2025年中考数学几何模型综合训练专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型解读与提分精练（学生版）

专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型

等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，

并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系

统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）.....................................................................1

模型2.等边截等长模型（定角模型）......................................................................................................4

模型3.等边内接等边....................................................................................................................................6

.................................................................................................................错误！未定义书签。

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）

帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。

条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②BC2FG。

证明：如图，过点D作DH∥AC交BC于H，则BHDACB，DHFECF，

∵ABAC，∴BACB，∴BBHD，∴BDDH，∵CEBD，∴DHCE，

DHFECF

在△DHF和△ECF中,DFHEFC，∴DHFRtECFAAS，∴DFEF；

DHEC

11

∵DHF≌ECF，∴FHCFCH，∵BDDH，DGBC，∴BGGHBH，

22

111

∴FGGHFHBHCHBC，∴BC2FG．

222

例1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，ABC中，ABAC，BC10，点P从点B出发沿线段

BA移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿AC的延长线移动，并与点P同时停止．已知点P，Q移动

的速度相同，连接PQ与线段BC相交于点D(不考虑点P与点A，B重合时的情况)．

(1)求证:APAQ2AB；(2)求证:PDDQ；(3)如图，过点P作PEBC于点E，在点P，Q移动的过

程中，线段DE的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．

例2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究

问题情境：在VABC中，ABAC，在射线AB上截取线段BD，在射线CA上截取线段CE，连结DE，DE

所在直线交直线BC于点M．

猜想判断：（1）当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF∥AB交BC于点F，如图①．若

BDCE，则线段DM、EM的大小关系为_______．

深入探究：（2）当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BDCE，判断线段

DM、EM的大小关系，并加以证明．

拓展应用：（3）当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD1，

CE4，DM0.7，求EM的长．

例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q

为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，△DE的长为（）

A．1B．2C．3D．4

例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在VABC中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不重

合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上

AC

一点，求的值．

HF

（1）初步尝试：如图①，若VABC是等边三角形，DHAC，且点D､E的运动速度相等，小王同学发现

AC

可以过点D作DG//BC交AC于点G，先证GHAH，再证GFCF，从而求得的值为________；

HF

（2）类比探究：如图②，若VABC中，ABC90，ADHBAC30，且点D，E的运动速度之比是

AC

3:1，求的值；

HF

BC

（3）延伸拓展：如图③，若在VABC中，ABAC，ADHBAC36，记m，且点D､E的运动

AC

AC

速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程)．

HF

模型2.等边截等长模型（定角模型）

条件：如图，在等边VABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且AECD，BE与AD相交于点P，BQAD

于点Q．结论：①ABE≌CAD；②AD=BE；③BPD60；④BQ=2PQ。

证明：在等边三角形ABC中，ABAC，BAEC60，

ABAC

在ABE和CAD中，BAEC，△ABE≌△CADSAS，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；

AECD

BPQABEBAPCADBAPBAE60．

BQAD，PBQ30，∴BQ=2PQ．

例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BDCE，

BE与AD交于点F．求证：ADBE．

例2．（2024八年级·重庆·培优）如图，ABC为等边三角形，且BMCN,AM与BN相交于点P，则APN

（）．

A．等于70B．等于60C．等于50D．大小不确定

例3．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边VABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AECD，

BE与AD相交于点P，BQAD于点Q．(1)求证：BEAD；(2)若PQ4，求BP的长．

例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q（均不与端点

重合），且APCQ，AQ，BP相交于点O，下列结论不正确的是（）

A．AOB120B．AP2POPB

C．若AB8，BP7，则PA3D．若PCmAP，BOnOP，则nm2m

模型3.等边内接等边

图1图2

1）等边内接等边（截取型）

条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；

结论：三角形DEF也是等边三角形。

证明：∵ABC是等边三角形，∴ABC60，ABBCAC．

∵ADBECF，∴AFBDCE．

AFBD，

在ADF和BED中，AB，∴ADF≌BED（SAS），

ADBE，

∴DFDE．同理DFEF，∴DFDEEF，∴DEF是等边三角形．

2）等边内接等边（垂线型）

条件：如图，点P、M、N分别在等边VABC的各边上，且MPAB于点P，NMBC于点M，PNAC

于点N，结论：三角形DEF也是等边三角形。

证明：ABC是等边三角形，ABC60，

MPAB，NMBC，PNAC，MPBNMCPNA90，

PMBMNCAPN30，NPMPMNMNP60，△PMN是等边三角形，

例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC

的垂线MG、MN、NG，三条垂线围成MNG，若AM2，则MNG的周长为（）

A．12B．18C．20D．24

例2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形ABC，点P1，P2，P3分别为边AB，BC，CA

上的黄金分割点（AP1BP1，BP2CP2，CP3AP3），连接P1P2，P2P3，P1P3，我们称P1P2P3为VABC的“内

含黄金三角形”，若在VABC中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是．

例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且MPAB

于点P，NMBC于点M，PNAC于点N．(1)求证：PMN是等边三角形；(2)若AB15cm，求BP的

长．

例4．（2023·广西·中考真题）如图，ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA

上运动，满足ADBECF．(1)求证：ADF≌BED；(2)设AD的长为x，DEF的面积为y，求y关于

x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述DEF的面积随AD的增大如何变化．

1．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，VABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且

