(2025春新版)北师大版七年级数学下册《-幂的乘除》课件

数学北师大版七年级下第一章整式的乘除第1课时

同底数幂的乘法北师版七年级数学下册1.1幂的乘除新课导入思考：什么叫乘方?求几个相同因数的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。an幂底数(相同的因数)指数(因数的个数)a×a×a×…×a

n

个a填空（1）25表示____________________；（2）

a的底数是______，指数是是______；（3）(-2)4的底数是______，指数是是______；（4）-24的底数是______，指数是是______。2×2×2×2×2a1-2244新课探究光在真空中的传播速度约为3×108m/s，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年。一年以3×107s计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米?（1）怎样列式子?3×108×3×107×4.22=37.98×(108×107)（m）（2）观察这个算式，与以往的计算有何不同?108×107等于多少呢?同底数幂的乘法1.计算下列各式：（1）102×103；（2）105×108；（3）10m×10n（m，n

都是正整数）。尝试·思考（1）102×103（2）105×108×(10×10×10)=105=(10×10)=(10×…×10)5个10×(10×…×10)8个10=(10×…×10)13个10=1013乘方的意义乘方的意义乘法的结合律（3）10m×10n=(10×…×10)m个10×(10×…×10)n个10=(10×…×10)(m+n)个10=10m+n乘方的意义乘法的结合律你发现了什么?底数为10的两个幂相乘，结果为底数仍为10的幂，它的指数为两个幂的指数的和。2m×2n2.2m×2n

等于什么?和(–3)m×(–3)n

呢?（m、n

都是正整数）m个2n个2=(2×2×…×2)×(2×2×…×2)=2m+n

(–3)m×(–3)

nm个(–3)n个(–3)=[(–3)×(–3)×…×(–3)]×[(–3)×(–3)×…×(–3)]=(–3)m+n如果m、n

都是正整数，那么am·an

等于什么?为什么?

am·

an尝试·交流m个an个a=(a·a·…·a)·(

a

·

a

·…·a)=am+n。通过刚才的计算，同学们是否能发现什么规律?同底数幂相乘，底数_____，指数_____。不变相加am·an=am+n（m，n

都是正整数）同底数幂的乘法法则:运用法则的前提条件：①底数相同；②乘法运算。两者缺一不可例1

（1）(–3)7×(–3)6；（2）；（3）–x3·x5；（4）b2m·b2m+1。解：（1）(–3)7×(–3)6=(–3)7+6=(–3)13；（2）；（3）–x3·x5=–x3+5=–x8；（4）b2m·b2m+1

=b2m+2m+1=b4m+1.

am·an·ap等于什么?为什么?

am·

an·ap=(a·a·…

·a)

·

(a·a

·…·a)·

(a·a

·…

·a)m个an个ap个a思考·交流=am+n+p。3个及以上的同底数幂相乘，底数不变，指数相加。练习（1）52×57；（2）7×73×72

；

（3）–x2·x5

；（4）(–c)3·(–c)m。解：（1）52×57=52+7=59；（2）7×73×72

=71+3+2=76；

（3）–x2·x5

=–x2+5=–x7；

（4）(–c)3·(–c)m=(–c)3+m。

1.计算：【课本P3随堂练习第1题】

例2

光在真空中的传播速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒。地球距离太阳大约有多远?解：3×108×5×102=15×1010=1.5×1011（m）。因此，地球距离太阳大约有1.5×1011m。2.2017年6月，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机以1.25×1017次/s的峰值计算能力和9.3×1016

次/s的持续计算能力，第三次名列世界超级计算机排名榜单TOP500第一名。该超级计算机按持续计算能力运算2×102s可做多少次运算?

