青海省海东市部分学校2024-2025学年高三下学期3月联考数学试卷（原卷版+解析版）

高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若函数的最小正周期为，则（）A. B.3 C. D.3.已知向量，．若，则（）A. B. C. D.4.已知，，，则（）A. B. C. D.5.已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，则（）A.8 B.9 C.7 D.66.定义．若等比数列满足，，则（）A.5 B.4 C. D.107.已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若的内切圆的半径为，则的面积为（）A. B. C. D.8.已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9已知复数，，则（）A.虚部为1 B.为纯虚数C. D.在复平面内对应的点位于第一象限10.已知等差数列的前项和，则（）A. B.是递增数列C.数列的前9项和为58 D.11.已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列结论正确的是（）A.B.在上单调递增C.函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为D.若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.13.已知，，则______．14.现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），要求选择性必修第三册不放最左端，必修第一册不放最右端，选择性必修第一册、选择性必修第二册不相邻，则这5本教材放置顺序共有______种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）已知，，求的面积．16.如图，三棱锥中，平面平面，，，．（1）证明：．（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分.（1）小王同学的答题情况如图所示，①求小王同学的得分；②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率（2）小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他得分为X，求X的分布列与期望.18.已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点．点在上，且直线与轴垂直．（1）求的标准方程．（2）试问直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．（3）设直线与轴交于点，，求面积的最大值．19.已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数.（1）判断是否为上的非负函数，并说明理由.（2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列.（3）已知且，函数，若为上非负函数，证明：.

高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式求得定义域，结合集合交集，可得答案.【详解】由，则.故选：C.2.若函数的最小正周期为，则（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】分析】根据最小正周期得到方程，求出.【详解】因为的最小正周期为，所以，得.故选：D3.已知向量，．若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐标表示求得，再由模长公式即可求解；【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的单调性判断．【详解】因为，，，所以，故选：D．5.已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，则（）A.8 B.9 C.7 D.6【答案】D【解析】【分析】求出点M横坐标，根据焦半径公式计算即可．【详解】抛物线中，，点在抛物线上，则，，所以到焦点的距离为，故选：D．6.定义．若等比数列满足，，则（）A.5 B.4 C. D.10【答案】A【解析】【分析】结合定义，由等比数列的性质即可求解；【详解】可得：所以，又，所以，故选：A7.已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若的内切圆的半径为，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆定义可得，利用三角形面积公式即可求.【详解】由可知，因为，分别为椭圆的左、右焦点，且，两点在椭圆上，所以，，两式相加得，即，又因为的内切圆的半径为，所以.故选：A8.已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合图形分析点的位置，根据体积求出球的半径，然后由球的体积公式可得.【详解】设球的半径为，记的中点为，则，易知，当点在的延长线上，且棱锥的高等于求的半径时，棱锥体积最大.因为，所以，.当点在的延长线上时，的面积最大，为，四面体体积的最大值为，解得，从而球的体积为.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，则（）A.的虚部为1 B.为纯虚数C. D.在复平面内对应的点位于第一象限【答案】BCD【解析】【分析】化简，再由复数的定义判断A，计算后判断BCD．【详解】，虚部为2，A错；，是纯虚数，B正确；，C正确；，对应点坐标为，在第一象限，D正确，故选：BCD．10.已知等差数列的前项和，则（）A. B.是递增数列C.数列的前9项和为58 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据数列末项与求和公式的关系，结合等差数列的定义，可得通项，代入逐项计算，可得答案.【详解】由题意，当时，，当时，，可得等差数列的公差，由，可得，即，故A错误；由，则，故B正确；由，则，令，解得，所以，故C正确；由，故D正确.故选：BCD.11.已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列结论正确的是（）A.B.在上单调递增C.