2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册单元形成性评价（一）（第六章）

单元形成性评价(一)(第六章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.下列说法中正确的有()①零向量与任意向量平行;②若a∥b,则a=λb(λ∈R);③(a·b)·c=a·(b·c);④|a|+|b|≥|a+b|;⑤若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.A.①④ B.①②④ C.①②⑤ D.③⑥【解析】选A.对于①:零向量与任意向量平行,故①正确;对于②:若a∥b,则a=λb(λ∈R),必须有b≠0,故②错误;对于③:(a·b)·c=a·(b·c),a与c不共线,故③错误;对于④:|a|+|b|≥|a+b|,根据三角不等式的应用,故④正确;对于⑤:若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点,也可以是===0.故⑤错误;对于⑥:一个平面内,任意一对不共线的向量都可以作为表示该平面内所有向量的基底,故⑥错误.综上:①④正确.2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=()A. B. C. D.【解析】选B.以OP,OQ为邻边作平行四边形,可知OF为所作平行四边形的对角线,故由平行四边形法则可知OF对应的向量即为所求向量.【补偿训练】如图,在△ABC中,=23,=13,若=λ+μ,则λ+μ的值为()A.49 B.89 C.23 【解析】选B.因为=13,所以-=13(-),所以=23+13,又=23,所以=23+29=λ+μ,所以λ=23,μ=29,所以λ+μ=3.(2024·绥化高一检测)在△ABC中,A=120°,C=15°,AC=6,则BC=()A.4 B.23 C.3 D.22【解析】选C.因为A=120°,C=15°,所以B=45°,由正弦定理得6sin45°=BCsin120°4.(2024·青岛高一检测)已知平面向量a=(0,1),b=(-1,1),则向量a在向量b上的投影向量是()A.-22,22 B.22,-22C.12,-12 D.-12,12【解析】选D.根据平面向量的投影向量的规定可得:向量a在向量b上的投影向量为|a|cos<a,b>·b|b|,即a·b|b|2·b,因为a=(0,1),b=(-1,1),则a·b=1,|b|=2,则向量a在向量b上的投影向量为5.(2024·太原高一检测)已知△ABC中,(+)·=0,+=3,则此三角形为()A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.如图所示:设M为AC中点,则(+)·=2·=0,所以⊥,即△ABC为等腰三角形,又+=3,所以+2=3,即2+2+2·=2+2cos<,>=3,所以cos<,>=12,可得A=60°,综上可知三角形为等边三角形.6.已知△ABC的其中两边长分别为2,3,这两边的夹角的余弦值为13,则△ABC的外接圆的半径为(A.922 B.924 C.92【解析】选C.由题意知,边长分别为2,3的两边的夹角的正弦值为1-19又由余弦定理可得第三边的长为22+32-2×2×3×13所以其半径为927.在平面四边形ABCD中,AB=BC=2CD=2,∠ABC=60°,∠ADC=90°,若P为边BC上的一个动点,则·的最小值是()A.-1 B.-14 C.-12 D【解析】选B.因为平面四边形ABCD中,AB=BC=2CD=2,∠ABC=60°,∠ADC=90°,所以△ABC是边长为2的等边三角形,在Rt△ADC中,AC=2,CD=1,则∠ACD=60°,如图建立坐标系,有A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,0),则-1≤x≤1,则·=(-x,3)·(1-x,0)=x2-x=x-122-14,显然当x=12时,·取得最小值-14.8.(2024·重庆高一检测)我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1),伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2),伞完全收拢时,伞圈D已滑到D'的位置,且A,B,D'三点共线,AD'=60cm,B为AD'的中点,当伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm,则当伞完全张开时,∠BAC的余弦值是()A.-725 B.-8C.-42125 D.【解析】选A.依题意,AD'=60cm,当伞完全张开时,AD=60-24=36(cm),B为AD'的中点,故AB=AC=12AD'=30(cm),当伞完全收拢时,AB+BD=AD'=60(cm),所以BD=30(cm),在△ABD中,cos∠BAD=AB2+A故cos∠BAC=cos(2∠BAD)=2cos2∠BAD-1=2×352-1=-二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)9.已知向量a=(-2,1),b=(-1,t),则下列说法正确的是()A.若a⊥b,则t的值为-2B.若a∥b,则t的值为1C.若0<t<2,则a与b的夹角为锐角D.若(a+b)⊥(a-b),则|a+b|=|a-b|【解析】选AB.对于A:若a⊥b,则a·b=-2×(-1)+1×t=0,解得t=-2,故A正确;对于B:若a∥b,则-2t=-1×1,解得t=12,故B正确;对于C:当t=12时,a与b同向,此时a与对于D:若(a+b)⊥(a-b),则(a+b)·(a-b)=0,即a2-b2=0,即(-2)2+12=(-1)2+t2,解得t=±2,当t=2时,a=(-2,1),b=(-1,2),a+b=(-3,3),a-b=(-1,-1),显然|a+b|≠|a-b|,当t=-2时,a=(-2,1),b=(-1,-2),a+b=(-3,-1),a-b=(-1,3),此时|a+b|=|a-b|,故D错误.10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为126nmile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为83nmile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°,则下列说法正确的是()A.A处与D处之间的距离是24nmileB.灯塔C与D处之间的距离是8nmileC.灯塔C在D处的西偏南60°D.D在灯塔B的北偏西30°【解析】选AC.在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠DAB=75°,则∠B=45°,AB=126,由正弦定理得AD=ABsin∠Bsin∠ADB=126在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°,又AC=83,解得CD=83,所以灯塔C与D处之间的距离为83nmile,故B错误;因为AC=CD=83,所以∠CDA=∠CAD=30°,灯塔C在D处的西偏南60°,故C正确;灯塔B在D处的南偏东60°,D在灯塔B的北偏西60°,故D错误.11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列条件中能判断△ABC为钝角三角形的有()A.a2+b2<c2B.sinA-cosA=6C.tanA+tanB+tanC>0D.△ABC的三条高分别为2,3,4【解析】选ABD.对于A,由余弦定理有cosC=a2+b2-c对于B,将sinA-cosA=65平方化简得sinAcosA=-1150,故A为钝角,△对于C,因为tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=-tanC,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC>0,则角对于D,假设a,b,c边上的高分别为2,3,4,则12a×2=12b×3=12c×4,有2a=3b设a=6k,则b=4k,c=3k(k>0),所以由余弦定理得cosA=9k2+16k2-36k224k三、填空题(每小题5分,共15分)12.已知向量|a|=3,|b|=2,|2a+b|=213,则a,b的夹角为________.