解：2×102×9.3×1016=18.6×（102×1016）=18.6×1018=1.86×1019（次）。练习【课本P3随堂练习第2题】3.解决本课提出的比邻星与地球之间的距离问题。

解：3×108×3×107×4.22=37.98×（108×107）

=37.98×1015=3.798×1016（m）。练习【课本P3随堂练习第3题】随堂演练1.下列选项中，与2n为同底数幂的是（）A.3n B. C.﹣2m D.(﹣2)m2.计算：______。C3.下面计算正确的是（）A.(y–x)·(y–x)2·(y–x)3=(x–y)6B.(x–y)2·(y–x)3=(x–y)5C.(x–y)·(y–x)3·(x–y)2=(x–y)6D.(x–y)5·(y–x)2=–(x–y)74.计算：______。A注意:不是同底数幂相乘时先化成同底数，再进行计算。5.已知xm=3，xn=5，求xm+n的值。思路分析:解:xm+n=xm·xn=3×5=15。6.如果m，n是正整数，且3m·3n=27，试求mn

的值。解：因为3m·3n=27=33，所以m+n=3.又因为m，n是正整数，所以当m=1时，n=2，此时mn=12=1；当m=2时，n=1，此时mn=21=2。课堂小结同底数幂的乘法am

·

an

=am+n（m，n

都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am

·

an·ap=am+n+p（m，n，p都是正整数）法则注意底数相同时直接应用法则底数不相同时先变成同底数再应用法则课后作业1.完成课本的相应练习题，2.完成练习册本课时的习题。数学北师大版七年级下谢谢观看数学北师大版七年级下北师版七年级数学下册第2课时

幂的乘方1.1幂的乘除复习导入幂的意义：a·

a·…·an

个a=an同底数幂乘法的运算性质：am

·an=am+n（m，n

都是正整数）太阳的半径约为地球的102

倍，它的体积约为地球的(102)3

倍。新课探究

地球、木星、太阳可以近似地看成球体。木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍?球的体积公式是V=πr3，其中V是球的体积，r是球的半径。等于多少呢?木星的半径约为地球的10倍，它的体积约为地球的103

倍。（1）(62)4=__×__×__×__=6()+()+()+()=

6()×()=

6()；

根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算的结果，你能发现什么规律?尝试·思考（2）(a2)3=__×__×__=a()+()+()=

a()×()=

a()；

（3）(am)2=__×__=a()+()=

6()×()=

a()

。626262622222248a2a2a2222236amammmm22m【猜想】(am)n=_______。amn(am)n

=am

·am·…·am

·am=am+m+…+m=amnn个amn个m如果m，n都是正整数，那么(am)n

等于什么?为什么?幂的乘方，底数_____，指数_____。(am)n=amn（m，n

都是正整数）幂的乘方法则:不变相乘注意：底数(即上面公式中的a)既可以是单项式，也可以是多项式。例3

计算：（1）(102)3；（2）(b5)5；（3）(an)3；（4）–(x2)m；（5）(y2)3·y；（6）2(a2)6–(a3)4

。解：（1）(102)3=102×3=106；（2）(b5)5=b5×5=b25；（3）(an)3=an·3=a3n；（4）–(x2)m

=–x2·m

=–x2m

；（5）(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7；（6）2(a2)6–(a3)4=2a2×6–a3×4=a12

。不变变化符号表示同底数幂的乘法幂的乘方想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点?(am)n=amn底数不变am·

an=am+n

指数相加底数不变指数相乘(m，n都是正整数)注意：两者不可混淆思考：下面这道题该怎么进行计算呢?[(a2)3]4=(a6)4=a24[(am)n]p等于多少?(m，n，p都是正整数)[(am)n]p=amnp。（1）(103)3；（2）–(a2)5