函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为D.若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】直接代入即可求解A，根据，作出函数的图象，即可结合选项逐一求解.【详解】由题可知，，A正确.由，可作出的部分图象，可知在上单调递增，在上单调递减，B不正确.由，得，根据函数的对称性可知，当时，可知，是方程的两个不同的根，且，，根据的图象可知，a的取值范围为，C正确.当函数在上恰有4个零点时，根据的图象可知，a的取值范围为，D不正确.故选：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】先根据函数解析式求出切点坐标，继续对函数求导，切点处的导数值就是切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程.【详解】因为，所以，所以，则，从而曲线在点处的切线方程为，整理得.13.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用正弦的二倍角公式以及正切的和角公式，可得答案.【详解】由，解得，则.故答案为：.14.现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），要求选择性必修第三册不放最左端，必修第一册不放最右端，选择性必修第一册、选择性必修第二册不相邻，则这5本教材放置顺序共有______种．【答案】【解析】【分析】利用正难则反的解题思路，根据容斥原理求得不符合题意的情况数，可得答案.【详解】由题意，设高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材分别为，五本书随机排列的情况数为；若放在最左端，则情况数为，若放在最右端，则情况数为，若相邻，则情况数为，若放在最左端，且放在最右端，则情况数为，若放在最左端，且相邻，则情况数为，若放在最右端，且相邻，则情况数为，若放在最左端，放在最右端，相邻，则情况数为，不符合题意的情况数为，符合题意的情况数为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）已知，，求的面积．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理、正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式、诱导公式求解；（2）由余弦定理求得，再由面积公式计算．【小问1详解】因为，所以，即，由正弦定理得，中，所以，又，所以；【小问2详解】由余弦定理得，即，解得（负值舍去），所以．16.如图，在三棱锥中，平面平面，，，．（1）证明：．（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明平面后可得证线线垂直；（2）取中点，连接，取中点，连接，再取中点，连接，证明是二面角的平面角，然后求出其余弦值．【小问1详解】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面，所以；【小问2详解】取中点，连接，因为，所以，取中点，连接，由得，再取中点，连接，则且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，，所以，而，所以平面，因为平面，所以，所以是二面角的平面角，由，且得，，，所以，所以．所以平面与平面夹角的余弦值为．17.为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分.（1）小王同学的答题情况如图所示，①求小王同学的得分；②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率（2）小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望.【答案】（1）①10分；②.（2）分布列见解析，10【解析】【分析】（1）①由图易得小王同学的得分；②针对错误试题进行分析后，列出所有可能的2种情况，故可得小王全部答对的概率；（2）由题意，所有取值可能为0，10，20，40，分别求出对应的概率，列出分布列，求出期望即可.【小问1详解】①由图可知，小王同学答对1道试题，故他的得分为10分.②经过老师的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”对应的出处错误，针对错误试题进行分析后，给出的答案可能为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，{（草船借箭，水浒传），（黛玉葬花，三国演义），（武松打虎，红楼梦）}，共2种情况，其中错误试题全部答对的情况为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，故所求的概率为.【小问2详解】由题可知，的所有取值可能为0，10，20，40.，，，\\.X分布列为：X0102040P故.18.已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点．点在上，且直线与轴垂直．（1）求的标准方程．（2）试问直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．（3）设直线与轴交于点，，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）过定点；（3）【解析】【分析】（1）由离心率求得后得双曲线标准方程；（2）设设，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，由已知得，写出直线方程，并令，代入，及可求得，从而得定点坐标；（3）利用直线过定点，因此有，代入韦达定理的结论并利用函数单调性可得面积范围．【小问1详解】由已知，解得（负值舍去），所以双曲线的标准方程是；【小问2详解】设，由得，且，，所以，，因为与轴垂直，且也在双曲线上，所以，直线的方程为，又，，，所以直线的方程化为，令，得，所以，，所以直线过定点；【小问3详解】在中令得，所以，，设，设，则，因为，所以，，,所以，在上是减函数，，所以的最大值是．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题，设动直线与圆锥曲线的交点坐标为，直线方程代入曲线方程后应用韦达定理得，利用这两个交点的坐标写出要求过定点的直线的方程，可根据直线的变化确定定点的位置，然后代入韦达定理的结论及利用定点所在