元，实心球的单价是元，根据“购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该校购进个篮球，则购进个实心球，根据“总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设该校购进篮球、实心球共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设篮球的单价是元，实心球的单价是元，根据题意得：，解得：．答：篮球的单价是30元，实心球的单价是20元；（2）解：最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由如下：设该校购进个篮球，则购进个实心球，根据题意得：，解得：．设该校购进篮球、实心球共花费元，则，即，，随的增大而增大，又，且为正整数，当时，取得最小值，此时（个，最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球．8．（2024·云南昆明·二模）为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元．(1)选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？(2)某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量．【答案】(1)1800元(2)70个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确求出解析式是解题关键．（1）由待定系数法求出方案一中，当时，月工资y(元)与生产产品(件)的关系式为，根据代入即可解决问题；（2）根据选择方案一比选择方案二月工资多450元，列出一元一次方程，解方程即可【详解】（1）设当时，月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为，由图象知点，，代入得：，解得：，月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为，当时，答：他该月得到的工资是1800元．（2）解：由题意可知，当时，不满足题意；当时，，解得：，所以该实习员工生产产品的件数为70件．9．（2024·河南郑州·三模）“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下：方案促销方案方案一所有服装全场六折方案二“满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券）方案三“满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元）（注：一人只能选择一种方案）(1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同．求裤子的标价；请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由；(2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______；(3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？【答案】(1)元；应选择方案三，理由见解析；(2)，，；(3)当时，用方案三购买更合算．【分析】（）设裤子的标价为元，根据题意列出方程解答即可求解；分别算出每一种方案的花费即可判断求解；（）根据题意列出函数解析式即可；（）分和两种情况讨论即可求解；本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，求一次函数的解析式，根据题意，正确列出一元一次方程和一次函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设裤子的标价为元，根据题意得，，解得，答：裤子的标价为元；选择方案三，理由如下：方案一的花费为：元，方案二的花费为：元，方案三的花费为：元，∵，∴应选择方案三；（2）解：当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为；故答案为：，，；（3）解：当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元，∵，∴用方案一购买更合算；