；

（3）(x3)4·x2

。解：（1）

(103)3=103×3=109；（2）–(a2)5

=–a2×5=–ɑ10；（3）(x3)4·x2

=x3×4·x2

=x12·x2=x14

。1.计算：

随堂练习解：x2n=(xn)2=22=4。2.已知xn=2，求x2n的值。提示:amn=(am)n=(an)m随堂演练1.计算(a2)3的结果是（）A.3a2 B.2a3 C.a5 D.a62.计算：（1）(103)4；（2）(–a5)6；（3）–(a5)3。D原式=1012原式=a30原式=–a153.若2x+5y–3=0，求4x·32y的值。解：4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.4.若10x=m，10y=n，则102x+3y的值为（）A.2m+3n B.m2+n2 C.6mn D.m2n3D5.阅读下列解题过程：试比较2100与375的大小。解：因为2100=(24)25=1625，375=(33)25=2725，且16＜27，所以2100＜375。试根据上述解答过程解决问题：比较2555，3444，4333的大小。提示:要比较乘方的大小，就得想办法，把它们变成底数一样，或者指数一样。解：因为2555=(25)111=32111，3444=(34)111=81111，4333=(43)111=64111，且32＜64＜81，所以2555＜4333＜3444。课堂小结幂的乘方(am)n=amn

（m，n

都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。法则注意幂的乘方与同底数幂的乘方的区别：幂的乘方法则的逆用:amn=(am)n=(an)m(am)n=amnam·

an=am+n

课后作业1.完成课本的相应练习题，2.完成练习册本课时的习题。数学北师大版七年级下谢谢观看数学北师大版七年级下北师版七年级数学下册第3课时

积的乘方1.1幂的乘除复习导入1.计算:(1)10×102×103=_____；(2)(x5)3=_____。2.(1)同底数幂的乘法:

am·an=_____（m

，n

为正整数）；(2)幂的乘方:

(am)n=_____（m

，n

为正整数）。106x15am+namn新课探究地球可以近似地看成球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米?

等于多少呢?球的体积公式是V=πr3，其中V是球的体积，r是球的半径。这个式子有什么特点?底数为两个因式相乘，积的形式。（1）(3×5)4=3()·5()；

（2）(3×5)m=3()·5()。（1）(3×5)4=(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)=34×54

尝试·思考1.完成下列各式，并说明理由。44=(3×3×3×3)×(5×5×5×5)

乘方的意义乘法交换律乘法结合律同底数幂的乘法法则（1）(3×5)4=3()·5()；

（2）(3×5)m=3()·5()。尝试·思考1.完成下列各式，并说明理由。44=3m×5m

mm（2）(3×5)m=(3×5)×(3×5)×…×(3×5)m个(3×5)m个5=(3×3×…×3)×(5×5×…×5)m个3（1）(3×5)4=3()·5()；

（2）(3×5)m=3()·5()。尝试·思考1.完成下列各式，并说明理由。44mm通过上述计算，你发现了什么?两个数的积的乘方,与这两个数各自的乘方的积相等。【猜想】(ab)n=_______。anbn2.如果n都是正整数，那么(ab)n

等于什么?为什么?

(ab)n

=(ab)·(ab)

·…·(ab)=(a·a·…·a)·(b·b·…

·b)

=anbnn个abn个an个b(ab)n=anbn（n

是正整数）积的乘方等于_______________________。每个因式分别乘方后的积想一想:三个或三个以上的积的乘方等于什么?(abc)n=anbncn（n是正整数）例4

计算：（1）(3x)2；（2）(–2b)5；

（3）(–2xy)4；（4）(3a2)n

。

解：（1）(3x)2=32x2=9x2；（2）(–2b)5=(–2)5b5=–32b5；（3）(–2xy)4=(–2)4x4y4=16x4y4；

（4）(3a2)n=3n(a2)n=3na2n

。

（1）(–3n)3；（2）(5xy)3

；

（3）–a3+

(–4a)2a。解：（1）

(–3n)3=(–3)3n3=–

27n3；（2）(5xy)3

=53x3y3=125x3y3；（3）–a3+

(–4a)2a=–a3+16a2a=15a3

。1.计算：

随堂练习2.解决本课一开始地球的体积问题(π取3.14)。解:3.下面的计算对不对?如果不对，应怎样改正?（1）(a3b)3=a3b3；

（）（2）(6xy)2=12x2y2；

（）（3）–(3x3)2=9x6；

（）（4）(–2ax2)2=–4a2x4. （）×(a3b)3=a9b3(6xy)2=36x2y2××–(3x3)2=–9x6×(–2ax2)2=4a2x4回顾·反思回顾同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的学习，你经历了怎样的探究过程?这些运算与数的运算有什么联系?你还想探究幂的什么运算?特殊到一般的过程。幂的运算是数的运算的扩展和深化。随堂演练1.下列计算正确的是（）A.(ab2)2=ab4 B.(3xy)3=9x3y3C.(–2a2)2=–4a4 D.

