2025年中考数学几何模型综合训练专题16全等三角形模型之婆罗摩笈多模型解读与提分精练（学生版）

专题16全等三角形模型之婆罗摩笈多模型

婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元598年~660年。

他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角

形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于

月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以

他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗

摩笈多”模型。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.“婆罗摩笈多”模型..............................................................................................................................1

...................................................................................................................................................7

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

模型1.“婆罗摩笈多”模型

婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从

交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。

模型特征：（1）BCP和ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合.

△△

模型1）知中点证垂直

条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N

为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；SABC=SAEG。

△△

证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。

在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知）

∴∆WEN≌∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。

∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。

∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。

∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。

在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA≌∆ACB(SAS)。

∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC≌∆EAW，∴S∆EWA=S∆ACB。

∵∆WEN≌∆AGN，∴S∆WEN=S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA=S∆AEN+S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=SAEG。

△

∵WN=AN，∴BC=2AN，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。

又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。

∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。

∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。

模型2）知垂直证中点

条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。

结论：N为EG的中点；BC=2AN；SABC=SAEG。

△△

证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°，

∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°，

∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN，

∵∠GAN+∠MAC=90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN，

在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC≌∆EAW(AAS)，

∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN，

在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌∆AGN(ASA)，

∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN，

∵∆ABC≌∆EAW，∴S∆EWA=S∆ACB，∵∆WEN≌∆AGN，∴S∆WEN=S∆AGN，

∴S∆ACB=S∆EWA=S∆AEN+S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=SAEG。

△

（法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。

∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN

在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM；

在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX；

∴Rt∆ABM≌Rt∆EAX（ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG≌Rt∆CMA（ASA），∴GY=AM；

∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX=GY；

∴Rt∆EXN≌Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点；

∵Rt∆ABM≌Rt∆EAX，∴S∆ABM=S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG≌Rt∆CMA，∴S∆AYG=S∆CMA，CM=AY；

∵Rt∆EXN≌Rt∆GYN，∴S∆EXN=S∆GYN，XN=YN；

∴SABC=S∆ABM+S∆CMA=S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN+S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG；

△

∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。

其实该模型也可以模仿模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！

例1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点A的坐标为(6,0)，点B为y轴的负半轴上的一个动点，

分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当

点B在y轴上移动时，则PB的长度为（）

A．1B．2C．3D．4

例2．（2024·重庆渝中·二模）如图，以VABC的边AC、BC为边向外作正方形ACDE和正方形BCGF，连

接AG、BD相交于点O，连接CO、DG，取AB中点M，连接MC并延长交DG于点N．下列结论：①

AGBD；②MNDG；③CO平分DCG；④S△ABCS△CDG；⑤AOC45．其中正确的结论有

（填写编号）．

例3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰Rt△ABC中，ABC90，ABCB，点D，E分别在AB，

CB上，DBEB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF．

(1)求证：CD2BF，CDBF；(2)将DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．

①请直接写出BF与CD的位置关系：___________________；②求证：CD2BF．

例4．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，MN⊥PQ于N，ABC是等腰直角三角形，ACB90，

等腰直角ABC的顶点C、B分别在射线MN，射线NQ上滑动（顶点△C、B与点N不重合）在滑动过程中，

点A到直△线MN的距离AHCN（填“＞”、“＜”或“＝”）．

（2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角ECF中，ECF90，且ECF的顶点C、F也分别在射线

△△

NM、射线NP上滑动（顶点C、F与点N不重合），连接AE交MN于点D，试探究AD与ED的数量关系，

并证明你的结论．

（3）如图2，AB4cm，EF6cm，在ECF和ABC保持原来滑动状态的过程中，ACE的面积是否有

最大值？若有，请求出ACE的最大面积并△求此时△BF的长度；若ACE的面积没有最大△值，请说明理由．

△△

例5．（2024·湖北·二模）【特例发现】如图1，在ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，

AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰△RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、

