图像处理与机器视觉 课件 第4章 频域图像增强（1）-傅里叶变换基础

第四章频域图像增强（1）

频域图像增强印刷出版－“美容”处理，平滑、柔和的外观。原始图像(放大的眼部细纹)(细纹减少)(细纹减少)444×508像素的低分辨率文本样本，例如扫描、传真、复印、历史记录等，放大后可以看到形状失真和字符断裂人眼视觉填充识别这些字符没有问题，但机器识别系统阅读这些断裂字符将很困难频域图像增强频域图像增强处理图像背景中的周期性纹理干扰频域图像增强步骤输入图像前处理傅里叶变换滤波函数傅里叶反变换后处理增强后的图像前处理、后处理：1.中心变换2.输入图像向其最接近的偶数维转换3.灰度级标定4.输入向浮点的转换5.输出向8比特整数的转换思考几个问题：1.为什么要进行图像变换？2.有哪些常见的变换手段？3.为什么利用傅里叶变换？它具有什么特点？图像变换图像变换技术：将原始图像以某种方式变换到另外一个空间，并利用图像在变换空间中的特有性质对图像信息进行加工，然后再转换回图像空间以得到所需的效果。图像变换是双向的，一般将从图像空间转换到其他空间的操作称为正变换，由其他空间转换回图像空间称为逆变换。

为什么要图像变换？图像变换的意义：以某种意义来说，利用不同的空间来描述图像，就好比使用不同的语言来表达观点，能讲两种语言的人常常会发现，在表达某些观点时，一种语言会比另一种语言优越。类似的，图像处理时分析者在解决某一问题时会在不同的空间来回切换，掌握图像变换技术，就可以在不同的空间下思考问题，并利用不同空间的优越性解决问题，这种能力是非常有用的。现在研究的图像变换基本上都是正交变换，正交变换可以减少图像数据的相关性，获取图像的整体特点，有利于用较少的数据量表示原始图像，这对图像的分析、存储以及图像的传输都是非常有意义的。主要变换有：离散傅立叶变换、离散余弦变换、K－L变换，沃尔什－哈达玛变换及小波变换。

为什么要频域变换？相较于图像空间域处理，频域图像处理有以下优点：①频域图像处理可以通过频域成分的特殊性质完成一些空间域图像处理难以完成的任务，例如全局特性的提取。②频域图像处理更有利于信号处理的解释，它可以对滤波过程中产生的某些效果做出比较直观的解释。③频域滤波器可以作为空间滤波器设计的指导，通过傅里叶逆变换可以将频域滤波器转换为空间域变换的操作。通过频域滤波做前期设计，然后实施阶段用空间域滤波实现。时域&频域什么是时域？随时间变换的信号。音乐、跳绳、股票什么是频域？频域不是真实的，而是一个数学构造。频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。用线性代数的语言就是装着正弦函数的空间。对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性;信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。时域&频域时域分析与频域分析是对信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。贯穿时域与频域的方法之一，就是传说中的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（FourierSeries）和傅里叶变换(FourierTransformation)。傅里叶变换也被喻为描述图像的第二种语言。傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。一维的傅里叶变换简单的说就是将时域信号变换为多个正余弦函数的叠加，信号分解如下图1所示。图1时域信号分解示意图图像的傅里叶变换基础图像的傅里叶变换基础

图2频域信号图像的傅里叶变换基础“频域”空间的举例：时域空间频域空间图像的傅里叶变换基础傅里叶变换将图像变成怎样的空间？我们之前所讨论，大家所熟悉的图像空间为“空域”空间。经过傅里叶变换，则可获得图像的“频域”空间。那么什么是“频域”呢？这个就要从信号的分解开始说起……所谓的信号，就是带有信息的物理量，对于灰度图像，像素点的灰度值就是其携带的信号。因此，图像本质上是一个二维信号的集合。图像的傅里叶变换基础信号分解---概述信号分解是利用“化繁为简，化整为零”的思想，将一个复杂信号分解为一系列“简单”信号(也称为基元信号)的特定组合(叠加)。问题1：怎么样的信号是我们需要的“简单”信号？问题2：它们遵循什么样的组合规律？信号分解---“简单”信号如果一组信号彼此完全不相似，它们互相不包含对方的分量，则这组信号是我们需要的简单信号。在数学上，有一个专门的术语描述这种性质，叫“正交”性。(信号是物理述语，在数学世界，信号等价于函数)图像的傅里叶变换基础信号分解---概述信号分解是利用“化繁为简，化整为零”的思想，将一个复杂信号分解为一系列“简单”信号(或称基元信号)的特定组合(叠加)。问题1：怎样的信号是我们需要的“简单”信号？正交信号：正、余弦函数；复指数函数。问题2：它们遵遁什么样的组合规律？正弦函数:就是圆上任意一点的y坐标（红）和弧长（蓝）之间的关联。左图的蓝色弧长和右图的蓝线完全一样。余弦函数就是圆上任意一点的x坐标和弧长之间的关联，只不过在画函数的时候，把圆上点的x坐标打了个弯，对应成了函数曲线上的y坐标，就像这张图里的蓝线那样。图像的傅里叶变换基础法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到了广泛的应用。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。傅里叶级数第一幅图是一个郁闷的余弦波cos（x）第二幅图是2个余弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)第三幅图是4个余弦波的叠加第四幅图是10个余弦波的叠加图像的傅里叶变换基础