(–3a2bc2)2=9a4b2c42.若(2am)3=na15成立，则m=____，n=____。D583.计算：（1）(–2xy2)6+(–3x2y4)3；（2）(–4ab3)2–8a2b6+2(ab3)2。原式=64x6y12–27x6y12=37x6y12原式=16a2b6–8a2b6+2a2b6=10a2b64.计算：（1）(xm+1)3（2）a·a2·a3+(a3)2–(–2a2)3；（3）原式=x3m+3原式=10a6原式=85.如何简便计算(0.04)2014×[(-5)2004]2?解：原式=

(0.22)2014×54008=

(0.2)4008×54008=

(0.2×5)4008=

14008=

1方法总结:逆用积的乘方公式anbn

=(ab)n，要灵活运用对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算。课堂小结积的乘方(ab)n=anbn（n

是正整数）积的乘方等于每个因式分别乘方后的积。性质注意公式中的a，b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用课后作业1.完成课本的相应练习题，2.完成练习册本课时的习题。数学北师大版七年级下谢谢观看数学北师大版七年级下北师版七年级数学下册第4课时

同底数幂的除法1.1幂的乘除复习导入我们在前面学习了与幂有关的运算性质，这些运算都有哪些?

1.同底数幂乘法法则：（m，n都是正整数）2.幂的乘方法则：（m，n都是正整数）3.积的乘方法则：（n是正整数）新课探究一种液体每升含有1012

个有害细菌。为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现1滴灭菌剂可以杀死109

个有害细菌。要将1L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种灭菌剂多少滴?你是怎样计算的?

1012÷109同底数幂的除法同底数的幂相除，怎样计算呢?观察这个算式，它有何特点?是相同底数的幂相除。尝试·思考1.计算下列各式，并说明理由(m＞n)。（1）1012÷109；（2）10m÷10n；（3）(-3)m÷(-3)n

。（1）1012÷10912

个10=10×10×…×1010×10×…×109

个10=103=10×10×…×10（12–9）

个10由此，你发现了什么?1012÷109=1012-9（2）10m÷10nm个10=10×10×…×1010×10×…×10n个10=10m–n=10×10×…×10(m–n)

个10由此，你发现了什么?10m÷10n=10m-n（3）(–3)m÷(–3)n=(–3)×(–3)×…×(–3)(–3)×(–3)×…×(–3)n个(–3)=(–3)m–nm个(–3)=(–3)×(–3)×…×(–3)(m–n)

个(–3)由此，你发现了什么?(-3)m÷(-3)n=(-3)m-n2.如果m，n都是正整数，且m＞n，那么am÷an等于什么?你是怎样得到的?am÷anm个a=a·a·…·aa·a·…·an个a=am–n=a·a·…·a(m–n)

个a即am÷an=am–n(m＞n，且m，n都是正整数)am÷an=am–n（a

≠0，m，n

都是正整数，且m＞n）。同底数幂相除，底数____，指数____。不变相减同底数幂的除法:同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算，因此同底数幂的除法可以用同底数幂的乘法来检验。a可以是单项式或多项式，但不能为0。例5

计算（1）a7÷a4；（2）(–x)6÷(–x)3；

（3）(xy)4÷(xy)；（4）b2m+2÷b2。

解：（1）

a7÷a4=a7–4=a3；（2）(–x)6÷(–x)3=(–x)6–3=(–x)3=–x3；

（3）(xy)4÷(xy)=(xy)4–1=(xy)3=x3y3

；（4）b2m+2÷b2=b2m+2–2=b2m

。我们已经得到了当m>n时，am÷an(a≠0)的运算法则，其中m、n都是正整数。那么当m≤n时，am÷an(a≠0)又如何计算?思考·交流计算：（1）23÷23；（2）a3÷a3。

