2025年中考数学一轮复习专题7 反比例函数 知识点梳理及专项练习（含解析）

专题7反比例函数

1.反比例函数的三种形式是、、(k≠0,k是常数),其自变量的取值范围是.

反比例函数的图象是，当k时，双曲线的两个分支在第一、三象限，在，y随x的增大

而；当k时，双曲线的两个分支在第二、四象限，在，y随x的增大而.反比

例函数的图象是关于对称的中心对称图形，又是图形，其对称轴为.双曲线与x轴、y

轴都没有，两个分支坐标轴，但永远坐标轴.

2.反比例函数的反比例系数|k|的几何意义：过反比例函数的图象上任一点P作、

�

�

的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON的面积为S=�=�≠0即S=.

�

𝑃⋅𝑃=_____¯_____.∵�=�,∴��=�,

实战演练

1.反比例函数的图象分别位于()

6

�

A.第一、第三象�限=

B.第一、第四象限

C.第二、第三象限

D.第二、第四象限

2.点(1,y1),(2,y2),(3,y3),(4，y4)在反比例函数图象上,则y1,y2,y3,y4中最小的是()

4

�

A.y1B.y2�=

C.y3D.y4

3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数的图象上，且x2，则下列结论一定正确的是()

6

�=��₁<0<

�.�₁+�₂<0

�.�₁+�₂>0

�.�₁<�₂

4.�一.�次₁函>数�₂y=mx+n的图象与反比例函数的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为、

�1

�=��−�−2�

B(m,1),则△OAB的面积是()

A.3B.

13

4

C.D.

715

24

5.一次函数与反比例函数的图象交于点A(-1,-2),点B(2,1).当.y1<y2时，

�2

�₁=�₁�+��₁≠0�2=��2≠0

x的取值范围是()

A.x<-1

B.-1<x<0或x>2

C.0<x<2

D.0<x<2或x<-1

6.若点A(a-1,y1),B(a+1,y2)在反比例函数的图象上，且y1>y2,则a的取值范围是()

�

A.a<-1�=�(�<0)

B.-1<a<1

C.a>1

D.a<-1或a>1

7.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m²)的反比例函数，其函

数图象如图所示.当S=0.25m²时，该物体承受的压强p的值为Pa.

8.已知反比例函数的图象经过点(4,a),则a的值为.

6

�=−�

9.若A(1,y1),B(3,y2)是反比例函数图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1y2.(填“>”、

2�−11

�2

“=”或“<”)�=(�<)

已知点在反比例函数是常数的图象上，且，则的取值范围是

10.A(a,y1),B(a+1,y2)2(m).a

�+1

.�=��₁<�₂,

11.密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V(单位：m³)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m³)随之变化.

已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示.

(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式.

(2)当时，求该气体的密度ρ.

�=10�³

12.设函数函数b是常数，

�1

1�

(1)若函数�=和函,数的�₂图=象�交₂�于+点�(�A₁,(�1₂,m,),点B(3,1),�₁≠0,�₂≠0).

1

①求函数�,的表�达₂式;

1

②当2<x<3�时�,比₂较与的大小(直接写出结果).

1

(2)若点C(2,n)在函数�的�图₂象上,点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落

1

在函数的图象上，求n的�值.

1�3₂在直角坐标系中，设函数是常数,>0,x>0)与函数是常数，的图象交于点

�1

A，点A关于y轴的对称点为点B�.1=�(�1�1�₂=�₂�(�₂�₂≠0)

(1)若点B的坐标为(-1,2),

①求,的值;

1

②当�<�时₂，直接写出x的取值范围；

1

(2)若�点B�₂在函数是常数，k₃≠0)的图象上,求的值.

�3

�3=�(�3�₁+�₃

14.如图,反比例函数y=的图象与y=2x的图象相交于点C,过直线上点A(a,8)作AB⊥y轴交于点

�

�

B，交反比例函数图象于点D,且�≠AB0=�4B0D).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求四边形OCDB的面积.

