《力学》第二章质点运动学方程课件

第二章质点运动学

描述质点运动的物理量质点直线运动质点的平面运动伽利略变换本章的基本内容及研究思路

本章质点运动学是研究如何描写质点的运动，而不讨论引起运动的原因。根据运动的叠加原理（或运动独立性原理），物体的运动可以当作几个各自独立进行的运动的叠加，这样就可以把实际存在的复杂运动看成是几个简单运动的叠加。叠加原理是物理学的一个基本原理，以后经常会遇到，例如力的叠加原理、电场强度的叠加原理、波的叠加原理等。

本章从一般运动出发引入描写运动和运动变化的四个基本物理量，即位置矢量（简称位矢）、位移、速度和加速度，进而指出将这四个基本量联系在一起的是运动方程；四种运动：直线运动、曲线运动、抛体运动和圆周运动；两种解决问题方法：微分法和积分法。最后引入伽利略变换，它和物理学一条基本原理即相对性原理密切相关。重点：四个基本物理量、直线运动、微积分法难点：平面极坐标、伽利略变换运动的绝对性和描述的相对性

一切物质都处在永不停息的运动之中，运动的这种普遍性和永恒性又称为运动的绝对性。而参考不同的物体来观察同一物体的运动所获得的图象和结果就会不同。这个事实称为运动描述的相对性。

由于宇宙万物都在运动，无法设想在宇宙中找到一个绝对静止的物体作为研究其他物体运动的参考，一切运动物体都有被选作参考物的同等地位。可见正是运动的绝对性才导致了描述的相对性。因此，描述运动必须有参照系，对运动作定量分析时还需建立坐标系。§2.1描述质点运动的物理量一、质点位置的确定——位置矢量（位矢）要讨论质点位置随时间的变化，先要确切描述质点的位置。为了同时给出质点相对于参考点的距离和方位，可以引入位置矢量，由参考系上的坐标原点引向质点所在位置的矢量称为质点的位置矢量。通常以r表示r=x

i+y

j+z

k式中i，j，k分别表示沿x,y,z

轴正方向的单位矢量；x,y,z称作质点的位置坐标，也可用来描述质点的位置。OxP(x,y,z)ryz图1位置矢量位置矢量演示位置矢量的大小（即r的模）为：位置矢量的方向，可由其方向余弦确定：式中分别表示是r与x，y，z轴正方向之间的夹角（取小于180°的值）。运动学方程

在质点运动过程中，它的位置矢量随时间改变，每一时刻，均有一定的位置矢量与之对应，即位置矢量r为时间t的函数：r=

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

此式称为质点的运动方程。也可写成：运动方程的标量形式二维运动，一维运动形式怎样？质点运动方程蕴含了质点运动的全部细节，因此，求出运动方程是质点运动学的中心问题。在历史上很长一段时期内，人们只注意轨迹形状的研究，由各个时刻的矢径端点连接而描画出的曲线就是质点运动的轨迹。P（质点）轨迹O（原点）r(t)图2轨迹以质点的平面运动为例：消去t(轨迹方程)二、质点位置变动的描述——位移（位置矢量的增量）为了描述质点在一定时间间隔内位置的变动，我们引入位移矢量。参照图3。自质点初位置引向△t以后的末位置的矢量称时间△t内的位移。记作△r。PQOr(t)r(t+△t)△r△s图3位移即位移定义为位置矢量的增量。二式相减得位移这是位移在直角坐标系中的分解式，它表明位移可由位置坐标的增量来决定。注意：1、路程无法确定质点位置的变动；2、位移与路程的区别

位移与路程区别演示[例题1]一质点在xOy平面内依照x=t2的规律沿曲线y=x3

/320

运动,求质点从第2秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm).[解]

(cm)与水平轴夹角[问题]位移与参考系的选择有关吗？

与坐标原点有关吗？三、质点位置变动快慢的描述——瞬时速度矢量

为了全面描述质点的运动状态，还需要瞬时速度和瞬时加速度矢量的概念。1、平均速度平均速度仅仅提供一段时间内位置总变动的方向和平均快慢，却不能精细地刻划出质点在这段时间内发生的运动方向的改变和时快时慢的详细情况，显然，取得越短，平均速度就越能反映出t时刻的真实运动情况。定义：2、瞬时速度即质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的变化率或一阶导数。速度的方向由位移的极限方向决定，即质点在该点处轨道曲线的切向方向且指向质点前进的方向。速度在直角坐标系中的表示为代数量，可取正值也可取负值。四、质点速度变化快慢的描述——瞬时加速度矢量1、平均加速度定义：平均加速度与一定时间间隔相对应，其大小反映时间内速度矢量的平均变化率，其方向沿着速度增量的方向。显然，取得越小，越接近t时刻速度变化的实际情况。2、瞬时加速度加速度演示即质点的加速度等于速度矢量对时间的变化率或一阶导数，也等于位置矢量对时间的二阶导数。加速度的方向为的极限方向，在一般情况下，的极限方向与速度的方向并不一致，可分析斜抛运动。的大致趋势：质点作曲线运动时，的方向总是指向曲线凹的一侧。只有在质点的直线运动中，加速度的方向和速度的方向总是相同或相反。加速度在直角坐标系中的表示：由前面讨论得到，描写一个复杂的曲线运动时，X方向的坐标、速度和加速度与其它方向的坐标、速度和加速度无关。Y方向和Z方向也有这种性质，即三个方向相互无关，这种性质称为运动的独立性。实验也表明这点，因此，任何一个曲线运动都可分解成沿x,y,z三个方向的直线运动，每个方向上的运动是相互独立的，整个运动可看成是沿三个坐标轴直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理。这样对一般曲线运动的研究都可归结为对直线运动的研究。[例题2]已知一质点沿x轴运动，其运动方程为为常数，求该质点的速度和加速度。§2.2质点直线运动

