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文档简介

推广

一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数的概念1．邻域一、平面点集n维空间注称为点的去心邻域。2．区域(1)内点、外点、边界点与边界设有点集

E及一点P，

若存在点

P

的某邻域U(P)，使得U(P)

E,

若存在点

P的某邻域U(P)，使得

U(P)∩E=,

若点P

的任一邻域

U(P)内既含属于

E的点，又含不则称P为E的内点；属于E的点,则称

P为

E的边界点；则称P为E的外点;E的边界点的全体称为E的边界。例如：上任一点都是边界点

边界为圆周的边界为圆周及圆周的边界为

(3)开集、闭集

若点集

E

的点都是内点，则称

E

为开集；

若E的边界包含在E内,则称

E

为闭集；例如：开集为闭集

(4)连通集D若集

D

中任意两点都可用一完全属于

D的折线相连,则称

D

是连通集;．．

是开集，但不是连通集是连通集

(5)(开)区域、闭区域D

开区域连同它的边界一起称为闭区域。

连通的开集称为开区域,简称区域;．．例如，（开）区域闭区域

为有界闭区域；为无界开区域．例如，（6）有界点集、无界点集若平面点集E可包含于原点的某个邻域内，则称E为有界点集；否则，称E为无界点集．

以后区域可简单地表示成

二、多元函数的概念两个自变量的函数称为二元函数，一般记为1．多元函数的概念同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为二元及二元以上的函数称为多元函数。，例如例1设求：解：。例2求的定义域．解所求定义域为2.二元函数的图形二元函数的图形通常是一张空间曲面，例如：定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面。当点无限趋近于点时，由于记或的值无限接近于常数A，则称A是当点趋向于点时的极限，记为三、多元函数的极限因此有定义2.设函数f(x,y)的定义域为D，边界点,则称A为函数P0是D的内点或若存在常数A,当都有

对任意正数

,总存在正数,时的极限，记作例3.证明证:故总有

要证

只要取注：

若点以两种不同方式趋于时，趋于两个不同值，或当点以某种的极限不存在，方式趋于时，则不存在。

例4证明不存在.证故不存在。四、多元函数的连续性定义3如果函数

在

D上的每一点都连续，则称函数在

D上连续，或者称是

D上的连续函数。定义4例5讨论在(0,0)的连续性．解其值随k的不同而变化，因为因此，在点(0,0)处不连续。故极限不存在．定理一切多元初等函数都在其定义区域内连续．注定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。例6求解原式=例7解4．有界闭区域上连续函数的性质

有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的最大值和最小值．

有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于其最小值与最大值之间的一切值。（2）最值性（3）介值性（1）有界性有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界．思考题解答不能！例如：取但是，

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