压轴预测

1.已知点A(2,-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数的图象上，则实数k的值为()

�

A.-6B.�=�

1

C.66

1

2.如图，是三个反比例�函.−数6在y轴右侧的图象，则()

�1�2�3

�1=�,�2=�,�3=�

�.�₁>�₂>�₃�.�₂>�₁>�₃

3.�已.�知₃>点�A₂(>,�₁),B(+1,�).都�₃在>反�比₁>例�函₂数的图象上,()

�

�

A.若�₁�₁则�₁�₂�=(�<0)

B.若−2<�₁<−则1,�₁>�₂

C.若(−1<�₁<0则,�₁<�₂

D.若0<�₁<1则,�₁<�₂

4.如图1，<在�平₁<面2直,角坐�₁标>系�中₂，矩形ABCD四个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),D(3,2),当双曲线

与矩形有四个交点时，k的取值范围是()

�

�=��0)

A.0<k<2B.1<k<4

C.k>1D.0<k<1

5.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接AB，线

�

�

段AB恰好经过原点O,以AB为腰作等腰三角形ABC,AB=A�C=,点C�0落)在第四象限中,且BC∥x轴.过点C作C

D∥AB交x轴于E点,交双曲线第一象限一支于D点，若△ACD的面积为则k=.

45−4,

6.将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数.的图象与直线y=3x+m相交

�

�

于点A，且点A的纵坐标是3.�=

(1)求m和k的值;

(2)结合图象求不等式的解集.

�

�

7.如图，一次函数3�+�与>反比例函数图象交于点A(-4,m),B(-1,2),AC⊥x轴于点C,BD⊥y

1�

2�

轴于点D.�=�+��=(�<0)

(1)填空:m=,b=,k=;

(2)观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；

(3)P是线段AB上一点,连接PC,PD,若S△PCA=S△PDB,求点P的坐标.

参考答案

双曲线>0每一象限内减小<0每一象限内增大原点轴对称直线y=±x

�−1

�

交点1无.�限=接�近=于�交�不�到�=��≠0

2.x轴y轴|y|·|x|=|xy||k|

1.A【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.因为反比例函数中k=6>0,所以其图象位于第一、第三

6

�

象限，故选A.�=

2.D【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.由题意知最.

44

123343

小的是y₄,故选D.�=4,�=2,�=,�=1.∵1<<2<4,

3.C【解析】本题考查反比例函数的图象和性质.∵双曲线分别位于第一、三象限，且

6

�

y₂,故选C.�=�₁<0<�₂,∴�₁<

4.D【解析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积公式.由题知解得

−1+2�=−2�,

�+�=1,

所以A(-,-4),B(2,1),一次函数的解析式为y=2x-3,令y=0,得.所以一次函数与x轴的交�点≠为0,(，

133

�=2,

2�=2,�20,

所�以=△−O3,AB的面积是故选D.

11315

2��224

5.D【解析】本题×考�查�一×次�函数−与�反=比例×函数×5的=图象,与性质.利用图象法求解，根据两点坐标求出函数解析式

并画出函数图象，从而确定当y₁<y₂时，x的取值范围是x<-1或0<x<2,故选D.

6.B【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.∵k<0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，当点

A(a-1,y₁),B(a+1,y₂)在图象的同一支上时,∵y₁>y₂,∴a-1>a+1,此不等式无解;当点A(a-1,y₁),B(a+1，y₂)分别在

图象的两支上时，∵1>0,解得-1<a<1,故选B.

解答本题的关键是�掌₁>握�当₂,∴k<�0−时1，<在0,�+图象的每一支上，y随x的增大而增大.

�

�

7.400【解析】本题考查反比例函数的实�际=应用.由题知，即当S=0.25m²时，

1000×0.1100100

400(Pa).�=�,�=�,�=0.25=

【解析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征.将点(4,a)代入得

3663

2�42

9.8<.−【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.∵m<则�反=比−例,函数�的=−图象=经−过.第二、四象

1

2

限，∴点A，B在第四象限.∵第四象限内，函数y随x的增大,而∴增2�大−，1<0,

10.-1<a<0【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.∴，�₁∴<反�比₂.例函数的图象在第一、三象限，

∵�²+1>0,

在每一象限内y随x的增大而减小.∵a<a+1，y₁<y₂,∴a<0,a+1>0,解得-1<a<0.