（1）23÷23=23-3=20，（2）a3÷a3=a3-3=a0，20=1a0=1根据除法意义计算：根据同底数幂除法法则计算：你能得出什么结论?我们规定:任何一个不等于0的数的0次幂都等于1。注意:

零指数幂的底数可以是单项式，也可以是多项式，但是不能为0。数学语言:a0=1(a≠0)思考·交流计算：（1）23÷25；（2）a3÷a5。

23÷25=23-5=2-2，a3÷a5=a3-5=a-2。

根据除法意义计算：根据同底数幂除法法则计算：你能得出什么结论?我们规定:任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数。同底数幂的除法法则：数学语言:

am÷an=am–n（a

≠0，m，n

都是正整数）例6用小数或分数表示下列各数：（1）10–3；（2）70×8–2；（3）1.6×10–4

。解：（1）；（2）；（3）（1）x12÷x4；（2）(-y)3÷(-y)2；（3）-(k6÷k6)；

（4）(-r)5÷r4；（5）m÷m0；（6）(mn)5÷(mn)

。1.计算：解：（1）x12÷x4=x12-4

=x8；（2）(-y)3÷(-y)2=-y；（3）

-(k6÷k6)

=-1；

随堂练习（1）x12÷x4；（2）(-y)3÷(-y)2；（3）-(k6÷k6)；

（4）(-r)5÷r4；（5）m÷m0；（6）(mn)5÷(mn)

。1.计算：（4）(-r)5÷r4

=-r5÷r4=-r；（5）m÷m0=m÷1=m；（6）

(mn)5÷(mn)=(mn)5-1

=(mn)4=m4n4。有的细胞的直径只有1微米（μm），即0.000001m；某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），即0.000000001s；一个氧原子的质量为

0.00000000000000000000000002657kg

。

尝试·思考你能用负指数表示这些数吗?用科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数，同样，用科学记数法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数。因为=10–1；=10–2；=10–3……0.000001==1×10–6，

0.000000001==1×10–9，

0.00000000000000000000000002657=

2.657×=2.657×10–26。

一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n的形式，其中1≤a<10，n

是负整数。大于-1的负数也可以用类似的方法表示，如-0.00000256=-2.56×10-6。1.用科学记数法表示下列各数:（1）0.0000032=（2）–0.00000014=（3）–680000000=（4）314000000000=3.2×10–6–1.4×10–7–6.8×1083.14×1011

随堂练习2.1个电子的质量约为0.000000000000000000000000000000911kg，请用科学记数法表示这个数。解：0.000000000000000000000000000000911=9.11×10-31。随堂演练1.（1）计算：x10÷x4÷x2=______。（2）(–ax)5÷(ax)3=______。x4–a2x22.计算：（1）(xy)5÷(xy)3÷(–xy)；（2）(x–y)10÷(y–x)4·(x–y)2。原式=–xy原式=(x–y)83.用科学记数法表示下列各数：（1）0.0021；

（2）0.0001；（3）0.000305；

（4）–0.00000008。2.1×10–31×10–43.05×10–4–8×10–84.写出下列各数的原数：（1）1.35×10–6；

（2）5.0×10–3。5.1纳米=10–9米，将0.00305纳米用科学记数法表示为_____________米。0.000001350.00503.05×10–126.若2x=3，2y=6，2z=12，求x，y，z之间的数量关系。解：因为2y÷2x=2y–x=6÷3=2，2z÷2y=2z–y=2，所以2y–x=2z–y，

即y–x=z–y，所以2y=x+z。7.一根头发丝的直径为6万nm（纳米），某种生物细胞的直径为1μm（微米）。请你选择适当的方法说明两者之间的差距（1nm=10–9m，1μm=10–6m）。解：因为6万nm=6×104×10–9m=6×10–5m，所以6×10–5÷(1×10–6)=6×10–5+6=60，即一根头发丝的直径是该种生物细胞直径的60倍。课堂小结同底数幂的除法am