1、微分法——由运动学方程到速度和加速度速度和加速度：。

的正负不能说明质点是作加速或作减速运动。若加速度与速度的符号相同，质点作加速运动；若加速度与速度的符号相反，质点作减速运动。要求能读懂x-t、v-t

和a-t

曲线所反映的物理意义。2、积分法—从加速度到速度和坐标（必须已知初始条件）作为特例，考察匀加速运动，即a=常数的情况这正是中学里的匀加速运动公式，只是这里明确提出了初始条件。

[例题3]p57习题：2.3.5[例题4]已知质点运动速度和加速度的关系，求速度随距离的变化关系。[解]取速度方向为正方向，则代入已知关系，则有或积分后得：讨论：速度按指数衰减，衰减常数就是阻尼系数K，量纲为L-1。作业：2.1.32.2.62.3.62.4.32.4.42.4.8[例题5]p58习题：2.4.7§2.3质点的平面运动

1、平面直角坐标系——抛体运动(1)矢量法(2)斜抛运动的轨迹方程和最大射程已知时消去方程中的参数

得轨迹最大射程实际路径真空中路径

由于空气阻力，实际射程小于最大射程.求最大射程2、自然坐标•切向和法向加速度

一般而言，质点平面运动需用两个独立的标量函数描写，在平面直角坐标系中是x(t)和y(t)，但若质点抛迹y=y(x)已知，则x，y间只需一个即可。（1）自然坐标若质点在平面上的轨迹已知，常采用平面自然坐标描述质点的位置。所谓“自然”，即“顺其自然”，把轨道当作“坐标轴”。选择轨迹上一点O′为“原点”，并用由原点O′至质点位置的弧长S作为质点的位置坐标，S可正可负。运动方程为S=S（t）使用自然坐标时也可对矢量进行正交分解，——切向单位矢量且指向S增加的方向，——法向单位矢量，指向曲率中心，一般说来，和不是恒矢量。

（2）速度•法向和切向加速度

一般：时，令，则不同于速率，它的正负反映运动方向。物体作曲线运动，其速度的大小和方向一般都在变化，至少速度方向是不断变化的，所以曲线运动一定是加速度不为零的运动。首先讨论变速圆周运动中的切向加速度和法向加速度，然后推广到一般曲线运动。定性分析：质点作匀速圆周运动时，加速度大小为方向

沿轨道半径指向圆心，它反映了速度方向的变化程度；当质点作变速率圆周运动时，由于的方向和大小都变化，因此不再指向圆心，而是与速度有一夹角。ROP：法向加速度，它与匀速率圆周运动中的向心加速度具有相同的物理含义，反映速度方向随时间变化的快慢程度；：切向加速度，它反映速度大小随时间变化的快慢程度。定量讨论：AOBEDCF与匀速圆周运动时的相当，。质点在平面内作一般的曲线运动。可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。引入曲率圆后，整条曲线就可以看成是由许多不同曲率半径的圆弧构成。可类似得到：切向加速度，反映速度大小的变化；

法向加速度，反映速度方向的变化。质点作变速直线运动。

质点作匀速曲线运动。3、极坐标系•径向速度与横向速度（选学）（1）极坐标系平面极坐标系（planarpolarcoordinates）设质点运动到A点，为质点的矢径，质点位置矢量与极轴所夹的角叫作质点的幅角。质点的运动学方程为：平面内的任意矢量可表示为：xOA质点的位置矢量可表示为：（2）径向速度与横向速度平面极坐标的径向单位矢量和横向单位矢量是随时间变化的，是时间的函数，如果将它们用直角坐标来表示，这两个单位矢量随时间的变化为：有了基矢的变化规律，速度和加速度就很容易求得：§2.4伽利略变换我们知道，由于选取不同的参考系，对同一物体运动的描述就会不同，这反映了运动描述的相对性。下面我们研究同一质点在有相对运动的两个参考系中的位移、速度和加速度之间的关系。一、时间与空间

在两个相对作直线运动的参考系中，时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关，时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础.AB

小车以较低的速度沿水平轨道先后通过点A和点B.地面上人测得车通过A、B两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同.物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系二、相对运动假定P点在系和系中的位矢、速度和加速度分别为：P和由图可看出：或两式似乎是极为简单明白，其实式子成立包含一定条件的。先从k系讨论，它认为和是自己的观测值，而是系的观测值。只有系测得的量值确实与相同，对k系才有。这是因为矢量相加时，其各矢量必须三、伽利略坐标变换是由同一坐标系来测定的，对系也是如此，得出：

空间两点的距离不管从哪个坐标系测量，结果都应相同，这一结论称为空间绝对性。若和两坐标系的轴和轴方向相同且重合，系对系的速度为常矢量且沿着轴方向，并约定在同相重合的时