2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册二十五　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

二十五圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)若球的过球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是()A.C24π B.C22π C.C2π【解析】选C.由2πR=C,得R=C2π,所以S球=4πR2=C2.(5分)(2024·锡林郭勒盟高一期末)已知圆锥PO的母线长为2,O为底面的圆心,其侧面积等于23π,则该圆锥的体积为()A.3π B.2π C.π D.2π【解析】选C.设圆锥PO的底面圆半径为r,由母线长为2,侧面积等于23π,得πr×2=23π,解得r=3,因此圆锥的高h=22-r2=4-(3)2=1,所以该圆锥的体积为V=13πr23.(5分)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为()A.7 B.6 C.5 D.3【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7.4.(5分)(多选)圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形,则这个圆柱的体积可能是()A.288πcm3 B.192πC.288πcm3 D.192πcm3【解析】选AB.当圆柱的高为8cm时,V=π×122π2×8=288π(cm3),当圆柱的高为12cm时,V=π×82π2×12=192π(cm3).5.(5分)(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆锥的表面积最小【解析】选CD.对于A,因为圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等,所以圆柱的侧面积为S=2πR×2R=4πR2,故错误;对于B,因为圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R相等,所以圆锥的侧面积为S=πR·(2R)2+R对于C,因为圆柱的侧面积为S=2πR×2R=4πR2,球的表面积为S球=4πR2,所以圆柱的侧面积与球的表面积相等,故正确;对于D,圆柱的表面积为S圆柱=2πR×2R+2πR2=6πR2,圆锥的表面积为S圆锥=πR·(2R)2+R2+πR2=(5+1)πR2,球的表面积为6.(5分)下列说法不正确的是()A.若把球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积扩大到原来的8倍B.若把球的表面积扩大到原来的2倍,则它的体积扩大到原来的4倍C.若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于3D.若棱长为2的正方体的8个顶点都在同一球面上,则球的表面积为12π【解析】选B.设球原来的半径为r,体积为V,则V=43πr3,当球的半径为2r时,其体积变为843πr3,A正确;设球变化前后的半径分别为r与r',体积分别为V与V',则4πr'2=2·4πr2,得r'=2r,则V'=43πr'3=2243πr3=22V,即体积变为原来体积的22倍,B不正确;设球的半径为R,则43πR3=4πR2,得R设正方体外接球的半径为R,则23=2R,得R=3,即S球=4πR2=12π,D正确.7.(5分)已知圆柱OO'的母线l=4cm,表面积为42πcm2,则圆柱OO'的底面半径r=______cm.

【解析】圆柱OO'的侧面积为2πrl=8πr(cm2),两底面面积为2×πr2=2πr2(cm2),所以2πr2+8πr=42π,解得r=3或r=-7(舍去),所以圆柱的底面半径为3cm.答案:38.(5分)将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为3∶4,再将它们卷成两个圆锥侧面,则这两个圆锥的体积之比为__________.

【解析】设圆的半径为r,则两个圆锥的母线长为r.由已知可得两个圆锥的底面半径分别为:2πr×372π=37r所以两圆锥的体积之比为:π3×(37r答案:3330889.(5分)若一个圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为__________.

【解析】设圆柱、圆锥的高都为h,底面半径分别为r,R,则有12·2Rh=2rh,所以R=2rV圆锥=13πR2h=43πr2h,V圆柱=πr2h,故V圆柱∶V圆锥=3∶答案:3∶410.(10分)某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.【解析】该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=【综合应用练】11.(5分)《九章算术》中记载一个问题,意思是:今有圆柱形土筑小城堡,底面周长为4丈8尺,高1丈1尺,问它的体积是多少立方尺?这个问题的答案是(π≈3,1丈=10尺)()A.2112立方尺 B.2111立方尺C.4224立方尺 D.4222立方尺【解析】选A.由已知,圆柱底面圆的周长为48尺,圆柱的高为11尺,所以底面半径r=482π≈8(尺),所以它的体积V=11πr2≈2112(立方尺)12.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.π B.3π4 C.π2 D【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.所以r=1-(12)

2=32.所以圆柱的体积为V=π13.(5分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块,如果冰块融化了,水________溢出杯子(填“会”或“不会”).

【解析】因为V半球=12×43πR3=12×43π×43=1283π(cm3),V圆锥=13πr2h=13π×42×10=1603π(cm3答案:不会14.(10分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内过点C作l⊥CB,以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.【解析】如题图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,所以CD=BC-ADcos60°=2a,AB=所以DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a.所以DO=12DD'=由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.由上述计算知,圆柱的母线长为3a,底面半径为2a,圆锥的母线长为2a,底面半径为a.所以圆柱的侧面积S1=2π·2a·3a=43πa2,圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2,圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2,圆锥的底面积S4=πa2.所以组合体上底面面积S5=S3-S4=3πa2.所以旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S5=(43+9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积.V柱=Sh=π·(2a)2·3a=43πa3.V锥=13S'h=13·π·a2·3a=33π所以V=V柱-V锥=43πa3-33πa3=1133π15.(10分)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,求圆锥的侧面积和球的表面积之比.【解析】如图,△ABC为圆锥的轴截面,截球面得圆O,由题意知AD=3OE,则OA=2OE