2025年中考数学几何模型综合训练专题30解直角三角形模型之12345模型解读与提分精练（教师版）

专题30解直角三角形模型之12345模型

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、

特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”

模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的

独特魅力。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.“12345”模型及衍生模型.................................................................................................................1

.............................................................................................................................................................3

.................................................................................................................................................14

模型1.“12345”模型及衍生模型

（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格交点）。

该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。

如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。

上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：

11

tan∠PAB=，tan∠PBA=，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。

23

12345基础模型模型还可变式为

1a

tan=tan=a

2；变式：b；变式：tan=ba。

451452btan

1baab

tantan45

3ab

证明：（基础模型）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一点E使得BE=1，在DC

111

上取一点F使得DF=2，根据矩形性质得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

233

易证：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

图1

证明：（模型变式1）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一点E使得BE=a，在

DC上取一点F使得DF=b-a，根据矩形性质得：EC=b，CF=a，

baaa

故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

abbb

易证：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。

1143

注意：下面模型中，，2，3，，均为对应角的正切值。

2334

（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；

（5）∠α+∠β＝90°；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；

上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。

切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来

解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，

但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。

例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在RtABC中，C90，BC5，点D是AC上一点，连接

11

BD．若tanA，tanABD，则CD的长为（）

23

A．25B．3C．5D．2

【答案】C

11

【分析】法1：先根据tanA，tanABD，再由12345模型知：∠BDC＝45°，从而可求出CD．

23

法2：先根据锐角三角函数值求出AC25，再由勾股定理求出AB5,过点D作DEAB于点E，依据三角

113

函数值可得DEAE,DEBE,从而得BEAE，再由AEBE5得AE=2，DE=1，由勾股定理得

232

AD=5，从而可求出CD．

11

【详解】法1：∵tanA，tanABD，∴根据12345模型知：∠BDC＝45°，

23

∵C90，∴三角形BCD为等腰直角三角形，∵BC5，∴CD=BC5

BC1

法2：在RtABC中，C90，BC5，∴tanA∴AC2BC25,

AC2

由勾股定理得,ABAC2BC2(25)2(5)25过点D作DEAB于点E，如图，

11DE1DE1

∵tanA，tanABD，∴,,

23AE2BE3

11113

∴DEAE,DEBE,∴AEBE∴BEAE

23232

3

∵AEBE5,∴AEAE5∴AE2,∴DE1,

2

在RtADE中,AD2AE2DE2∴ADAE2DE222125

∵ADCDAC25,∴CDACAD2555,故选：C

【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．

例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将ABG沿AG对折至

AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）△

△

48

A．B．2C．D．3

33

【答案】C

【分析】法1：连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证RtADE≌RtAFE，得到DE=EF，

设DE=x，在RtCEG中利用勾股定理建立方程求解．法2：先求出∠GAE=△45°，再利用△12345模型的变式，

求解即可。△

【详解】解：法1：如图所示，连接AE，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=CD=AD=8，∠B=∠C=∠D=90°∵G为BC的中点∴BG=GC=4

由折叠的性质可得AF=AB=8，BG=GF=4，在RtADE和RtAFE中，

∵AE=AE，AF=AD=8，∴RtADE≌RtAFE（H△L）∴DE=E△F

△△2228

设DE=EF=x，则EC=8-x在RtCEG中，GC2+EC2=GE2，即48x4x解得x故选：C．

3

△

法2：由法1知：RtADE≌RtAFE，∴∠DAE=∠FAE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，

△△

1

∵∠DAB=90°，∴∠GAE=45°，∵AB=8，G是BC的中点，∴tanBAG，

2

18

由12345模型变式知：tanDAE，∵AD=8，∴DE，故选：C．

33

【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解

题的关键．

例3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，AB90，ABBC4，AD3，

E是AB上一点，且DCE45，则DE的长度是（）

A．3.2B．3.4C．3.6D．4

【答案】B

【分析】法1：过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，利用12345模型变式求解即可。

法2：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，CG⊥CD，交AB延长线于G，可证明四边形ABCF

