2024年广东省深圳市南山二外学府中学中考模拟数学试题及答案

试题PAGE1试题学府中学3月20号年级统一测试一、选择题（共10小题，满分30分）1.国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省．如图是奉天大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（）A. B. C. D.2.已知是锐角，，则值为（）A. B. C. D.3.若是方程的根，则的值为（）A.2024 B.2022 C.2020 D.20164.如图，在中，弦，相交于点，，，则（）A. B. C. D.5.某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为（）抽查车辆数1005001000200030004000能礼让驾驶员人数95486968194029073880能礼让的频率0.950.9720.9680.970.9690.97A.0.95 B.0.96 C.0.97 D.0.986已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到△，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（）A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 C.只有甲、乙 D.只有甲7.已知二次函数，则下列说法正确的是（）A.该函数的图像开口向上 B.该函数图像与y轴的交点坐标为C.当时，y有最大值为5 D.当时，y随x的增大而增大8.下列命题正确的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B.同旁内角互补C.凸多边形的外角和都等于360° D.平分弦的直径垂直于弦9.若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.10.如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二．填空题（共5小题，满分15分）11.分解因式：=___________________________．12.在一个不透明的盒子中装有9个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球有______个．13.如图，是的弦，与相切，，相交于点，若，则线段的长为______．14.如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为______．15.如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG⋅CG的值为_____．三．解答题（共7小题，满分55分）16.计算．（1）（2）计算：17.如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成，如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．求灯管支架的长度．18.为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生数是___________人，圆心角β=___________度；（2）补全条形统计图；（3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？（4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．19某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？20.如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．（1）求证：是的切线；（2）如果，，求长．21.数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）【观察探究】方程的解为：___；（2）【问题解决】若方程有四个实数根，分别为、、、．①a的取值范围是___；②计算___；（3）【拓展延伸】①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程：②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围___．22.【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；（2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：；【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为______．学府中学3月20号年级统一测试一、选择题（共10小题，满分30分）1.国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省．如图是奉天大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三视图的知识．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：该立体图形从正面看到的是．故选：B．2.已知是锐角，，则的值为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了求角的余弦值，勾股定理，可根据题意作出直角三角形，设，，利用勾股定理求出，然后根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：如图所示：∵，设，，则，∴．故选：B．3.若是方程的根，则的值为（）A.2024 B.2022 C.2020 D.2016【答案】A【解析】【分析】一元二次方程的解（根）的定义．根据一元二次方程根的定义，可得，进而可得，整体代入求解即可．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，∴，∴．故选：A．4.如图，在中，弦，相交于点，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆周角定理．先根据圆周角定理得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数．【详解】解：和都对，，．故选：B．5.某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为（）抽查车辆数1005001000200030004000能礼让的驾驶员人数95486968194029073880能礼让的频率0.950.9720.9680.970.9690.97A.0.95 B.0.96 C.0.97 D.0.98【答案】C【解析】【分析】根据6次调查从100辆增加到4000辆时，能礼让车辆的频率趋近于0.97，从而求得答案．【详解】解：∵抽取车辆为4000时，能礼让车辆的频率趋近于0.97，

∴可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为0.97．

故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．6.已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到△，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（）A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 C.只有甲、乙 D.只有甲【答案】B【解析】【分析】先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案．【详解】解：根据题意可知，，四边形是平行四边形．方案甲，不能判断四边形是菱形；方案乙，由，平行四边形是菱形；方案丙，由，又，，，，平行四边形是菱形．所以正确的是乙和丙．故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．7.已知二次函数，则下列说法正确的是（）A.该函数的图像开口向上 B.该函数图像与y轴的交点坐标为C.当时，y有最大值为5 D.当时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图像的基本性质，结合开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及函数与坐标轴交点进行分析即可．【详解】解：由题意可知，，函数图像开口向下，故A错误，不符合题意；当时，函数图像与y轴的交点坐标为，故B错误，不符合题意；函数对称轴为，开口向下，当时，即当时，y有最大值为5，故C正确，符合题意；函数对称轴为，开口向下，当时，y随x的增大而减小，故D错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图像的基本性质；熟练掌握二次函数图像的基本性质是解题的关键．8.下列命题正确的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B.同旁内角互补C.凸多边形的外角和都等于360° D.平分弦的直径垂直于弦【答案】C【解析】【分析】根据平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识对各项进行分析即可．【详解】A.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，本项不符合题意；B.两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，本项不符合题意；C.凸多边形的外角和都等于360°，正确；D.平分弦（该弦不是圆的直径）的直径垂直于弦，原说法错误，本项不符合题意；故答案为：C．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识是解题的关键．9.若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握．根据二次函数的对称性，利用对称性，找出点，，到对称轴的距离，即可解答．【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线，是顶点，最小，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，，．故选：D．10.如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察，，时的函数值，进而对所得结论进行判断即可．【详解】解：由图象可知：，，∵∴，∴，故①正确；当时，，即，当时，，即，∴则即∴所以②正确；③当时，y的值最大．此时，而当时，，其中，所以故，即，故③错误．④由对称知，当时的函数值与时的函数值相等，即，故④正确；故选：B．二．填空题（共5小题，满分15分）11.分解因式：=___________________________．【答案】2a（x+2）（x﹣2）．【解析】【分析】【详解】试题分析：原式=2a（x2-4）=2a（x+2）（x﹣2）．故答案为2a（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12.在一个不透明的盒子中装有9个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球有______个．【答案】3【解析】【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．设黄球的个数为x个，根据概率公式得到，然后解方程即可．【详解】解：设黄球个数为x个，由题意得，解得，经检验：是原分式方程的解，

