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文档简介
多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值一、多元函数的极值定义则称函数在点(x0,y0)例1.在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.称为函数z=f(x,y)的某邻域内有
1.二元函数极值的定义若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极大值(或极小值).的极大值点[或极小值点].2.极值的必要条件注10
方程组的解称为f(x,y)的驻点.20
30
极值嫌疑点:【简言之:可偏导函数的极值点必是驻点】驻点不一定是极值点.定理1在点有偏导数,且在处有极值,则必有设驻点、偏导数不存在的点.(例如z=xy,驻点(0,0)不是极值点).定理2的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令若函数
3.极值的充分条件则(1)当是极值,时为极大值;时,可能是极值,且当时为极小值;(2)当时,不是极值,(3)当时,也可能不是极值,需另作讨论。在点当
即解得驻点
第二步:求第三步:求A、B、C,的符号,判定f(x0,y0)是否为极值。对每个驻点由求f(x,y)的驻点第一步:4.求二元函数z=f(x,y)极值的步骤:例2.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(3,2),(3,-2)第二步解的极值.求二阶偏导数
例2.求驻点:在点(3,2)
处点(3,2)不是极值点;的极值.
第三步在点(3,-2)处为极大值.的符号,判别。定(3,-2)(3,2),二、应用问题中的多元函数的最值在实际问题中,而f(x,y)在D
内只有唯一驻点,所求的最值点.
如果f(x,y)在D内的最值存在,那么该驻点就是例3解
距离平方之和由得驻点在xoy面上求一点,使它到x=0,y=0,x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最小.所以,当所求点为时,u最小.
•P(x,y)Eyx三、条件极值1.条件极值概念无条件极值.例如:(1)求的极值.
条件极值.(2)例如:求在条件下的极值.2.条件极值的求法
拉格朗日乘数法
步骤:
求在条件下极值①作拉格朗日函数②解方程组得③判别是否就是所求极值点.(应用题不必判别)
注求在条件下条件极值的拉格朗日乘数法:得(2)解方程组是极大(小)值(3)判别例4某厂生产两种产品的日产量为x和y(件),利润函数为z=6x-x2+16y–4y2(元),每件产品均需消耗某种原料2公斤,现有原料12公斤,问两种产品各生产多少件时,利润最大?解2x+2y=12,约束条件:即x+y=6,
令解方程组得故当x=3.8,y=2.2时,利润最大.
注:利润L=收益R
成本C-内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法
设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.
备用题备用题
.求半径为R
的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则三个三角形面积分别为设拉氏函数
解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为
求半径为R
的圆的内接三角形中面积最大者.二、多元函数的最值(3)计算上述各点的函数值比较大小,其中最大、最小者即为最大、最小值。1.求连续函数在有界闭区域
D
上的最值的方法
解由(1)先求函数f(x,y)在D内部的驻点:例3
求二元函数在闭区域
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