是正方形，可得DF的长，根据角的和差关系可得∠DCF=∠GCB，利用ASA可证明DCF≌△GCB，可得

CD=CG，BG=DF，根据∠DCE=45°可知∠ECG=∠DCE=45°，利用SAS可证明DCE≌△△GCE，可得DE=GE，

根据S正方形ABCF=SAED+2SGCE列方程可求出AE的长，进而求出GE的长△即可得答案．

△△

【详解】法1：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，

1

∵AB90，ABBC4，AD3，∴四边形ABCF是正方形，DF=1，CF=4，∴tanDCF，

4

a

由模型变式即：tan=ba知：3

12345(btan)tanBCE

ab5

45

12817

∵BC=4，∴BE，AE，∵AF=4，DF=1，∴AD=3，∴DE，故选：B．

555

法2：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，CG⊥CD，交AB延长线于G，

∵AB90，ABBC4，AD3，∴四边形ABCF是正方形，DF=1，

∵∠DCF+∠BCD=90°，∠GCB+∠BCD=90°，∴∠DCF=∠GCB，

GBCCFD90

在DCF和GCB中，BCCF，∴△DCF≌△GCB，∴CG=CD，BG=DF=1，

GCBDCF

△△

∵∠DCE=45°，CG⊥CD，∴∠ECG=∠DCE=45°，

CDCG

在DCE和GCE中，DCEECG，∴△DCE≌△GCE，

CECE

△△

∴SGCE=SDCE，DE=GE，∴S正方形ABCF=SAED+2SGCE，

△△△△

111

∴AE·AD+2×GE·BC=AB2，即×3AE+4（5-AE）=42，解得：AE=1.6，∴DE=GE=5-AE=3.4．故选：B．

222

【点睛】本题考查正方形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题

关键．

例4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AB的中点，连接AE，

点G是线段AE上一点，连接GF，延长FG交CD于点M，若AB4，AGF45，则CM的长为．

2

【答案】

3

【分析】．法1：过点作AH//FM，交DC于点H，先求出∠HAE=45°，再用12345模型的变式，求解即可。

法2：连接AC交MF于N，过点F作FHAE于H，由正方形的性质得ÐB=90°，ABBC4，AB∥CD，

AFAHFH

ACMBAC45，由勾股定理得22，再证明△AHF∽△ABE，得，

ACABBC42AEABBE

45252565210

从而求得AH，FH，继而求得GHFH，AGAHGH，FGFH2GH2，

55555

AGFG65210

然后证明AGF∽NAF，得，即，从而求得AN32，继而求得CNANAN2，

ANAF55

AN2

AFAN2322

最后证明ANF∽CNM，得∴，即，从而可求得CM．

CMCNCM23

【详解】法1：过点作AH//FM，交DC于点H，

∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴四边形AFMH为平行四边形。∵AGF45，∴EAH45

1

∵点E，F分别为BC，AB的中点，AB4，∴BE=AF=HM=2，∴tanBAE，

2

142

∵EAH45，由12345模型变式知：tanDAH，∵AD=4，∴DH，∴CM，

333

法2：连接AC交MF于N，过点F作FHAE于H，如图，

∵正方形ABCD，∴ÐB=90°，ABBC4，AB∥CD，ACMBAC45，

∴ACAB2BC242，∵点E，F分别为BC，AB的中点，

11

∴AFAB2，BEBC2，∴AEAB2BE225，

22

∵FHAE，AGF45，∴HFGAGF45，∴FHGH，

AFAHFH2AHFH

∵AHFB90，∴△AHF∽△ABE，∴，即，

AEABBE2542

45252565210

∴AH，FH，∴GHFH，∴AGAHGH，FGFH2GH2，

55555

AGFG65210

∵AGFFAN45，AFGNFA，∴AGF∽NAF，∴，即，

ANAF55

AN2

∴AN32，∴CNANAN42322，∵AF∥CM，∴ANF∽CNM，

AFAN23222

∴，即，∴CM，故答案为：．

CMCNCM233

【点睛】本题词考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握相似

三角形判定与性质是解题的关键．

例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若

AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为.

