内蒙古赤峰市2024年高考数学一模试卷（文科）含答案

内蒙古赤峰市2024年高考数学一模试卷（文科）

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知复数z满足z=^—i,W为z的共朝复数，z—5等于（）

A.2iB.-2iC.1D.T

2.若全集U=R,集合4={%£Z\x2<25},B={xlx-2<0},则An（C》）=（）

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{x\2<%<5}D.{x|2<x<5}

3.下列函数中，是偶函数的是（）

i

A.y=sin2xB.y—\2X—1\C.y=了D.y=ln|x|

、1

4.已知实数a=5^,b=log3,c=log13,则a,b,c这三个数的大小关系是（）

''55

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

5.已知直线八y=%+b,QO：x2+y2=4,贝U“网＜2”是“直线/与。。相交”的（）

A,充分必要条件B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知抛物线C：*=4%的焦点为F，点4的坐标是（4,3）,P为C上一点，则|P*+|PF|的最小值为（）

A4<2B.2/3C.6D.5

7.为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

8.已知递增的等比数列｛a"的前n项和为%,若=12,a2+1是为与CI3-1的等差中项，则S3=（）

A.21B.21或57C.21或75D.57

9.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方

形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此

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点取自阴影部分的概率为()

A2

BCD

A32-U1-看

10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的群解九章算术》中，后人称为“三角

垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个

球，…，设从上往下各层的球数构成数列｛厮｝,贝布19+&2。=()

A380B.399C.400D.40*

11.在正方体ABCD—481C1D1中，点、E,F,G分别是棱2。，BC,的中点，则异面直线FG所成角

的余弦值为()

11

ABc

3-6-

12.过双曲线C：马—4=l(a>0*>0)的右顶点4作斜率为1的直线/,与C的两条渐近线分别交于点P.Q,

ab

若方=；而，则双曲线C的离心率为()

A2V3VTcVTn4VT

ABD.—C.—D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x—y>—1

13.若x,y满足约束条件卜—3yW3,则z=3x—y的最小值为.

JC+y<—1

14.已知单位向量心1满足知-瓦=1,则12d―耳=.

15.例'子算经》中提到“物不知数”问题.如：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即2,5,

8,11,构成数列｛a",记数列｛&J的前n项和为工,则竺1詈的最小值为.

16.已知定义在R上的函数/(%)满足/''(>)+4/(%)>0,且/(0)=1,则下列说法正确的是.

①〃久)是奇函数

(2)3xG(0,+oo),f(x)>0

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③f(1)>去

④Vx>0时，/(%)<^

三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题12分)

为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知

识大赛，全市共有500名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间［50,100］内，组委会将初赛成绩

分成5组：［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)试估计这500名学生初赛成绩的平均数呈及中位数(同一组的数据以该组区间的中间值作为代表)；(中位数

精确到0.01)

(2)组委会在成绩为［60,80)的学生中用分层抽样的方法随机抽取5人，然后再从抽取的5人中任选取2人进行

调查，求选取的2人中恰有1人成绩在［60,70)内的概率.

18.(本小题12分)

在①cos4=标②bcosC=(2a-c)cosB中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.

问题：在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,已知.

(1)求B；

(2)若△ABC的外接圆半径为2,且cosAcosC=|,求△ABC的面积.

O

注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.

19.(本小题12分)

如图，在四棱柱4BCD中，底面ABCD是等腰梯形，Z.DAB=60°,AB=2CD=4,M是线段A8的

中点.

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(1)求证：〃平面占4。。1；

(2)若CD1，平面4BCD,S.CD1=273,求点名与平面Ci/M的距离

20.(本小题12分)

已知函数/■(%)=eR).

(1)求/(%)的单调区间及最值；

(2)令八(%)=/(久)+g(x),若拉(乂)在区间(l,e2)上存在极值点，求实数a的取值范围.

21.(本小题12分)

已知椭圆E：胃+，=l(a>6>0)的左、右焦点分别为用(—1,0),马(1,0),左、右顶点分别为力，B,P(x,y)

为椭圆E上一点，且J(X-1)2+y2+J(%+1)2+y2-4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过用的直线与椭圆E交于C,。两点(其中点C位于x轴上方)，记直线AC,BD的斜率分别为k2,求的+专

的最小值.

22.(本小题10分)

(t2+l

X=-

在直角坐标系XOy中，已知曲线C的参数方程为|t£l(t为参数).

(1)写出曲线C的普通方程；

(2)设P为曲线C上的一点，将5?绕原点。顺时针旋转彳得到的当P运动时，设点Q的轨迹是E,求曲线E的直

角坐标方程.

23.(本小题12分)

已知函数f(%)=|x-2|+|2x-1|.

(1)求不等式/(%)>6的解集；

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(2)已知对任意的xeR,都有f(x)2t,若a、b、c均为正实数，a+2b+2c=2t+2,在空间直角坐标系

中，点(a,瓦c)在以点为球心的球上，求该球表面积的最小值.