故答案为：3．13.如图，是的弦，与相切，，相交于点，若，则线段的长为______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，先根据切线的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据等边对等角得，即可得出，进而得出，再设，表示，然后根据勾股定理列出方程，求出解即可．【详解】∵是的切线，∴，∴.在中，．∵，∴，∴，∵∴，∴．设，则，根据勾股定理，得，解得，所以．故答案为：4．14.如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为______．【答案】【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为，求出，在中根据特殊锐角三角函数值可求出、，在中，根据勾股定理求出，再根据，得出，进而求出，最后根据反比例函数系数的几何意义求出结果即可．【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，平分，平分，，，在中，，，，在中，，，，在和中，，，，，，，，，，，又，，负值舍去，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角形全等以及解直角三角形，求出的面积是解决问题的前提．15.如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG⋅CG的值为_____．【答案】15【解析】【分析】把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝12可求出a，最后通过△MGN∽△CGB可得出答案．【详解】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，过M作ME⊥BC，MF⊥AB，∵∵MC＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，∵正方形ABCD的边长为，∴BD＝12，∴DM+MG+BG＝12a＝12，∴a＝1，∴BG＝3，MG＝5，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴，∴CG•NG＝BG•MG＝15．故答案为：15．【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、相似三角形的性质、正方形的性质，联系题目实际，结合全等三角形、正方形的性质构造相似三角形进行求解是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分55分）16.计算．（1）（2）计算：【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可．【小问1详解】∴，解得，；【小问2详解】．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和实数的运算，解得的关键是掌握以上知识点．17.如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成，如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．求灯管支架的长度．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等边三角形的性质与判定，延长交于点，先解求出，再解求出，再证明是等边三角形，则．【详解】解：延长交于点，中，，，，，，，在中，，，中，，，，，是等边三角形，，答：灯管支架的长度约为．18.为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查学生数是___________人，圆心角β=___________度；（2）补全条形统计图；（3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？（4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．【答案】（1），（2）见解析（3）600人（4）【解析】【分析】（1）用等级为“良好”的人数除以等级为“良好”所占的百分比即可求出学生人数，先求出等级为“优异”的学生所占百分比，即可求出圆心角β的度数；（2）用调查学生总人数分别减去“达标”、“良好”、“优异”的人数即可；（3）用学生总人数乘以“优异”所占的百分比即可求解；（4）画树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得．【小问1详解】解：由图可知：等级为“良好”的人数为：10人，等级为“良好”所占的百分比为：，本次调查的学生数是：（人），，故答案为：，．【小问2详解】等级为“优秀”的人数：（人），如图所示：【小问3详解】（人），答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为600人．【小问4详解】根据题意画出树状图如图所示：共有12种等可能的结果数，满足条件的结果数有2种，恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣10x+1200（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元【解析】【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可；（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【小问1详解】解：由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），将（60，600），（80，400）代入，得：，解得：，∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；【小问2详解】解：由题意得：w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）＝﹣10x2+1700x﹣60000＝﹣10（x﹣85）2+12250，∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，∴x≤50×（1+30%），即x≤65，∵﹣10＜0，∴当x≤85时，w随x的增大而增大，∴当x＝65时，w取得最大值，最大值为﹣10×（65﹣85）2+12250＝8250．∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．【点睛】本题考查一次函数的实际应用、二次函数的实际应用，理解题意，正确求出函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．20.如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．（1）求证：是的切线；（2）如果，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用勾股定理在中求出，同理求出，，利用切线的性质及勾股定理建立等式解答即可．【小问1详解】证明：连接、，如图所示：是的直径，，，，平分弦，平分，，，，，，，，，，，，，，，半径，是的切线；【小问2详解】解：，，在（1）的结论中有，，在中，，则，在中，，在中，，则，，在中，，是的切线，，在中，，，解得，．【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．21.数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）【观察探究】方程的解为：___；（2）【问题解决】若方程有四个实数根，分别为、、、．①a的取值范围是___；②计算___；（3）【拓展延伸】①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程：②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围___．【答案】（1）（2）①；②0（3）①见解析；②【解析】【分析】（1）由函数图