【答案】410

3

1

【解析】根据AB=2，AE=5，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=，

2

∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，

14

根据12345模型知：tan∠DAF=，∴DF=，

33

再根据勾股定理求得：AF=410，故答案为：410

33

例6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线yxm分别交x轴，y轴于A，B

两点，已知点C2，0，点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若CPAABO，则m的值为．

【答案】12

【分析】法1：由12345模型求解；法2：构造相似三角形PCD∽APB，对m的取值分析进行讨

论，在m0时，点A在x轴的负半轴，而此时，APCOBA45，不合题意；故m0．由相似比求

得边的相应关系．

【详解】法1：∵一次函数yxm的图像分别交x、y轴于点A、B。

∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，

∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，设∠PAO=α，∠OPC=β，

∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，

mm1

∵点P为线段OB的中点，∴P（0，），PO=，可得tanα=，

222

1

根据12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OB=OA=12，m=12．

3

法2：作ODOC2，连接CD．则PDC45，CD22,如图，

由yxm可得A(m,0)，B(0，m)．∴OAOB，AB2m∴OBAOAB45．

当m0时，APCOBA45，

所以，此时CPA45，故不合题意．∴m0．

∵CPAABO45，∴BPAOPCBAPBPA135，即OPCBAP，∴PCD∽APB，

1

m2

11PDCD222

∵点P为线段OB的中点，∴OPBPm，PDm2∴，即解得m12．

1

22ABPB2mm

2

故答案是：12．

【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造相似三角形．

例7.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，将ABE沿直

△

线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．

【答案】12

7

11

【解析】∵E为BC的中点，AB=6，∴BE=3，可得tan∠BAE=，由翻折知：tan∠FAE=，

22

3

根据12345模型知：tan∠GAD=，过点G作GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH

4

设AH=4x，则GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故AB=AF=7x，GF=2x。

∵AB=6，∴7x=6，x=6，GH=12，故答案为：12。

777

8．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD

上，记为B，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在BC边上，记为D¢，折痕为CF，BD2，

1

BEBC．则矩形纸片ABCD的面积为．

3

AB′FD

ED′

BC

【答案】15

【分析】根据折叠性质和勾股定理求得BC和AB的长，或者利用相似三角形的判定与性质求出相应线段长，

再由勾股定理解方程，然后根据矩形的面积公式代值求解即可得到答案．

【详解】解：方法1：由题意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．

∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．

1113

∵BE＝BC，∴tan∠BCE＝，由12345模型变式知∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝．

