2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册专题突破练五

专题突破练五(时间:45分钟分值:65分)1.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法中正确的是()A.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解析】选A.对于A,若m⊥α,n⊂α,根据线面垂直的性质可得m⊥n,故正确;对于B,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或者异面,故错误;对于C,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故错误;对于D,若m∥α,m⊥n,则n与α相交、平行或n⊂α,故错误.2.(5分)如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时∠B'AC=60°,则这个二面角大小是()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选D.如图,连接B'C,则△AB'C为等边三角形.由题意可知,∠B'DC为所求二面角的平面角.设AD=a,则B'C=AC=2a,B'D=DC=a,所以B'C2=B'D2+DC2,所以∠B'DC=90°.3.(5分)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=6,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,则PC=()A.6 B.26 C.10 D.210【解析】选C.因为PA=PB=6,PA⊥PB,所以AB=23,因为AB⊥BC,∠BAC=30°,所以BC=ABtan30°=2,因为平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,平面PAB∩平面ABC=AB,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以PC=PB2+4.(5分)空间四边形P-ABC的各边及对角线长度都相等,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下列四个结论中不成立的是()A.DF∥平面PBCB.AB⊥平面PDCC.平面PEF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面PBC【解析】选C.因为空间四边形P-ABC的各边及对角线长度都相等,D,E,F,G分别是AB,BC,CA,AP的中点,连接GD,GF,DF,AE,PE,DC,PD,所以BC∥DF,又DF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以DF∥平面PBC,故A正确;因为PD⊥AB,CD⊥AB,PD∩CD=D,所以AB⊥平面PDC,故B正确;因为PE⊥BC,AE⊥BC,PE∩AE=E,所以BC⊥平面PAE,因为BC⊂平面ABC,所以平面PAE⊥平面ABC,故D正确;只有C不正确.5.(5分)(多选)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE的值可能是()A.a B.32a C.2a D.5【解析】选AC.由已知,得A1B1=B1C1,又D是A1C1的中点,所以B1D⊥A1C1,又侧棱AA1⊥底面ABC,可得侧棱AA1⊥平面A1B1C1,又B1D⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥B1D,因为AA1∩A1C1=A1,所以B1D⊥平面AA1C1C,又CE⊂平面AA1C1C,所以B1D⊥CE,若CE⊥平面B1DE,则CE⊥DE.设AE=x(0<x<3a),则CE2=x2+4a2,DE2=a2+(3a-x)2,又CD2=a2+9a2=10a2,所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a.6.(5分)平行四边形ABCD中,AB>AD,将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A'BD,则下列直线中有可能与直线A'B垂直的是________(填所有符合条件的序号).

①直线BC;②直线CD;③直线BD;④直线A'C.【解析】对于①,若BC⊥BD,当平面A'BD⊥平面BCD时,BC⊥平面A'BD,则此时BC⊥A'B,故①成立;对于②,若∠ABD>45°,则在翻折的过程中,∠A'BA可超过90°,故存在∠A'BA=90°,因为AB∥CD,所以CD⊥A'B,故②成立;对于③,在△ABD中,因为AB>AD,所以∠ABD为锐角,即∠A'BD为锐角,故直线BD不可能和直线A'B垂直,故③不成立;对于④,因为AB>AD,所以在△A'BC中,A'B>BC,所以∠BA'C始终为锐角,故直线A'C不可能和直线A'B垂直,故④不成立.答案:①②7.(5分)如图,PA垂直于圆所在平面,AC为圆的直径,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC,AN⊥PB,且S,N都为垂足,请写出一个与平面ANS垂直的平面________.

【解析】因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又因为AC是直径,所以AB⊥BC,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,AN⊂平面PAB,所以BC⊥AN,又因为AN⊥PB,且BC∩PB=B,所以AN⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,所以AN⊥PC,又AS⊥PC,AN∩AS=A,所以PC⊥平面ANS,PC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ANS,PC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面ANS,所以与平面ANS垂直的平面是平面PAC和平面PBC.答案:PAC(或PBC)8.(10分)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,求P到平面ABC的距离.【解析】如图,过点P作PO⊥平面ABC于O,则PO为P到平面ABC的距离.再过O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,连接PC,PE,PF,则PE⊥AC,PF⊥BC.又PE=PF=3,所以OE=OF,所以CO为∠ACB的平分线,即∠ACO=45°.在Rt△PEC中,PC=2,PE=3,所以CE=1,所以OE=1,所以PO=PE2-OE9.(10分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,PA=PB,PC=PD.(1)证明:CD与平面PAD不垂直;(2)证明:平面PAB⊥平面ABCD.【证明】(1)若CD⊥平面PAD,则CD⊥PD,由已知PC=PD,得∠PCD=∠PDC<90°,这与CD⊥PD矛盾,所以CD与平面PAD不垂直.(2)取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF,由PA=PB,PC=PD,得PE⊥AB,PF⊥CD,所以EF为直角梯形的中位线,所以EF⊥CD,又PF∩EF=F,所以CD⊥平面PEF,由PE⊂平面PEF,得CD⊥PE,又因为AB⊥PE且梯形两腰AB,CD必交,所以PE⊥平面ABCD,又PE⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.10.(10分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为棱AC的中点,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC1.(1)求证:AB1∥平面C1BD;(2)求证:BC⊥平面ACC1A1;(3)判断是否存在经过BC的平面α满足AB1⊥α,并说明理由.【解析】(1)连接B1C交BC1于点E,连接DE,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1且BB1=CC1,故四边形BB1C1C为平行四边形,因为B1C∩BC1=E,则E为B1C的中点,又因为D为AC的中点,故AB1∥DE,因为AB1⊄平面C1BD,DE⊂平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.(2)因为CC1⊥平面ABC,BC,AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1,BC⊥CC1,因为AC⊥BC1,BC1∩CC1=C1,BC1,CC1⊂平面BB1C1C,所以AC⊥平面BB1C1C,因为BC⊂平面BB1C1C,所以AC⊥BC,又因为AC∩CC1=C,AC,CC1⊂平面AA1C1C,所以BC⊥平面AA1C1C.(3)假设存在经过BC的平面α满足AB1⊥α,因为BC⊂平面α,则BC⊥AB