2025届高考数学专题十六圆锥曲线的几何性质精准培优专练文

PAGEPAGE1培优点十六圆锥曲线的几何性质一、定义的应用一、定义的应用例1：椭圆上一点到焦点的距离为，是的中点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆的另一个焦点为，因为椭圆上点到焦点的距离为，即，且，所以，因为是的中点，是的中点，所以．二、求双曲线的渐近线二、求双曲线的渐近线例2：设为坐标原点，，是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点，满意，，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下图可知：，令，则，因为为的中点，，即，可得，即，，在三角形中，，，由余弦定理可得，即，，所以，即该双曲线的渐近线方程为．三、求离心率的值三、求离心率的值例3：已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于，两点，连接，，若，，，则的离心率．【答案】【解析】设椭圆的右焦点为，在中，由余弦定理可解得，所以为直角三角形，又斜边的中点为，所以，连接，因为，关于原点对称，所以，所以，，所以离心率．四、求离心率的取值范围四、求离心率的取值范围例4：椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由基本不等式得，又，所以，即，所以，此时，所以，得，所以，又，得．五、抛物线的几何性质五、抛物线的几何性质例5：过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，自，向准线作垂线，垂足分别为，，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由抛物线的定义，得，，∴，，设准线与轴的交点为，∵，∴，，而，∴，即．六、圆锥曲线的综合六、圆锥曲线的综合例6：若椭圆和双曲线有相同的左右焦点，，是两条曲线的一个交点，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在椭圆中，在双曲线中，联立解得，（不妨令），所以．对点对点增分集训一、选择题1．已知是双曲线的左，右焦点，过作直线交双曲线左支于点，若，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，故选C．2．设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵线段的中点在轴上，∴轴，，，∴．3．已知椭圆，点与椭圆的焦点不重合，且点不在椭圆上，若点关于椭圆的两个焦点的对称点分别为，，点是使得线段的中点在椭圆上的点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆的两个焦点分别为，，的中点为，连接，，则点在椭圆上，因为关于，的对称点分别为，，所以，，所以．4．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过作圆的切线，，切点为，，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当点为椭圆的一个长轴端点时，两切线形成的夹角最小，不妨设为，所以要使椭圆上存在满意条件的点，只需，易得，所以，又，解得，，即，即，即，所以椭圆的离心率的取值范围是．5．若点在抛物线上，点在圆上，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆的圆心为，因为点在抛物线上，设，所以，即的最小值是．6．已知以原点为中心，焦点在轴上的双曲线，其一条渐近线的倾斜角为，为该双曲线的右焦点，位于第一象限内的点在双曲线上，且点是线段的中点，若，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线的方程为，点是该双曲线的左焦点，连接，因为点是线段的中点，所以线段是的中位线，则，即，所以，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以，所以双曲线的方程为．二、填空题7．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满意，且，则的最小值为．【答案】【解析】由题意，得，，所以．8．若椭圆的离心率，则双曲线的焦距为．【答案】【解析】椭圆的离心率且，所以，得，双曲线的焦点为，即，所以该双曲线的焦距为．9．是椭圆的右焦点，为椭圆内的肯定点，为椭圆上的一动点，则的最小值为．【答案】【解析】设椭圆的另一焦点为，则，连接，，，当是的延长线与椭圆的交点时，取得最小值为．10．抛物线上一点到点与到焦点的距离和最小，则点的坐标为．【答案】【解析】过点作于点，当三点共线时，最小，此时点的纵坐标为1，代入到抛物线的方程可得到，于是点．11．已知双曲线的左，右焦点分别为，，等边三角形与双曲线交于，两点，若，分别为线段，的中点，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】由题意可知，则，，因为，则该双曲线的离心率为．12．直线与椭圆相交于，两点，该椭圆上点，使得面积等于，这样的点共有个．【答案】【解析】由题意，则的高为．与直线平行且距离为的直线方程为（与椭圆相交）和（与椭圆相离），所以这样的点有个．13．一个等边三角形的两个顶点在抛物线上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为．【答案】【解析】设此三角形为，设，由得：，即，，，，，则，，，关于轴对称，，在直线上，联立直线方程与抛物线方程可得到，，是边长为的等边三角形，所以它的面积为．三、解答题14．设点是椭圆上的动点，，是椭圆的两个焦点，求的最大值．【答案】1【解析】由方程可知设，，，，，则有，，得，，，的最大值为，，即，，当时，取得最大值为1，所以的最大值为1．15．在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）以曲线上的点为切点作曲线的切线，设分别为，轴交于，两点，且恰与以定点为圆心的圆相切，当圆的面积最小时，求与面积的比．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，∴点到直线的距离等于它到定点的距离，∴点的轨迹是以的准线，为焦点的抛物线