2025年中考数学几何模型综合训练专题34最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练（学生版）

专题34最值模型之阿氏圆模型

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的

数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进

行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.阿氏圆模型..........................................................................................................................................1

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模型1.阿氏圆模型

动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），

那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯

圆，简称为阿氏圆。

OP

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即k），连

OB

接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？

OCOPOPOC

如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即k），∵k，∴，

OPOBOBOP

PC

∵∠POC=∠BOP，∴POC∽BOP，∴k，即k·PB=PC。

PB

△△

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值。

其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在

于如何构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内

一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点

轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

例1．（2024·安徽合肥·二模）在ABC中，ACB90，AC6，BC8，点D是平面上一点，且CD4，

连接AD、BD，则下列说法正确的是（）

28

A．AD长度的最大值是9B．ADBD的最小值是10

33

C．CBD30D．△ABD面积的最大值是40

例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个

1

动点，则PDPC的最大值为_______．

2

例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA

＋PB的最小值为________．

例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径

为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为___．

例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在ABC中，ABC90，AB2BC6，BD1，P在以B为圆心

3为半径的圆上，则AP6PD的最小值为．

例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，D、E分别是边BC、

1

AC上的两个动点，且DE4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为．

4

例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM2，N为边BC

上一动点．连接MN，将BMN沿MN翻折得到PMN，点P与点B对应，连接PA，PC，则PA2PC的

最小值为．

例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且

AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正△方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是

⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，

⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．

例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线yax2bx5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点

C,AB4．抛物线的对称轴x3与经过点A的直线ykx1交于点D，与x轴交于点E．

(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角

形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为B

1

上一个动点，请求出PCPA的最小值．

2

1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB3，BC6，E为AD边上一动点，将ABE

1

沿BE翻折到FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则DFCF的最小值为（）

2

913313

A．B．C．4D．

222

2．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形ABCD中AB8，AD6，点E是矩形ABCD内部一个动

点，且EB4，连接CE，则DE三分之二CE的最小值为（）

2623

A．8B．C．D．9

33

3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB3，BC6，E为AD边上一动点，将ABE

1

沿BE翻折到FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则DFCF的最小值为（）

2

913313

A．B．C．4D．

222

4．（2024·山东泰安·二模）如图，在RtABC中，ACB90，CB22，AC9，以C为圆心，3为半

1

径作C，P为C上一动点，连接AP、BP，则APBP的最小值为（）

3

A．1B．2C．3D．4

5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD9，点P为边CD的中点，点E在边

10

AD上，连接BP，点F为BP上的动点，则EFBF的最小值为．

10

6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形ABCD边长为8，M为BC中点，E为AC上的动点，F为

BE上的点，且BF3，连接DE，则2MFDE的最小值是（）

A．65B．37C．214D．217

7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的动点，BECF，

5

连接AE、BF交于点P，则PDPC的最小值为．

5

8.（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边AB，BC上（不与顶点重合），

且满足AMBN，连接AN，DM交于点P．E，F分别是边AB，BC的中点，连结接PE，PF．若正方

1

形的边长为8，则PEPF的最小值为．

2

9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为6的扇形ABC中，∠BAC＝60°，点D，E分别在半径AB，

3

AC上，且BD＝CE＝2，点F是弧BC上的动点，连接DF，EF，则DF＋EF的最小值为．

2

10．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形ABCD的边长是4，A的半径是2，点E是A上一

1

动点，连接EB，EC．则ECEB的最小值=．

2

11．（2024九年级·广东·专题练习）如图，在VABC中，ACB90,ACBC4，C的半径为2，D是C

1

上一动点，点E在CB上，CE1，连接AD,DE，则AD2DE的最小值

2

12．（2024·四川·校考一模）如图，AB为O的直径，AB＝2，点C与点D在AB的同侧，且ADAB，BCAB，

2

AD＝1，BC＝3，点P是O上的一动点，则PDPC的最小值为．

2

13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰Rt△ABC中，ACB90，ACBC4，O是AB上一

2

点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PCPB的最小

2

值是．

14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的动点，BECF，

5

连接AE、BF交于点P，则PDPC的最小值为．

5

15．（2024·江苏·校考二模）如图，在ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的

圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD△，则2AD+3BD的最小值是.

16．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，D、E分别

1

是边BC、AC上的两个动点，且DE4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为．

4

17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在Rt△ABC中，∠C90，CB4，CA6，

1

⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求APBP的最小值．

2

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD1，

CDCP1PDCD1

则．又PCDBCP，所以PCD∽BCP．所以．

CPCB2BPCP2

11

所以PDPB，所以APBPAPPD．

22

1

请你完成余下的思考，并直接写出答案：APBP的最小值为________；

2

1

（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求APBP的最小值；

3

（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，COD90，OC6，OA3，OB5，P是CD上一点，

求2PAPB的最小值．

18．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）

1

【问题呈现】如图1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求APBP的最小值．

2

OC1OP

【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠

OP2OA

CPOP111

COP=∠POA，所以可得COP∽△POA，所以，得CPAP所以APBPCPBP．

APOA222

△1

又因为CPBPCBOC2OB2，所以APBP最小值为．

2

1

【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将AP转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+BP

2

的最小值．

2

【尝试应用】如图4，∠AOB=60°，OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求AP+BP最小

3

值．

【能力提升】如图5，∠ABC=120°，BA=BC=8，点D为平面内一点且BD=3CD，连接AD，则ABD面

积的最大值为．△

19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点P到ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，

若有PA2PB2PC2，则称点P为ABC关于点A的勾股点．

(1)如图2，在55的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则

点D是ABC关于点______的勾股点；若点F在格点上，且点E是△ABF关于点F的勾股点，请在方格纸

中画出△ABF；(2)如图3，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是平面内一点，且点