÷

an

=am-n（a≠0，m，n

都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。性质注意底数相同时直接应用法则底数不相同时先变成同底数再应用法则逆用课后作业1.完成课本的相应练习题，2.完成练习册本课时的习题。数学北师大版七年级下谢谢观看数学北师大版七年级下北师版七年级数学下册习题1.11.计算：（1）c·c11；（3）(-b)3·(-b)2；（5）xm-1·xm+1(m＞1)；（2）104×102×10；（4）-b3·b2；（6）a·a3·an。解:（1）c12；（2）107；（3）(-b)5；（4）

-b5；（5）

x2m

；（6）

a4+n

。2.已知am=2，an=8，求am+n。解:am+n=am·an=2×8=16。3.计算：

（3）(y2)2n；（2）

-(-b5)2；（4）

(x3)3n

。

（2）-b10；（3）y4n；（4）x9n。4.计算：（1）

-p·(-p)4；（3）(tm)2·t；（2）

(a2)3·(a3)2

；（4）(x4)6-(x3)8。解:（1）(-p)5；（2）

a12；（3）

t2m+1；（4）0

。5.计算：（1）(3b)2；（3）(-4a2)3；（2）-(ab)2

；（4）(y2z3)3。解:（1）9b2；（2）-a2b2

；（3）-64a6；（4）y6z9。6.计算：（1）(xy4)m

；（3）(xy3n)2+(xy6)n；（2）-(p2q)n

；（4）(-3x3)2-[(2x)2]3。解:（1）xmy4m；（2）

-p2nqn；（3）x2y6n

+xny6n；（4）-55x6

。7.计算：（1）213÷27；（3）a11÷a5；（5）a-4÷a-6；

（4）(-x)7÷(-x)；（6）62m+1÷6m

；（7）

5n+1÷53n+1；（8）9n÷9n+2。解:（1）64；

（3）a6；（4）x6；（5）a2；（6）

6m+1；（7）

5-2n；

8.计算：

（3）5-2；（5）7-3÷7-5；（2）3-3；（4）1.3×10-5；（6）3-1÷36；

（8）(-8)0÷(-8)-2。解:（1）1；

（4）0.000013；（5）49；

（7）128；（8）64。9.用科学记数法表示下列各数：（1）0.007398；（3）0.0000000000542；（2）0.0000226；（4）0.0000000000000000000001994。解:（1）7.398×10-3；（2）2.26×10-5；（3）5.42×10-11；（4）1.994×10-22。10.下面的计算是否正确?如有错误请改正。（1）a3·a2=a6；（3）x5·x5=x10；（5）(x3)3=x6；（2）b4·b4=2b4；（4）y7·y=y8

；（6）a6·a4=a24；（7）(ab4)4=ab8；（8）(-3pq)2=-6p2q2。解:（1）错误，应改成a3·a2=a5；（2）错误，应改成b4·b4=b8；10.下面的计算是否正确?如有错误请改正。（1）a3·a2=a6；（3）x5+x5=x10；（5）(x3)3=x6；（2）b4·b4=2b4；（4）y7·y=y8

；（6）a6·a4=a24；（7）(ab4)4=ab8；（8）(-3pq)2=-6p2q2。（3）错误，应改成x5+x5=2x5；（4）正确；10.下面的计算是否正确?如有错误请改正。（1）a3·a2=a6；（3）x5+x5=x10；（5）(x3)3=x6；（2）b4·b4=2b4；（4）y7·y=y8

；（6）a6·a4=a24；（7）(ab4)4=ab8；（8）(-3pq)2=-6p2q2。（5）错误，应改成(x3)3=x9；（6）错误，应改成a6·a4=a10；10.下面的计算是否正确?如有错误请改正。（1）a3·a2=a6；（3）x5+x5=x10；（5）(x3)3=x6；（2）b4·b4=2b4