图像的傅里叶变换基础傅里叶变换的介绍一维连续信号的傅立叶变换一维离散信号的傅里叶变换（离散时间傅里叶变换）一维离散傅里叶变换二维连续信号的傅立叶变换二维离散信号的傅里叶变换（离散时间傅里叶变换）二维离散傅里叶变换一维连续函数的傅立叶变换

式中，，x为时域变量，

u为频域变量。一维连续函数的傅立叶变换对的符号表示为：

复数形式：指数形式：幅值谱：相位谱：

能量谱：一维连续傅里叶变换

一维连续傅里叶变换一维连续傅里叶变换对应的傅立叶谱为：一维连续傅里叶变换简单函数的傅里叶谱M点离散函数及其傅里叶频谱(M=1024,A=1,K=8)；对应的傅里叶频谱曲线下面积：当x域加倍时，频率谱的高度也加倍；当函数长度加倍时，相同间隔下频谱中零点的数量也加倍。卷积定理

设{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为：式中：x，u=0，1，2，…,N－1。由于连续傅立叶变换在计算机上无法直接使用，计算机只能处理离散数值，为了在计算机上实现傅立叶变换计算，必须把连续函数离散化，即将连续傅立叶变换转化为离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform，简称DFT)。（15）（16）一维离散傅里叶变换冲激信号及取样特性单位冲激信号：特性：

冲激信号及取样特性冲激序列：

冲激序列的傅里叶变换

取样和取样函数的F变换取样函数：

取样定理

混淆单变量的离散F变换（DFT）

（4.4-11）（4.4-12）（4.4-13）一维傅立叶变换及其反变换离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,…,M-1)的傅立叶变换:F(u)的反变换的反变换：计算F(u)：1)在指数项中代入u=0，然后将所有x值相加2)u=1，复对所有x的相加；3)对所有M个u重复此过程，得到完整的FT。傅里叶变换的连续性和离散性函数在时（频）域的离散对应于在频（时）域的周期性反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性一维离散傅里叶变换离散傅里叶变换及其反变换总存在。用欧拉公式得得：每个F(u)由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；u值决定了变换的频率成份，因此，F(u)覆盖的域(u值)称为频率域，其中每一项都被称为FT的频率分量。与f(x)的“时间域”和“时间成份”相对应。一维离散傅里叶变换傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学棱镜。傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量由欧拉公式可知

可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。（17）（18）二维DFT傅里叶变换一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):F(u,v)的反变换的反变换:二维DFT傅里叶变换二维离散傅立叶变换在极坐标下表示:频率谱相位谱功率谱二维DFT傅里叶变换(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为即f(x,y)的均值，原点(0,0)的傅里叶变换是图像的平均灰度。F(0,0)称为频率谱的直流分量(系数)，其它F(u,v)值称为交流分量(交流系数)。二维DFT傅里叶变换的性质平移特性当u0=M/2,v0=N/2时通常在变换前用(-1)x+y乘以输入图像函数，实现中心化变换：二维DFT傅里叶变换的性质将F(u,v)原点变换到(M/2,N/2),它是频域M×N区域中心。频率范围指定为频率矩形：u=[0,M-1],v=[0,N-1]。为了确保移动后的坐标为整数，要求M和N为偶数。计算过程中，变量u从1到M，而v从1到N，变换的实际中心变为u=(M/2)+1，v=(N/2)+1。离散傅里叶变换是对区间[0,M-1]中的u值表述的，变换结果是关于原点对称的两个半周期，要显示完全的周期，需要将变换的原点移到u=M/2，二维图像中心化亦是如此二维DFT傅里叶变换的性质共轭对称性

如果f(x,y)是实函数，其傅里叶变换必然对称：

F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F(-u,-v)|

傅里叶变换的频率谱是对称的。共轭对称和中心对称的性质简化了频率域内循环对称滤波器的技术条件。简单二维函数的中心谱空间域和频率域抽