Q．求证：EP=FQ△．△△

【延伸拓展】如图2，在ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向ABC

外作RtABE和RtACF△，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数△量关

系，并直△接写出你的△结论．

【深入探究】如图3，在ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向ABC外作任意ABE和ACF，

射线GA交EF于点H．△若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=k△AF，上一问的结△论还成立△吗？

并证明你的结论．

【应用推广】在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，

若ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IH△J=∠AGB=θ=60°，k=2；

求证△：当∠IHJ在旋转过程中，EMH、HMN和FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题

卡的备用图中补全作图）．△△△

例6．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如图13，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转（0180）

得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC．当180时，我们称△ABC是ABC的

“旋补三角形”，△ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1)在图1中，△ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”，若ABC为等边三角形，则AD

与BC的数量关系为：AD______BC．

(2)在图2中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

(3)如图3，在四边形ABCD中，ÐB=90°，A150，BC12，AB23，AD6．若四边形内部恰好

存在一点P，使PAB是△PDC的“旋补三角形”，请直接写出△PDC的“旋补中线”长是____________．

1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相

垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在O中，四边形ABCD是“婆氏四边

EF

形”，对角线AC，BD相交于点E，过点E作EHDC于点H，延长HE交AB于点F，则的值为（）

AB

1239

A．B．C．D．

25520

2．（23-24九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂

直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形ABCD是O的内接四边形，

且是“婆罗摩笈多四边形”、若AB2BC2CD2DA28，则O的半径为．

3．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，以ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角ABE、ACD，

连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N，以下说法：①当ABACBC时，

AED30；②ECBD；③当直线lBC时，点M为线段DE的中点．正确的有．（填序号）

4．（2024·湖北黄石·模拟预测）如图，以ABC的边AC、BC为边向外作正方形ACDE和正方形BCGF，连

接AG、BD相交于点O，连接CO、DG，△取AB中点M，连接MC并延长交DG于点N．下列结论：①AG

＝BD；②MN⊥DG；③CO平分∠DCG；④SABC＝SCDG；⑤∠AOC＝45°．其中正确的结论有

△△

（填写编号）．

5．（2024·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务．

婆罗摩笈多定理：如图，四边形ABCD内接于O，对角线ACBD，垂足为M，如果直线MEBC，垂

足为E，并且交边于点F，那么AFFD．

𝐴

证明：∵ACBD，MEBC，∴CBDBCM90，CMEBCM90．∴CBDCME．

又∵CBD①，（同弧所对的圆周角相等）

CMEAMF，∴CADAMF．∴AF②．…

任务：(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______；

(2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题：

如图，已知Rt△ABC中，BAC90，ABAC2，BC，AC分别交O于点D，E，连接AD，BE交于

点P．过点P作MN∥BC，分别交DE，AB于点M，N．若ADBE，求AN的长．

6．（2024·湖北·一模）问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1），在VABC中，

AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作ACD关于点D中心对称的图形，其中点A的对应

点是点M．请你帮助小明完成画图和后面的解答．

尝试运用：如图（2），AD是VABC的中线，ABAE，ACAF，BAECAF90，试判断线段AD

与EF的关系，并加以证明．

AEAF

迁移拓展：如图（3），AD是VABC的中线，k，BAECAF90，直接用含k的代数式写

ABAC

出△AEF与ACD之间的面积关系．

7．（2023福建·模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线

必平分对边．要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC于点E，并延长EP与AD交于点F，不写作

法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程．

8．（23-24九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务．

婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算

规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆

罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：

布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形ABCD内接于O，对角线ACBD，垂足为M，点F为AD的

中点，连结FM并延长，交BC于点E，则MEBC．

证明：AFFD,ACBD，AMD90，AFMFFD，FMDADM（依据），

DAMADM90，…

(1)上述证明过程中的依据是指______．(2)请补全上述证明过程．

(3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形ABC内接于O，ACBC10,AB12，点H是

弧AB的中点，ADBC，请直接写出线段CE的长度．

9．（23-24九年级上·山西长治·期末）阅读与思考

阅读下列材料，完成相应的任务．

婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运

算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆

罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下．

婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形ABCD内接于O，对角线ACBD，AC，BD相交于点M，如果直