BD:DC2:1，CE:AE2:1，BE与AD相交于点F，则下列结论：①AFE60，②CE2DFDA，

③AFBEAEAC．其中正确的有（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

2．（2024广东九年级二模）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线

段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，

BP=7，则PC=5；③AP2=OPAQ；④若AB=3，则OC的最小值为3，其中正确的是（）

⋅

A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③

3．（2024·广西·一模）如图，在等边ABC中，AB3，点D，E分别在边BC，AC上，且BDCE，连接

AD，BE交于点F，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（）

333331

A．B．C．D．

8483

4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在VABC中，ACB90,ACBC，点F在边AB上，

点D在边AC上，连接DF并延长DF交CB的延长线于点E，连接CF，且CFFD，过点A作AGCF于

点G,AG交FD于点K，过点B作BHCF交CF的延长线于点H，以下四个结论中：

①AGCH；②ADBE；③当BGH45时，2BHEFFG；④CAGCEF．正确的有（）

个．

A．1B．2C．3D．4

5．（2023·福建莆田·一模）如图，ABC和△BDE都是等边三角形，将△BDE先向右平移得到GFH，再

绕顶点G逆时针旋转使得点F，H分别在边AB和AC上．现给出以下两个结论：①仅已知ABC的周长，

就可求五边形DECHF的周长；②仅已知AFH的面积，就可求五边形的面积．下列说法正确的是（）

A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②均正确D．①②均错误

6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，VABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且ADCE，

连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是（）

AD1AF1

①△ABD≌△CAE；②BFE60；③△AFB∽△ADF；④若，则

AC3BF2

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

7．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，是等边三角形，点D,E分别在边BC,AC上，且BDCE,AD

与BE相交于点F．若AF7,DF1，则𝛥𝐴的边长等于（）

𝛥𝐴

A．572B．582C．582D．572

8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，过等边VABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的

垂线MG，MN，NG，三条垂线围成MNG，已知CG4cm，则MNG的周长是cm．

9．（23-24天津九年级上期中）如图，点D,E,F分别在正三角形ABC的三边上，且DEF也是正三角形.若

ABC的边长为a，DEF的边长为b，则AEF的内切圆半径为．

10．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在等腰直角VABC中，A90,ABAC42,E为AB的中点，F

1

为AC上一点，连接EF并延长，交BC的延长线于点D，若FCAB，则DE的长为．

4

11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为a的等边VABC的边AB上一点P，作PEAC

于E，Q为BC延长线上一点，当PACQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．

12．（2023浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP

相交于点O．若BO=6，PO=2，则AP的长，AO的长分别为．

13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边VABC的AC，BC上各取一点D，E，使ADCE，

AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H．若BE2EC4，则MH的长为．

14．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，在三角形ABC中，ABAC，BAC60，ADCE，AE与BD相交

于点F，若EF4，则E到BF的距离为．

15．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】

数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，AE，

BD交于点F，且ADCE．

（1）线段AE，BD的数量关系为______，BFE的度数为______．

【类比探究】老师继续提出问题，若改变VABC的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？

同学们根据老师的提问画出图形，如图2，VABC是等腰直角三角形，ABC90，点D，E分别在AC，

BC边上，AE，BD交于点F，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段AD，

CE的数量关系．

（2）请先将条件补充完整：线段AD，CE的数量关系为______；再根据图2写出线段AE，BD的数量关

系和BFE的度数，并说明理由．

【拓展探究】（3）如图3，VABC是等腰直角三角形，AB4，若点D沿AC边上一动点，点E是射线CB上

一动点，直线AE，BD交于点F，在（2）的条件下，当动点D沿AC边从点A移动到点C（与点C重合）

时，请直接写出运动过程中CF长的最大值和最小值．

16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BDCE，

连结AD，BE交于点P．(1)求证：ABE≌CAD；(2)连接CP，若CPAP时，①求AE:CE的值；

s2

②设VABC的面积为S1，四边形CDPE的面积为S2，求的值．

s1

17．（23-24九年级下·上海宝山·阶段练习）如图（1），已知ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AB、

BC、CA上，且123．(1)试说明△DEF是等边三角形的理由．

(2)分别连接BF，DC，BF与DC相交于O点（如图（2）），求BOD的大小．

(3)将△DEF绕F点顺时针方向旋转60得到图（3），AP与BC平行吗？说明理由．

18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）VABC中ABAC，点D是BC边中点，过点D的直线交AB边

于点M，交AC边的延长线于点N，且AMAN．(1)如图①，当BAC60时，求证：DNDMCN；

(2)如图②，当BAC90时，请直接写出线段DN，DM，CN的数量关系．

19．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，ABC是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA

上运动，满足ADBECF．(1)求证：ADF≌BED；(2)设AD的长为x，DEF的面积为y，求y关于

x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述DEF的面积随AD的增大如何变化．

20．（23-24山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图（1），在正ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM

＝CN；②如图（2）△，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON

＝90°，则BM＝CN．

然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，

BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．

任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；

①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON

等于多少度时，结论BM＝CN成立（不要求证明）；

②如图（4），在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°

时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

21．（23-24九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：

【习题回顾】：如图，在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P，Q使APCQ，AQ，BP相交于点O，

求BOQ的度数．请你解答该习题．

【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰Rt△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使APCQ，BP平分ABC，

AQ2，BAC90，求BP的长．小明的思路：过点A作AGBC交BP延长线于点G，证明

△AQC≌△GPA，…

AB1

（2）如图2，在Rt△ABC的AC，BC边上各取一点P、Q，使CQ2AP，BP平分ABC，，

AC2

BAC90，求AQ，BP的数量关系，请你解答小明提出的问题．

22．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图：VABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，

由点A向点C运动（P与点A、C不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点

Q不与点B重合），过点P作PEAB于点E，连接PQ交AB于点D．

(1)若设AP的长为x，则PC=______，QC______；

(2)当BQD30时，求AP的长；(3)点P，Q在运动过程中，线段