【解析】设a,b的夹角为θ,则|2a+b|=4a2+又因为|a|=3,|b|=2,所以36+4+4×3×2cosθ=213所以cosθ=12,又θ∈[0,π],故θ=π答案:π13.在△ABC中,a=2,A=π6,则△ABC周长的最大值为________【解析】由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA,即(b+c)2-2bc-4=2bccosπ6,化简得(b+c)2-4=(2+3)bcbc≤(b+c)24,故(b+当且仅当b=c时,等号成立,解得b+c≤26+22,故△ABC的周长的最大值为26+22+2.答案:26+22+214.已知O是△ABC内部的一点,且=m+n(m,n∈R),△ABC和△ABO的面积分别是S1,S2,若S1=3S2,则2n-m=________.

【解析】分别在边AC,BC上取点D,E,使得AD=13AC,BE=1由=13,=13,可得DE∥AB,所以S△ABD=S△ABE=13S△ABC,又因为S1=3S2,所以点O在线段DE上(不包含端点),则=23+13,=23+13.因为O,D,E三点共线,所以=k,即23+13=23k+13k.所以=k+k-12.因为=m+n(m,n∈R),所以m=k,n=k答案:-1四、解答题(共77分)15.(13分)(2024·沧州高一检测)已知向量a=(2,3),b=(1,x),c=(4,1).(1)若x=2,a=λb+μc,求λ+μ的值;(2)若a⊥(c-b),求a与b的夹角的余弦值.【解析】(1)因为λb=(λ,2λ),μc=(4μ,μ),所以λb+μc=(λ+4μ,2λ+μ),因为a=λb+μc,所以λ+4解得λ=107μ=17(2)因为a⊥(c-b),所以a·c-a·b=0,即2×4+3×1-(2×1+3x)=0,解得x=3,所以b=(1,3),故cosa,b=a·b|a||16.(15分)(2024·杭州高一检测)如图,在菱形ABCD中,=12,=3.(1)若=x+y,求3x+2y的值;(2)若||=6,∠BAD=60°,求·.【解析】(1)因为在菱形ABCD中,=12,=3,故=+=12-34,故x=-34,y=12,所以3x+2y=-54;(2)·=(+)·12-34=-34+12-14·,在菱形ABCD中,||=6,∠BAD=60°,故||=6,<,>=60°,所以·=6×6×cos60°=18.故·=-34×62+12×62-14×18=-2717.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量m=cos3A2,sin3A2,n=cosA2,sinA2,且满足|m+n|=(1)求角A的大小;(2)若b+c=3a,试判断△ABC的形状.【解析】(1)因为m2+n2+2m·n=3,代入m=cos3A2,sin3An=cosA2,sinA2,有1+1+2cos3A2cosA2+sin3A2所以cos3A2cosA2+sin3A2sinA即cos3A2-A2=12,所以cosA=12,A(2)因为cosA=12,所以b2+c又因为b+c=3a②,联立①②有,bc=b2+c2-b+c32即2b2-5bc+2c2=0,解得b=2c或c=2b,又因为b+c=3a,若b=2c,则a=3c,所以a2+c2=(3c)2+c2=4c2=b2,△ABC为直角三角形,同理,若c=2b,则18.(17分)某市发生水灾,国家应急管理部紧急从A处调飞机去某地运救灾物资到受灾的B处.现有以下两个方案供选择:方案一:飞到位于A处正东方向上的C市调运救灾物资,再飞到B处;方案二:飞到位于A处正南方向上的D市调运救灾物资,再飞到B处.已知AD=500km,AB=800km,∠ACB=2∠DAB=120°.那么选择哪种方案,能使得飞行距离最短?参考数据:33≈0.577【解析】方案一:在△ABC中,易知∠CAB=90°-∠DAB=30°,∠ACB=120°,AB=800km,由BCsin∠CAB=ABsin∠ACB,得BC=80033所以AC+BC=2BC=1600方案二:在△ADB中,∠DAB=60°,AD=500km,AB=800km,所以BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠DAB=8002+5002-2×800×500×cos60°=4.9×105,所以BD=700km,所以BD+AD=700+500=1200km.因为1200>16003故选择方案一,能使飞行距离最短.19.(17分)锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足:asinB=bcosA-π6,c=1.(1)求A;(2)求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)