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文档简介

专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型

等腰(等边)三角形是中学阶段非常重要三角形,具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客,

并且形式多样,内容新颖,能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系

统的归纳与介绍,方便大家对它有个全面的了解与掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型(长短手模型).....................................................................1

模型2.等边截等长模型(定角模型)......................................................................................................4

模型3.等边内接等边....................................................................................................................................6

.................................................................................................................错误!未定义书签。

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型(长短手模型)

帽子模型,其实是等腰三角形独特性质的应用,因为模型很像帽子,学习知识点的同时也增加了趣味性。

条件:如图,已知AB=AC,BD=CE,DG⊥BC于G,结论:①DF=FE;②BC2FG。

证明:如图,过点D作DH∥AC交BC于H,则BHDACB,DHFECF,

∵ABAC,∴BACB,∴BBHD,∴BDDH,∵CEBD,∴DHCE,

DHFECF

在△DHF和△ECF中,DFHEFC,∴DHFRtECFAAS,∴DFEF;

DHEC

11

∵DHF≌ECF,∴FHCFCH,∵BDDH,DGBC,∴BGGHBH,

22

111

∴FGGHFHBHCHBC,∴BC2FG.

222

例1.(23-24八年级上·广东中山·期末)如图,ABC中,ABAC,BC10,点P从点B出发沿线段

BA移动到点A停止,同时点Q从点C出发沿AC的延长线移动,并与点P同时停止.已知点P,Q移动

的速度相同,连接PQ与线段BC相交于点D(不考虑点P与点A,B重合时的情况).

(1)求证:APAQ2AB;(2)求证:PDDQ;(3)如图,过点P作PEBC于点E,在点P,Q移动的过

程中,线段DE的长度是否变化?如果不变,请求出这个长度;如果变化,请说明理由.

例2.(24-25九年级上·山西临汾·阶段练习)综合与探究

问题情境:在VABC中,ABAC,在射线AB上截取线段BD,在射线CA上截取线段CE,连结DE,DE

所在直线交直线BC于点M.

猜想判断:(1)当点D在边AB的延长线上,点E在边AC上时,过点E作EF∥AB交BC于点F,如图①.若

BDCE,则线段DM、EM的大小关系为_______.

深入探究:(2)当点D在边AB的延长线上,点E在边CA的延长线上时,如图②.若BDCE,判断线段

DM、EM的大小关系,并加以证明.

拓展应用:(3)当点D在边AB上(点D不与A、B重合),点E在边CA的延长线上时,如图③.若BD1,

CE4,DM0.7,求EM的长.

例3.(2024·贵州铜仁·模拟预测)如图,过边长为6的等边ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q

为BC延长线上一点,连PQ交AC边于D,当PA=CQ时,△DE的长为()

A.1B.2C.3D.4

例4.(2024·河南·校考一模)问题背景:已知在VABC中,边AB上的动点D由A向B运动(与A,B不重

合),同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上

AC

一点,求的值.

HF

(1)初步尝试:如图①,若VABC是等边三角形,DHAC,且点D、E的运动速度相等,小王同学发现

AC

可以过点D作DG//BC交AC于点G,先证GHAH,再证GFCF,从而求得的值为________;

HF

(2)类比探究:如图②,若VABC中,ABC90,ADHBAC30,且点D,E的运动速度之比是

AC

3:1,求的值;

HF

BC

(3)延伸拓展:如图③,若在VABC中,ABAC,ADHBAC36,记m,且点D、E的运动

AC

AC

速度相等,试用含m的代数式表示的值(直接写出结果,不必写解答过程).

HF

模型2.等边截等长模型(定角模型)

条件:如图,在等边VABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AECD,BE与AD相交于点P,BQAD

于点Q.结论:①ABE≌CAD;②AD=BE;③BPD60;④BQ=2PQ。

证明:在等边三角形ABC中,ABAC,BAEC60,

ABAC

在ABE和CAD中,BAEC,△ABE≌△CADSAS,∴AD=BE,∠CAD=∠ABE;

AECD

BPQABEBAPCADBAPBAE60.

BQAD,PBQ30,∴BQ=2PQ.

例1.(2024·四川宜宾·中考真题)如图,点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点,且BDCE,

BE与AD交于点F.求证:ADBE.

例2.(2024八年级·重庆·培优)如图,ABC为等边三角形,且BMCN,AM与BN相交于点P,则APN

().

A.等于70B.等于60C.等于50D.大小不确定

例3.(23-24八年级·广东中山·期中)如图,在等边VABC中,点D、E分别在边BC、AC上,且AECD,

BE与AD相交于点P,BQAD于点Q.(1)求证:BEAD;(2)若PQ4,求BP的长.

例4.(2023·浙江杭州·模拟预测)如图,在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P,Q(均不与端点

重合),且APCQ,AQ,BP相交于点O,下列结论不正确的是()

A.AOB120B.AP2POPB

C.若AB8,BP7,则PA3D.若PCmAP,BOnOP,则nm2m

模型3.等边内接等边

图1图2

1)等边内接等边(截取型)

条件:如图1,等边三角形ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运动,且满足AD=BE=CF;

结论:三角形DEF也是等边三角形。

证明:∵ABC是等边三角形,∴ABC60,ABBCAC.

