2025年中考数学几何模型综合训练专题29解直角三角形模型之新定义模型解读与提分精练（学生版）

专题29解直角三角形模型之新定义模型

解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试

题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数

学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对

学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这

方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.新定义模型..........................................................................................................................................1

.................................................................................................................................................10

模型1.新定义模型

新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定

理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也

可利用初中数学知识证明。

若无特殊说明，一般认为ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；

△

图1图2图3

abc

1）正弦定理：如图1，2R（其中R是三角形外接圆的半径）。

sinAsinBsinC

证明：作ABC的外接圆，记圆心为O，作直径BE，连接CE，如图2，

△BCaa

则BCE90，EA，∴sinBACsinBEC，∴2R，

BE2RsinBAC

bcabc

同理，2R，2R，∴2R；

sinABCsinACBsinBACsinABCsinACB

111

2）正弦面积公式：如图1，SabsinCbcsinAacsinB.

222

证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

AD11

在Rt△ABD中，sinABC，∴ADcsinABC，∴SaADacsinABC，

cABC22

AD11

在Rt△ACD中，sinACB，∴ADbsinACB．∴SaADabsinACB．

bABC22

1111

同理可得SbcsinBAC．因此有SacsinABCabsinACBbcsinBAC．

ABC2ABC222

3）余弦定理：如图2，a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC．

证明：如图3，在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c过点A作ADBC于点H，

BDBD

则cosB，即BDccosB，于是DCaccosB．

ABc

在Rt△ABD中，AD2AB2BD2，在Rt△ADC中，AD2AC2DC2，

2

c2c2cos2Bb2accosB，整理得b2a2c22accosB。

同理：a2b2c22bccosA；c2a2b22abcosC。

图4图5

sin

4）同角三角函数的基本关系式:sin2cos21，tan。

cos

证明：如图4，设∠A=，∵在RtABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。

△2222

aba22ababsinaba

又∵sin,cos，tan，∴sincos1；tan。

ccbccc2cosccb

5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）：

sin()sincoscossin;sin22sincos（已证）.

cos()coscossinsin;cos2cos2sin22cos2112sin2.

tantan2tan

tan()tan2（已证）.

1tantan1tan2

证明：如图4，在RtABC中，在RtABC中，∠C=90°，设∠A=。

△AB1

如图5，取AB的中点O，连接OC，即：OCc，过点C作CDAB于点D，则COB2，

22

利用锐角三角函数在RtABC中表示ACABcosccos，BCABsincsin。

CDcsincos

11sin22sincos

∵ACBCABCD（等面积），即CDcsincos；OC1

22c

2

1

在Rt△CBD中，BDBCsincsin2，则ODOCBDccsin2。

2

1

cossin

CD2cossin2tan

2

tan222

12

ODccsin12sin1tan

2

例1．（2024·山西大同·三模）阅读与思考

阅读下列材料，并解决后面的问题．

CE

在锐角VABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，过C作CEAB于E（如图1），则sinB，

a

CEbaca

sinA，即CEasinB，CEbsinA，于是asinBbsinA，即．同理有，

bsinBsinAsinCsinA

cbabc

，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

sinCsinBsinAsinBsinC

运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元

素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图1，在VABC中，A60，C45，BC30，则AB______；