3324

3

∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝，

4

33

∴DF＝D'F＝BD’＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，

42

∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD＝BC·CD＝5×3＝15．

解：方法2：设BEa，则BC3a，由题意可得CBCB，CDCD，BEBEa，

BD2，CD3a2，CD3a2，AE3a2a2a2，

DBCB2CD2(3a)2(3a2)212a423a1，AB3a23a1，

2

2225

BA2AE2BE2，3a23a1(2a2)a，解得a或a，

33

22

当a时，BC2，ABCD3a20，a时不符合题意，舍去；

33

5

当a时，BC5，ABCD3a23，矩形纸片ABCD的面积为5315，故答案为：15；

3

ABEB

方法3：设CDx，则CDx，CBx2，CBx2，由题意可得ABE∽ΔDCB，，

DCBC

1EB1AB111△2

BEBC，，，ABx，BDx2xx2，

3BC3x3333

在RtCDB中，由勾股定理可得BD2CD2BC2，

2

222

即x2x(x2)，解得x13，x20（舍去），矩形纸片ABCD的面积为5315，故答案：15．

3

【点睛】本题考查翻折变化、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键

是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用翻折的性质和矩形的面积公式解答．

例9.（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB3,BC4，以点B为圆心，适当长为半

1

径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧交于点P，作射线

2

BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为（）

A．10B．11C．23D．4

【答案】A

110

【简证】易知tan，故CN10NDCD10

33

【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQBD于点Q，

矩形ABCD中，AB3，BC4，CDAB3，BDBC2CD25．

由作图过程可知，BP平分CBD，四边形ABCD是矩形，CDBC，

RQRC

又RQBD，RQRC，在RtBCR和RtBQR中，，RtBCRRtBQRHL，

BRBR

BCBQ4，QDBDBQ541，设RQRCx，则DRCDCR3x，

2

在RtDQR中，由勾股定理得DR2DQ2RQ2，即3x12x2，

444

解得x，CR．BRBC2CR210．

333

4

4

11，CRBC32．

SBCRCRBCBROCOC10

224

BR105

3

CORCDN90，OCRDCN，OCR∽DCN，

24

10

OCCR

，即53，解得CN10．

DCCN3CN

例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形ABCD的边长为25，点E是CD的中点，BE与AC交于点

M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BFAE，连接MH，则AH，

MH．

【答案】2213

3

14

【简证】易知AF5，AH2FH2，接下来对AME分析，如图易知tanA,tanE，过M作

33

△

213

AE的垂线段，设EM=5x，则AE15x5，12x22，则MH

3

【常规法思路】如图，证明△AFB≌△DEA，得到AFDE，勾股定理求出BF的长，等积法求出AH的长，

∽∽

证明AGFCGB，相似比求出AG的长，证明AMBCME，求出AM的长，证明AHGANM，求

出HN,MN的长，再利用勾股定理求出MH的长．

【常规法】解：∵正方形ABCD的边长为25，点E是CD的中点，

1

∴BADCDA90,ABADCD25,DECD5，ABCD,ADBC，∴AC2AD210，

2

∵BFAH，∴AHF90BAD，∴DAEBAF90AFH，

∴△AFB≌△DEA，∴AFDE5，∴BFAB2AF25，

11

SABFABAFBFAH

∵22，∴2555AH，∴AH2；

AGAF1AMAB

∵ABCD,ADBC，∴AGFCGB，AMBCME，∴,2，

CGBC2CMCE

121024102

∴AGAC,AMAC，∴GHAG2AH2，

33333

∽

故点M作MNAE，则：GHMN，∴AHGANM，

AHGHAG14

∴，∴AN2AH4,MN2GH，

ANMNAM23

213

∴HN2，∴MHNM2NH2

3

1．（23-24广东汕头·模拟预测）如图，正方形ABCD中，AB6，G是BC的中点．将ABG沿AG对折至

AFG，延长GF交DC于点E，则GE的长是（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】A

【分析】法1：连接AE，根据正方形与轴对称的性质证明RtAFE≌RtADE，得出EF＝DE，设DE＝FE

＝x，在RtECG中应用勾股定理求出x，进而求解．法2：先△求出∠GA△E=45°，再利用12345模型的变式，

求解即可。△

【详解】如图，连接AE，由题意知，AB＝AD＝AF，∠D＝∠B＝∠AFE＝90°，

AEAE

在RtAFE和RtADE中，，∴RtAFE≌RtADE（HL），∴EF＝DE，

AFAD

△△△△

设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x，∵G为BC中点，BC＝6，∴CG＝3，

在RtECG中，由勾股定理，得：(6x)29(x3)2，解得，x＝2，即DE＝2，∴GE＝3+2＝5，故选A．

法2：△由法1知：RtAFE≌RtADE，∴∠DAE=∠FAE，EF＝DE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，GF＝GB，

△△1

∵∠DAB=90°，∴∠GAE=45°，∵AB=6，G是BC的中点，∴BG=3，tanBAG，

2

1

由12345模型变式知：tanDAE，∵AD=6，∴DE=2，GE＝3+2＝5，故选：A．

3

【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明RtAFE≌

RtADE是解题的关键．△

2．△（2024·山东淄博·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为9，点E，F分别在边AB，AD上，若E是