∵ADBECF,∴AFBDCE.

AFBD,

在ADF和BED中,AB,∴ADF≌BED(SAS),

ADBE,

∴DFDE.同理DFEF,∴DFDEEF,∴DEF是等边三角形.

2)等边内接等边(垂线型)

条件:如图,点P、M、N分别在等边VABC的各边上,且MPAB于点P,NMBC于点M,PNAC

于点N,结论:三角形DEF也是等边三角形。

证明:ABC是等边三角形,ABC60,

MPAB,NMBC,PNAC,MPBNMCPNA90,

PMBMNCAPN30,NPMPMNMNP60,△PMN是等边三角形,

例1.(2024七年级下·成都·专题练习)如图,过等边三角形ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC

的垂线MG、MN、NG,三条垂线围成MNG,若AM2,则MNG的周长为()

A.12B.18C.20D.24

例2.(24-25九年级上·四川成都·阶段练习)如图,已知等边三角形ABC,点P1,P2,P3分别为边AB,BC,CA

上的黄金分割点(AP1BP1,BP2CP2,CP3AP3),连接P1P2,P2P3,P1P3,我们称P1P2P3为VABC的“内

含黄金三角形”,若在VABC中任意取点,则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是.

例3.(23-24八年级下·广东云浮·期中)如图,点P,M,N分别在等边三角形ABC的各边上,且MPAB

于点P,NMBC于点M,PNAC于点N.(1)求证:PMN是等边三角形;(2)若AB15cm,求BP的

长.

例4.(2023·广西·中考真题)如图,ABC是边长为4的等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA

上运动,满足ADBECF.(1)求证:ADF≌BED;(2)设AD的长为x,DEF的面积为y,求y关于

x的函数解析式;(3)结合(2)所得的函数,描述DEF的面积随AD的增大如何变化.

1.(23-24九年级上·山西晋中·阶段练习)如图,VABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且

BD:DC2:1,CE:AE2:1,BE与AD相交于点F,则下列结论:①AFE60,②CE2DFDA,

③AFBEAEAC.其中正确的有()

A.3个B.2个C.1个D.0个

2.(2024广东九年级二模)如图,在等边三角形ABC中,点P,Q分别是AC,BC边上的动点(都不与线

段端点重合),且AP=CQ,AQ、BP相交于点O.下列四个结论:①若PC=2AP,则BO=6OP;②若BC=8,

BP=7,则PC=5;③AP2=OPAQ;④若AB=3,则OC的最小值为3,其中正确的是()

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

3.(2024·广西·一模)如图,在等边ABC中,AB3,点D,E分别在边BC,AC上,且BDCE,连接

AD,BE交于点F,在点D从点B运动到点C的过程中,图中阴影部分的面积的最小值为()

333331

A.B.C.D.

8483

4.(23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图,在VABC中,ACB90,ACBC,点F在边AB上,

点D在边AC上,连接DF并延长DF交CB的延长线于点E,连接CF,且CFFD,过点A作AGCF于

点G,AG交FD于点K,过点B作BHCF交CF的延长线于点H,以下四个结论中:

①AGCH;②ADBE;③当BGH45时,2BHEFFG;④CAGCEF.正确的有()

个.

A.1B.2C.3D.4

5.(2023·福建莆田·一模)如图,ABC和△BDE都是等边三角形,将△BDE先向右平移得到GFH,再

绕顶点G逆时针旋转使得点F,H分别在边AB和AC上.现给出以下两个结论:①仅已知ABC的周长,

就可求五边形DECHF的周长;②仅已知AFH的面积,就可求五边形的面积.下列说法正确的是()

A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①②均正确D.①②均错误

6.(23-24九年级上·北京昌平·期末)如图,VABC是等边三角形,D,E分别是AC,BC边上的点,且ADCE,

连接BD,AE相交于点F,则下列说法正确的是()

AD1AF1

①△ABD≌△CAE;②BFE60;③△AFB∽△ADF;④若,则

AC3BF2

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.(23-24九年级上·四川达州·期末)如图,是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且BDCE,AD

与BE相交于点F.若AF7,DF1,则𝛥𝐴的边长等于()

𝛥𝐴

A.572B.582C.582D.572

8.(23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习)如图所示,过等边VABC的顶点A,B,C依次作AB,BC,CA的

垂线MG,MN,NG,三条垂线围成MNG,已知CG4cm,则MNG的周长是cm.

9.(23-24天津九年级上期中)如图,点D,E,F分别在正三角形ABC的三边上,且DEF也是正三角形.若

ABC的边长为a,DEF的边长为b,则AEF的内切圆半径为.