(2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间

后，到达位于灯塔北偏东45方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）

(3)在（2）的条件下，试求75的正弦值．（结果保留根号）

例2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在ABC中，设A,B,C的对边分别为a，b，c，

AD△111

过点A作ADBC，垂足为D，会有sinC，则SBCADBCACsinC=absinC，

ACABC222

111

即SabsinC，同理SbcsinA，SacsinB．有以上三式可得：

ABC2ABC2ABC2

abc

正弦定理：==，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理

sinAsinBsinC

如图2，在VABC中，设A,B,C的对边分别为a，b，c，则①a2=b2+c22bccosA

②b2=a2+c22accosB③c2=b2+a22bacosC用以上的公式和定理解决问题：

【简单应用】（1）在锐角VABC中，设A,B,C的对边分别为a，b，c，且2csinA2a，求C；

（2）如图3，在DEF中，F60，EF3，DF8，求DEF的面积与周长．

33

【灵活应用】（3）如图4，在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A60，VABC的面积为，

4

1

设M为BC的中点，且AM2，求VABC的周长．（参考数据：cos120）

2

例3．（2024·广东·二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．

探究一：如图1，在VABC中，ABC90，ACb，BCa，C，求VABC的面积．

AB11

在Rt△ABC中，ABC90，sinABbsin．SABCBCABabsin．

AC22

探究二：如图2，VABC中，ABACb，BCa，B，求VABC的面积（用含a、b、代数式

表示），写出探究过程．

探究三：如图3，VABC中，ABb，BCa，B，求VABC的面积（用a、b、表示）写出探究

过程．

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．

问题应用：如图4，已知平行四边形ABCD中，ABb，BCa，B，求平行四边形ABCD的面积（用

a、b、表示）写出解题过程．

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、、表示），

其中ABb，BCc，CDd，ADa，A，C．

例4．（2023·云南昆明·二模）【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角

abc

形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p，

2

那么三角形的面积为：Sppapbpc，在VABC中，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，

若a3，b4，c5，则VABC的面积为6；

abc

【问题探索】如图一，在VABC中，设BCa，ACb，ABc，p，M是VABC的内切圆，eN

2

分别与AC的延长线、AB的延长线以及线段BC均只有一个公共点，M的半径为m，eN的半径为n．

(1)分析与证明：如图二，连接MA、MB、MC，则VABC被划分为三个小三角形，用S表示VABC的面积，

即SS△MBCS△MCAS△MAB．那么Spm是否成立？请证明你的结论．

(2)理解与应用：当A60，m2，n6时，求VABC的面积．

例5．（2024·山东济宁·一模）关于三角函数有如下的公式：

①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；

tantan2

③tan（α+β）＝1tantan0．

1tantan

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan（45°+60°）

tan45tan6013(13)(13)423

＝＝＝＝＝(23)．

1tan45tan60113(13)(13)2

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

（1）求cos75°的值；（2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，

底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．

例6．（2024·重庆·校考一模）材料一：证明：sin2cos21．

证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．

DEAEDE2AE2

∵DE⊥AB于点EsinBAC，cosBACsin2BAC，cos2BAC

ADADAD2AD2

DE2AE2DE2AE2AD2

∵在RtADE中，DE2+AE2=AD2sin2BACcos2BAC1

AD2AD2AD2AD2

△22

∵∠BAC=∠a∴sincos1．

材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道

直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度

数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角

形的第三条边一定可以求出来.

应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．

(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=△a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推

导过程；如果不可以，说明理由．

例7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与

两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建

立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．

底边BC

如图①：在VABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大

腰AB

小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)sad60；(2)对于0A90，A的正对值sadA的取值范围是；

12

(3)如图②，已知cosA，其中A为锐角，试求sadA的值．

13

例8．（23-24九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在

Rt△ABC中，ACB90,AB1,A，求sin2（用含sinα,cosα的式子表示）．

聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CDAB于点D，则COB2，

然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC,BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出

CDsinACsincos

sin22sincos

OC11．

22

阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，C90,AB1．

1

(1)如图③，若BC，则sin__，sin2_____；．

3

(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2的表达式．（用含sin,cos的式子表示）

例9．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用

研究0360间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图1所示的

A的对边A的邻边A的对边

直角三角形ABC，A是锐角，那么sinA，cosA，tanA．为了研究

斜边斜边A的邻边

需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：

设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴Ox，建立直角坐标系（图2），在

角α的终边OQ上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，终边OQ可以看作是将射线OX绕点O逆时针

旋转后所得到的，P和原点的距离为rx2y2（r总是正的）然后把角α的三角函数规定为：

yx�y0,0

sin，cos，tan（其中x，y分别是点P的横、纵坐标）我们知道，图1的三个比值的大小

rrx

与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个

比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点P在角α的终边位置无关．

比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列

问题．(1)如图3，若270360，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα，其中取正值的是．

(2)已知α是钝角，则下列说法正确的是．

A．sin2cos21B．sintancosC．sinα0D．tanα

>0

(3)若角α的终边与直线y3x重合，则sinαcosα．

1

(4)若角α是锐角，其终边上一点P12,y且siny，试求y和tanα的值．

13

1．（2023·四川巴中·模拟预测）规定：sinxsinx，cosxcosx，cosxycosxcosysinxsiny，则

下列结论正确的是（）

162

A．sin30B．cos2xcos2xsin2xC．cos4530D．cosxycosxcosysinxsiny

24

2．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在VABC中，C90，定义：斜边与A的对边的比叫

c

做A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则cscA，那么下列说法正

a

确的是（）

b

A．cscBsinA1B．cscAC．cscAcosB1D．csc2Acsc2B1

c

3．（23-24九年级·福建龙岩·自主招生）已知有公式：coscoscossinsin且

312

sincos，则锐角θ的值为（）

222

A．75B．60C．30D．15

4．（2024·广东深圳·模拟预测）阅读材料：坐标平面内，把点Ax，y绕原点O逆时针旋转度，得到点

xxcosysin

Ax，y，若已知A点坐标及的大小，我们可根据公式来计算点A的坐标．根据

yxsinycos

材料完成：如图，A，B，C是O上的三点且ACB15，若A点坐标为26，2，则B点坐标为（）

A．321，63B．26cos152sin15，26sin152cos15

C．63，321D．2cos1526sin15，2sin1526cos15

5．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值

关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定

理是这样描述的：在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等

于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：

a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC；现已知在ABC中，AB2，BC4，

A60，则AC的长为（）

A．23B．131C．131D．32

6．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给

2

222

出了这样的一个结论：三边分别为、、的的面积为122abc．的边

abcABCS△ABCabABC

22

111

a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则SabsinCacsinBbcsinA．下列结论中正确的

