高等数学（第三版）课件：线面积分

机动目录上页下页返回结束

积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动目录上页下页返回结束对弧长的曲线积分

一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”

可得为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用机动目录上页下页返回结束设

是空间中一条有限长的光滑曲线,义在

上的一个有界函数,都存在,

上对弧长的曲线积分,记作若通过对

的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，

称为积分弧段.曲线形构件的质量和对机动目录上页下页返回结束如果L是xoy

面上的曲线弧,如果L

是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.3.性质（k为常数)(

由组成)(l为曲线弧

的长度)机动目录上页下页返回结束二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义机动目录上页下页返回结束点设各分点对应参数为对应参数为则机动目录上页下页返回结束说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此机动目录上页下页返回结束如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则机动目录上页下页返回结束例1.

计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)机动目录上页下页返回结束例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:建立坐标系如图,则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得机动目录上页下页返回结束例4.计算曲线积分

其中

为螺旋的一段弧.解:

线机动目录上页下页返回结束例5.计算其中

为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知机动目录上页下页返回结束思考:例5中

改为计算解:

令,则圆

的形心在原点,故,如何机动目录上页下页返回结束例6.计算其中为球面解:化为参数方程则机动目录上页下页返回结束例7.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.

机动目录上页下页返回结束内容小结1.定义2.性质(l曲线弧

的长度)机动目录上页下页返回结束3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧机动目录上页下页返回结束思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:机动目录上页下页返回结束2.

设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为

ρ(常数).(2)L的质量而(1)机动目录上页下页返回结束故重心坐标为第二节目录上页下页返回结束第二节目录上页下页返回结束作业备用题1.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分机动目录上页下页返回结束2.

L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为机动目录上页下页返回结束第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束3)“近似和”4)“取极限”(其中

为n个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束若

为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上L的参数方程为则曲线积分有定义且连续,证明:下面先证存在,且有机动目录上页下页返回结束对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例4.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中

为机动目录上页下页返回结束例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为机动目录上页下页返回结束二者夹角为

例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧

:机动目录上页下页返回结束原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P139例5)F的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方向改为与OM垂直且与y轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束作业第三节目录上页下页返回结束备用题1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一质点在力场F作用下由点机动目录上页下页返回结束2.

设曲线C为曲面与曲面从ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动目录上页下页返回结束(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束第三节一、格林公式

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件机动目录上页下页返回结束格林公式及其应用

区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式机动目录上页下页返回结束证明:1)若D既是X-型区域,又是

Y-型区域,且则定理1目录上页下页返回结束即同理可证①②①、②两式相加得:定理1目录上页下页返回结束2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕定理1目录上页下页返回结束推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积定理1目录上页下页返回结束例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得机动目录上页下页返回结束例2.

计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有机动目录上页下页返回结束例3.

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令设L所围区域为D,由格林公式知机动目录上页下页返回结束在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和lˉ

所围的区域为林公式,得机动目录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))定理2目录上页下页返回结束证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理2目录上页下页返回结束证明

(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2目录上页下页返回结束证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕定理2目录上页下页返回结束说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束例4.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则机动目录上页下页返回结束例5.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下页返回结束例6.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令则由定理2可知存在原函数机动目录上页下页返回结束或机动目录上页下页返回结束例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动目录上页下页返回结束思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!机动目录上页下页返回结束内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在

D

内有对D内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:机动目录上页下页返回结束2.设提示:作业P1532(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)第四节目录上页下页返回结束备用题1.

设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点机动目录上页下页返回结束2.

质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:

由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(90考研)

F的大小等于点M在此过程中受力F作用,机动目录上页下页返回结束第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质量M.

“分割,取近似,求和,取极限”

的方法,其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动目录上页下页返回结束定义:设为光滑曲面,局部区域任意取点,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.机动目录上页下页返回结束连续,则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面

上对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动目录上页下页返回结束定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分证明:由定义知机动目录上页下页返回结束而(光滑)机动目录上页下页返回结束说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例4,例5)机动目录上页下页返回结束例1.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:机动目录上页下页返回结束思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则机动目录上页下页返回结束例2.

计算其中

是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示

在平面机动目录上页下页返回结束例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束思考:若例3中被积函数改为计算结果如何?例4.

求半径为R

的均匀半球壳

的重心.解:设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题:例3是否可用球面坐标计算?例3目录上页下页返回结束例5.计算解:取球面坐标系,则机动目录上页下页返回结束例6.计算其中

是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用重心公式机动目录上页下页返回结束例7.计算其中

是介之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.机动目录上页下页返回结束于平面例8.

求椭圆柱面位于xoy面上方及平面

z=y下方那部分柱面

的侧面积S.解:取机动目录上页下页返回结束例9.

设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度

h=36000km,机动目录上页下页返回结束运行的角速度与地球自转角速度相同,

试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解:建立坐标系如图,覆盖曲面的半顶角为

,利用球坐标系,则卫星覆盖面积为机动目录上页下页返回结束故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知,卫星覆盖了地球以上的面积,故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:此题也可用二重积分求A

(见下册P109例2).内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)

注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.机动目录上页下页返回结束备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上的面密度部分

的质量M.解:

在xoy面上的投影为

故机动目录上页下页返回结束2.

设是四面体面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质

三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲面积分

一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)机动目录上页下页返回结束其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲面积分的概念与性质

1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为:求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:

流速为常向量:

机动目录上页下页返回结束对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则机动目录上页下页返回结束设

在光滑有向曲面

上有界,，任取点记作把

任意分成n块小曲面总存在，

该点处

的单位法向量为如果当各小块曲面的直径的最大值λ0时，对坐标x、y的曲面积分,。2.定义则称此极限为函数在有向曲面上

，即以上三个积分也称为第二类曲面积分。

类似地可定义函数

在有向曲面

上对坐标y、z的曲面积分

，及函数

在有向曲面

上对坐标z、x的曲面积分分别为若记

的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用

ˉ表示

的反向曲面,则机动目录上页下页返回结束4.对坐标曲面积分的物理意义：则向量场

穿过曲面

向着指定侧的流量（通量）为设向量场为。三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,机动目录上页下页返回结束

•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面

取下侧,则机动目录上页下页返回结束例1.