AB中点，且∠ECF=45°，则CF的长为（）

A．12B．3C．310D．35

【答案】C

【分析】法1：利用12345模型的变式，求解即可。

法2：将CDF逆时针旋转90到CBM的位置，易证CEF与CEM全等，设DFx，表示出EF，AF长

度，解直△角三角形即可求解x，再△通过勾股定理求算C△F．△

1

【详解】法1：∵BC=8，E是AB中点，∴BE=4，∴tanBCE，

2

1

∵∠ECF=45°，由12345模型变式知：tanDCF，

3

∵DC=9，∴DF=3，∴CF9232310，故选：C．

法2：将CDF逆时针旋转90到CBM

∵∠ECF△=45°，四边形ABCD是正△方形∴ECM45∴CEF≌CEM∴EFEM

9△△9

设DFx，E是AB中点∴AF9x,AEEB,BMx∴EFEMx

22

22

299

在直角三角形AEF中：9xx解得：x3∴CF9232310故答案选：C．

22

【点睛】本题考查正方形与旋转、勾股定理综合．转化相关的线段建立等量关系是解题关键．

3．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB90，ABBC8，AD6，

E是边AB上一点，且DCE45，则DE的长度是（）

A．8B．7.4C．7D．6.8

【答案】D

【分析】法1：利用12345模型的变式，求解即可。

法2：本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作CGAD于G，延长DG

至F，使GFBE，证明四边形ABCG为正方形，得出AGBC8，BCG90，BCCG，证明

EBC≌FGCSAS以及ECD≌FCDSAS，得出EDDF，设EDx，则EBFGDFDGx2，

再由勾股定理计算即可得出答案．

【详解】法1：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，

1

∵AB90，ABBC8，AD6，∴四边形ABCF是正方形，DF=2，CF=8，∴tanDCF，

4

a

由模型变式即：tan=ba知：3

12345(btan)tanBCE

ab5

45

241634

∵BC=8，∴BE，AE，∵AF=8，DF=2，∴AD=6，∴DE，故选：D．

555

法2：解：如图，作CGAD于G，延长DG至F，使GFBE，

∵ABCGA90，ABBC，∴四边形ABCG为正方形，∴AGBC8，BCG90，BCCG，

∵AD6，∴DGAGAD862，∵BCCG，BCGF，BEFG，

∴EBC≌FGCSAS，∴CECF，ECBFCG，∵DCE45，

∴BCEDCGDCGFCG45，∴DCEDCF，

∵CECF，DCFDCE，DCDC，∴ECD≌FCDSAS，∴EDDF，

设EDx，则EBFGDFDGx2，∴AEABBE8x210x，

222

在Rt△AED中，AE2AD2DE2，∴10x6x，解得：x6.8，∴DE6.8，故选：D．

4．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m≠0）分别交x

轴，y轴于A，B两点，已知点C（3，0）．点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的

值是．

【答案】18

【分析】法1：由12345模型求解；法2：构造相似三角形PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨

论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，而此时，∠APC＞∠OBA=△45°，不合题意；故m＞0．由相似比求

得边的相应关系．

【详解】法1：∵一次函数y＝﹣x＋m的图像分别交x、y轴于点A、B。

∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，

∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，设∠α＝∠PAC，∠β＝∠OPC

∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，

mm1

∵点P为线段OB的中点，∴P（0，），PO=，可得tanα=，

222

1

根据12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（3,0）∴OP=9，∴OB=OA=18，m=18．

3

法2：作OD=OC=3，连接CD．则∠PDC=45°，如图，

由y=-x+m可得A（m,0），B（0，m）．∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°．

当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．∴m＞0．

∵∠CPA=∠ABO=45°，∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，

1

m3

PDCD32

∴△PCD∽△APB，∴，即2解得m=18．故答案是：18．

1