10

�

(11)1根.据1图=象上�点�0A)2的1坐标，利用待定系数法即可求解；(2)将V=10代入(1)中的函数解析式，即可求解.

解：(1)设密度ρ关于体积V的函数解析式为(V>0,k≠0).

�

�

把V=4,ρ=2.5代入得�=

��

�4

解得k=10.�=,2.5=.

所以密度ρ关于体积V的函数解析式为

10

�

(2)当V=10时.�=�0).

10

10

所以该气体的密,度�=为1=kg1/m.³.

评分说明：(1)k写成m等其他字母均可.

(2)不写V>0,k≠0均不扣分.

①②(2)1

3

131.2(1.)1①k1�=12,=k2�=,2�2②=−x>�1+4(2)0�1<�2

14.(1)y=(2)10

8

(1)根据点�A纵坐标求得a的值，然后根据AB⊥y轴与AB=4BD求得点D的坐标，从而求得反比例函数的

解析式；(2)先求得两函数交点C的坐标，再利用△ABO与△ADC面积之差计算四边形OCDB的面积.

解:(1)由点A(a,8)在y=2x上,则a=4,

∴A(4,8).

∵AB⊥y轴,与反比例函数图象交于点D,且AB=4BD,

∴BD=1,即D(1,8).

∴k=8，反比例函数解析式为

8

�

(2)∵C是直线y=2x与反比例函�数=.图象的交点，

88

∵x>0,�=�∴2�=�,

∴x=2,则C(2,4).

1

����=2×4×8=16,

1

���2

�四边形=×3×4=6,

�����=����−����=10.

压轴预测

1.C【解析】本题考查反比例函数图象和对称性.由题意得点A(2,-3)关于x轴的对称点A'的坐标为(2,3),把点

A'(2,3)代入得k=2×3=6,故选C.

�

�

2.C【�解=析】本题考查反比例函数的图象与性质.由反比例函数的性质可知，若k>0，那么k的值越大，图象

离坐标轴越远，..又y₁的图象在第四象限，∴k₁<,故选C.

3.C∴�₃>�₂>0.0,∴�₃>�₂>�₁,

4.D【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.由题可知，当双曲线经过点B(-1,-1)时,双曲线与

�

�

矩形ABCD有三个交点,此时k=-1×(-1)=1.根据反比例函数的对称性，结合图象�可=知，�当0)0<k<1时，双曲线与矩形有

四个交点，故选D.

5.2【解析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质、三角形的面积公式.如图，过点A作AF⊥BC

于点F，连接BD，设点A的坐标为(a,k),a>0,则点B的坐标为(-a,-k/a).∵AB=AC,∴BF=CF=a-(-a)=2a,∴BC=2B

F=4a,∴点C的坐标为设直线AB的解析式为y=mx，代入点A的坐标，得即直

���

2

3�−�.�=��,∴�=�,

线AB的解析式为y=kzx.∵CD∥AB,∴设直线CD的解析式为将点C坐标代入得

���

22

���

直线CD的解析式为由可�得=�+�,(舍负),∴点−D=的坐⋅3�标+为

4��4��4��

22

������

�,∴�=−,:∵AB∥CD,∴S△�=BCD�=−S△.ACD�=−=又�=2�+5�

�11�

2�+5�2�+5�.45−4.����=2��⋅��−��,∴2⋅4�⋅2�+5�+

解得k=2.

�

�=45−4,

6.(1)m=0,k=3(2)x>1或-1<x<0

(1)根据直线平移后的方程得到m的值，进而得到点A的坐标，根据点A在反比例函数的图象上得到k的值；

(2)画出两函数的图象，数形结合求解不等式或将不等式转换为不等式组求解.

解：(1)∵将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m,

∴3x+1-1=3x+m,

∴m=0.

∵反比例函数的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3，

�

�

∴将y=3代入�y=3x得3x=3,x=1,

∴A(1,3).

∵点A(1,3)在反比例函数图象上，