计算其中是以原点为中心,边长为

a

的正立方体的整个表面的外侧.解:

利用对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧机动目录上页下页返回结束解:把分为上下两部分根据对称性思考:下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例3.设S是球面的外侧,计算解:利用轮换对称性,有机动目录上页下页返回结束四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束令向量形式(A在n上的投影)机动目录上页下页返回结束例4.

位于原点电量为q的点电荷产生的电场为解:。求E通过球面:r=R外侧的电通量.机动目录上页下页返回结束例5.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:机动目录上页下页返回结束例6.

计算曲面积分其中

解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.机动目录上页下页返回结束原式=机动目录上页下页返回结束内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系

机动目录上页下页返回结束性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与的方向无关,一个与

机动目录上页下页返回结束2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动目录上页下页返回结束当时，（上侧取“+”,下侧取“

”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.机动目录上页下页返回结束备用题求取外侧.解:注意±号其中机动目录上页下页返回结束利用轮换对称性机动目录上页下页返回结束第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动目录上页下页返回结束高斯公式通量与散度

一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,下面先证:函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss公式)高斯目录上页下页返回结束证明:设为XY型区域,则定理1目录上页下页返回结束所以若

不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：定理1目录上页下页返回结束例1.用Gauss

公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐标)及平面z=0,z=3

所围空间思考:

若改为内侧,结果有何变化?若

为圆柱侧面(取外侧),如何计算?机动目录上页下页返回结束例2.利用Gauss公式计算积分其中为锥面解:作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为

,则机动目录上页下页返回结束利用重心公式,注意机动目录上页下页返回结束例3.设

为曲面取上侧,求解:

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标机动目录上页下页返回结束在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例4.设函数其中是整个边界面的外侧.分析:高斯公式机动目录上页下页返回结束证:令由高斯公式得移项即得所证公式.(见P171)机动目录上页下页返回结束*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型设有空间区域G,

若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G为空间二维单连通域;

若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通域.例如,球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但机动目录上页下页返回结束2.闭曲面积分为零的充要条件定理2.在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则①证:“充分性”.

根据高斯公式可知②是①的充分条件.的充要条件是:②“必要性”.用反证法.已知①成立,机动目录上页下页返回结束因P,Q,R在G内具有连续一阶偏导数,则存则由高斯公式得与①矛盾,故假设不真.因此条件②是必要的.取外侧,机动目录上页下页返回结束在邻域三、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为机动目录上页下页返回结束为若为方向向外的闭曲面,

当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;流出的,表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为机动目录上页下页返回结束③方向向外的任一闭曲面

,

记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.机动目录上页下页返回结束定义:设有向量场其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A通过有向曲面的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度.记作divergence机动目录上页下页返回结束表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A处处有,则称A为无源场.例如,匀速场故它是无源场.P16目录上页下页返回结束说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且*例5.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为解:

计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.机动目录上页下页返回结束内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:机动目录上页下页返回结束2.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为机动目录上页下页返回结束思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2)为机动目录上页下页返回结束作业第七节目录上页下页返回结束备用题

设是一光滑闭曲面,所围立体的体积

是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设

的单位外法向量为则的夹角,为V,机动目录上页下页返回结束高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.*二、环流量与旋度斯托克斯公式环流量与旋度第七节一、斯托克斯公式三、空间曲线积分与路径无关的条件机动目录上页下页返回结束

一、斯托克斯(Stokes)公式

定理1.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与

的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1

与平行z轴的直线只交于一点,

设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则有简介目录上页下页返回结束则(利用格林公式)定理1目录上页下页返回结束因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理1目录上页下页返回结束情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把

分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1目录上页下页返回结束为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1目录上页下页返回结束例1.利用斯托克斯公式计算积分其中

为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性机动目录上页下页返回结束例2.

为柱面与平面y=z的交线,从z

轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y上被

所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式目录上页下页返回结束二、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为机动目录上页下页返回结束令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线的环流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.机动目录上页下页返回结束rotation设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:机动目录上页下页返回结束向量场A产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成右手系!

为向量场A沿的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.机动目录上页下页返回结束的外法向量,计算解:

例3.设机动目录上页下页返回结束*三、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线

,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有机动目录上页下页返回结束证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证)设函数则定理2目录上页下页返回结束同理可证故有若(3)成立,则必有因P,Q,R一阶偏导数连续,故有同理证毕定理2目录上页下页返回结束与路径无关,并求函数解:

令积分与路径无关,因此例4.验证曲线积分定理2目录上页下页返回结束内容小结1.斯托克斯公式机动目录上页下页返回结束2.场论中的三个重要概念设

梯度:机动目录上页下页返回结束散度:旋度:则在内与路径无关在内处处有在内处处有3.空间曲线积分与路径无关的充要条件设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则机动目录上页下页返回结束思考与练习则提示:三式相加即得机动目录上页下页返回结束作业习题课目录上页下页返回结束斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.机动目录上页下页返回结束习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束线面积分的计算

一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终机动目录上页下页返回结束解答提示:计算其中L为圆周提示:

利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则机动目录上页下页返回结束计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:机动目录上页下页返回结束

计算其中由平面y=z截球面提示:因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.机动目录上页下页返回结束(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧机动目录上页下页返回结束例1.计算其中

为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(的重心在原点)机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.机动目录上页下页返回结束