高等数学（经济类）第5版课件：多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值一、多元函数的极值定义则称函数在点(x0,y0)例1.在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.称为函数z=f(x,y)的某邻域内有

1．二元函数极值的定义若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极大值(或极小值).的极大值点[或极小值点].2．极值的必要条件注10

方程组的解称为f(x,y)的驻点．20

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极值嫌疑点：【简言之：可偏导函数的极值点必是驻点】驻点不一定是极值点.定理1在点有偏导数，且在处有极值，则必有设驻点、偏导数不存在的点.（例如z=xy,驻点(0,0)不是极值点)．定理2的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令若函数

3．极值的充分条件则（1）当是极值，时为极大值；时，可能是极值,且当时为极小值；（2）当时，不是极值，（3）当时，也可能不是极值，需另作讨论。在点当

即解得驻点

第二步：求第三步：求A、B、C，的符号，判定f(x0,y0)是否为极值。对每个驻点由求f(x,y)的驻点第一步：4．求二元函数z=f(x,y)极值的步骤：例2.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(3,2),(3,-2)第二步解的极值.求二阶偏导数

例2.求驻点:在点(3,2)

处点（3，2）不是极值点;的极值.

第三步在点(3,-2)处为极大值.的符号，判别。定(3,-2)(3,2),二、应用问题中的多元函数的最值在实际问题中，而f(x,y)在D

内只有唯一驻点，所求的最值点．

如果f(x,y)在D内的最值存在，那么该驻点就是例3解

距离平方之和由得驻点在xoy面上求一点,使它到x=0,y=0,x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最小.所以,当所求点为时,u最小.

•P(x,y)Eyx三、条件极值1.条件极值概念无条件极值.例如：（1）求的极值.

条件极值.（2）例如:求在条件下的极值.2.条件极值的求法

拉格朗日乘数法

步骤：

求在条件下极值①作拉格朗日函数②解方程组得③判别是否就是所求极值点.（应用题不必判别）

注求在条件下条件极值的拉格朗日乘数法:得（2）解方程组是极大（小）值（3）判别例4某厂生产两种产品的日产量为x和y(件),利润函数为z=6x-x2+16y–4y2(元),每件产品均需消耗某种原料2公斤,现有原料12公斤,问两种产品各生产多少件时,利润最大?解2x+2y=12,约束条件:即x+y=6,

令解方程组得故当x=3.8,y=2.2时,利润最大.

注:利润L=收益R

成本C-内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法

设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.

备用题备用题

.求半径为R

的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则三个三角形面积分别为设拉氏函数

解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为

求半径为R

的圆的内接三角形中面积最大者.二、多元函数的最值（3）计算上述各点的函数值比较大小，其中最大、最小者即为最大、最小值。1．求连续函数在有界闭区域

D

上的最值的方法

解由（1）先求函数f(x,y)在D内部的驻点：例3

求二元函数在闭区域