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文档简介
推广
一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数的概念1.邻域一、平面点集n维空间注称为点的去心邻域。2.区域(1)内点、外点、边界点与边界设有点集
E及一点P,
若存在点
P
的某邻域U(P),使得U(P)
E,
若存在点
P的某邻域U(P),使得
U(P)∩E=,
若点P
的任一邻域
U(P)内既含属于
E的点,又含不则称P为E的内点;属于E的点,则称
P为
E的边界点;则称P为E的外点;E的边界点的全体称为E的边界。例如:上任一点都是边界点
边界为圆周的边界为圆周及圆周的边界为
(3)开集、闭集
若点集
E
的点都是内点,则称
E
为开集;
若E的边界包含在E内,则称
E
为闭集;例如:开集为闭集
(4)连通集D若集
D
中任意两点都可用一完全属于
D的折线相连,则称
D
是连通集;..
是开集,但不是连通集是连通集
(5)(开)区域、闭区域D
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
连通的开集称为开区域,简称区域;..例如,(开)区域闭区域
为有界闭区域;为无界开区域.例如,(6)有界点集、无界点集若平面点集E可包含于原点的某个邻域内,则称E为有界点集;否则,称E为无界点集.
以后区域可简单地表示成
二、多元函数的概念两个自变量的函数称为二元函数,一般记为1.多元函数的概念同理,三个自变量的函数称为三元函数,一般记为二元及二元以上的函数称为多元函数。,例如例1设求:解:。例2求的定义域.解所求定义域为2.二元函数的图形二元函数的图形通常是一张空间曲面,例如:定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面。当点无限趋近于点时,由于记或的值无限接近于常数A,则称A是当点趋向于点时的极限,记为三、多元函数的极限因此有定义2.设函数f(x,y)的定义域为D,边界点,则称A为函数P0是D的内点或若存在常数A,当都有
对任意正数
,总存在正数,时的极限,记作例3.证明证:故总有
要证
只要取注:
若点以两种不同方式趋于时,趋于两个不同值,或当点以某种的极限不存在,方式趋于时,则不存在。
例4证明不存在.证故不存在。四、多元函数的连续性定义3如果函数
在
D上的每一点都连续,则称函数在
D上连续,或者称是
D上的连续函数。定义4例5讨论在(0,0)的连续性.解其值随k的不同而变化,因为因此,在点(0,0)处不连续。故极限不存在.定理一切多元初等函数都在其定义区域内连续.注定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。例6求解原式=例7解4.有界闭区域上连续函数的性质
有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的最大值和最小值.
有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于其最小值与最大值之间的一切值。(2)最值性(3)介值性(1)有界性有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界.思考题解答不能!例如:取但是,
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