10.(2024·甘肃金昌·模拟预测)如图,在等腰直角VABC中,A90,ABAC42,E为AB的中点,F

1

为AC上一点,连接EF并延长,交BC的延长线于点D,若FCAB,则DE的长为.

4

11.(23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习)如图,过边长为a的等边VABC的边AB上一点P,作PEAC

于E,Q为BC延长线上一点,当PACQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为.

12.(2023浙江中考一模)如图,在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,AQ,BP

相交于点O.若BO=6,PO=2,则AP的长,AO的长分别为.

13.(23-24八年级上·上海浦东新·期末)如图,在等边VABC的AC,BC上各取一点D,E,使ADCE,

AE,BD相交于点M,过点B作直线AE的垂线BH,垂足为H.若BE2EC4,则MH的长为.

14.(2023·辽宁鞍山·一模)如图,在三角形ABC中,ABAC,BAC60,ADCE,AE与BD相交

于点F,若EF4,则E到BF的距离为.

15.(23-24九年级下·河南商丘·阶段练习)【问题提出】

数学课上,老师给出了这样一道题目:如图1,在等边三角形ABC中,点D,E分别在AC,BC边上,AE,

BD交于点F,且ADCE.

(1)线段AE,BD的数量关系为______,BFE的度数为______.

【类比探究】老师继续提出问题,若改变VABC的形状,(1)中的结论是否仍然成立呢?

同学们根据老师的提问画出图形,如图2,VABC是等腰直角三角形,ABC90,点D,E分别在AC,

BC边上,AE,BD交于点F,同学们发现,想要类比(1)中的探究过程得出结论,还需要确定线段AD,

CE的数量关系.

(2)请先将条件补充完整:线段AD,CE的数量关系为______;再根据图2写出线段AE,BD的数量关

系和BFE的度数,并说明理由.

【拓展探究】(3)如图3,VABC是等腰直角三角形,AB4,若点D沿AC边上一动点,点E是射线CB上

一动点,直线AE,BD交于点F,在(2)的条件下,当动点D沿AC边从点A移动到点C(与点C重合)

时,请直接写出运动过程中CF长的最大值和最小值.

16.(2023·浙江杭州·二模)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别是边BC,CA上的点,且BDCE,

连结AD,BE交于点P.(1)求证:ABE≌CAD;(2)连接CP,若CPAP时,①求AE:CE的值;

s2

②设VABC的面积为S1,四边形CDPE的面积为S2,求的值.

s1

17.(23-24九年级下·上海宝山·阶段练习)如图(1),已知ABC是等边三角形,点D、E、F分别在边AB、

BC、CA上,且123.(1)试说明△DEF是等边三角形的理由.

(2)分别连接BF,DC,BF与DC相交于O点(如图(2)),求BOD的大小.

(3)将△DEF绕F点顺时针方向旋转60得到图(3),AP与BC平行吗?说明理由.

18.(23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试)VABC中ABAC,点D是BC边中点,过点D的直线交AB边

于点M,交AC边的延长线于点N,且AMAN.(1)如图①,当BAC60时,求证:DNDMCN;

(2)如图②,当BAC90时,请直接写出线段DN,DM,CN的数量关系.

19.(2024·广西南宁·模拟预测)如图,ABC是边长为2的等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA

上运动,满足ADBECF.(1)求证:ADF≌BED;(2)设AD的长为x,DEF的面积为y,求y关于

x的函数解析式;(3)结合(2)所得的函数,描述DEF的面积随AD的增大如何变化.

20.(23-24山东八年级上期中)问题背景:课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:

①如图(1),在正ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM

=CN;②如图(2)△,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON

=90°,则BM=CN.

然后运用类似的思想提出了如下命题:③如图(3),在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,

BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.

任务要求:(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明;(2)请你继续完成下面的探索;

①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON

等于多少度时,结论BM=CN成立(不要求证明);

②如图(4),在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,∠BON=108°

时,试问结论BM=CN是否成立.若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

21.(23-24九年级·四川绵阳·期末)小明在学习过程中,对教材的一个习题做如下探究:

【习题回顾】:如图,在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P,Q使APCQ,AQ,BP相交于点O,

求BOQ的度数.请你解答该习题.

【拓展延伸】:(1)如图1,在等腰Rt△ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使APCQ,BP平分ABC,

AQ2,BAC90,求BP的长.小明的思路:过点A作AGBC交BP延长线于点G,证明

△AQC≌△GPA,…

AB1

(2)如图2,在Rt△ABC的AC,BC边上各取一点P、Q,使CQ2AP,BP平分ABC,,

AC2

BAC90,求AQ,BP的数量关系,请你解答小明提出的问题.

22.(23-24八年级上·福建福州·阶段练习)如图:VABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,

由点A向点C运动(P与点A、C不重合),点Q同时以点P相同的速度,由点B向CB延长线方向运动(点

Q不与点B重合),过点P作PEAB于点E,连接PQ交AB于点D.

(1)若设AP的长为x,则PC=______,QC______;

(2)当BQD30时,求AP的长;(3)点P,Q在运动过程中,线段

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