线MEBC，垂足为E，并且交边AD于点F，那么AFFD．

证明：ACBD，MEBCCBDBCM90，CMEBCM90．CBDCME．

又_______，CMEAMF，CADAMFAFMF．…

任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程．

10．（2024·江西·模拟预测）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负

数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把对角线互

相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．

(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是______．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形．(2)

如图1，四边形ABCD为O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知BOCAOD180．求

证：四边形ABCD是“婆氏四边形”．

(3)如图2，在RtABC中，BAC90，以AB为弦的O交AC于点D，交BC于点E，连接DE，AE，

3

BD，AB3，sinC，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．

5

11．（23-24九年级上·河南新乡·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．

AB

（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别

AC

BD

为D、E．求证：＝k．

AE

（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修

AB

改：在ABC中，＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任

AC

意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC

ABAC1

的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点

AEAG2

I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．

12．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）【方法回顾】如图1，在VABC中，D，E分别是边AB,AC的中点，

小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EFDE，

连接CF，证明ADE≌CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．

（1）上述证明过程中：

①证明ADE≌CFE的依据是（）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

②证明四边形DBCF是平行四边形的依据是______；

【类比迁移】（2）如图2，AD是VABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AEEF，求证：

ACBF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．

证明：如图2，延长AD至点G，使GDFD，连接GC，…请根据小明的思路完成证明过程；

【理解运用】（3）如图3，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，连接DE、BG，点P是BG的中点，

连接CP．请判断线段CP与DE的数量关系及位置关系，并说明理由：

（4）如图4，四边形BCED是一片草坪，VABC、VADE是等腰直角三角形，BACDAE90，BAD

为锐角，已知CE80m，△ABD的面积为1200m2．计划修建一条经过点A的笔直小路AG，其中点G在CE

边上，GA的延长线经过BD中点F．若小路每米造价500元，则修建小路的总造价为______元．

13．（2024·重庆·校考一模）我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得

△

到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称AB'C'是ABC的“旋补三

角形”，AB'C边B'C'上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”．△△

△△

(1)[特例感知]在图2，图3中，AB'C′是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”．

①如图2，当ABC为等边三角△形，且BC△＝6时，则AD长为．△

②如图3，当△∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为．

(2)[猜想论证]在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有

找到证明思路，可以考虑延△长AD或延长B'A，…）

(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内

部作等边PCD，连接AP，BP．若PAD是PBC的“旋补三角形”，请直接写出PBC的“旋补中线”长及四

边形ABC△D的边AD长．△△△

14．（2024·广东·校考一模）情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和A′C′D，如图1

所示.将A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)△、B在同一△条直线上，如

图2所示△．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′=▲°．

问题探究：如图3，ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外

△△

作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间

的数量关系△，并证明你的结△论.

拓展延伸：如图4，ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，

射线GA交EF于点△H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之△间的数量关系，并说明理由.

15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践：数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变

化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题．

(1)基础题：如图1，ABBD于点B，CDBD于点D，P是BD上一点，APPC．

APaBP

①若APPC，则ABP与△PDC的关系为．②若，且ab，则．

PCbCD

(2)构造应用①如图2，点E是正方形ABCD边BC上一点，AEF90，AEEF，AF与CD交于点G，连

接CF，请直接写出ÐGCF=°．

ABAC2

②如图3，沿VABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，，连接EG，AH是BC边

AEAG3

上的高，延长HA交EG于点K，求证：K是EG中点，并直接写出BC与AK的数量关系：BCAK．

(3)综合应用：如图4，在矩形ABCD中，AB4，BC6，点E是边AD上的动点（点E不与点A、D重合），

连接CE，过点E作EFCE，交AB于点F，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，点M是BC边的

中点．请直接写出当AGGM值最小时DE的值为：．

16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）综合与实践

【问题情境】我们定义：如图（a），在VABC中，把AB绕点A顺时针旋转0180得到AB，把AC

绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC．当180时，我们称△ABC是VABC的“旋补三角形”，

△ABC的边BC上的中线AD叫做VABC的“旋补中线”，点