22ZZ2

附：空间中4(X141/1),8(%2，%*2)两点间距公式为：\^B\=7(%1-X2)+(yi-y2)+(1-2)

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1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】—7

14.【答案】73

15.【答案】19

16.【答案】②③

17.【答案】解：（1）平均数1=55X0.1+65X0.2+75X0.3+85x0.3+95X0,1=76,

因为0.1+0.2=0.3<0.5,0.1+0.2+0.3=0,6>0.5,

所以中位数位于［70,80）内，设其为小，

则0.3+（m-70）X0.03=0.5,

解得m«76.67,

即中位数约为76.67；

（2）由频率分布直方图可知，抽取的5人中成绩在［60,70）的学生有|义5=2人，记为4B,成绩在［70,80）的

学生有,x5=3人，记为a,b,c,

从5人中任选取2人，样本空间为{4B,4a,a6,ac,Ba,B6,Bc,ab,ac,bc},共10个样本点，

其中选取的2人中恰有1人成绩在［60,70）内的有{Aa,Ab,Ac,8a,B6,Be},共6个样本点，

所以所求概率为k

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18.【答案】解：(1)若选①，则由正弦定理可得cosZ=缶;丁,

可得2s讥BcosZ=2sinC-sinA=2sinBcosA+IcosBsinA-sinA,

可得s讥4=2sinAcosB,

又在△ABC中，sinA0,

可得COSB=I，G(0,7T),

解得B=f;

若选②，则由正弦定理可得：sinBcosC=(2sinA—sinC)cosB=2sinAcosBsinCcosB,

所以s加BcosC+sinCcosB=2sinAcosB,

所以sin(8+C)=2sinAcosB,

SflsinA=2sinAcosB,

又在△ABC中，sinAW0,

-1

可得cosB=-^BE(0,71),

解得B=f；

i

(2)由(1)可得cosB=—cos(i4+C)=—cosAcosC4-sinAsinC=

又因为cos/cosC=

o

所VXsinAsinC=1+1=L

Zoo

设△力BC的外接圆的半径为R,由正弦定理可得号二-^二年二？/?：2*2=4,

sinAsinBsinC

即。=4sinA,c=4sinC,

所以△ABC的面积S=:acsinB=:x16sinAsinCx^=1xl6x^x^=-

2LLLoZ

19.【答案】(1)证明：如图所示，连接4。1，

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■M为2B的中点,AB=2CD

1

AM=^AB=CD,又CD=C1％

AM=C1D1,又在四棱柱4BCDB]GA中，AM//DC//DrCr,

.•.四边形力MC1nl是平行四边形，

CrM//ADv又U平面AiADDi，4D】u平面41力。£\,

CM/平面

(2)解:如图，连接BiM、8也,

底面4BCD是等腰梯形，Z.DAB=60,AB=2CD=4,

易知&C1=C]D]—2,Z.B1C1D1=120°,

'^△B1C1D1=2，sinl20°=>J~3,

=唯-CiD1M,CD]_L面4BCD,且CD】=2y/~3>

=3-V"3-2-\/-3=2,

22

JM=ADr=2<6,DrM=J(2V^)+2=4，

'''Ci。=2,S^qD1M=715,

设点占到平面C/iM的距离为/i,贝%-/15-h=2,

解得h=弯.

20.【答案】解：(1)((久)=与弊，且定义域为(0,+8),

令/'(%)>0,解得0<x<e,即f(x)的单调递增区间为(0,e)；

令广(久)<0,解得%>e,即/'(久)的单调递减区间为(e,+8),

所以y(x)max=/(e)=[,无最小值.

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(2)因为h(x)=等，+/(1<久<e2),

匚匚、1—Znx,12a2x—xtnx—2a

所以"(%)=-—+=-----z,

令(p(x)=2x—xlnx—2a,则(//(%)=2—Inx—1=1—Inx,

令(p’(x)>0,得0<%Ve；令(//(%)V0,得x>e；又久£(1,，)，

所以9(%)在(l,e)上单调递增，在(e,?2)上单调递减，

所以◎(%)7n位=g(e)=e—2a,R(1)=2—2a,(p(e?)=-2a,

若八⑸在(l,e2)上存在极值点，则｛;二:黑；或｛：屋刃00,

解得1<a<|或。<aV|,

所以实数Q的取值范围为(0,今.

21.【答案】解：(1)因为J(%—1)2+y2+「(久+1)2+y2=4,由椭圆的定义可得2a=4,c=l,

即a=2,b2=a2—c2=4—1=3,

所以椭圆E的方程为：9+9=1；

(2)由题意可知直线CD的斜率不为0,设直线CD的方程为％=my-1,设CQi，%),Z)(x2,y2),%>0,则

'%=my—1

联立％22,整理可得：(4+3租2)丫2一6y-9=0,

—Iy=17n

(43

则％+为=溪浮为'2=一高，

3

可得月%=一诟(%+为)，

由题意及⑴可知2(—2,0),8(2,0),因为C点在x轴上方，所以的>0,

.1393

因为"=_丫心2-2)=当0巧-3)=?叮仍_3丫1__万。1+巧)-3当=-/广/2=3

m

、上一表一巧(巧+2)一〉2(叩1+1)-yiy2+y2~加•京(X+丫2)+丫2―一白「聂一，

即七=3k2>o,即附>0,

所以3%+看22J3k2=2，1,当且仅当3k2=*，即的=苧时取等号.

所以々1+5的最小值为

左2

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(_/+1

22.【答案】解：(1)根据题意，曲线C的参数方程为「一万(t为参数)，

后/、/、tZ+l+2tt2+l_2t(t+1)(t—1)

则有(久+y)(久一y)=t2_1x2T=(j2=L

即/—y2=1;

(2)根据题意，以坐标原点。为极点，式轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

设Q的坐标为(P，8),

将而绕原点。顺时针旋转3得到丽，贝”的坐标为(p,8+3)，

44

又由P为曲线C：X2—y2=l上的一点，

则有p2cos2(6+—p2sin2(0+7)=1,

变形可得p21cos2(6+