△ABC222

是（）

a2b2c2a2b2c2a2b2c2a2b2c2

A．cosCB．cosCC．cosCD．cosC

2ab2ab2ac2bc

7．（2023春·九年级课时练习）阅读材料：一般地，当、为任意角时，sin()与sin()的值可以

用下面的公式求得：sinsincoscossin：sinsincoscossin根据以上材

料，解决下列问题：如图，在O中，AB是直径，AB62，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，

1

AD是半圆弧的，则CD的长为（）

3

62

A．B．62C．23D．1

4

8．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）关于三角函数有如下公式：

sinsincoscossin，sinsincoscossin

coscoscossinsin，coscoscossinsin

tantan

tan（其中：1tantan0）

1tantan

1133

例如：sin90sin3060sin30cos60cos30sin601．利用上述公式计算下列三

2222

62626

角函数：①sin105，②sin15，③cos900，④sin15+tan105223

444

其中正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

tantan2tan

9．（2023·湖南·统考一模）已知tan()，tan2（其中和都表示角度），比

1tantan1tan2

31

如求tan105，可利用公式得tan105tan604532，又如求tan120，可利用公式得

13

23

tan120tan26033

2，请你结合材料，若tan120λ（为锐角），则的度数

133

是．

10．（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，AM是VABC的角平分线，D、E分别是边AB，AC上的点，DE

AF

与AM交于点F，若AD1，AE2，BD3，EC4，则．（提示三角形面积公式：

AM

1

S面积ABACsinA．）

2

11．（2024·山东临沂·校考一模）规定：sin(﹣x)＝﹣sinx，cos(﹣x)＝cosx，cos(x+y)＝cosxcosy﹣sinxsiny，给

1

出以下四个结论：(1)sin(﹣30°)；(2)cos2x＝cos2x﹣sin2x；(3)cos(x﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny；

2

62

(4)cos15°．其中正确的结论的个数为．

4

12．（2024·山东济南·统考模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两

条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立

边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如果ABC中，ABAC，

底边BC

那么顶角A的正对记作sadA，这时sadA=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互

腰AB

3

唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果A的正弦函数值为，那么sadA的值为___________．

5

13．（23-24九年级上·吉林白城·阶段练习）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度

的“会圆术”．如图，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MNAB．“会圆术”给出AB

MN2

的弧长l的近似值计算公式：lAB．当OA4，AOB60时，利用“会圆术”给出的公式计算AB

OA

的弧长l的值为．

14．（23-24九年级·福建泉州·阶段练习）如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利用和的正弦公式来

求已知两角的正弦值，其公式为：sin(+)=sincos+cossin，请利用这个公式，解决下列问题：

3

(1)计算sin75°的值；(2)利用公式证明：sin2=2sincos；并在已知sin=的条件下，求sin2的值．

5

15．（23-24九年级·湖南怀化·期末）阅读材料：在Rt△ABC中，C90，B22.5，求tan22.5的值．

解题思路：在CB上截取CDCA，再连接，可证ADB为等腰三角形，设ACCDa，则

ADBD2a，．．．．．．．，则tan22.5𝐴，tan15．

16．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）定义：在ABC中，若AB＝c，AC＝b，BC＝a，则存在余弦

定理：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，△c2a2b22abcosC，即三角形一边的平方等于

另两边的平方和减去这两边与这两边夹角的余弦的积的2倍．

2

例如：在图1中，AC2AB2BC22ABBCcosB42322432cos4510，∴AC＝10

请你利用余弦定理解答下列问题：(1)应用新知：在图2中，①若a＝2，b＝3，∠C＝60°，则c＝______；

②若a23，b22，c62，求∠A；

(2)迁移发散：如图3，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°方向上，在A处看灯塔B在客轮的北偏

西30°方向距离23海里处，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°距离6

海里处，求此时C处到灯塔B的距离．

17．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）关于三角函数有如下的公式：sinasinacoscosasin；

tanatan

cosacosacossinasin；tanatan，利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函

1tanatan

数转化为特殊角的三角函数来求值

12322626

如：sin75=sin3045sin30cos45cos30sin45

2222444

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

(1)求cos75的值；(2)激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时

间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度．如图，在一条限

速为80千米/小时的国道边上有一个激光测速仪P，该测速仪与车道中心的垂直距离PC4米，在某一时刻

测得某辆汽车从点A到点B的时间间隔为0.5秒，而第一次的点A在点P的北偏东75°，第二次的B点在

点P的北偏东45°，请问该汽车是否超速？为什么？（31.732）

18．（2023·福建厦门·统考模拟预测）阅读理解：如图，RtABC中，a，b，c分别是A，B，C的

ab

对边，C90，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA，sinB，可得

cc

abcabc

2R，即：2R，（规定sin901）．

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

探究活动：如图，在锐角ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，其外接圆半径为R，试证

abc

明：2R．

sinAsinBsinC

学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角

为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的