2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册十四　正弦定理

十四正弦定理(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·西安高一检测)在△ABC中,下列式子与sinAa的值相等的是(A.bc B.sinBsinA C.sin【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理知asinA=bsinB=csinC,所以sinAa=【补偿训练】(2024·绵阳高一检测)△ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c若A=120°,a=3,则2b−c2sinA.12 B.3 C.32 D【分析】由正弦定理知b=2sinB,c=2sinC,代入问题中即可得到答案.【解析】选D.由正弦定理知,bsinB=csinC=则b=2sinB,c=2sinC,故2b−c2sin2.(5分)(2024·成都高一检测)在△ABC中,若a=52,c=10,A=30°,则C等于()A.45° B.60°或120°C.135° D.45°或135°【解析】选D.由题意,在△ABC中,a=52,c=10,A=30°,由正弦定理得,asinA=即sinC=csinAa=10×sin30°因为c>a,所以C>A,所以C=45°或135°.3.(5分)(2024·北京高一检测)在△ABC中,若a=2,∠A=π6,cosC=-13,则c=(A.33 B.23 C.839【解析】选D.cosC=-13,C∈(0,π),则sinC=1−cos2C=223,a=2,∠A=π6,由正弦定理可知,c4.(5分)在△ABC中,a=bsinA,则B=()A.30° B.45°C.60° D.90°【解析】选D.由题意可知asinA=b=bsinB,则sinB=1,又B∈(0,π),故B为直角,5.(5分)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且满足acosA=bcosB=ccosC,则A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理asinA=bsinB=csinC,及acosA=bcosB=ccosC,得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC6.(5分)(多选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°【解析】选BC.选项A:因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解.选项B:因为sinC=csinBb=8315<1,且c>b,所以角C有两解.选项C:因为sinB=bsinAa=427<1,且b>a,所以角B有两解.选项D:因为sinB=b7.(5分)(2024·六盘水高一检测)在△ABC中,AB=2,B=120°,A=30°,则△ABC外接圆的半径为____________.

答案:2【解析】因为AB=2,A=30°,B=120°,可得C=30°,由正弦定理得△ABC外接圆的半径R=12·ABsin8.(5分)在△ABC中,a,b分别是△ABC的内角A,B所对的边.若B=45°,b=2a,则A=________.

答案:30°【解析】由正弦定理,得ab=sin所以sinAsin45°=a2a,所以sin因为b=2a,所以a<b,则A<B,所以A=30°.9.(5分)(2024·金华高一检测)在△ABC中,a=32,c=3,A=45°,则△ABC的最大内角等于________.

答案:105°【解析】由正弦定理可得asinA=csinC⇒32sinC=csinA⇒sinC=12,由于a=32>c=3,所以A>C,故C=30°,故B=180°-10.(10分)在△ABC中,已知b=63,c=6,C=30°,求a的值.【解析】由正弦定理bsinB=得sinB=bsinCc因为b>c,所以B>C=30°,所以B=60°或120°.当B=60°时,A=90°,a=csinAsinC当B=120°时,A=30°,a=csinAsinC所以a=6或12.【综合应用练】11.(5分)在△ABC中,已知∠B=30°,c=2,则“b=2”是“∠C=45°”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.∠B=30°,c=2,b=2,则sinC=csinBb=2×122=22,C∈(0,π),则C=45°或135°,故“b=2”12.(5分)(多选)在△ABC中,若(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,下列结论中正确的有()A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为8【解题指南】先根据题意求出a,b,c,结合正弦定理可得A,D的正误,结合余弦定理可得B,C的正误.【解析】选ACD.由题意,设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x,解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,所以A正确;由以上可知C最大,cosC=(4x)2所以C为锐角,所以B错误;由以上可知A最小,cosA=(5x)2cos2A=2cos2A-1=2×916-1=1即cosC=cos2A,因为C为锐角,2A为锐角,所以C=2A,所以C正确;因为cosC=18,所以sinC=1−cos2设△ABC外接圆的半径为r,则由正弦定理可得2r=csinC=1677.所以r=87【补偿训练】下列命题正确的是()①在△ABC中,“tanA>tanB”是“a>b”的既不充分也不必要条件.②在△ABC中,cosA<cosB⇔A>B⇔a>b.③在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,当a2+c2-b2>0时,△ABC为锐角三角形.④在△ABC中,asinA=⑤在三角形中,已知两边和一角,则该三角形唯一确定.A.①②③ B.①②④C.③④⑤ D.①④⑤【解析】选B.①tanA>tanB,即sinAcosA若cosB<0,则有B>π2>A,此时a<b若a>b,可能cosA<0,此时sinAcosA即tanA<tanB,故“tanA>tanB”是“a>b”的既不充分也不必要条件,故正确;②若cosA<cosB,由A、B∈(0,π),y=cosx在(0,π)内单调递减,故A>B,若sinA≤sinB,则有B≥π-A,即A+B≥π,与在△ABC中矛盾,故有sinA>sinB,由asinA=bsinB,故即cosA<cosB⇒A>B⇒a>b,若a>b,由asinA=bsinB,则有sin即有0<B<A<π-B或0<π-B<A<B<π,若0<π-B<A<B<π,此时π-B<A,即A+B>π,与在△ABC中矛盾,故0<B<A<π-B,即有A>B,由y=cosx在(0,π)内单调递减,故cosA<cosB,即a>b⇒A>B⇒cosA<cosB,即cosA<cosB⇔A>B⇔a>b,故正确;③由a2+c2-b2>0,则cosB=a2即B为锐角,但A或C可能为钝角,故错误;④在△ABC中,设R为其外接圆的半径.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB<sinA+sinB,故sinA+sinB-sinC≠0,由asinA=bsinB=csinC2RsinA故asinA=a+⑤已知两边和一角,例如A=π6,a=2,b此时sinB=b·sinAa=34,有sinB>sin故有两个解,即该三角形并不唯一确定,故错误.13.(5分)(2024·台州高一检测)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知B=θ,b=2,c=2,若△ABC有两解,则θ的取值范围是____________.

答案:0,π4【解析】由正弦定理得:bsinB=csinC,即2sinθ=2sin若△ABC有两个解,则sinC=2sinθ<1,sinθ<22,且c>b,即θ<π2,所以0<θ<14.(10分)(一题多解)在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.【解析】方法一:在△ABC中,根据正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R(R因为sin2A=sin2B+sin2C,所以a2R2=b2R2+c2R2,即a2=b2+c2,所以∠A=90°,所以∠B+∠C=90°,由sinA=2sinBcosC,得sin90°=2sinBcos(90°-B),所以sin2B=12因为∠B是锐角,所以sinB=22所以∠B=45°,∠C=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.方法二:在△ABC中,根据正弦定理,得sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R(R因为sin2A=sin2B+sin2C,所以a2=b2+c2,所以△ABC是直角三角形且∠A=90°.因为∠A=180°-(∠B+∠C),sinA=2sinBcosC,所以sin(B+C)=2sinBcosC.所以sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.所以∠B-∠C=0,即∠B=∠C.所以△ABC是等腰直角三角形.15.(10分)(2024·三门峡高一检测)在△ABC中,a,b,c分别是△ABC的内角A,B